专题20 中位数与箱图（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学中位数与箱线图核心知识点，系统梳理中位数（奇偶数数据处理）、众数概念及计算，对比平均数、中位数、众数的适用场景，进而延伸至四分位数（Q1、Q2、Q3）、箱线图五要素（Min、Q1、Q2、Q3、Max）及四分位距IQR，构建从基础概念到数据可视化分析的学习支架。 该资料以高频易错点（如中位数需排序、偶数数据取平均）为导向，设计分层题型（典例+变式+巩固+强化），结合工资、空气质量等实际情境案例，培养学生数据意识与应用能力。通过箱线图对比分析，发展用数学语言表达数据特征的思维，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题20 中位数与箱线图 1.理解中位数、众数的概念，能够熟练求一组数据的中位数与众数； 2.分清平均数、中位数、众数三者的区别，会根据实际场景选择合适统计量； 3.掌握四分位数概念，理解箱线图（box‑plot）五个关键统计量； 4.会读取箱线图信息，能绘制简单箱线图； 5.能够利用箱线图对比两组数据的集中趋势、离散程度，解决期末选择填空题。 一、中位数 把一组数据从小到大排序。 1.数据个数为奇数：取正中间那一个数，就是中位数。 2.数据个数为偶数：取中间两个数的算术平均数作为中位数。 中位数意义：把整组数据分成左右数量相等两部分，一半数据≤中位数，一半数据≥中位数。不受极端偏大、偏小数值干扰。 二、平均数、中位数、众数对比 1.平均数：用到全部数据，容易受极端值影响；反映整体平均水平。 2.中位数：只看排序中间位置，不受极端大、小值影响；反映中间水平。 3.众数：看出现频次，代表多数数据水平。 有极端异常数据的时候，优先用中位数描述整体水平，不用平均数。 三、四分位数（箱线图5个关键点） 实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 数据从小到大排序： 1.最小值（Min） 2.下四分位数 Q1：数据中，前一半数据的中位数 3.中位数 Q2：整组数据的中位数 4.上四分位数 Q3：后一半数据的中位数 5.最大值（Max） 箱线图由这5个数画出。 四分位距： IQR=Q3-Q1，代表中间50%数据波动范围，不受极端值影响。 4、 箱线图读图信息 1.箱体：Q1到Q3，包含中间50%的数据； 2.箱体中间竖线：中位数； 3.左右须线：分别延伸到最小值、最大值； 4.箱体越窄：中间一半数据越集中稳定；箱体越宽，中间数据波动大。 五、高频易错点 1.求中位数必须先从小到大排序，不直接拿原始中间位置数字； 2.偶数个数据，中位数是中间两数的平均值，不是随便取其中一个； 3.众数找数据，不是数出现多少次； 4.箱线图只能看分布，看不出每组数据具体个数； 5.四分位距IQR只看中间一半数据，不受最大最小极端值干扰。 题型01 求中位数（奇数个数据） 【典例】有一组数据：2，3，8，5，7，6，1其中的中位数是（　　） A．8 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排列为1，2，3，5，6，7，8， 所以这组数据的中位数为5， 故选：B． 【变式】2021年世园会在中国西安举行，吉祥物“长安花”（如图）将组织带领一大堆志愿者们为参观者服务，．这组数据的中位数是（　　）. A．28 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】本题考查了中位数，先将数据排序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数． 先把数据按大小排列，然后根据中位数的定义即可解答． 【详解】解：数据按从小到大排列：28，32，32，33，34，处于中间位置的为32，所以中位数是． 故选：C． 题型02 求中位数（偶数个数据） 【典例】某校六个年级举行的“爱成都 迎大运”知识比赛中，各年级得分（单位：分）如下：98，94，98，97，94，96，则各年级得分的中位数是（    ） A．96分 B．97分 C．96.5分 D．98分 【答案】C 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：各年级得分排序如下：94，94，96，97，98，98， ∴中位数为：（分）． 故选：C． 【变式】某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 人数/名 则这10名学生决赛成绩的中位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中位数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置或中间两个数的平均数叫做中位数，掌握中位数、的定义是解题的关键． 根据中位数的定义进行求解即可． 【详解】解：这名学生的成绩从小到大排列，中位数是第个，第个数据的平均数即， 故选：C． 题型03 求众数 【典例】一组数据1，2，3，5，3，4，10的极差、众数分别是（    ） A．3，3 B．9，3 C．5，4 D．6，10 【答案】B 【分析】根据众数和极差的概念求解． 【详解】解：3出现的次数最多，故众数为3， 极差为：10-1=9． 故选B． 【变式】今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：那么这20名同学年龄的众数和中位数分别是（　　） 年龄（岁） 12 13 14 15 16 人数 1 4 3 7 5 A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，15 【答案】B 【分析】根据众数和中位数的定义求解可得． 【详解】解：由于15岁出现次数最多，所以众数为15岁， 中位数为第10、11个数据的平均数，所以中位数为＝15（岁）， 故选B． 题型04 平均数、中位数、众数综合辨析 【典例】某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示： 人 员 经理 会计 厨师 服务员1 服务员2 勤杂工 月工资（元） 6000 3000 4000 2000 2000 1000 （1）酒店所有员工的平均月工资是多少元？中位数、众数各是多少？ （2）平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由．若不能，如何才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的看法． 【答案】（1）平均月工3000（元），众数为2000，中位数2500；（2）见解析. 【分析】（1）根据平均数的计算公式，直接求出酒店所有员工的平均月工资即可； （2）由平均数的值，可见平均月工资不能准确反映该酒店员工工资的一般水平，反映该酒店员工工资的一般水平的统计量应符合多数人的工资水平才可以． 【详解】（1）平均月工资=（6000+3000+4000+2000+2000+1000）÷6=3000（元），众数为2000，中位数2500； （2）∵能达到这个工资水平的只有3人，∴平均月工资不能准确反映该酒店员工工资的一般水平，这组数据的众数是2000元，才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平，原因是它符合多数人的工资水平． 【变式】公园里有一群游客正在做团体游戏，这群游客的年龄（单位：岁）如下：13，13，14，15，15，15，16，17，17．这群游客的平均年龄是_________岁，中位数是_________岁，众数是_________岁，其中能较好反映这群游客年龄特征的是_________． 【答案】 15 ， 15 ， 15 ， 众数. 【分析】根据平均数、中位数和众数的定义及其意义回答即可． 【详解】游客的平均年龄是(13+13+14+15+15+15+16+17+17)÷9=15岁，中位数是15岁，众数是15岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是：众数； 故答案为 15 ，15 ，15 ，众数. 题型05 读取箱线图五个统计量 【典例】如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区2025年3月有重度污染天气 B．该地区2025年3月的值比2月集中 C．该地区2025年2月的值比3月集中 D．从整体上看，该地区2025年2月的空气质量好于3月 【答案】B 【分析】本题考查统计图表的认识，读懂统计图表是解题基础．属于基础题．根据统计图中数据，结合各选项逐一判断即可得． 【详解】解：A、该地区2025年3月值超过，有重度污染天气，故A正确，不符合题意； B、该地区2025年2月的值比3月集中，故B错误，符合题意； C、该地区2025年2月的值比3月集中，故C正确，不符合题意； D、从整体上看，该地区2025年2月的空气质量好于3月，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【变式】已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的下四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解∶A．观察箱线图知∶二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知∶ 一班成绩的下四分位数是80分，故原说法正确； C．观察箱线图知∶ 一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知∶ 一班的平均分低于二班的平均分， 故原说法错误； 故选∶B． 题型06 两组箱线图对比综合大题 【典例】已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱线图如图所示．判断A，B两个班级平均分较高的是哪个班级． 【答案】B班的平均分较高． 【分析】本题主要考查了箱线图的应用，熟练掌握箱线图中各统计量（分位数、最值等）的意义是解题的关键．通过观察两个班级成绩箱线图中各分位数（上四分位数、下四分位数）以及最低分的情况，来比较两个班级的平均分高低． 【详解】解：由两个班级的成绩箱线图可知， A班的上四分位数与B班的中位数一致，均为120， B班的下四分位数大于A班的下四分位数， B班的最低分也大于A班的最低分， 所以B班的平均分较高． 【变式】[定义]把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则称，，为这组数据的四分位数． [应用]甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数，，； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． [理解]根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】（1），，； （2）如图所示： ； [理解]：根据箱线图和对四分位数的理解，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中． 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据“四分位数”的定义解答即可； （2）根据甲组的四分位数即可绘制箱线图，根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】解：（1）把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 故，，； （2）略 [理解]：根据箱线图和对四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中．（答案不唯一） 【巩固训练】 1．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如图统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（    ） A．平均数是8 B．众数是11 C．中位数是2 D．极差是10 【答案】A 【分析】根据统计图，分别求出平均数，众数，中位数，极差，即可得到答案． 【详解】根据条形统计图可知，平均数：(7+2+13+11+7)÷5=8，众数：7，中位数：7，极差：11， 故选A． 2．下面的统计图是随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况绘制而成，下列说法正确的是（   ） A．这20个家庭的年平均收入为2.15万元 B．这组数据的中位数是1.15万元 C．这组数据的众数是1.3万元 D．这组数据的众数是5个 【答案】C 【详解】试题解析：A.根据图示可知：平均收入为： （1×0.6+1×0.9+2×1.0+3×1.1+4×1.2+5×1.3+3×1.4+1×1.7）÷20 =24÷20 =1.2（万元）．故选项A错误； B.把这20个数据按大小顺序排列，处在最中间的是第10和第11个数据，即1.2万元、1.2万元，故这组数据的中位数是1.2万元，故选项B错误； C.在这组数据中，1.3万元出现5次，出现次数最多，因此1.3万元是这组数据的众数，故选项C正确. D. 在这组数据中，1.3万元出现5次，出现次数最多，因此1.5万元是这组数据的众数，故选项D错误. 故选C. 3．位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是______，最喜欢的是______． 【答案】 平均数 众数 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．根据平均数、中位数、众数的意义分析判断． 【详解】解：平均数体现平均水平；众数体现数据的最集中的一点，故鞋店老板最不喜欢的是平均数，最喜欢的是众数． 故填平均数；众数． 4．某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为__________． 【答案】35 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 根据众数、中位数的定义分别进行解答，即可求出答案． 【详解】解：∵一组数据37，a，32，36，37，32，38，34的众数为32， ∴， 把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，所以这组数据的中位数为， 故答案为：35． 5．一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款的各种尺码鞋销售量如图所示．鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为________的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是________．    【答案】 众数 【分析】根据销售量统计图知，尺码为的该款运动鞋销量最多， 因而应多进些，这是众数的影响，因而可作出判断． 【详解】解：由于尺码为的该款运动鞋销量最多，因而下一次进货时增加一些尺码为的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是众数． 故答案为：，众数． 【点睛】本题考查了众数这一统计量，一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，众数反映一组数据的集中趋势． 6．已知一组数据：a、3、4、5、6的平均数为5，则这组数据的中位数是 ___ ． 【答案】5 【分析】本题考查了平均数和中位数的意义．根据平均数的定义先算出的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 【详解】解：∵这组数据的平均数为5， 则， 解得：， 将这组数据从小到大重新排列为：3，4，5，6，7， 观察数据可知最中间的数是5， 则中位数是5． 故答案为：5． 7．在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为______． 【答案】10 【分析】本题主要考查众数和中位数，先根据众数的定义得出，再根据中位数的定义求解即可．解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 【详解】解：∵数据13，9，，11，7，11，8，9的唯一众数为11， ∴， 则这组数据为：7，8，9，9，11，11，11，13， 所以这组数据的中位数为， 故答案为：10． 8．某企业生产部负责人为了合理制定产品的每天生产定额，统计了20名工人某天的生产零件个数，并绘制成如图所示的折线统计图，为了让一半以上的工人能完成，定额又尽量多，那么每人每天生产定额应定为___________个．    【答案】 【分析】本题考查的是从折线统计图中获取信息，理解折线图的含义是解本题的关键． 【详解】解：由折线图得，第10，11个数据个，个， ∴中位数为， 而完成个（含个）以上的人数有（个） ∴每人每天生产定额应定为54个．因为这个数值，一半以上的工人能完成． 故答案为：54． 9．一组数据1，2，a的平均数为2，另一组数据-2，a，2，1，b的众数为-2，则数据-2，a，2，1，b的中位数为________． 【答案】1 【分析】先根据平均数求得a的值，再根据众数求得b的值，最后根据中位数的定义求解即可． 【详解】因为一组数据1，2，a的平均数为2， 所以，解得． 因为数据-2，3，2，1，b的众数为-2，所以， 所以把数据-2，3，2，1，-2，按从小到大的顺序排列为-2，-2，1，2，3， 所以中位数为1． 故答案为1. 10．某校九年级同学小丽期中考试成绩分数别是：130，85，96，78，90，88，73，则这组数据的中位数是_______． 【答案】88 【解析】根据中位数的定义进行解答，将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的数即可． 【详解】把130，85，96，78，90，88，73从小到大排列为73，78，85，88，90，96，130， 最中间的数的是88， 则这组数据的中位数是88； 故答案为：88． 【强化训练】 1．一组数据1，2，2，x，4，4的唯一的众数是2，则这组数据的下四分位数是______． 【答案】2 【分析】本题考查了众数和中位数．由众数的定义，得到，然后根据下四分位数的定义求解即可． 【详解】解∶∵数据1，2，2，x，4，4的唯一的众数是2， ∴， ∴数据为1，2，2，2，4，4，共6个数， ， ∵第3个数2， ∴这组数据的下四分位数为2， 故答案为∶2． 2．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，________班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】根据箱线图，第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，解答即可． 本题考查了箱线图，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大，故最高的是丙班． 故答案为：丙． 3．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【答案】(1)128；128 (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学 (3)甲班平均分较高 【分析】本题考查箱线图的相关知识，涉及平均数，中位数，上四分位数，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键．四分位数应用于统计学的箱线图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱线图中“箱体”的下底边对应数据为下四分位数，上底边对应数据为上四分位数，中间的线对应中位数． （1）根据箱线图得到学生分数的大致分布情况，即可得出答案； （2）根据箱线图的定义解答即可； （3）根据箱线图得到学生分数在128分以上的大致情况，即可作出判断． 【详解】（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 4．某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：）如下： A：4.77  3.98  4.88  4.89  2.15  3.85  3.64  3.21  3.18  2.02  4.11  4.10 B：3.18  3.84  3.99  3.67  3.40  3.60  4.10  4.21  4.15  4.44  3.87  3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：） 团队 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b    请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中______，______； (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 【答案】(1)3.635，4.125 (2) 如图所示， 通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等， 故可知两个团队的经营效益基本一样， 但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动大， 即团队B的经营水平更稳健， 故对于稳健型的投资者， 选择团队B的理财产品更合适． 【分析】（1）首先将B团队负责经营12项理财产品收益率从小到大排列，然后根据和的定义求解即可； （2）作出图形，根据数据分析即可． 【详解】（1）B团队负责经营12项理财产品收益率从小到大排列为： ∴3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44     ∴a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数 ∴，； （2）略 5．某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的下四分位数、中位数、上四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 【答案】(1)下四分位数是70，中位数是90，上四分位数是96 (2) 甲组的箱线图如答图： (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中． 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出下四分位数，中位数，上四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 下四分位数是70 中位数是 上四分位数是96 （2）略 （3）略 6．某区教育局对本区教师个人的每学期绩效工资进行抽样问卷调查，并将调查结果整理后制作了如下不完整的统计图表： 某区教师个人绩效工资统计表 分组 个人学期绩效工资x（元） 频数（人） 频率 A x≤2000 18 0.15 B 2000＜x≤4000 a b C 4000＜x≤6000 D 6000＜x≤8000 24 0.20 E x＞8000 12 0.10 合计 c 1.00 根据以上图表中信息回答下列问题： （1）直接写出结果a= ；b= ；c= ；并将统计图表补充完整； （2）教师个人的每学期绩效工资的中位数出现在第 组； （3）已知该区共有教师5000人，请你估计教师个人每学期绩效工资在6000元以上（不含6000元）的人数． 【答案】（1）36，0.36,120；（2）C（3）1500 【详解】试题分析：（1）利用A组的频数与频率可计算出调查的总人数C的值，再利用频数分布直方图得到a的值，则用a除以c可得到b的值，然后计算出C组的频数后补全统计图； （2）根据中位数定义求解； （3）利用样本估计总体，用5000乘以样本中D组和E组的频率和即可． 试题解析：（1）c=18÷0.15=120， a=36，b=36÷120=0.30； C组的人数为120﹣18﹣36﹣24﹣12=30（人） 如图， （2）教师个人的每学期绩效工资的中位数出现在第C组； （3）5000×（0.20+0.10）=1500， 所以估计教师个人每学期绩效工资在6000元以上（不含6000元）的人数为1500人． 7．为了解学生参加户外活动的情况，和谐中学对学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题： （1）求被抽样调查的学生有多少人？并补全条形统计图； （2）每天户外活动时间的中位数是 小时？ （3）该校共有1850名学生，请估计该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人？ 【答案】（1）被调查的学生有500人， 补全的条形统计图如下图所示， （2）1；（3）该校每天户外活动时间超过1小时的学生有740人． 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得被调查学生总数和1.5小时的学生数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图可以得到这组数据的中位数； （3）根据条形统计图可以求得校共有1850名学生，该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人． 【详解】解：（1）由条形统计图和扇形统计图可得， 0.5小时的有100人占被调查总人数的20%， 故被调查的人数有：100÷20%=500， 1.5小时的人数有：500﹣100﹣200﹣80=120， （2）由（1）可知被调查学生500人，第250个数据和第251个数据都在1小时的条形内，故中位数是1小时， 故答案为：1； （3）由题意可得， 该校每天户外活动时间超过1小时的学生数为：=740人， 即该校每天户外活动时间超过1小时的学生有740人． 8．某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（1）班的20名男生进行了调查，结果如图所示． （1）写出这20个数据的平均数、中位数、众数； （2）在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是哪一个？ 【答案】（1）平均数为39.1码，中位数为39码，众数为40码；（2）鞋厂最感兴趣的是众数 【分析】（1）根据平均数、众数与中位数的定义求解分析．40出现的次数最多为众数，第10、11个数的平均数为中位数． （2）鞋厂最感兴趣的是使用的人数，即众数． 【详解】解：（1）平均数＝（37×3＋38×4＋39×4＋40×7＋41×1＋42×1）÷20＝39.1． 观察图表可知：有7人的鞋号为40，人数最多，即众数是40； 中位数是第10、11人的平均数，（39+39）÷2＝39， 故答案为：平均数为39.1码，中位数为39码，众数为40码； （2）鞋厂最感兴趣的是使用的人数，即众数， 故答案为：鞋厂最感兴趣的是众数． 9．学校组织“四大名著”知识竞赛，每班派20名同学参加，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现将八年级1班和2班的成绩整理如下： (1)填写表格； 班级 平均数 众数 中位数 八年级1班 ______分 90分 ______分 八年级2班 92分 ______分 90分 (2)结合（1）中的统计量，你认为哪个班级的竞赛成绩更加优秀？请说明理由． 【答案】(1)90，90，100； (2)2班的竞赛成绩更加优秀. 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的计算方法分别进行计算，即可得出答案； （2）从平均数、众数、中位数方面进行分析，即可得出答案． 【详解】（1）（1）八1班的平均数为：（分） 因为共有20个数，把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数， 则中位数是(分)， 因为八2班A级人数所占的比例比较大，所以2班的众数是100分； 故答案为：90，90，100； （2）解：因为1班、2班的中位数相等，但从平均数和众数两方面来分析，2班比1班的成绩更加优秀， 所以2班的竞赛成绩更加优秀． 10．某校九年级有400名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻炼方法，并在全年级实施．为了检验此方法的锻炼效果，在应用此方法锻炼前，随机抽取了20名学生进行了第一次测试，在应用此方法锻炼一段时间后，又对这20名同学进行了第二次测试，获得了他们的成绩（满分3分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，给出如下信息： a．表1第一次测试成绩统计表 分组/分 人数 1 1 9 3 b．第二次测试成绩统计图 c．第一次测试成绩在之间的数据是：15，16，17，17，18，18，19，19，19 d．第二次测试成绩在之间的数据是：17，19 e．表2两次测试成绩的平均数、中位数、众数汇总表 平均数 中位数 众数 第一次成绩 19.7 19 第二次成绩 25 26.5 28 请根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中，m的值等于______，表2中，n的值等于______； (2)若测试成绩大于或等于18分为及格，求第二次测试成绩的及格率； (3)该校九年级学生小明觉得体育教师自主开发的这套锻炼方法非常有效，请给出两条支持小明这一结论的理由． 【答案】(1)6，19 (2)90% (3)见解析 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出m和n的值； （2）根据b中的扇形统计图和e中的数据，可以计算出第二次体育测试成绩的及格率； （3）根据题意和题目中的信息，可以从平均数和中位数两个方面进行分析即可． 【详解】（1）解：解：m＝20﹣1﹣1﹣9﹣3＝6， 由a中的表格和d中的数据，可得n＝（19+19）÷2＝19， 故答案为：6，19； （2）解：由b中的扇形统计图和e中的数据可知， ， 答：第二次体育测试成绩的及格率是90%； （3）解：由题意可得体育教师自主开发的这套锻炼方法非常有效，两条理由是： ①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩提升了；②第二次测试成绩的中位数明显高于第一次的中位数，体育教师自主开发的这套锻炼方法，高分段学生明显增多了． 21 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 中位数与箱线图 1.理解中位数、众数的概念，能够熟练求一组数据的中位数与众数； 2.分清平均数、中位数、众数三者的区别，会根据实际场景选择合适统计量； 3.掌握四分位数概念，理解箱线图（box‑plot）五个关键统计量； 4.会读取箱线图信息，能绘制简单箱线图； 5.能够利用箱线图对比两组数据的集中趋势、离散程度，解决期末选择填空题。 一、中位数 把一组数据从小到大排序。 1.数据个数为奇数：取正中间那一个数，就是中位数。 2.数据个数为偶数：取中间两个数的算术平均数作为中位数。 中位数意义：把整组数据分成左右数量相等两部分，一半数据≤中位数，一半数据≥中位数。不受极端偏大、偏小数值干扰。 二、平均数、中位数、众数对比 1.平均数：用到全部数据，容易受极端值影响；反映整体平均水平。 2.中位数：只看排序中间位置，不受极端大、小值影响；反映中间水平。 3.众数：看出现频次，代表多数数据水平。 有极端异常数据的时候，优先用中位数描述整体水平，不用平均数。 三、四分位数（箱线图5个关键点） 实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 数据从小到大排序： 1.最小值（Min） 2.下四分位数 Q1：数据中，前一半数据的中位数 3.中位数 Q2：整组数据的中位数 4.上四分位数 Q3：后一半数据的中位数 5.最大值（Max） 箱线图由这5个数画出。 四分位距： IQR=Q3-Q1，代表中间50%数据波动范围，不受极端值影响。 4、 箱线图读图信息 1.箱体：Q1到Q3，包含中间50%的数据； 2.箱体中间竖线：中位数； 3.左右须线：分别延伸到最小值、最大值； 4.箱体越窄：中间一半数据越集中稳定；箱体越宽，中间数据波动大。 五、高频易错点 1.求中位数必须先从小到大排序，不直接拿原始中间位置数字； 2.偶数个数据，中位数是中间两数的平均值，不是随便取其中一个； 3.众数找数据，不是数出现多少次； 4.箱线图只能看分布，看不出每组数据具体个数； 5.四分位距IQR只看中间一半数据，不受最大最小极端值干扰。 题型01 求中位数（奇数个数据） 【典例】有一组数据：2，3，8，5，7，6，1其中的中位数是（　　） A．8 B．5 C．7 D．9 【变式】2021年世园会在中国西安举行，吉祥物“长安花”（如图）将组织带领一大堆志愿者们为参观者服务，．这组数据的中位数是（　　）. A．28 B．31 C．32 D．33 题型02 求中位数（偶数个数据） 【典例】某校六个年级举行的“爱成都 迎大运”知识比赛中，各年级得分（单位：分）如下：98，94，98，97，94，96，则各年级得分的中位数是（    ） A．96分 B．97分 C．96.5分 D．98分 【变式】某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 人数/名 则这10名学生决赛成绩的中位数是（    ） A． B． C． D． 题型03 求众数 【典例】一组数据1，2，3，5，3，4，10的极差、众数分别是（    ） A．3，3 B．9，3 C．5，4 D．6，10 【变式】今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：那么这20名同学年龄的众数和中位数分别是（　　） 年龄（岁） 12 13 14 15 16 人数 1 4 3 7 5 A．15，14 B．15，15 C．16，14 D．16，15 题型04 平均数、中位数、众数综合辨析 【典例】某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示： 人 员 经理 会计 厨师 服务员1 服务员2 勤杂工 月工资（元） 6000 3000 4000 2000 2000 1000 （1）酒店所有员工的平均月工资是多少元？中位数、众数各是多少？ （2）平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由．若不能，如何才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的看法． 【变式】公园里有一群游客正在做团体游戏，这群游客的年龄（单位：岁）如下：13，13，14，15，15，15，16，17，17．这群游客的平均年龄是_________岁，中位数是_________岁，众数是_________岁，其中能较好反映这群游客年龄特征的是_________． 题型05 读取箱线图五个统计量 【典例】如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数箱线图．值越小，空气质量越好；值在之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（    ） A．该地区2025年3月有重度污染天气 B．该地区2025年3月的值比2月集中 C．该地区2025年2月的值比3月集中 D．从整体上看，该地区2025年2月的空气质量好于3月 【变式】已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的下四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 题型06 两组箱线图对比综合大题 【典例】已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱线图如图所示．判断A，B两个班级平均分较高的是哪个班级． 【变式】[定义]把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则称，，为这组数据的四分位数． [应用]甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数，，； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． [理解]根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【巩固训练】 1．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如图统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（    ） A．平均数是8 B．众数是11 C．中位数是2 D．极差是10 2．下面的统计图是随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况绘制而成，下列说法正确的是（   ） A．这20个家庭的年平均收入为2.15万元 B．这组数据的中位数是1.15万元 C．这组数据的众数是1.3万元 D．这组数据的众数是5个 3．位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是______，最喜欢的是______． 4．某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为__________． 5．一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋30双，该款的各种尺码鞋销售量如图所示．鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为________的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是________．    6．已知一组数据：a、3、4、5、6的平均数为5，则这组数据的中位数是 ___ ． 7．在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为______． 8．某企业生产部负责人为了合理制定产品的每天生产定额，统计了20名工人某天的生产零件个数，并绘制成如图所示的折线统计图，为了让一半以上的工人能完成，定额又尽量多，那么每人每天生产定额应定为___________个．    9．一组数据1，2，a的平均数为2，另一组数据-2，a，2，1，b的众数为-2，则数据-2，a，2，1，b的中位数为________． 10．某校九年级同学小丽期中考试成绩分数别是：130，85，96，78，90，88，73，则这组数据的中位数是_______． 【强化训练】 1．一组数据1，2，2，x，4，4的唯一的众数是2，则这组数据的下四分位数是______． 2．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，________班的分数最高．（填“甲”“乙”或“丙”） 3．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 4．某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：）如下： A：4.77  3.98  4.88  4.89  2.15  3.85  3.64  3.21  3.18  2.02  4.11  4.10 B：3.18  3.84  3.99  3.67  3.40  3.60  4.10  4.21  4.15  4.44  3.87  3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：） 团队 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b    请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中______，______； (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 5．某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的下四分位数、中位数、上四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 6．某区教育局对本区教师个人的每学期绩效工资进行抽样问卷调查，并将调查结果整理后制作了如下不完整的统计图表： 某区教师个人绩效工资统计表 分组 个人学期绩效工资x（元） 频数（人） 频率 A x≤2000 18 0.15 B 2000＜x≤4000 a b C 4000＜x≤6000 D 6000＜x≤8000 24 0.20 E x＞8000 12 0.10 合计 c 1.00 根据以上图表中信息回答下列问题： （1）直接写出结果a= ；b= ；c= ；并将统计图表补充完整； （2）教师个人的每学期绩效工资的中位数出现在第 组； （3）已知该区共有教师5000人，请你估计教师个人每学期绩效工资在6000元以上（不含6000元）的人数． 7．为了解学生参加户外活动的情况，和谐中学对学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题： （1）求被抽样调查的学生有多少人？并补全条形统计图； （2）每天户外活动时间的中位数是 小时？ （3）该校共有1850名学生，请估计该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人？ 8．某鞋厂为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，对某中学八年级（1）班的20名男生进行了调查，结果如图所示． （1）写出这20个数据的平均数、中位数、众数； （2）在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是哪一个？ 9．学校组织“四大名著”知识竞赛，每班派20名同学参加，成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现将八年级1班和2班的成绩整理如下： (1)填写表格； 班级 平均数 众数 中位数 八年级1班 ______分 90分 ______分 八年级2班 92分 ______分 90分 (2)结合（1）中的统计量，你认为哪个班级的竞赛成绩更加优秀？请说明理由． 10．某校九年级有400名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻炼方法，并在全年级实施．为了检验此方法的锻炼效果，在应用此方法锻炼前，随机抽取了20名学生进行了第一次测试，在应用此方法锻炼一段时间后，又对这20名同学进行了第二次测试，获得了他们的成绩（满分3分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，给出如下信息： a．表1第一次测试成绩统计表 分组/分 人数 1 1 9 3 b．第二次测试成绩统计图 c．第一次测试成绩在之间的数据是：15，16，17，17，18，18，19，19，19 d．第二次测试成绩在之间的数据是：17，19 e．表2两次测试成绩的平均数、中位数、众数汇总表 平均数 中位数 众数 第一次成绩 19.7 19 第二次成绩 25 26.5 28 请根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中，m的值等于______，表2中，n的值等于______； (2)若测试成绩大于或等于18分为及格，求第二次测试成绩的及格率； (3)该校九年级学生小明觉得体育教师自主开发的这套锻炼方法非常有效，请给出两条支持小明这一结论的理由． 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $