第4章 习题课(二) 指数函数与对数函数的图象与性质 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一课后习题（人教A版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦指数函数与对数函数的图象与性质，分层梯度清晰，从概念理解到综合应用再到拓展创新，适配新授课知识巩固需求，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义域、单调性等单一知识点|选择1（定义域）、填空9（单调性判断），夯实概念理解| |中档|函数性质综合应用|选择6（不等式恒成立）、填空11（实际问题建模），提升推理能力| |提升|拓展创新与跨知识点综合|解答15（存在性问题）、填空12（对称中心探究），发展模型意识与创新思维|

习题课(二)　指数函数与对数函数的图象与性质 一、选择题 1.函数f(x)=的定义域为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.(2,+∞) C.∪(2,+∞) D.∪[2,+∞) 2.“<”是“log2a>log2b”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则f(x)=loga(-x+1)的图象为 (　 ) A B C D 4.设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递增,则a的取值范围是 (　 ) A.[-2,0) B.(-∞,0] C.(0,2] D.[2,+∞) 5.设a=log53,b=log85,c=e-ln 2,则 (　 ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 6.当x∈时,不等式8x≤+logax恒成立,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=lg(x≠0,x∈R)的性质进行了探究,得到下列四个说法,其中正确的说法有 (　 ) A.函数f(x)的图象关于y轴对称 B.当x>0时,f(x)单调递增,当x<0时,f(x)单调递减 C.函数f(x)的最小值是lg 2 D.函数f(x)的图象与直线x=2有四个交点 8.(多选题)[2025·福建三明一中高一月考] 已知2a+a=log2b+b=2,则 (　 ) A.ab<1 B.2a-b> C.log2a+log2b≥0 D.+>2 二、填空题 9.函数y=(3-a)x与y=lox在区间(0,+∞)上的单调性相同,则实数a的取值范围是　　　　.  10.[2025·广东广雅中学高一期中] 函数y=4x-3·2x+2+1(x∈(-∞,3])的值域是　　　　.  11.已知海面上的大气压强是760 mmHg,大气压强P(单位:mmHg)和高度h(单位:m)之间的关系为P=760e-hk(e为自然对数的底数,k是常数),根据实验知500 m高空处的大气压强是700 mmHg,当A型直升机巡航高度为1300 m,B型直升机的巡航高度为800 m时,A型直升机所受的大气压强与B型直升机所受的大气压强的比值约为　　　　(精确到0.01).  12.[2025·湖南怀化高一期中] 我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=ln+2x,则函数y=f(x)的图象的对称中心为　　　　.  三、解答题 13.(13分)[2025·大连二十四中高一月考] 已知函数f(x)满足f(2x)=,其中a>0且a≠1. (1)求f(x)的解析式; (2)若a=2,求函数y=的定义域; (3)讨论f(x)的值域. 14.(15分)如图,过函数f(x)=logcx(c>1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a,0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=logmx(m>c>1)的图象交于点C,且AC垂直于y轴. (1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值; (2)当b=a2时,求-的最大值. 15.(15分)已知非常数函数f(x)=lo是定义域为(-2,2)的奇函数. (1)求实数a,b的值; (2)判断并证明函数f(x)的单调性; (3)已知g(x)=m·4x-2x+2+3,且∀x1∈(1,2),∃x2∈[-1,1],f(x1)-g(x2)>-,求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 习题课(二)　指数函数与对数函数的图象与性质 1.C　[解析] 由题意知 解得0<x<或x>2,故选C. 2.C　[解析] 由<可得a>b,当a>b时,log2a>log2b不一定成立;反之,由log2a>log2b可得a>b>0,当a>b>0时,<一定成立.所以“<”是“log2a>log2b”的必要不充分条件.故选C. 3.D　[解析] 由已知得a=3,所以f(x)=log3(-x+1),则f(0)=0,排除A,B;f(-2)=1,排除C.故选D. 4.B　[解析] 函数y=2x在R上单调递增,又函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递增,所以函数y=x(x-a)=-在区间(0,1)上单调递增,所以≤0,解得a≤0.故选B. 5.D　[解析] 依题意,a=log53>log5=,b=log85>log8(2)=,c=e-ln 2=,又==log53log58<=<1,所以b>a>=c.故选D. 6.B　[解析] 不等式8x≤+logax变形为8x-logax≤.当a>1时,令x=,则8x-logax=2-loga=2+loga3>2,此时原不等式不成立;当0<a<1时,令f(x)=8x-logax,x∈.由y=8x在上单调递增,y=logax在上单调递减,得f(x)=8x-logax在上单调递增,故当x=时,f(x)取得最大值f=2-loga.由2-loga≤,可得a≥,所以≤a<1.故选B. 7.AC　[解析] f(x)=lg(x≠0,x∈R)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且满足f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;当x>0时,f(x)=lg=lg,易知y=x+在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,又f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,故B不正确;当x>0时,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),又f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值是lg 2,故C正确;由函数定义可得,函数f(x)的图象与直线x=2不可能有四个交点,故D不正确.故选AC. 8.ABD　[解析] ∵2a+a=log2b+b=2,∴2a=2-a,log2b=2-b,则a,b分别为函数y=2x,y=log2x与y=2-x图象交点的横坐标,而函数y=2x,y=log2x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,在同一坐标系中画出y=2x,y=log2x与y=2-x的图象,如图.由图可知,点A(a,2a)与B(b,log2b)关于直线y=x对称,直线y=x与直线y=2-x的交点坐标为(1,1),∴a>0,b>0,a≠b,a+b=2,∴ab<=1,A正确;∵b=2-a,∴2a-b=2a-(2-a)=22a-2>2-2=,B正确;log2a+log2b=log2(ab)<log21=0,C错误;+=(a+b)=>=2,D正确.故选ABD. 9.(2,3)　[解析] 因为y=lox在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=(3-a)x与y=lox在区间(0,+∞)上的单调性相同,所以0<3-a<1,解得2<a<3,所以实数a的取值范围为(2,3). 10.[-35,1)　[解析] 令t=2x,因为x∈(-∞,3],所以t∈(0,8],则4x-3·2x+2+1=t2-12t+1.令g(t)=t2-12t+1=(t-6)2-35,t∈(0,8],所以当t=6时,g(t)取得最小值,且g(t)min=-35,又g(0)=1,g(8)=-31,所以g(t)∈[-35,1),即函数y=4x-3·2x+2+1(x∈(-∞,3])的值域是[-35,1). 11.0.92　[解析] 依题意得700=760e-500k,即e-500k==.A型直升机所受的大气压强P1=760e-1300k,B型直升机所受的大气压强P2=760e-800k,所以==e-500k=≈0.92,所以A型直升机所受的大气压强与B型直升机所受的大气压强的比值约为0.92. 12.(2,4)　[解析] 由>0,得x(x-4)<0,解得0<x<4,∴函数f(x)=ln+2x的定义域为(0,4).令g(x)=f(x+2)-4=ln+2x,由0<x+2<4得-2<x<2,∴函数g(x)的定义域为(-2,2),关于原点对称,又g(-x)=ln-2x=-ln-2x=-g(x),∴g(x)=f(x+2)-4是奇函数,∴函数y=f(x)的图象的对称中心为(2,4). 13.解:(1)∵f(2x)==, ∴f(x)=(a>0且a≠1). (2)当a=2时,f(x)=,则y==, 由-≥0,得x-x2≥-2,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2, ∴函数y=的定义域为[-1,2]. (3)f(x)=(a>0且a≠1),且y=x-x2=-+≤, 当a>1时,y=ax在R上单调递增, ∴f(x)=≤,故f(x)的值域为(0,]; 当0<a<1时,y=ax在R上单调递减,∴f(x)=≥,故f(x)的值域为[,+∞). 综上,当a>1时,f(x)的值域为(0,];当0<a<1时,f(x)的值域为[,+∞). 14.解:(1)由题意得A(2,log32),B(4,log34),C(4,logm4). 因为AC垂直于y轴, 所以logm4=log32,所以m=9. (2)由题意得A(a,logca),B(b,logcb),C(b,logmb). 因为AC垂直于y轴, 所以logmb=logca, 又b=a2,所以m=c2,所以-=-=-+1,所以当=1时,-取得最大值1. 15.解:(1)函数f(x)为定义在(-2,2)上的奇函数, 则f(-x)+f(x)=0,且f(0)=0, 即lo+lo=0,整理得lo=0, 即a2-x2=4-b2x2, 故解得 当a=-2,b=-1时,f(x)=lo,此时函数f(x)在x=0处无意义,舍去; 当a=-2,b=1时,=-1,函数f(x)无意义,舍去; 当a=2,b=-1时,=1,函数f(x)为常数函数,不符合要求,舍去; 当a=2,b=1时,f(x)=lo=log9,定义域为(-2,2),符合题意. 所以a=2,b=1. (2)由(1)知,f(x)=log9=log9,函数y=-1在(-2,2)上单调递增, 且函数y=log9x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(-2,2)上单调递增.证明如下: ∀x3,x4∈(-2,2),x3<x4, 则4>2-x3>2-x4>0,所以1<<, 所以0<-1<-1,而函数y=log9x在(0,+∞)上单调递增, 所以log9<log9,即f(x3)<f(x4), 所以函数f(x)在(-2,2)上单调递增. (3)由(2)知,函数f(x)在(1,2)上单调递增, 则∀x∈(1,2),f(x)>f(1)=. 由∀x1∈(1,2),∃x2∈[-1,1],f(x1)-g(x2)>-,即f(x1)>g(x2)-,得≥g(x2)-, 故∃x∈[-1,1],g(x)≤1,即m·4x-2x+2+3≤1,即m≤-, 当x∈[-1,1]时,≤2x≤2, 故≤≤2, 故-=-2+2≤2, 当且仅当x=0时取等号,所以m≤2,所以m的取值范围是(-∞,2]. 学科网（北京）股份有限公司 $