第2章 习题课(一) 不等式恒成立、能成立问题 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一课后习题（人教A版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦不等式恒成立、能成立问题，分层清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，适配课时教学，培养数学抽象、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一恒成立问题解法|直接应用二次不等式判别式（如1题）| |进阶|参数与不等式综合|结合定义域与基本不等式（如11题）| |提高|多参数跨知识点应用|含创新情境与多维度推理（如15题）|

习题课(一)　不等式恒成立、能成立问题 1.B　[解析] ∵不等式2x2+2kx+3k>0对一切实数x都成立,∴Δ=(2k)2-4×2×3k<0,解得0<k<6.故选B. 2.C　[解析] 由题意可得,“∀-1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题,即ax2-(2a-1)x+3-a=(x2-2x-1)a+x+3≥0对-1≤a≤3恒成立,则 解得-1≤x≤0或≤x≤4,即实数x的取值范围为-1≤x≤0或≤x≤4.故选C. 3.C　[解析] 由x2+(4-a)x+9≥0,得a≤x++4对任意的x>1恒成立.因为x++4≥2+4=10,当且仅当x=,即x=3时,等号成立,所以a≤10,即a的最大值为10.故选C. 4.C　[解析] 因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以≥2,即4x-m≥2(x2-2x+3),即-m≥2(x2-4x+3),所以“存在x∈R,使得不等式≥2成立”转化为“-m大于或等于2(x2-4x+3)的最小值”.因为2(x2-4x+3)=2(x-2)2-2≥-2,当且仅当x=2时取等号,所以-m≥-2,即m≤2.故选C. 5.C　[解析] ∵x>0,y>0,a>0,∴(ax+y)=a+1++≥a+1+2=(+1)2(当且仅当=时取等号),又∵(ax+y)≤9有解,∴(+1)2≤9,可得0<a≤4.故选C. 6.B　[解析] 原命题为假命题等价于其否定“∃x∈{x|1≤x≤2},x2-ax+1≥0”为真命题,所以a≤,1≤x≤2.y==x+在1≤x≤2时随着x的增大而增大,且当x=2时,函数y==x+取得最大值,则a≤,又{a|a≤2}⫋,所以“∀x∈{x|1≤x≤2},x2-ax+1<0”为假命题的一个充分不必要条件是a≤2.故选B. 7.C　[解析] 对于函数y=x2-(2a+1)x+1,Δ=(2a+1)2-4.①令Δ=(2a+1)2-4≤0,即-≤a≤,满足y=x2-(2a+1)x+1≥0恒成立,因此,只需2a≤0,即a≤0,所以-≤a≤0.②令Δ=(2a+1)2-4>0,即a>或a<-,设方程x2-(2a+1)x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=2a+1,x1x2=1.当a>时,方程x2-(2a+1)x+1=0有两个正根,存在x>0,使得(x-2a)[x2-(2a+1)x+1]<0,不符合题意,舍去;当a<-时,方程x2-(2a+1)x+1=0有两个负根,因此,只需2a≤0,即a≤0,所以a<-.综上所述,a的取值范围为a≤0.故选C. 8.AB　[解析] 由0<x≤2,ax2-2x+3a<0,可得a<,设y=,当0<x≤2时,y==≤==,当且仅当x=时取等号,所以a<,故A,B正确,C,D错误.故选AB. 9.BCD　[解析] 当k=1时,由2kx2+kx-=2x2+x-<0,解得-<x<,故A错误;若不等式对∀x∈R恒成立,则当k=0时,-<0恒成立,当k≠0时,2k<0,且Δ=k2-4×2k×<0,解得-3<k<0,综上,-3<k≤0,则整数k的取值集合为{-2,-1,0},故B正确;若不等式对0≤k≤1恒成立,则(2x2+x)k-<0对0≤k≤1恒成立,即解得-<x<,故C正确;若恰有一个整数x使得不等式成立,则k>0,令y=2kx2+kx-,因为-<0,且二次函数y=2kx2+kx-图象的对称轴方程为x=-=-,所以该整数解为x=0,结合二次函数y=2kx2+kx-的图象,可得解得k≥,故D正确.故选BCD. 10.0≤m≤　[解析] 由题意得mx2+4mx+3≥0恒成立,当m=0时,符合题意;当m≠0时,只需m>0且Δ=16m2-12m≤0,解得0<m≤.综上所述,0≤m≤. 11.6+2　[解析] 因为x>0,y>0,且x+y=1,所以由mxy≤4x+1=4x+x+y=5x+y,可得m≤=+,由基本不等式可得+=(x+y)=6++≥6+2=6+2,当且仅当即时,等号成立,所以+的最小值为6+2,则m≤6+2,故实数m的最大值为6+2. 12.m≥2　[解析] 由x2+ax-a2≥x-am+1,得x2+(a-1)x-a2+am-1≥0.由题意可得∃a>0,使得(a-1)2+4(a2-am+1)≤0成立,即∃a>0,使得m≥+-成立.因为+-≥2-=2,当且仅当a=1时等号成立,所以m≥2. 13.解:(1)由题意可知,方程(1-a)x2-4x+6=0的两根为-3,1,且1-a<0,即a>1, 则解得a=3.不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0,解得x>或x<-1,所以不等式2x2+(2-a)x-a>0的解集为. (2)由(1)知a=3,则一元二次不等式kx2-3x+k≤0的解集为R,若k=0,则-3x≤0不恒成立,不符合题意;若k≠0,则解得k≤-. 综上所述,k的取值范围是k≤-. 14.解:(1)当a=-3时,y=-3x2+4x+4,由y>0,得-3x2+4x+4>0,即3x2-4x-4<0, 整理得(3x+2)(x-2)<0,解得-<x<2,则不等式y>0的解集为. (2)不存在实数a符合题意,理由如下:由y=0,得ax2-(2a+2)x+4=0,若存在实数a使得方程y=0有两个不相等的实数根x1,x2,且+=1成立, 则a≠0,x1≠0,x2≠0,x1≠x2,由根与系数的关系得 由+=1,得=1,则=1,解得a=1, 此时方程为x2-4x+4=0,即(x-2)2=0,解得x1=x2=2,矛盾, 故不存在实数a符合题意. (3)由y>-(x2+2),得ax2-(2a+2)x+4>-(x2+2),整理得(a+1)x2-(2a+2)x+6>0, 当a+1=0,即a=-1时,不等式为6>0,此时不等式恒成立,符合题意; 当a+1≠0,即a≠-1时,由不等式的解集是R, 得解得-1<a<5.综上所述,实数a的取值范围为-1≤a<5. 15.解:(1)由y=mx2-mx-6+m<m-x-5,化简得mx2+(1-m)x-1<0,即(mx+1)(x-1)<0, 当m=0时,不等式可化为x-1<0,解得x<1;当m>0时,不等式可化为(x-1)<0,解得-<x<1;当-1<m<0时,不等式可化为(x-1)>0,解得x<1或x>-; 当m=-1时,不等式可化为(x-1)2>0,解得x≠1;当m<-1时,不等式可化为(x-1)>0,解得x>1或x<-. 综上所述,当m<-1时,原不等式的解集为; 当m=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1};当-1<m<0时,原不等式的解集为; 当m=0时,原不等式的解集为{x|x<1};当m>0时,原不等式的解集为. (2)由题意知y=mx2-mx-6+m=m(x2-x+1)-6<0在1≤x≤3时恒成立,即m(x2-x+1)<6在1≤x≤3时恒成立, 因为当1≤x≤3时,1≤x2-x+1≤7,所以有m<在1≤x≤3时恒成立. 令y=,1≤x≤3,则y=≥,即ymin=, 若m<在1≤x≤3时恒成立,则m<ymin,即m<,故实数m的取值范围为m<. (3)y=mx2-mx-6+m=m(x2-x+1)-6,则y是关于m的一次函数,且一次项系数为x2-x+1=+>0,由题意得2(x2-x+1)-6<0,解得-1<x<2, 故实数x的取值范围为-1<x<2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 习题课(一)　不等式恒成立、能成立问题 一、选择题 1.若不等式2x2+2kx+3k>0对一切实数x都成立,则k的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0≤k≤6 B.0<k<6 C.-6<k<0 D.k<0或k>6 2.若“∃-1≤a≤3,ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x的取值范围为 (　 ) A.-1≤x≤4 B.0≤x≤ C.-1≤x≤0或≤x≤4 D.-1≤x<0或<x≤4 3.若对任意x>1,关于x的不等式x2+(4-a)x+9≥0恒成立,则a的最大值为 (　 ) A.13 B.12 C.10 D.9 4.若存在x∈R,使得不等式≥2成立,则实数m的取值范围为 (　 ) A.m≥2 B.m<0 C.m≤2 D.m<2 5.[2026·厦门双十中学高一期中] 设x>0,y>0,且不等式(ax+y)≤9有解,则正实数a的取值范围是 (　 ) A.a≥4 B.0<a≤2 C.0<a≤4 D.a≥2 6.“∀x∈{x|1≤x≤2},x2-ax+1<0”为假命题的一个充分不必要条件是 (　 ) A.a≥2 B.a≤2 C.a≤3 D.a>3 7.已知关于x的不等式(x-2a)[x2-(2a+1)x+1]≥0对任意x>0恒成立,则实数a的取值范围是 (　 ) A.-≤a≤0 B.-≤a≤ C.a≤0 D.a<- 8.(多选题)已知关于x的不等式ax2-2x+3a<0在0<x≤2时有解,则实数a的取值可能是 (　 ) A.-3 B.-2 C.1 D.2 9.(多选题)已知不等式2kx2+kx-<0,下列说法正确的是 (　 ) A.若k=1,则不等式的解集为 B.若不等式对∀x∈R恒成立,则整数k的取值集合为{-2,-1,0} C.若不等式对0≤k≤1恒成立,则实数x的取值范围是-<x< D.若恰有一个整数x使得不等式成立,则实数k的取值范围是k≥ 二、填空题 10.若函数y=中x的取值范围为R,则m的取值范围是　　　　.  11.[2026·南京七校高一期中] 已知x>0,y>0,且x+y=1,若4x+1≥mxy恒成立,则实数m的最大值为　　　　.  12.若对∀x∈R,∃a>0,使得x2+ax-a2≥x-am+1成立,则实数m的取值范围为　　　　.  三、解答题 13.(13分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}. (1)求a的值,并求不等式2x2+(2-a)x-a>0的解集; (2)若关于x的一元二次不等式kx2-ax+k≤0的解集为R,求k的取值范围. 14.(15分)已知函数y=ax2-(2a+2)x+4. (1)若a=-3,求不等式y>0的解集. (2)是否存在实数a,使得方程y=0有两个不相等的实数根x1,x2,且+=1成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. (3)若关于x的不等式y>-(x2+2)的解集是R,求实数a的取值范围. 15.(15分)设y=mx2-mx-6+m. (1)解关于x的不等式y<m-x-5(m∈R); (2)若对于任意1≤x≤3,y<0恒成立,求实数m的取值范围; (3)若对于任意-2≤m≤2,y<0恒成立,求实数x的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $