江苏省运河中学2026-2027学年高三上学期开学调研数学试题

**基本信息** 高三开学数学调研卷，聚焦函数与导数核心模块，通过集合运算、切线方程等基础题，单调性条件判断等能力题，及新定义“M型函数”证明等创新题，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、函数性质、导数应用|单选巩固基础（如第1题集合运算），多选分层考查（如第9题函数与方程关系）| |填空题|3/15|二分法、定义域值域、方程解|第12题结合二分法操作次数，体现数学应用| |解答题|5/77|导数几何意义、单调性、新定义证明|第19题“M型函数”证明，融合逻辑推理与创新意识，契合高考命题趋势|

高三年级学期调研 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C2.B3.A4.C5.D6.A7.D8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.ABD 10.ABC 11.AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 13.1714.1<a≤415.5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤， 15.(1)函数f()的定义域为(0，+∞)，对f()求导得f(x)=1-1 则f(x)在x=1处的切线斜率k=f'(1)=1-1-a=-a, 直线x-6y=0变形为y=x,斜率为， 6 6 由两直线垂直时斜率乘积为-1，得(a)×二-1，解得a=6. 6 ②由)得)±求导并整理得了)1---6--34》 6 x2 x 当x∈[2,4]时，x2>0,x+2>0, 所以当x∈[2,3)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(3,4]时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 因此f()在x=3处取得区间内的最小值3)=3-h3+ 3 =5-h3, 计算端点值f2)-2-h2+5-h2,1④)=4-h4+2m2, 42 比较Q)和倒的大小：创-了④=(6-h2-号h2小=h2-号 数学参考答案第1页（共5页） 由于n2>nV=,故f(2)>f④)，即区间内最大值为f(2)-5-h2, 综上所述，f(x)在[2,4]上的值域为[5-hn3,5-ln2]. 16.(1)函数y)的定义域为(0，+o),了(w)=+a=1 因为a<0,则令f(x)=0,得x=-1 当0<x<-上时，f"(x)>0,f)单调递增： 当x>-上时，f(x)<0,fx)单调递减， 所以了（心的单调递增区间为Q司），单调遍减区间为石+ (2)若a=-1,则f(x)=nx-x-1. 令8()=fx)+1, 123 11-x2+x-1 x- g(x)=1-1-1 2T4<0 x x2 则g(x)在[1,2]单调递减. 因为对任意的x∈，2]，fx)+上≥b恒成立， 所以b≤g(x)am' 即b≤8(2)=lh2-2-1+}=1n2- 1 2 2 所以6的最大值为h血2一号 17.(1)当m=3时，（2-x)(x-10)>0→(x-2)(x-10)<0,解得2<x<10,所以 A={x2<x<10}: -10<0→(K-10(x-3)<0,解得3<x<10,所以B=(<x<10y, x-3 数学参考答案第2页（共5页） .A∩B={x3<x<10} (2)m2+1>m,.B={x<x<m2+1: 对(2-x)[x-(3m+1)]与0的关系进行分类讨论： 若限片时、A=0,不存在0使B三A: 若>号时，A-红2<<3m. [m≥2 要使BA,必须 m2+1≤3+1 解得2≤m≤3 若m<号时，A={3+1<x<2,要使BCA,必须 3解得-1≤ms-: m2+1≤2 故m的范倒-1到。 18.(1)由题意：f(x)=x2+2lnx,x>0. 所以ra=2子0. 又因为f(x)在P(x,f(:),Q(x,f(x2)两个不同点处的切线相互平行， 所以fx)=飞)→2x+2=2+2,又x,所以%=1， X 因为>0，x2>0且≠x2,所以x+x2>2x2=2, 即x1+x2的取值范围是(2，+∞). (2)略 19.(1)a=0时，h(x)=lx+1. 因为h(x)为(k)型函数”， 所以h似<恒成立，即k>m+1恒成立 数学参考答案第3页（共5页） 设加.则g倒0恒成立 所以g(x)在[1，+o)上单调递减， 所以g(x)≤g（1)=1, 所以k的取值范围是I,+o): (2)证明：当a=-时，要证)为M(1)型函数， 2 即证a+xhx+l≥x,即证a+xhx+L-x≥0. 北 令a-0+8m,则R闲-a0-片女1片草-a+ 方法：当x1时，m0,号>0，则R()>0: 当0<t<1时.m<0,号<0，则R)<0: 所以R(x)在(0，)上单调递减，在1，+o)上单调递增， 则R(x)≥R(1),又R(1)=0,所以R(x)≥0， 所以h(x)为“M(1)型函数”. 方法二：令F)=r+1-1, 是是，则F)}是+2-=+20， x3 所以函数F(x)在(0，+∞)上单调递增，又F(1)=0, 所以当0<x<1时，R'(x)<0,当x>1时，R'(x)>0, 所以R(x)在(0,1)上单调递减，在1，+o)上单调递增， 以下同方法一. 1 (3)证明：函数f(x)为“()型函数”等价于p(x)=(1-2ax)x-二x<0恒成立， 4 当a<0时，p(e)=(1-2e)->1->0,不合题意： 4 4 当a2时，1名4e0，不合意 数学参考答案第4页（共5页） 当a=1时， 方法-：p)=1-2x)x-1x, 4 ①当a度0<时，p60子<0： ②当}x<1时，1-2x<0,由(2)知> 所以p0W<0-20x-D_x=（3x-2y<0, -X= x4 4x 综上，存在唯一整数a=1,使得f)为“m()型函数 方法：0-Q-290m-京，p0)=2+片2x-}2m+ x41 记w0=-2加+片子则uw=子-是 , 所以p(x)=p'(x)在(0，+w)上单调递减. 易得lnx≤x-1, 所以r)-2m5+5-}x5-0+5-}5--s”<0: 4 4 又因为212}0 所以存在唯一零点=店号).使得= ,19 =0, 且为p()的最大值点， 0-24x29 所以p)三0=2子=二 4 46=2 117, 2x,8 注盒的2+号在品上单训说。 2'2 所以)95+方号a5马c0,所以0 综上，存在唯一整数a=1,使得fx)为“m(宁)型函数”. 数学参考答案第5页（共5页） 高三年级学期调研 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若且，若的最大值为，则正常数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B．1 C． D．0 6．已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 11．已知和分别为函数的极小值点和极大值点，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 13．设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 14．已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间上的值域． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 17．（本小题满分15分） 已知函数的定义域为集合A，集合． （1）当时，求； （2）求使的实数m的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知函数的图象上有不重合的两点，． （1）若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； （2）若，设的中点为，求证： ． 19．（本小题满分17分） 对于定义在上的函数，若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”.已知函数. （1）设函数.若，且为“型函数”，求的取值范围； （2）设函数.证明：当，为“（1）型函数”； （3）若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”. 学科网（北京）股份有限公司 $