第2章 滚动习题(三) [范围2.1～2.3] (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一课后习题（人教A版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以“基础巩固-综合应用-实践创新”分层，覆盖不等式等核心知识点，通过梯度题型培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（不等式解法、性质）|单选考概念辨析（如第2题不等式性质判断）| |综合|跨知识点综合（性质与函数、充要条件）|多选填空考性质应用（如第8题解集与参数关系）| |提升|实际情境应用（优化问题、方程根分析）|解答题考建模推理（如第14题草坪面积优化）|

滚动习题(三) 1.C　[解析] 由-x2-x+2≥0,得x2+x-2≤0,即(x+2)(x-1)≤0,解得-2≤x≤1,∴解集为{x|-2≤x≤1}.故选C. 2.C　[解析] 对于A,若c>0,a>b,则ac>bc,若c≤0,a>b,则ac≤bc,故A错误;对于B,若a=1,b=-1,则>,故B错误;对于C,若ac2>bc2,则c2>0,则a>b,故C正确;对于D,若a=1,b=-2,则a2<b2,故D错误.故选C. 3.D　[解析] m-n=x2+y2-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2≥0,所以m≥n,当且仅当x=y=1时取等号.故选D. 4.D　[解析] 若关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0有解,则Δ=(a+2)2-8a=(a-2)2>0,得a≠2.由“a>2”可以推出“a≠2”,由“a≠2”不能推出“a>2”,所以“a>2”是“关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0有解”的充分不必要条件.故选D. 5.C　[解析] 由题意得5-x>0,则-x=+5-x-5≥2-5=3,当且仅当=5-x,即x=1时,等号成立,故-x的最小值为3.故选C. 6.D　[解析] 由题意知x1,x2是方程x2-4ax+3a2=0的根,由根与系数的关系,可得x1x2=3a2,x1+x2=4a,∴x1+x2+=4a+,∵a<0,∴-≥2=,当且仅当a=-时取等号,即4a+≤-,故x1+x2+的最大值为-.故选D. 7.D　[解析] 第一种策略:设每次购买这种物品的数量均为m件,则平均价格为=(元/件),故A错误;第二种策略:设每次购买这种物品所花的钱为n元,第一次能购得该物品的数量为件,第二次能购得该物品的数量为件,则平均价格为==(元/件),B错误;因为-==>0,所以>,故C错误,D正确.故选D. 8.ABD　[解析] 对于A,B,由于不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<2},所以x=-3和x=2是ax2+bx+c=0的两个实数根,所以故b=a,c=-6a,则a+b+c=a+a-6a=-4a>0,故A,B均正确;对于C,不等式bx+c>0即为ax-6a>0,即x-6<0,解得x<6,故C错误;对于D,不等式cx2+bx+a<0即为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1<0,解得-<x<,故D正确.故选ABD. 9.BCD　[解析] 由基本不等式得4ab=2a+b≥2,即2ab-≥0,即(-1)≥0,可得ab≥,当且仅当2a=b时等号成立,此时a=,b=1,故A错误;由2a+b=4ab得+=4,所以2a+b==≥=2,当且仅当=时等号成立,此时a=,b=1,故B正确;a+2b==≥=,当且仅当=时等号成立,此时a=,b=,故C正确;由2a+b=4ab得2a=b(4a-1),故b=,因为b>0,所以>0,结合a>0,解得a>,故D正确.故选BCD. 10.{x|-1<x≤2}　[解析] 由≤1得-1≤0,即-≤0,即≤0,即解得-1<x≤2,所以原不等式的解集为{x|-1<x≤2}. 11.3≤≤8　[解析] 因为1≤x≤2,所以≤≤1,又因为6≤y≤8,所以×6≤≤1×8,即3≤≤8,所以的取值范围是3≤≤8. 12.8　[解析] 设y1=ax-2,y2=x2+bx-8,又a>0,所以y1=ax-2随着x的增大而增大,所以当0<x<时,y1<0,当x>时,y1>0.y2=x2+bx-8的图象开口向上,如图,当x=0时,y2=-8,可知方程x2+bx-8=0有一个正根一个负根,即函数y2=x2+bx-8在x>0时有且仅有一个零点,且为变号零点.由题意知(ax-2)(x2+bx-8)≥0,则当0<x<时,y2=x2+bx-8≤0,当x>时,y2=x2+bx-8≥0,所以是方程x2+bx-8=0的根,则+-8=0,即b=4a-,且a>0,所以b+=4a-+=4a+≥2=8,当且仅当4a=,即a=1,b=2时等号成立,则b+的最小值是8. 13.解:(1)因为-1<a<1,-1<b<1,所以-2<a+b<2.当-1<a<0,-1<b<0时,0<-a<1,0<-b<1,此时0<ab<1; 当-1<a<0,0<b<1时,0<-a<1,此时0<-ab<1,所以-1<ab<0;当0<a<1,-1<b<0时,0<-b<1,此时0<-ab<1,所以-1<ab<0; 当0<a<1,0<b<1时,0<ab<1; 又当a=0或b=0时,ab=0. 综上,-1<ab<1. (2)证明:因为1+ab-(a+b)=(1-a)(1-b),又-1<a<1,-1<b<1, 则0<1-a<2,0<1-b<2, 所以1+ab-(a+b)=(1-a)(1-b)>0,即1+ab>a+b. 14.解:(1)由条件知ab=12,所以b=,因为b≥3,a≥3,所以b=≥3,得a≤4,所以3≤a≤4,所以S(a)=(36-2a)(24-b)=(36-2a)=-48+888, 所以S(a)=-48+888(3≤a≤4). (2)由(1)知,S(a)=-48+888≤-48×2+888=600,当且仅当=a,即a=3时取等号,即a=3,b=4时,S(a)取得最大值600.所以当人行道的宽度a=3,b=4时才能使草坪的面积最大,且草坪的最大面积为600平方米. 15.解:(1)一元二次方程2x2-ax-1=0有两根m,n, 则由根与系数的关系,得m+n=>0,mn=-<0, 则m,n一正一负,不妨设m<0,n>0,可得n=, 因为0<a<1,所以<=1. 经检验,由<1可得<4-a,解得a<1. 故m<1,n<1. (2)由|x2-1|=x2-ax恰有三个不等实根,易知a≠0. 当x2-1≥0,即x≤-1或x≥1时,原方程变形为x2-1=x2-ax,解得x=,此时方程有1个根,因为a=,所以-1≤a≤1且a≠0; 当x2-1<0,即-1<x<1时,原方程变形为1-x2=x2-ax, 即2x2-ax-1=0,该方程在-1<x<1时需有2个根, 设y=2x2-ax-1,当x=0时,y=-1<0,其图象开口向上, 则有解得-1<a<1. 综上,若方程|x2-1|=x2-ax恰有3个不等的实根, 实数a需满足解得-1<a<0或0<a<1, 故实数a的取值范围为-1<a<0或0<a<1. (3)由题意知,方程=x+2-a有2个根x1,x2(0<x2<x1), 当x-≤0(x>0),即0<x≤1时,原方程变形为-x=x+2-a, 即2x2+(2-a)x-1=0,易知-<0,所以该方程的两根异号, 此时有效根为x=,且0<x≤1; 当x->0(x>0),即x>1时,原方程变形为x-=x+2-a, 解得x=,依题意,此根必是有效根,因此>1,可得2<a<3. 由0<x2<x1可知x2=,x1=,所以4x2-3x1=4×-3×=a-2+-,要比较4x2-3x1与a-2的大小,只需比较-与0的大小, 易知函数y1=在2<a<3时随a的增大而增大,所以2<y1<3,而函数y2=在2<a<3时随a的增大而减小,所以y2>3, 可得当2<a<3时,<,即4x2-3x1<a-2, 故4x2-3x1<a-2. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ (时间:45分钟　分值:105分) 一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分) 1.不等式-x2-x+2≥0的解集为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x≥1} C.{x|-2≤x≤1} D.{x|x≤-2或x≥1} 2.[2026·长郡中学高一月考] 下列说法正确的是 (　 ) A.若a>b,则ac>bc B.若a>b,则< C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b,则a2>b2 3.若m=x2+y2,n=2(x+y-1),则m与n的大小关系是 (　 ) A.m<n B.m≤n C.m>n D.m≥n 4.“a>2”是“关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0有解”的 (　 ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件 5.已知0<x<5,则-x的最小值为 (　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 6.[2026·荆州中学高一月考] 已知函数y=x2-4ax+3a2(a<0)的零点是x1,x2,则x1+x2+的最大值是 (　 ) A. B.- C. D.- 7.[2026·长沙一中高一月考] 买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品,第一天物品的价格为p1元/件,第二天物品的价格为p2元/件,且p1≠p2,则以下选项正确的为 (　 ) A.第一种策略购买物品的平均价格为元/件 B.第二种策略购买物品的平均价格为元/件 C.第一种策略购买物品的平均价格更低 D.第二种策略购买物品的平均价格更低 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分) 8.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<2},则 (　 ) A.a<0 B.a+b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>6} D.不等式cx2+bx+a<0的解集为 9.[2026·深圳实验学校高一月考] 已知正实数a,b满足2a+b=4ab,则下列选项正确的是 (　 ) A.ab≤ B.2a+b≥2 C.a+2b≥ D.a> 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.不等式≤1的解集是　　　　.  11.设实数x,y满足1≤x≤2,6≤y≤8,则的取值范围是　　　　.  12.[2026·重庆南开中学高一月考] 已知a>0,b∈R,若关于x的不等式(ax-2)(x2+bx-8)≥0对任意x>0恒成立,则b+的最小值是　　　　.  四、解答题(本大题共3小题,共43分) 13.(13分)已知实数a,b满足-1<a<1,-1<b<1. (1)求a+b和ab的取值范围; (2)证明:1+ab>a+b. 14.(15分)如图所示,某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD,其长为36米,宽为24米,现要在此空地上种植一块矩形草坪,三边留有人行道,人行道宽度为a米与b米且均不小于3米,要求“转角处(图中矩形AEFG)”的面积为12平方米. (1)试用a表示草坪的面积S(a),并指出a的取值范围. (2)如何设计人行道的宽度a,b才能使草坪的面积最大?并求出草坪的最大面积. 15.(15分)[2026·南通高一期中] (1)已知0<a<1,试比较方程2x2-ax-1=0的两根m,n与1的大小关系,并说明理由; (2)若方程|x2-1|=x2-ax恰有3个不等实根,求实数a的取值范围; (3)若x>0,方程=x+2-a恰有2个不等正实根x1,x2(x1>x2),试比较4x2-3x1与a-2的大小关系,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $