精品解析：2025年山东省烟台市蓬莱区中考二模数学试题

2025年初四数学二模试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为ABCD四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 已知的倒数是，则的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 3. 如图是一些大小相同的小正方体搭成的几何体从三个方向看到的形状图，则这个几何体只能是（ ） A. B. C. D. 4. 四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形既是轴对称图形也是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 5. 设，则下列式子中成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形中，点坐标为，点坐标为，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在轴的下方作菱形的位似图形菱形，并把菱形的边长放大到原来的倍，则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 10. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 … … 0 0 … 其中，．有下列结论：①；②；③；④当时，有最大值为，最小值为，此时的取值范围是．其中，正确结论的个数是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 分解因式：______． 12. 若不等式组无解，则的取值范围是______. 13. 如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心、以的长为半径画弧，分别交、的延长线于点F、G．连接、，则等于________． 14. 《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有___________尺 15. 某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是_____． 16. 在中，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，图像如图2所示，则线段的长是___________． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 先化简，再求值，其中． 18. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78 整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 86 m 乙 84 76 根据以上信息，回答下列问题： （1） ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）； （2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）； （3）现在甲、乙两校要共同举行第二轮升级赛，想从两校成绩均在范围内的学生中选取两名参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人恰在同一学校的概率． 19. 如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为3米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1.2米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决 任务1 确定影子长度 若某一时刻测得米，求此时影子的长度． 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3.6米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由． 21. 某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． （1）商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ （2）设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 22. 如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）求的值； （3）求的值． 23. 阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是___________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； 【知识迁移】（2）如图2，在等腰直角中，为上的点且，请判断的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，点为等边内一点，连接，直接写出的最小值． 24. 如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初四数学二模试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为ABCD四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 已知的倒数是，则的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数和相反数．根据乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不相同的两个数是相反数进行求解即可． 【详解】解：∵的倒数是， ∴， ∵的相反数是， ∴的相反数是， 故选：C． 2. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】D 【解析】 【分析】首先算出一粒粟的重量，结果是小于的正数，然后利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定前面有三个，故指数是． 【详解】解：粒粟的重量大约为克， 一粒粟的重量约为． 故选：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定和的值是解答本题的关键． 3. 如图是一些大小相同的小正方体搭成的几何体从三个方向看到的形状图，则这个几何体只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体是解题的关键；因此此题可根据几何体的正面、左面、上面的视图进行排除选项． 【详解】解：由该几何体的三个方向的视图可知只有A选项的几何体符合题意； 故选A． 4. 四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形既是轴对称图形也是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，轴对称图形，中心对称图形等知识，从四张卡片中，找到轴对称图形的个数，然后根据概率公式即可求解．熟练掌握概率公式：随机事件的概率等于事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数和对称图形的概念是解答本题的关键． 【详解】解：∵四张卡片中，既是轴对称图形也是中心对称图形有矩形、圆， ∴（既是轴对称图形也是中心对称图形）， 故选：A． 5. 设，则下列式子中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方程的解、绝对值的意义、算术平方根和不等式的解，掌握以上知识的计算是关键．根据题意，把代入计算，再辨析即可． 【详解】解：A、把代入得到左边，右边，不成立； B、把代入得到，右边，故不成立； C、把代入得到左边，右边，故成立； D、把代入得到，故不成立． 故选：C． 6. 如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，菱形中，点坐标为，点坐标为，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在轴的下方作菱形的位似图形菱形，并把菱形的边长放大到原来的倍，则点的对应点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，根据题意求出位似比，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于， 则， ， 把菱形的边长放大到原来的倍得到菱形， ， 点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点的横坐标是， 故选： D． 【点睛】本题考查的是位似图形，平行线分线段成比例，掌握位似比的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 8. 如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或或 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图象，找到抛物线在双曲线下方时的自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：观察函数图象，可知当时，或， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象的性质，数形结合是解题的关键． 9. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 … … 0 0 … 其中，．有下列结论：①；②；③；④当时，有最大值为，最小值为，此时的取值范围是．其中，正确结论的个数是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．利用表格所给信息得出对称轴，由，，可判断对称轴右侧，随增大而增大，进而可知，，，进而可判断①②③；由对称轴可知最小值为，即时，当时，最大值在或时产生，根据当时，，当时，，即可判断的取值范围，进而可对④进行判断． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴函数的对称轴为：， 即：，即， ∵，且当时，，当时，， 又∵， ∴函数在对称轴右侧，随增大而增大， ∴，则， ∴，故②正确； 则，故③正确； 当时，，则， ∴，故①正确； 又∵函数的最小值为当时，， ∴当时，有最小值为，即能取， ∴， 又∵当时，，当时，， 由在对称轴左侧，随增大而减小，知：当时， ∴当时，最大值为， ∴；故④正确； 故选：D． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 若不等式组无解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组无解即可得出a的取值范围． 【详解】解：解一元一次不等式组， 得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法，会根据不等式组无解求解参数a的取值范围是解答的关键． 13. 如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心、以的长为半径画弧，分别交、的延长线于点F、G．连接、，则等于________． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接，根据正五边形的性质可得，，从而得到，然后根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形为正五边形， ∴，， ∴， 同理， ∴， ∴． 故答案为： 14. 《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有___________尺 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方运用，根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有尺；第2次截取后，剩余的木棒有，以此类推即可解答，熟知期中规律是解题的关键． 【详解】解：第1次截取后，剩余的木棒有尺； 第2次截取后，剩余的木棒有尺； 第3次截取后，剩余的木棒有尺， ， 第2025次截取后，剩余的木棒有尺， 故答案为：． 15. 某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点处开始，绕侧面一周又回到点的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图圆心角的度数，垂径定理，勾股定理解直角三角形，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，根据圆锥的底面圆周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，求得展开后的扇形的圆心角为，进而根据勾股定理和垂径定理即可求解，求得侧面展开图的圆心角是解题的关键． 【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为， ∴， 解得：， ∴侧面展开图的圆心角为， 如图，为圆锥侧面展开图，，的长度即为这条彩带的最短长度， 过点作于点， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这条彩带的最短长度是， 故答案为：． 16. 在中，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，图像如图2所示，则线段的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察图象可得结论． 【详解】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 先化简，再求值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，负整数指数幂的意义，分式化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据负整数指数幂的意义、特殊角三角函数，二次根式的性质、绝对值的性质化简，再算加减即可；然后根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把m的值代入计算即可． 【详解】解： = =． = = = = =； 当时，原式=． 18. 为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78 整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 86 m 乙 84 76 根据以上信息，回答下列问题： （1） ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）； （2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）； （3）现在甲、乙两校要共同举行第二轮升级赛，想从两校成绩均在范围内的学生中选取两名参加比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人恰在同一学校的概率． 【答案】（1）；；乙 （2）甲 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、中位数、方差、用样本估计总体等知识点，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）根据频数分布表以及中位数的定义即可得到m的值；根据乙校成绩在这一组的频数所占比例乘以即可；根据方差的意义即可解答． （2）根据这名学生的成绩74分，小于甲校样本数据的中位数76分，大于乙校样本数据的中位数分即可解答． （3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所选两位选手来自同一学校的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（1）把甲校40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是72，73，故中位数． 乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是． 由于甲校的成绩的方差乙校的成绩的方差， 所以本次测试成绩更整齐的是乙校． 故答案为：；；乙． 【小问2详解】 解：在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是甲校的学生．理由：甲校的中位数是，乙校的中位数是． 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：根由频数分布表可知：甲乙两校各有2名学生在范围内， 据题意画出如下树状图 由树状图可得共有12种等可能的结果数，其中所选两位选手来自同一学校的结果数为4， 所以所选两位选手来自同一学校的概率为． 19. 如图，中，，，，点D为的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向匀速运动，至点A处停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿着折线方向匀速运动，至点A处停止．设点P运动时间为x秒（），的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）作图见解析，函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，，由共高三角形面积比化为底之比得到，故；由勾股定理得：，根据直角三角形斜边中线得到，则，那么，当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，再根据面积公式得到；当点在线段上时，即，过点作于点，由题意得，，则，即可表示面积； （2）先作出反比例函数和正比例函数以及一次函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，交点的横坐标取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵与共过点作边的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴, 当点在线段上时，即，过点作于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 综上：； 【小问2详解】 解：画出函数，的图象如图， 函数的一条性质：当，随着的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：记函数与函数的交点为， 由图象可得：， ∴当时x的取值范围：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为3米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1.2米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决 任务1 确定影子长度 若某一时刻测得米，求此时影子的长度． 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3.6米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由． 【答案】任务1：的长度为4米；任务2：会被照射到，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）先过点作于点，过点作于点，再求出，从而得出，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，因为点时，此时，通过三角函数即可求出的长度，在作比较即可． 【详解】解：任务1：如图1，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ，， ， ． ， ， ， ，四边形为矩形， ，， ， ， 在中，（米）； 任务2：如图2，过点作交于点． 由（1）知，， ， ， 在中，， ， ． 在中，， 在中，， 在中，当时，， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 21. 某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． （1）商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ （2）设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 【答案】（1）50件 （2）当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元一次不等式的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键． （1）设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，据此列出方程即可求解； （2）根据：利润等于售价减成本，分，，三种情况考虑，列出y关于x的函数式，求出最大值即可； （3）分，两种情况考虑，解不等式、函数的图象与性质即可求解． 【小问1详解】 解：设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元， 由题意得：， 解得：； 答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 当时，， 即； 由于，当时，y有最大值12250； 当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 综上，当时，y有最大值12250； 答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元； 【小问3详解】 解：当时，最大值为6000，不符合题意； 当时，由题意知； 考虑二次函数，当时，解得， 由二次函数的图象与性质，当时，； 当时，， 解得：， 由于x为正整数，且不超过60件，则； 综上，或． 22. 如图，为的外接圆，弦，垂足为E，直径交于点G，连接，．若，． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理得到，推出，得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）设，得到，根据勾股定理得到，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）如图：过点D作于H，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，求得，再根据三角函数的定义即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴∠ADC=∠ABC， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：过点D作于H， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆和外心、平行四边形的判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点，若点到顶点的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是___________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； 【知识迁移】（2）如图2，在等腰直角中，为上的点且，请判断的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，点为等边内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）等边；；（2），证明见解析（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 24. 如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），点在抛物线上 （3）存在， （4）存在，点的坐标为：或或 【解析】 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； 【小问3详解】 解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ 【小问4详解】 存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $