2026年山东省烟台市开发区二模数学试题

**基本信息** 2025-2026年烟台开发区二模数学卷以刘徽勾股容圆、小球发射运动等真实情境为载体，通过渐开线、伴随抛物线等创新题型，考查空间观念、运算能力与模型意识，适配中考二模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/约30分|三视图、方程实根、概率|结合电路开关考查概率计算，体现数学思维| |填空题|6题/约18分|等腰三角形方程根、菱形阴影面积|以桃子采摘问题考查整数解，渗透应用意识| |解答题|7题/约72分|二次函数、几何变换、反比例函数|设计“伴随抛物线”新定义题，融合代数推理与创新意识；通过小球发射运动建模，强化模型观念|

《2025-2026年山东省烟台市开发区二模数学试题 》参考答案 题号1 2 3 4 5 6 7 Q 9 10 答案■ B B D C A D D C C 11.19或4 12.140 25 13.6或4 14.② π5 15.24 3或- 16.2 2 175 18.④<B=60,5a=75 12 (2)8 2 bsinA=√3a (1)解： 2b sind 3 ..a b sinA sinB ·sinB= 2, :∠B为锐角， .∴∠B=60° 答案第1页（共2页） b=3a+c-4 b-a+e-2acc0sB :9=a+e-ac=(a+e)-3ac=16-3ac 7 ..ac= 3 2acsin B=13 1 S。ABC 12. (2)在△ADC中，CD=6sin∠DAC,AC=6, .CD =sin∠DAC、 AC ∴.∠ADC=90° ∴点D在以AC为直径的圆上 设AC的中点为O,当BD过点O时取得最大值，如图所示： 在A1B0中，B=740-54C=3c0∠B40=cs∠BC- 14 :B02=AB+A02-2HAB×A0xc0s∠BAC=49+9-2x7×3x-25 14 B0=5(负值已舍)· 又：OD=AO=3」 ∴BD的最大值为BO+OD=8. h=-52+vd 19.(1)解： =+ 当=洽时，h最大， Vo 故答案为：10： (2)解：根据题意，得 答案第2页（共2页） 当1治时，A=20 2 10 +%×么=20 10 :6=20(m/s) (负值舍去)： (3)小明的说法不正确， 理由如下： 由(2)，得h=-52+20t, 当h=15时，15=-5t2+20t, 解方程，得5=15=3 .两次间隔的时间为3-1=2s, ,小明的说法不正确。 x+4之24=4 20.(1)xVx, 心最大=2-4=-2 故答案为：-2： ,9r+-0+92y-石+9=1s x-1 x-1 1 当9(x-1)= -1时， 4 即：当x=3时，y小=15 故密案为：15 3③)托r=2y=3代入=车得，3=号 k -2 k=-6, 答案第3页（共2页） y=-6 设点A(a,0),B(0,b),(a>0,b<0), ·直线4B的解析式为：y=-x+b. a 6-b 由xa x+b得，bx2-abx-6a=0' :直线4B与双曲线y=x只有一个公共点， ∴.△=(ab)2+24ab=0 b=、24 a' 3 由y=2x+6得：D0,6,C(-4,0) 六4C=a+4,BD=6-b=6+24 S四边形BCD= 3a+16+24≥3x206+24=48 21 a a 当0=16 ,即：a=4时，四边形ABCD的面积最小值为：48 21.解：(1)①作CE⊥x轴于点E,则点E(4,0),即点E是OA的中点，故CE过O', ∠AOB=90°，故点O'在AB上，故CE与BA交于点O', 过点O'作OF⊥y轴交于点F,连接OO, B D 图1 设圆O的半径为r,在Rt△O'OF中，则O0P=OF2+0F2,即r=42+(8-r)2,解得r=5, 故0F=8-r=3,0B=20F=6,故点B(0,6),则b=6; 答案第4页（共2页） 故答案为6； 4 4 ②点B(0,6),k=3,则直线BD的表达式为y=3+6, 4 9 令y=0,即3x+6=0,解得X=-2,故点D(-2,0), 9 :点AB、D的坐标分别为(8,0)、(0,6)、(-2,0)， 25 15 则AB=√82+6=10，同理可得：AD=2,BD=2, 则AD=AB+BD,故△ABD为直角三角形，故∠ABD=90°， ∴.BD是⊙O'的切线： (2)如图2，连接BC、AC, 图2 则∠BPC=∠BAC, .AB是直径，故∠ACB=90° 则RIAABC中，AB=10,BC=4P+(6-8=25 BC 5 则sin∠BAC=AB=5, 5 故sin∠BPC=5; (3)如图3，当点Q在CP上运动时，Rt△COQ的斜边OC不变， 故Q点在以OC为直径的圆G上，此时线段DQ最小值即为射线DG与圆G相交的离点D近的交点， 答案第5页（共2页） D 图3 此时的DQ=DG-圆G的半径=DG-C0, 9 :点D(-2,0)、而点G为0C的中点，故点G(2,4), √233 则DG=2,同理0C=45, 故线段D0最小值=DG-C0=2,45 2 22.【问题解决】解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD',连接ED'. 45 C(B) 图2 由旋转的特征得∠BAD=∠CAD',∠B=LACD',AD=AD',BD=CD」 .∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴.∠BAD+∠EAC=45° ∠BAD=∠CAD'. .∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45° .∠DAE=∠DAE」 在△DAE和△D'AE中，AD=AD',∠DAE=∠D'AE,AE=AE, ∴.①△ADE≌△AD'E .DE =D'E 又：∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°， 答案第6页（共2页） .在Rt△ECD'中，②EC2+CD2=ED2 .CD'=BD=3,CE=4, :DE=DE=3+4=5O. 【知识迁移】DN2+BM2=MN2, 证明：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF'. 过点D作DH⊥BD交边AF'于点H,连接NH. 】 FAI由旋转的特征得 B AE=AF',BE=DF',∠BAE=∠DAF 由题意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE, .EF =DF+BE DF+DF'=FF 在△AEF和△AF'F中，AE=AF',EF=F'F,AF=AF △AEF≌AF'F(SSS) .∠EAF=∠F'AF 又：BD为正方形ABCD的对角线， ∴.∠ABD=∠ADB=45°. ,DH⊥BD, .∠ADH=∠HDB-∠ADB=45 在△ABM和△ADH中，∠BAM=∠DAH,AB=AD,∠ABM=∠ADH, :△1BM≌AADH(ASA) .AM=AH,BM=DH 在△AMN和△AHN中，AM=AH,∠MAN=∠HAN,AN=AN, 答案第7页（共2页） ,△AMN≌△AHN(SAS) .MN HN 在Rt△HND中，DN2+DH2=HN2, ∴.DN2+BM2=MN2 【拓展应用】2BE2+2DF2=EF2 证明：如图所示，设直线EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点， G H M 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH,连接HM,HE. 则△ADF≌△AGH 则DF=GH,AG=AD,AF=AH,∠DAF=∠HAG, .·∠EAF=45° ∴.∠HAE=∠HAG+∠GAE=∠DAF+∠GAE=45°， 在△AEH和△AFE中 AH=AF ∠HAE=∠FAE=45° AE=AE .△AEH≌△AEF(SAS) ∴.EF=HE, 过点H作HO⊥CB交CB于点O,过点H作HG⊥BM交BM于点M,则四边形OHGB为矩形. ..OH=BG,OB=HG .∠CEF=45° ∴.∠CEF=∠CFE=∠DFN=∠DNF=∠BME=∠BEM=45° 答案第8页（共2页） ∴.△BME,△DNF,△CEF,△AMW 是等腰直角三角形， ..CE=CF,BE=BM,DN=DF,AN AM ∴.AM-AG=AN-AD .GM=DN DF=HG. .∠HMG=45°， .∠HME=45°+45°=90°， 在aOHE 中，OE+OH=HE,(OB+BE+BG=Em (GH +BE)2+BG2=EH2 (GH+BE)+(BM-GM)2=EH2 又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM, (GH+BE)+(BE-GH)=EF2 即2(DF2+BE2)=EF 【问题再探】如图，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BE'C',连接E'D.过点E作EG⊥BC,垂 足为点G,过点E作EG⊥BC',垂足为G.过点E'作E'F∥BA,过点D作DF∥BC交AB于点 H,E'F DF 交于点 D G E 由旋转的特征得BE=BE',∠CBE=∠C'BE',EG=E'G,BG=BG ·.∠ABC=90°，∠DBE=45° 答案第9页（共2页） ∠CBE+∠DBA=45°， ∴∠C'BE'+∠DBA=45°，即∠DBE'=45° 在△EBD和△E'BD中，BE=BE',∠DBE=∠DBE,BD=BD ∴.△EBD≌△E'BD(SAS) .DE DE', ∠ABC=90°，AB=4,BC=3 .AC=AB2+BC2=5 又'：AD=x,CE=y, ..DE'=DE=5-x-y DF∥BC, .∠ADH=∠C,∠AHD=∠ABC=90° .△AHD△ABC, AH HD AD x 4B=元=4C5,即AH=5,B=x 5 .HB-AB-AH-4-4x 5 4 3 同理可得BG=5y,GC=y., E-8G=BG=3-3, 3 .E'G⊥AB,∠ABC=90° .E'G∥BC∥FD, 又·E'F∥AB,∠FHG'=∠AHD=90° .四边形FEG'H为矩形. ∠F=90°，EH=EG=4,DF=DH+FHE3x+4 5, 答案第10页（共2页） E=G=B-c=43-小1- 在RtaE'FD中，E'F2+DF2=E'D2 21x-60 解得y= 5x-28· 23.解：（山=次函数y=-2+m和y=-小+的图象都是抛物线y=的件整抛物线。 1 12 点2m“)在方的件随地物线上 代入得：m=×22=21=1 1 ×n2 2 ，22 解得：m=2,n=±1， 故答案为：2；±1； y=x2-2G+4k+5=x2-2+k2-k2+4k+5=(x-k)2-K2+4k+5 (2)① (k,-k2+4k+5) 顶点坐标为： 函数y=-x+d+ 的图象为抛物线C,且S始终是C的件胞抛物线， ∴.-k2+4k+5=-k2+dk+e, 整理得：4k+5=dk+e, d=4,e=5; ②：G与x轴有两个不同的交点，0)，(：，0叭 由①得：函数少=-r+4x+ 的图象为抛物线C,且9始终是C的件随范物线， k,-k2+4k+5)y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9 顶点坐标 在 图像上滑动， 2,9) 顶点为 答案第11页（共2页） 当-x2+4x+5=0时， 解得：x=-1或x=5, 抛物线与×轴交-1,05.0)两个点 当顶点在 -1,0)下方时，抛物线有两个交点，名<-， 是S的件随抛物线，则C也是的件随抛物线，即℃的原点Pc)在C上 :2,9在c上. 当顶点在6.0)下方时，2<<5 2<x<5x<-1 综上可得： 或 答案第12页（共2页）2025-2026年山东省烟台市开发区二模数学试题 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1.一个几何体如图水平放置，它的俯视图是() D 主视方向 2.已知实数a满足|2023-a+√a-2024=a,那么a-20242的值是() A.2023 B.-2023 C.2024 D.-2024 3.若a,c,d是整数，b是正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,那么a+b+c+d的最大值是() A.-1 B.-5 C.0 D.1 4.如图，电路上有S,S2,S,S4四个断开的开关和一个正常的小灯泡L,将这些开关随机闭合至少两个，能让 灯泡发光的概率为() 7 A· B. 11 5 D.9 五 5已知关于x的方程，2+：=，？2合有一个实根，则满足条件的实数ā的值的个数为（ A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，四边形OABC是正方形，曲线CCCC4C5叫作“正方形的渐开线”，其中CC2,C,C,CC4,C,C, 的圆心依次按O,A,B,C循环.当OA=1时，点C03的坐标是() A.(-1,-2022) B.(-2023,1) C.(-1,-2023) D.(2022,0) 答案第1 7.刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学 泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了 内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子 表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的是() A.d=a+b-c B.d=2ab a+b+c C.d=2(c-a)(c-b) D.d=(a-b)(c-b) (7) (8) 8.如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC、GA,交于点O,GA与BC交于点P,连接OD、 OB,则下列结论一定正确的是() ①EC⊥AG:②AOBP∽ACAP:③OB平分∠CBG;④AOD=45°. A.①③ B.①②③C.②③ D.①②④ 9.如图，正方形ABCD与ABG(其中边BC,BF分别在x,y轴的正半轴上)的公共顶点A在反比例函数y=的 ,且MD=4GN.则K的值是() 15 图象上，直线DG与x,y轴分别相交于点M,N.若这两正方形的面积和是 A.5 B.1 C.3 D.2 G (9) (10) 10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1,下列 四个结论：①bc<0:②3a+2c<0;③m2+bx≥a+b:④若-2<c<-1,则- 4 Sa+b+c<一3其中正确结论的 数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4 二、填空题 11.有11个女孩，n个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘(n2+8n-3)个桃子，则男孩有 个. (共4页) 12.若整数x、八2满足x≤y≤2，且x+y+2=8,xy+z+花=-13，则z= 13.如果方程x3-7x2+10+k)x-2k=0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k= 14.如图，矩形ABCD中，AB=1,BC=2,AE为∠BAD的平分线，F为AE上一动点，点M为DF的中点，连接 BM,则BM的最小值是 D 60 (14) (15) 15.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角 为60°的扇形OEF,点D在扇形OF内，则图中阴影部分的面积为 9 16.当0≤x≤1时，y=x2+bx+c(b<0)最大值与最小值的差为，，则b的值 16 三、解答题 17.对一切实数k,有V8-x+√x-3≥k成立，求k的最大值。 18.阅读：△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，△ABC的边角有如下性质： ①正弦定理：a=b sina sinB sinc ②余弦定理：ad2=b2+c2-2 bccosA,b2=a2+c2-2 accosB,c2=a2+b2-2 abcosC. 1 @S4 =-absinc1 bcsin4三)acsinB,其中S,sc表示△ABC的面积 2 请你根据上述结论求解下列问题： (1)在锐角△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，若b=3,a+c=4,2 bsinA=V3a,求∠B的大小及△ABC的面积. ②在因边形BCD中，AB=7AC-6csA4C-贵CD-m∠D4C,求BD的条大位 答案第2页 19.从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=-5t+t,其中t(S)是物体运动的时间，(m/s) 是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球. (1)小球被发射后s时离地面的高度最大（用含的式子表示）. (2)若小球离地面的最大高度为20m,求小球被发射时的速度. (3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.” 己知实验楼高15，请判断他的说法是否正确，并说明理由. 20.阅读材料：对于正数、b,有(a-√b)2≥0，所以a+b-2√ab≥0，即a+b≥2√ab(当且仅当a=b时取=).特 1 别地：a+上≥2a上2（当且仅当a=1时取 a a 因此，当a>0时，a+有最小值2，此时a=. a 简单应用：(1)函数y=2-x-4>0)的最大值为 2)求函数y=9x+X片>0，当 时，最小值为 解决问题：(3)己知P(-2,3)是反比例函数y=图象上的点，Q是双 在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线少=《只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于 点A、B.另一直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点C、D,求四边形ABCD面积的最小值. 2 (共4页) 21.如图，点A(8,0),点B分别在x轴，y轴上，直线y=kx+b与x轴，y轴分别相交于点D,B两点，C在△AOB 的外接圆上，且C(4,8). (1)①直接写出b=_一·②求证：当k=4时，BD是⊙0的切线. (2)如图1，若点P是优弧BAC上的一点（不与B,C重合），求sn∠BPC的值. (3)如图2，在(1)的条件下，当P点在⊙O'上运动时，过O作OQ⊥CP于Q,求线段DQ的最小值. 图1 图2 22.在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3,CE=4, 求DE的长 解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD',连接ED'. 由旋转的特征得∠BAD=∠CAD,∠B=∠ACD,AD=AD',BD=CD. '∠BAC=90°，∠DAE=45°， 图1 .∴.∠BAD+∠EAC=45°. 答案第3页 ,∠BAD=∠CAD', .∴.∠CAD+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°. 45 D ∴.∠DAE=∠DAE. 在△DAE和△DAE中， C(B) E 图2 图3 AD=AD,∠DAE=∠DAE,AE=AE, ① .DE D'E. O 又，ECD ECA ACD」 ECAB90°， ∴在Rt△ECD中，②一· .CD=BD=3,CE=4, E ∴.DE=DE=③ 图4 图5 【问题解决】上述问题情境中，“①处应填：；“②”处应填： :“③”处应填： 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变， 【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足ACEF的周长等于正方形ABCD的周 长的一半，连结AE、AF,分别与对角线BD交于MN两点.探究BM、MN、DN的数量关系并证明 【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.探究BE、EF、DF 的数量关系： （直接写出结论，不必证明) 【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,点D、E在边AC上，且∠DBE=45°.设AD=x, CE=y,求y与x的函数关系式. 23.【定义与性质】 (共4页) 如图，记二次函数y=a(x-b)+c和y=-a(x-p)+q(a≠0)的图象分别为抛物线C和C. 定义：若抛物线C的顶点2(P,q）在抛物线C上，则称C是C的伴随抛物线。 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线： ②若C是C的伴随抛物线，则C也是C的伴随抛物线，即C的顶点P(b,c)在C上 【理解与运用】 (1)若二次函数yx2了m和y:川+兮的图象都是糙物线的件随链物线。 n=. 【思考与探究】 (2)设函数y=x2-2+4+5的图象为抛物线C2. ①若函数y=-x+d+e的图象为抛物线C,且c,始终是C的伴随抛物线，求d,e的值； ②若抛物线C与x轴有两个不同的交点(x,0),(:,0)(:<5),请直接写出1的取值范围. 备用图 则m=一 答案第4页（共4页） 2025-2026年山东省烟台市开发区二模数学试题 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 3．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么的最大值是（    ） A． B． C． D．１ 4．如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    ) A． B． C． D． 7．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． （7） （8） 8．如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、，交于点，与交于点，连接、，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③平分；④． A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④ 9．如图，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两正方形的面积和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 （9） （10） 10．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 二、填空题 11．有个女孩，个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘个桃子，则男孩有_______________个． 12．若整数满足，且=8，，则= 13．如果方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数 ． 14．如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是______． （14） （15） 15．如图，在菱形中，，点是对角线的中点，以点为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点在扇形内，则图中阴影部分的面积为___________． 16．当时，最大值与最小值的差为，则的值 . 三、解答题 17．对一切实数k，有成立，求k的最大值． 18．阅读：中，分别是的对边，的边角有如下性质： ①正弦定理：． ②余弦定理：． ③，其中表示的面积． 请你根据上述结论求解下列问题： (1)在锐角中，分别是的对边，若，求的大小及的面积． (2)在四边形中，，求的最大值． 19．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． (1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． (3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 20．阅读材料：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取“=”）．特别地：（当且仅当时取“=”）． 因此，当时，有最小值2，此时． 简单应用：（1）函数的最大值为______． （2）求函数，当______时，最小值为______． 解决问题：（3）已知是反比例函数图象上的点，Q是双 曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形面积的最小值． 21．如图，点A（8，0），点B分别在x轴，y轴上，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别相交于点D，B两点，C在△AOB的外接圆上，且C（4，8）． （1）①直接写出b＝______．②求证：当k＝时，BD是⊙O'的切线． （2）如图1，若点P是优弧上的一点（不与B，C重合），求sin∠BPC的值． （3）如图2，在（1）的条件下，当P点在⊙O'上运动时，过O作OQ⊥CP于Q，求线段DQ的最小值． 22．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，， ∴___③___． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系： （直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．   23．【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $