江苏省扬州中学2026-2027学年第一学期自主学习效果评估高三数学

**基本信息** 高三开学数学评估卷，聚焦函数、概率统计、立体几何等核心知识，通过分层设问考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配高三起点复习的基础诊断与能力导向需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、函数性质、充分必要条件|基础概念辨析，如第3题结合函数单调性判断充要关系| |多选|3/18|不等式性质、概率计算、空间轨迹|情境化问题设计，如第10题结合摸球模型考查条件概率| |填空|3/15|向量运算、函数零点、集合抽样|抽象能力考查，如第13题通过零点关系求代数式范围| |解答|5/77|函数最值、统计案例、立体几何翻折、导数应用|综合性强，如第16题以AI模型用户数据考查数据分析，第18题导数零点证明体现逻辑推理|

江苏省扬州中学2026-2027学年第一学期自主学习效果评估 高三数学参考答案与评分建议 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求的. 1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BD 10.BD 11.AC 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.或 13.（17，＋∞） 14. 四、解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.（1）由，所以，所以………………2分 ………………3分 当且仅当 即时，函数取到最小值14.………………4分 （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得，………………5分 解得（当且仅当时取等号），………………7分 所以的最大值；………………8分 （ii）………………9分 当且仅当时，即取等号，………………11分 故的最小值为4.………………13分 16.（1）由，解得. .………………3分 所以样本中该产品用户每日的平均使用时长为分钟，由样本估计总体， 因此估计该产品用户每日的平均使用时长（分钟）.………………6分 （2）由频率分布直方图可知，频率，频率.………7分 所以两组频率之比为，所以用分层抽样抽取的人中， 抽取人（非“忠实粉丝”），抽取人（“忠实粉丝”）， 从人中任取人，的可能取值为，，，………………9分 所以服从超几何分布，.………………10分 ，，，……………12分 所以的分布列为 所以的期望.………………15分 17.(1)若分别是上的点，且，连接， 又，所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面………………3分 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面； ………………6分 （2）由，即，，则， 而都在平面内，所以平面， 平面，故平面平面，………………9分 过作直线平面，可建立以为原点的空间直角坐标系，如下图示， 由等腰梯形中，，，若， 所以，，，，又， 所以，则，且，， 若是平面的一个法向量，则，………………12分 取，则，设直线与平面所成角为， 所以，则， 所以直线与平面所成角的余弦值.………………15分 18.（1）原式等价于，可得，………………1分 或（舍）………………2分 所以原不等式的解为．………………3分 （2），原题等价于有两正解，即有两正解， 注意到，由韦达定理知，即，而，………………5分 可得． ………………8分 （3）由，得，当且仅当，时取等号．………………9分 ，则…………10分 令，则，且 ；………………11分 下面判断函数的单调性． ，，显然其单调性与相同， ，令，则且， 对应的函数为，………………14分 当时，取， ， 故在上单调递减，在上单调递减，即的单调递减区间为. 由单调性可知，………………17分 19.（1）当时，，，故切点为．…………1分 ，故．………………2分 切线斜率为2，得切线方程：，………………3分 所以的图象在处的切线方程为．………………4分 （2）（i），设， 若，则单调递增，即其至多有一个零点，即至多有两个极值点，不可能有三个极值点， 故． 当时，恒成立，故时； 当时，即为的一个极小值点． ………………8分 又，则在上单调递减，在上单调递增， 即有最小值． 有三个极值点，即有两个变号零点，，即，解得．……10分 （ii）由（i）知，，且，即.………………12分 要证，即证， 即证，即证，即． 即证，即证．………………14分 设， 则． ………………15分 则单调递增，而，则，即，， 即，即证毕．………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2026-2027学年第一学期自主学习效果评估 高三数学 2026.8 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求的. 1．已知集合，，，，若，则实数的值为（　　） A．-1或3 B．0或-1 C．3 D． 2．若，则（　　） A． B．1 C． D．5 3．已知，，则“x＞y＞1”是“x－lnx＞y－lny”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一名职业篮球运动员在某8场比赛中，三分球命中率分别为0.34，0.27，0.36， 0.42，0.23，0.39，0.43，0.38，若这组数据的分位数为，且随机变量 ，则（　　） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 5．已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，，，都是锐角，则（　　） A． B． C． D． 7．已知正数，满足，则（　　） A．0.75 B． C．1 D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（　　） A．-16 B．-15 C．-14 D．-12 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多 项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知a＜b＜0＜c，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（　　） A．从中任取2球，在已知其中一个是红球的条件下，另一个也是红球的概率是 B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为 C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，第二次取到红球的概率为0.75 D．从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次 取到红球的概率为 11．已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，，则下列选项中正确的是（　　） A．若直线平面，点的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为2 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知平面向量，若，则　　 ． 13．设，分别是与的零点，则x1＋16x2的取 值范围是　　 ． 14．有5个集合：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，3，4}，{1，2，3，4，5}，{1，2，3，4，5，6}，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则P（13≤x≤18）　　 ． 四、解答题:本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足 求的最大值；求的最小值． 16．2026年7月31日，的正式版发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于80分钟的用户称为“忠实粉丝”． （1）估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，，，的用户中随机抽取8人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中“忠实粉丝”的人数，求的分布列和期望． 17．如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将△沿翻折，得到四棱锥．在四棱锥中，点，分别在线段，上，且． （1）求证：平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的余弦值． 18．已知函数，． （1）当，解不等式． （2）若有2个零点，证明：． （3）当时，正数，满足，，用表示的取值范围． 19.已知． (1)若，求的图象在处的切线方程． (2)若有三个极值点，，． （i）求的取值范围；（ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷考后复盘 复习知识点与学习侧重 易:63分 中:71分 难:16分 134＋（复习很扎实）112+（复习较扎实）98+（复习一般） 86+（复习不佳） 74+（复习漏洞较大）63+（仍需努力） T1易--集合互异性（是否应该排除重复元素） T2易-复数的模（模长公式，复数除法的化简是怎样的） T3易-条件判断（看到相同结构就要构造函数求导判断单调性解决） T4易-概率公式（分位数不是整数要向上取整，期望公式是否记得） T5中-零点存在性（通过端点值大小判断单调性从而确定符号） T6中-二倍角公式（完全平方，使用二倍角公式，确定符号） T7中-导数最值（设函数-变形不等式-求两函数最值-推倒成立符号） T8中-抽象函数性质（轴对称性-对称中心-周期性-求和是否都记得） T9易-不等式大小比较（做差法，同乘法，通分化简） T10中-概率计算（样本空间-确定分布类型-算方差-全概率公式-分析情况） T11中上-立体几何动态问题分析（建立坐标系-尝试表示向量-算轨迹-计算余弦值（函数法）-垂直概念-对称构造最值） T12易-向量模长（是否记得平行定理，是否漏解） T13中--函数零点与图像性质（增＋增＝增函数-确定根的性质-讨论另外根的特点-反函数对称性找到根的关系-函数单调性的逻辑链条） T14中上-对称思想（计算样本数字-概率对称性-化简-表示） T15易-不等式计算（1）易配凑法 （2）易基本不等式定理 （3）易乘一法 T16中-概率统计频率分布直方图（1）易组距-平均数 （2）中超几何分布 （注意确定确定参数的关键） T17中-立体几何线面角判定（1）易线面平行 （2）中二面角定义与法向量公式 T18中上-对数函数（1）易换元＋对数函数计算 （2）中换元转化函数 （3）难求局部mn范围-化简-判断单调性- 求取值范围 T19难-导数综合运用（1）易切点-切线斜率-计算 （2）中转化极值条件-研究单调性-验证-求范 围 （3）难转化不等式-分离参数-构造新函数-一确 定两根范围-换元构造对称点证明不等式 学科网（北京）股份有限公司 $