专题03 基本不等式中必考七类最值问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，系统构建直接法、配凑法等七类解题方法，形成概念-模型-应用的完整逻辑链，培养数学思维与问题求解能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接法|6题|直接应用基本不等式，验证“三条件”|从基本不等式定义到直接应用，强化条件意识| |配凑法|6题|配凑“和定”或“积定”结构|通过代数式变形，深化对模型的理解| |“1”的代换|6题|常数代换转化为乘积形式|建立已知和与目标分式的逻辑联系| |消元法|6题|减少变量，构造可应用不等式的形式|体现变量关系转化的数学思维| |换元法|6题|整体代换简化根式或高次式|培养数学抽象与转化能力| |齐次化|6题|转化为齐次式后应用不等式|强化代数式结构分析能力| |多次使用|6题|分步应用不等式，注意等号条件|提升复杂问题的逻辑推理能力|

专题03 基本不等式中必考七类最值问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 直接法求最值】 2 【类型2 配凑法求最值】 4 【类型3 巧用“1”的代换求最值】 7 【类型4 消元法求最值】 11 【类型5 换元法求最值】 14 【类型6 齐次化求最值】 18 【类型7 多次使用基本不等式求最值】 21 知识点1 利用基本不等式求最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. (5)换元法：当遇到含根式或高次幂的代数式（形如，)时，常常用到换元法；换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子；在换元时，要注意新元的取值范围. 【类型1 直接法求最值】 1．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【解题思路】直接根据基本不等式求解. 【解答过程】由于，根据基本不等式， 当且仅当，即时取得等号，故最小值是. 故选：C. 2．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式可求最大值. 【解答过程】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 3．（多选）（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列结论证明的有（   ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解题思路】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【解答过程】对于A，当时，，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，时，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，则，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，，当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：AD. 4．（25-26高一上·山西运城·期中）已知，则的最大值是___________． 【答案】1 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【解答过程】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是1. 故答案为：1. 5．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. （2）解：由，可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 6．（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值． 【答案】(1)的最小值为4； (2)的最大值为． 【解题思路】（1）利用基本不等式求的最小值即可； （2）由条件结合基本不等式求的最大值即可. 【解答过程】（1）因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为4， （2）因为，，所以，当且仅当时等号成立， 又， 所以，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 所以当时，取最大值，最大值为． 【类型2 配凑法求最值】 7．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】配凑后直接利用基本不等式化简求解即可． 【解答过程】∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，此时，故的最小值为3. 故选：D. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式可得最值. 【解答过程】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立， 综上所述的最大值为， 故选：D. 9．（多选）（25-26高一上·四川广安·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【解题思路】利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【解答过程】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高一上·上海浦东新·期中）当时，的最小值是___________． 【答案】 【解题思路】根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 11．（25-26高一上·山西晋城·期末）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】（1）7； （2） 【解题思路】（1）根据基本不等式求解即可. （2）求出的范围，结合基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值是7. （2）由题意知，即，解得， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值是. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）回答下面两题： (1)已知，求的最大值； (2)设，求的最大值． 【答案】(1)最大值1； (2)最大值． 【解题思路】（1）将所求式子转化为，再利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式求最值. 【解答过程】（1），，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 当时，取得最大值1． （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立． 当时，取得最大值． 【类型3 巧用“1”的代换求最值】 13．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解题思路】将条件变为，代入所求，化简整理，利用基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【解答过程】由题意得，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：A. 14．（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【解题思路】变形有，再利用乘“1”法即可得到最值. 【解答过程】因为，且，则，， 则， 当且仅当，且时，即时取等号， 故选：B． 15．（多选）（25-26高一上·贵州·期中）已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】AC 【解题思路】直接利用基本不等式得判断A；利用基本不等式“1”的用法判断BC；根据得判断D 【解答过程】由，，，故， 当且仅当时等号成立，即，所以的最大值为，故A正确； 由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 由题知，故，故，故D错误. 故选：AC. 16．（25-26高三上·河南·阶段检测）设a，b为正数，且，则的最小值为___ ___． 【答案】 【解题思路】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【解答过程】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 17．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)12 【解题思路】（1）直接利用基本不等式求解即可 （2）利用“1”的代换，化简得到，展开后再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，所以ab的最大值为． （2）因为， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为12． 18．（25-26高一上·河南·期中）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接根据基本不等式即可求解； （2）根据“1”的代换结合基本不等式即可求解； （3）由题设可得，再根据“1”的代换结合基本不等式即可求解. 【解答过程】（1）由，且， 则，即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （2）由，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （3）由，且，则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 【类型4 消元法求最值】 19．（25-26高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【解答过程】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 故选：D． 20．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件得出的关系，代入后变形构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【解答过程】，，且， ，， ， 当且仅当，即等号成立， 的最小值为7． 故选：D． 21．（多选）（25-26高一上·广东广州·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【解题思路】由得出，可判断A选项；由已知等式变形得出，结合基本不等式可判断BCD选项. 【解答过程】因为，，，等式两边同时乘以可得， 即，即，即， 对于A选项，由得，所以，故，A对； 对于C选项，由可得， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C对； 对于B选项， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，B对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D错. 故选：ABC. 22．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值是___________. 【答案】 【解题思路】先对条件变形，通过代换，将变形为，然后利用基本不等式求最值. 【解答过程】因为，，，所以， 即，即，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 23．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若，，且． (1)求的取值范围； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据基本不等式建立关于的一元二次不等式，由此可求的取值范围； （2）采用消元法，用表示，再通过配凑法可求的最小值. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 所以，所以或(舍)， 所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为； （2）因为，所以，由，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 24．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知，，. (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)的最小值为，的最小值为 (2) 【解题思路】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 又以，则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 【类型5 换元法求最值】 25．（25-26高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【解题思路】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【解答过程】由题意得，， 令，则， 由得， 故 ， 当且仅当，结合，即时取等号， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9， 故选：B. 26．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知均为正实数，，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果. 【解答过程】因为，即， 设，则，且， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 27．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，，则得，，利用“1”的代换及基本不等式求最值. 【解答过程】正数满足，则， 令，，则有，，， 则， 由， 当且仅当时等号成立，由解得， 即当，时，，即的最小值为. 故选：C. 28．（24-25高三上·河南·阶段检测）已知，则的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【解答过程】，令，所以， 则 ， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 29．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数 满足 ，则的最小值是___________. 【答案】 【解题思路】先对已知条件变形因式分解，令，解出，然后换元化简利用基本不等式求其最值. 【解答过程】对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数， 所以，联立方程组，解得，因为所以，故， 所以 ，当且仅当，时取最小值. 故答案为: . 30．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）(1)已知，，，求的最大值； (2)若正数，满足，求的最小值. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）令，由可求得，因，从而可求解； （2）由正数，满足，则得，再结合基本不等式可得，从而可求解. 【解答过程】（1）由已知，，， 令，所以， 即，即，则， 解得，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. （2）由正数，满足，则得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为. 【类型6 齐次化求最值】 31．（25-26高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【解题思路】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【解答过程】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A. 32．（25-26高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【解答过程】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 33．（25-26高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【解答过程】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 34．（25-26高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为___________. 【答案】4 【解题思路】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【解答过程】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 35．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值： (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用基本不等式可求得的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立，故的最大值为． （2）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. 36．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 【类型7 多次使用基本不等式求最值】 37．（25-26高二上·湖南·开学考试）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式求出和的取值范围，求出的最小值. 【解答过程】 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 38．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】因为 ，所以， 所以 ， 所以 ， 又，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立， 所以，当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为， 故选：A. 39．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）已知正数x，y，z满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解题思路】由基本不等式可得，由题意整理可得，即可得. 【解答过程】 由题意可得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即， 又因为，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值. 故选：C. 40．（25-26高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】根据基本（均值）不等式，先求的最小值，再求的最小值. 【解答过程】 已知：正数、、满足，. 因为 （当且仅当即时取“”）， 所以（当且仅当时取“”）， 可得 （当且仅当时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）， 则的最小值为. 故答案为：. 41．（25-26高一上·河北·阶段练习）（1）求函数的最小值； （2）若，，求的最大值． 【答案】（1）23； （2） 【解题思路】利用不等式的性质与基本不等式，即可求出最值． 【解答过程】 （1）因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故函数的最小值为23． （2）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，取得最小值，且最小值为8． 故的最大值为． 42．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 基本不等式中必考七类最值问题（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 直接法求最值】 2 【类型2 配凑法求最值】 3 【类型3 巧用“1”的代换求最值】 4 【类型4 消元法求最值】 5 【类型5 换元法求最值】 6 【类型6 齐次化求最值】 6 【类型7 多次使用基本不等式求最值】 7 知识点1 利用基本不等式求最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. (5)换元法：当遇到含根式或高次幂的代数式（形如，)时，常常用到换元法；换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子；在换元时，要注意新元的取值范围. 【类型1 直接法求最值】 1．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．10 2．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（多选）（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列结论证明的有（   ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 4．（25-26高一上·山西运城·期中）已知，则的最大值是___________． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 6．（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值． 【类型2 配凑法求最值】 7．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 8．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高一上·四川广安·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 10．（25-26高一上·上海浦东新·期中）当时，的最小值是___________． 11．（25-26高一上·山西晋城·期末）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）回答下面两题： (1)已知，求的最大值； (2)设，求的最大值． 【类型3 巧用“1”的代换求最值】 13．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 14．（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 15．（多选）（25-26高一上·贵州·期中）已知，，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 16．（25-26高三上·河南·阶段检测）设a，b为正数，且，则的最小值为___ ___． 17．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 18．（25-26高一上·河南·期中）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【类型4 消元法求最值】 19．（25-26高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 21．（多选）（25-26高一上·广东广州·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 22．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知正实数a，b满足，则的最小值是___________. 23．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若，，且． (1)求的取值范围； (2)求的最小值． 24．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知，，. (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值. 【类型5 换元法求最值】 25．（25-26高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 26．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知均为正实数，，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 27．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 28．（24-25高三上·河南·阶段检测）已知，则的最小值为___________. 29．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数 满足 ，则的最小值是___________. 30．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）(1)已知，，，求的最大值； (2)若正数，满足，求的最小值. 【类型6 齐次化求最值】 31．（25-26高二下·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 32．（25-26高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为___________. 35．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值： (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 36．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【类型7 多次使用基本不等式求最值】 37．（25-26高二上·湖南·开学考试）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 38．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）已知正数x，y，z满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 40．（25-26高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 41．（25-26高一上·河北·阶段练习）（1）求函数的最小值； （2）若，，求的最大值． 42．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $