第27章反比例函数知识梳理与分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 这份同步练习以“知识梳理+分层闯关”构建巩固体系，基础层聚焦概念与性质应用，思维层深化综合探究，形成从单一知识点到复杂问题解决的进阶路径，适配单元复习分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础闯关|反比例函数定义、图象性质、k的几何意义|选择/填空/解答题结合，如用待定系数法求解析式（抽象能力）、判断函数象限（几何直观）| |思维闯关|函数与几何综合、动态问题、实际应用|动态几何（动点面积关系）、跨学科情境（消毒含药量模型），培养推理能力与模型意识|

第27章反比例函数知识梳理与分层作业-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 知识梳理 反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 基础闯关 1．已知反比例函数（）的图象经过点，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数图象分别位于第一、三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时，随的增大而增大 D．图象经过点 3．若点、在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 4．反比例函数的图象所在象限为（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 5．一次函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（   ） A．B．C． D． 6．如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（   ）． A．6 B．9 C．10 D．12 7．日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 9．若点，都在函数的图象上，则____________（填“”，“”或“”）． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数（）的图象经过点B，当时，x的取值范围为______． 11．已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点，在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为6，点的纵坐标为，点的坐标为．则_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的任意一点，过点A向x轴作垂线，垂足为B，点C是y轴上一动点．，则k的值为__________． 14．如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A，B．若C为x轴上任意一点，连接，则的面积为______． 15．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 17．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 思维闯关 18．如图，在等腰中，，，过点B作底边的垂线，垂足记为点H．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动；动点Q与动点P同时出发，以每秒个单位长度的速度从点B运动到点H．连接，设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D是点C右侧直线上一动点，过点D作轴于点E，交反比例函数图象于点F，连接，．当时，求此时点D的坐标及的面积； (3)在（2）问的条件下，将直线向下平移4个单位长度交x轴于点G．平面内是否存在一点M，使得以点B，C，G，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第27章反比例函数知识梳理与分层作业-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B A B A D 1．D 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴将，代入解析式得 ∴ 2．C 【分析】根据反比例函数的图象和性质，对各选项逐一判断即可，本题中，结合性质分析即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得． ∵， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，因此A选项错误． 当时，随的增大而增大，因此B选项错误． 当时，随的增大而增大，因此C选项正确． 将代入解析式，得 ，因此图象不经过点，D选项错误． 3．B 【分析】将点的横坐标代入解析式直接计算得到和的值，再比较大小． 【详解】解：∵ 点、在反比例函数的图象上， ∴ 将代入，得 ， 将代入，得， ∵ ， ∴ ． 4．B 【分析】根据反比例函数比例系数的符号，结合反比例函数的图象性质，即可判断图象所在象限． 【详解】对于反比例函数， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限． 5．A 【分析】根据解析式得到其函数图象一定过定点，再根据中的k与的一次项系数相同，结合图象解答即可． 【详解】解：∵解析式， ∴的图象一定过定点， ∴排除C，D选项； 对于A、B，双曲线都经过第一、三象限，，对于直线，只有选项A满足，符合题意． 6．B 【分析】根据反比例函数的定义设点坐标为，得到，，，，可求得四边形、三角形、三角形的面积，可求出四边形的面积表达式，根据四边形的面积为3，可求k的值． 【详解】解：设点坐标为，得到，， 又轴于点，轴于点，则四边形为矩形， 四边形的面积为，，， 根据题意有，，则，， ，， 四边形的面积为， 根据题意有，解得． 7．A 【分析】根据甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上可得，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，可得 ，进而即可判断求解． 【详解】解：根据题意可知，氯化钠的质量为， ∵甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同，即 ， 如图，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，则 ， ∴大小关系为． 8．D 【分析】通过表示,,,, 进行比较，在表示，,的面积进行比较． 【详解】当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 联立方程组得，整理得， 设，， ∴，， 当时，方程为即， ∴， 解得，， ∴，， ∴,,， 此时，所以①说法错误；②正确； ， 当时，即时，， 所以③正确； ， ∴， ∴④正确． 【点睛】本题主要考查直线与横纵坐标轴的交点，直线和反比例函数的交点，以及三角形相关的面积计算，熟练掌握函数相关的知识点是解决本题的关键． 9． 【分析】根据反比例函数的性质，当时，图象过第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，再结合两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵，其中， ∴图象过第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 点，的横坐标均为正，两点都位于第四象限，且， ． 10． 【分析】先由正方形性质求解，然后根据待定系数法求解反比例函数解析式，再由反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是面积为4的正方形， ∴，， ∴， ∵函数（）的图象经过点B， ∴将点代入得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∵，， ∴反比例函数在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，． 11． 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 12．4 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，连接交于点，推导出 ，，点在的平分线上，得到证明，推导出，，再根据点P为的中点，得到，代入求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交于点，则 ，， 四边形是菱形，点的纵坐标为6，点的纵坐标为， ，， ， ∴点在的平分线上， ， ∴ ， ， ， ，， 四边形是菱形， ∴点P为的中点， ， ， ． 13． 【分析】分析点A的位置和三角形的面积，可以推导出k的具体数值． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，垂足为B， ∴， ∴，即， ∵点C是y轴上一动点．， ∴， ∴，解得或， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 14．3 【分析】设，其中，通过反比例函数表示出点A和点B的坐标，可得的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设，其中， 则． 直线轴，则点A和点B的纵坐标都为， 又点A和点B分别在反比例函数和的图象上， ，， ， ． 15．(1) (2)6 【分析】（1）先求出，设反比例函数的解析式为，将代入求解即可； （2）连接、，先求出直线与x轴的交点坐标，再根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：∵A点的横坐标为， ∴A点的纵坐标， 即， 设反比例函数的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴； （2）解：如图，连接、，设直线与x轴的交点为D， 当时，解得， 即， ∴． 16．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值． （2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意有两部分． （3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，即最大值为，求出直线解析式，再确定与x轴交点坐标即可． 【详解】（1）解：由得， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 反比例函数为． 将点，分别代入， 解得，． （2）解：由图象可知，的解集为或； （3）解：如图，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时取得最大值，为， 设直线解析式为， 将点，代入，得， 解得， ， 令，得， . 17．(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 18．(1)， (2)函数图象如图： 性质：当时，随着的增大而减小； (3) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出，则，那么，，当时，，即可求解，当时，，则，由，可得，则，即可求解；而，则； （2）通过描点，连线即可作图函数图象，再从增减性写出一条性质即可； （3）出时x的取值范围即为函数的图象在函数的图象上方时，对应交点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵，，过点B作底边的垂线， ∴， ∴， ∴，， 当时， ∵ ∴； 当时，如图，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 综上：； ∵ ∴， ∴ （2）解：函数图象见答案；性质见答案； （3）解：由函数图象可得，时，． 19．(1) (2)， (3)存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）将代入直线解析式求出，得出，再将代入反比例函数解析式即可求解； （2）首先求直线与轴交点，设点，则，表示出，根据，列方程求出，再求出，即可解答； （3）先求出直线向下平移4个单位后解析式为，求出，设点，分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点相同解答即可； 【详解】（1）解：∵点在直线上， 将在代入直线解析式得：，即； 又∵在反比例函数上，代入得， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：令，则， ∴， 设点， ∵轴， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：（，舍去负根）， ∴， ∴为直线， 令，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线向下平移4个单位后解析式为：， 令，则，解得， ∴， ∵，设点，分三种情况讨论平行四边形： 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； ∴存在点，坐标为或或． 20．(1) (2)点的坐标为 (3)当是等腰三角形时，的值为或 【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可； （2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ∴，， 点的坐标为． 由平移得：点的坐标为． 把代入，得， 该双曲线的解析式为：． （2）解：平移个单位长度后，点的坐标为， 边平移后所在的直线为，， 点的坐标为． 点、在图象上， ， 解得：， 点的坐标为． （3）解：如图3，四边形是矩形， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由平移可得：，． ． 点、在图象上， ． 解得． ②当时，此时点与点重合， ，． 点、在图象上， ， 解得． ③当时，设． 由平移可得，， ， ， 解得， ． 点、在图象上， ． 解得． ， 这与题意不符，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $