第4章 习题课(三) 函数零点的综合问题 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一课后习题（人教A版）

**基本信息** 分层设计清晰，从基础零点判断到综合参数讨论，通过选择、填空、解答题梯度递进，培养数学思维与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一函数零点个数判断|选择题1-3直接应用零点定义，强化概念理解| |提升层|含参数/复合函数零点问题|选择题4-6结合函数性质推理，填空题9-10考察运算能力| |综合层|多函数综合/分类讨论|多选题7-8、解答题12-13需分类讨论，体现数学思维的逻辑性与严谨性|

习题课(三)　函数零点的综合问题 一、选择题 1.函数f(x)=的零点的个数为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知方程组的两组解分别为和则+b= (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.函数y=0.5|x|-|log0.5x|的零点个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.[2025·武汉新高考联盟高一期末] 若函数f(x)=2ax2+8ax+1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围为 (　 ) A. B.∪{0} C.∪ D.∪∪{0} 5.[2025·福建厦门高一期末] 设函数f(x)=|x2-a|,g(x)=a|x|+1,若曲线y=f(x)与y=g(x)恰有3个交点,则a= (　 ) A.-1 B.1 C.-1或1 D.2 6.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 7.(多选题)若函数f(x)=恰有三个零点,则a的值可能为 (　 ) A.-1 B.6 C.1 D.2 8.(多选题)已知函数f(x)=x3-3x+2,下列说法正确的是 (　 ) A.(1,0)是f(x)的一个零点 B.f(x)在区间(-3,-1)内存在零点 C.g(x)=f(x)-+3x有两个零点 D.f(x)的零点个数与x3-3x+2=0的解的个数相等 二、填空题 9.设f(x)=|x2-2x|,则函数y=f(x)-2026的所有零点之和为　　　　.  10.已知函数f(x)=则函数g(x)=2[f(x)]2-3f(x)-2的零点个数为　　　　.  11.已知函数f(x)=|log2x|,若f(x1)=f(x2)(x1<x2),则4x1+x2的最小值为　　　　.  三、解答题 12.(13分)已知函数f(x)= (1)在图中作出函数f(x)的图象(直接作图,不需写出作图过程); (2)求函数y=4[f(x)]2-13f(x)+9的零点个数. 13.(15分)已知函数f(x)=2x+-1(a∈R). (1)若f(x)为偶函数,求a的值; (2)讨论f(x)的零点个数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 习题课(三)　函数零点的综合问题 1.C　[解析] 当x≤0时,由f(x)=0可得2x=1,解得x=0,即函数f(x)有零点0;当x>0时,由f(x)=0可得=2,解得x=,即函数f(x)有零点.综上可知,函数f(x)的零点的个数为2.故选C. 2.A　[解析] 因为方程组的两组解分别为和所以解得所以m=3,n=9,则+b=a3+1=2+1=3.故选A. 3.B　[解析] 函数y=0.5|x|-|log0.5x|的零点个数即为方程0.5|x|=|log0.5x|的根的个数,也就是函数f(x)=0.5|x|与g(x)=|log0.5x|的图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中,作出函数f(x)=0.5|x|与g(x)=|log0.5x|的图象,如图所示.由图可知,函数f(x)=0.5|x|与g(x)=|log0.5x|的图象的交点个数为2,所以函数y=0.5|x|-|log0.5x|的零点个数为2.故选B. 4.C　[解析] 当a=0时,f(x)=1,不满足题意;当a≠0时,f(x)=2ax2+8ax+1=2a(x+2)2-8a+1的图象是对称轴方程为x=-2的抛物线,所以函数f(x)在区间(-1,1)内单调,要使得函数f(x)在区间(-1,1)内恰有一个零点,需满足f(-1)f(1)<0,即(1-6a)(1+10a)<0,解得a>或a<-.故选C. 5.B　[解析] 易知函数f(x),g(x)均为偶函数,除对称轴x=0处以外两偶函数图象的交点成对出现,由曲线y=f(x)与y=g(x)恰有3个交点可知,f(0)=g(0),即|a|=1,解得a=-1或1.当a=-1时,f(x)=|x2+1|,g(x)=-|x|+1,作出两函数的图象,如图①,由图可知恰有1个交点,不符合题意;当a=1时,f(x)=|x2-1|,g(x)=|x|+1,作出两函数的图象,如图②,由图可知符合题意.故选B. 6.B　[解析] 易知f(x)和h(x)均为R上的增函数,g(x)为(0,+∞)上的增函数.由h(x)=x3+x=0得x=0,∴c=0.由f(x)=2x+x=0得2x=-x,由g(x)=log2x+x=0得log2x=-x.在同一平面直角坐标系中,作出y=2x,y=log2x,y=-x的图象如图,由图可知a<0,b>0,∴b>c>a.故选B. 7.BCD　[解析] 当x≥0时,f(x)=x2-6x=x(x-6),函数f(x)有两个零点0和6,则当x<0时,f(x)=x+a有一个零点-a,所以-a<0,解得a>0,分析选项可知B,C,D均符合题意.故选BCD. 8.BD　[解析] 对于A,因为f(1)=13-3+2=0,所以x=1是f(x)的一个零点,即零点是一个数,不是一个点,故A错误;对于B,f(-3)=(-3)3-3×(-3)+2=-16<0,f(-1)=(-1)3-3×(-1)+2=4>0,则f(-3)f(-1)<0,故f(x)在区间(-3,-1)内存在零点,故B正确;对于C,g(x)=f(x)-+3x=x3-+2,由于y=x3在R上单调递增,y=-在R上单调递增,故g(x)在R上单调递增,又g(-1)=-1-3+2=-2<0,g(0)=1>0,故g(x)在(-1,0)内有唯一一个零点,即g(x)=f(x)-+3x有1个零点,故C错误;对于D,函数f(x)=x3-3x+2的零点即为x3-3x+2=0的解,故f(x)的零点个数与x3-3x+2=0的解的个数相等,故D正确.故选BD. 9.2　[解析] 由一元二次函数的图象和性质可知,函数f(x)=|x2-2x|的图象如图所示,根据图象可知y=f(x)-2026共有2个零点,且2个零点关于直线x=1对称,所以零点之和为2. 10.5　[解析] 令t=f(x),则由2t2-3t-2=(2t+1)(t-2)=0,解得t1=-,t2=2,即f(x)=-或f(x)=2.令x2+2x=-,解得x1=,x2=,又x1<0,x2<0,故x1,x2是函数g(x)的零点;令x2+2x=2,解得x3=-1+,x4=-1-,又x3>0,x4<0,故x4是函数g(x)的零点;令2x-2=-,解得x5=log2,又x5>0,故x5是函数g(x)的零点;令2x-2=2,解得x6=2,又x6>0,故x6是函数g(x)的零点.综上所述,g(x)的零点个数为5. 11.4　[解析] 作出函数f(x)=|log2x|的图象,如图所示.因为f(x1)=f(x2),且x1<x2,所以log2x1+log2x2=log2(x1x2)=0,可得x1x2=1,即x2=,且0<x1<1,则4x1+x2=4x1+≥2=4,当且仅当4x1=,即x1=时,等号成立,所以4x1+x2的最小值为4. 12.解:(1)函数f(x)的图象如图所示. (2)在方程4[f(x)]2-13f(x)+9=0中,令t=f(x),则4t2-13t+9=(t-1)(4t-9)=0,解得t=1或t=,即f(x)=1或f(x)=. 由f(x)的图象可知,直线y=与f(x)的图象有3个公共点,即f(x)=有3个不同的实数解;直线y=1与f(x)的图象有4个公共点, 即f(x)=1有4个不同的实数解. 综上所述,函数y=4[f(x)]2-13f(x)+9的零点个数为3+4=7. 13.解:(1)依题意,得f(-x)=f(x),即2x+-1=2-x+-1,即(a-1)(2x-2-x)=0恒成立,得a=1. (2)令f(x)=0,得a=-(2x)2+2x, 设t=2x,则a=-t2+t=-+(t>0), 因为函数y=-+在上单调递增,在上单调递减,且最大值为, 所以当a>时,f(x)无零点;当a=或a≤0时,f(x)有一个零点; 当0<a<时,f(x)有两个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $