1.4.2 充要条件 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一课后习题（人教A版）

**基本信息** 本同步练习通过三级分层设计，以基础判断为起点，情境应用为过渡，综合探究为提升，构建“概念理解-情境迁移-逻辑推理”的知识巩固路径，适配新授课对充要条件的分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|单一条件判断（如“x>4”与“x>2”的关系）|以简单不等式、几何概念为载体，强化充分/必要条件的直接辨析，培养抽象能力| |情境应用层|多条件关系、实际情境转化（如电路开关、多选题）|引入电路模型、参数范围问题，实现从数学概念到现实情境的迁移，发展模型意识| |综合探究层|复杂逻辑关系、充要条件证明（如方程根的条件、三角形锐角判定）|通过解答题整合集合、方程、几何知识，深化逻辑推理，体现数学思维的严谨性|

1.4.2　充要条件 1.“x>4”是“x>2”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知p:-1<x<0,q:<2,则p是q的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.[2026·北理工附中高一月考] 若a,b∈R,则“a3=b3”是“a=b”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(多选题)ab>0的一个充分不必要条件可以是 (　 ) A.a>0,b>0 B.a+b>0 C.a<0,b<0 D.a>1,b>1 6.设计如图所示的四个电路图,则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是　　 (　 ) A B C D 7.对任意实数a,b,c,下列结论正确的是　.  ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+8是无理数”是“a是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充要条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 8.设p:≤x≤1,q:a≤x≤a+1,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　.  9.(13分)指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答). (1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等; (3)p:关于x的方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根,q:a>-1; (4)p:A∪B=A,q:A∩B=B. 10.已知p是r的充分条件,q是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,p是s的必要条件,现有下列命题:①r是p的必要不充分条件;②r是s的充分不必要条件;③q是p的充分不必要条件;④s是q的充要条件.其中所有的真命题是 (　 ) A.①④ B.②③ C.③ D.④ 11.(多选题)下列选项中,p是q的充要条件的是 (　 ) A.p:ab=0,q:a2+b2=0 B.p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y| C.p:m≥-,q:方程x2-x-m=0有实数根 D.p:x>2或x<-1,q:x<-1 12.设集合A={x|x>2},B={x|x<0},C={x|x<0或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  13.若a,b都是实数,则“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出一个适合的条件,用序号填空.  14.(15分)求方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件. 15.[2026·永州一中高一月考] 若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)=-a-b,那么“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  16.(15分)[教材P23习题1.4第6题节选] 设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且a≤b≤c,则△ABC为直角三角形的充要条件是a2+b2=c2.试用边长a,b,c(a≤b≤c)探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件,并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　充要条件 1.A　[解析] 因为{x|x>4}是{x|x>2}的真子集,所以“x>4”是“x>2”的充分不必要条件.故选A. 2.C　[解析] 根据相似三角形的性质得,由“两个三角形相似”可得到“两个三角形的三边对应成比例”,即充分性成立;反之,由“两个三角形的三边对应成比例”可得到“两个三角形相似”,即必要性成立.所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件.故选C. 3.A　[解析] 由<2,得-1≤x<3,因为集合{x|-1<x<0}⫋{x|-1≤x<3},所以p⇒q,且q⇒/ p,故充分性成立,必要性不成立,所以p是q的充分不必要条件.故选A. 4.C　[解析] 由a3=b3,可得a=b,故充分性成立;由a=b,可得a3=b3,故必要性成立.所以“a3=b3”是“a=b”的充要条件.故选C. 5.ACD　[解析] 由a>0,b>0可以推出ab>0,反之推不出,故A满足题意.当a=5,b=-4时,满足a+b>0,但不满足ab>0,故B不满足题意.由a<0,b<0可以推出ab>0,反之推不出,故C满足题意.由a>1,b>1可以推出ab>0,反之推不出,故D满足题意.故选ACD. 6.C　[解析] 对于A,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件;对于B,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件;对于C,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件;对于D,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C. 7.②④　[解析] “a=b”能推出“ac=bc”,当c=0时,ac=bc不能推出a=b,故①错误;“a+8是无理数”能推出“a是无理数”,反之也能推出,故②正确;当a=1,b=-2时,a>b成立,a2>b2不成立,故③错误;a<5推不出a<3,a<3能推出a<5,故④正确.故填②④. 8.0≤a≤　[解析] 因为p:≤x≤1,q:a≤x≤a+1,q是p的必要不充分条件,所以且两个等号不同时成立,解得0≤a≤. 9.解:(1)x-3=0⇒(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0⇒/ x-3=0, 故p是q的充分不必要条件. (2)两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p是q的必要不充分条件. (3)由ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根,知Δ=22-4×a×(-1)>0且a≠0,得a>-1且a≠0,即p⇒q;反之,当a=0时,方程ax2+2x-1=0只有一个实数根,即q⇒/ p.故p是q的充分不必要条件. (4)因为A∪B=A⇔A∩B=B,所以p是q的充要条件. 10.C　[解析] 因为p是r的充分条件,所以p⇒r.因为q是r的充分不必要条件,所以q⇒r,r⇒/ q.因为s是r的必要条件,所以r⇒s.因为p是s的必要条件,所以s⇒p.由p⇒r,r⇒s,s⇒p可得p⇔r⇔s,则r是p的充要条件,命题①为假命题;r是s的充要条件,命题②为假命题;因为q⇒r,r⇒/ q,所以q⇒p,p⇒/ q,故q是p的充分不必要条件,命题③为真命题;易得s⇒/ q,q⇒s,所以s是q的必要不充分条件,命题④为假命题.故选C. 11.BC　[解析] 对于A,由p可知a=0或b=0,由q可知a=0且b=0,故p不是q的充要条件;对于B,由|x|+|y|=|x+y|知x,y要么同为正数,要么同为负数,要么至少有一个为零,故xy≥0,故p是q的充要条件;对于C,由方程x2-x-m=0有实数根,得判别式Δ=1+4m≥0,即m≥-,所以p是q的充要条件;对于D,因为p⇒/ q,所以p不是q的充要条件.故选BC. 12.充要　[解析] 由题意可得A∪B={x|x<0或x>2},即A∪B=C,所以“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件. 13.①　[解析] 对于①,ab=0⇔a=0或b=0,即a,b至少有一个为0,故①满足题意;对于②,a+b=0⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能为一正一负,故②不满足题意;对于③,a(a2+b2)=0⇔a=0或故③不满足题意;对于④,ab>0⇔或则a,b都不为0,故④不满足题意.故填①. 14.解:若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根, 则解得0<m<, 故方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的必要条件为0<m<. 反之,若0<m<,则Δ=4-12m>0,∴方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,设两根为x1,x2, 则x1x2=,由m>0得x1x2=>0,∴x1,x2同号,即充分性成立.因此方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0<m<. 15.充要　[解析] 若φ(a,b)=-a-b=0,则=a+b≥0,两边平方可得ab=0,结合a+b≥0,知a,b至少有一个为0,另一个为非负数,故a≥0,b≥0,即a与b互补;若a与b互补,易得ab=0,故a,b至少有一个为0,且a≥0,b≥0,若a=0,b≥0,此时-a-b=-b=0,若b=0,a≥0,此时-a-b=-a=0,即φ(a,b)=0.故“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的充要条件. 16.解:△ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2. 证明:充分性:若a2+b2>c2,则△ABC不是直角三角形. 若△ABC为钝角三角形,则∠ACB>90°,过B作AC的垂线,交AC的延长线于点D(如图①), 由勾股定理知c2=BD2+(b+CD)2=BD2+CD2+b2+2·CD·b=a2+b2+2·CD·b>a2+b2,矛盾,故△ABC为锐角三角形,充分性成立. 必要性:若△ABC为锐角三角形,则∠ACB为锐角,过点A作边BC的垂线,交边BC于点D(如图②),由勾股定理知,c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=b2-CD2+(a-CD)2=a2+b2-2·CD·a<a2+b2,故必要性成立. 故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2. 学科网（北京）股份有限公司 $