1.4.2 充要条件-【名师大课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步小作业（人教A版）

1.4.2 口知识梳理 知识点1充要条件 如果“若p,则q”和它的 “若q,则 p”均是真命题，即既有p→q,又有q→p,就记 作p台q.此时，p既是q的充分条件，也是q的 必要条件，我们说p是q的 条件，简 称为 条件.显然，如果p是q的充要 条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如 果p台q,那么p与q互为充要条件. 知识点2充分条件、必要条件、充要条件的 判断 若p→q,则p是q的充分条件，g是p的 必要条件； 若p台q,则p是q的充要条件； 若p→q,q力p,则力是q的充分不必要 条件； 若力q,q→，则p是g的必要不充分 条件； 若p≯q,且q≯p,则p是q的既不充分也 不必要条件 口基础过关 一、单项选择题 1.“m≥-1”是“m≥-2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设P:x<3,q:一1<x<3,则p是q成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 3.“a>b>0”是“a-b>√a-√b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.4.2充要条件 答题栏 充要条件 1 2 4.设p:x>y,q:x2>y2,则p是q成立的 3 )4 A.充分不必要条件 5 B.必要不充分条件 6 7 C.充要条件 8 D.既不必要也不充分条件 二、多项选择题 5.对于任意实数a、b、c,下列命题是真命题 的是 ( ) A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要 条件 C.“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件 D.“a<5”是“a<3”的必要不充分条件 6.下列结论中正确的是 ( A.“x2>4”是“x<一2”的充分不必要条件 B.在△ABC中，“AB2+AC2=BC2是” △ABC为直角三角形“的充要条件” C.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为 0”的充要条件 D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不 充分条件 7.对任意实数a,b,c,给出下列命题中正确 的是 ( ) A.“a=b”是“ac=bc”的既不充分也不必要 条件 B.“a=b”是“a2=b2”的充分不必要条件 C.“a>b”是“24>2”的充要条件 D.“a>b”是“√a>b”的必要不充分条件 8.下列选项中，p是q的充要条件的是() A.p:xy>0,q:x>0,y>0 B.p:AUB=A,q:B二A C.p:三角形是等腰三角形，q:三角形存在两 角相等 D.p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互 相垂直平分 三、填空题 9.k>4,b<5是一次函数y=(k-4)x+b-5 的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的 条件. 数学必修第一册 10.在下列命题中，试判断p是q的什么条件 (1)p:A二B,q:A∩B=A,则p是q 条件； (2)p:a=b,q:la|=|bl,则p是q 条件； (3)p:四边形的对角线相等，q:四边形是平 行四边形.则p是q 条件： 11.根据下列所给的各组p,q填空： ①p:a<0,q:|a>0; ②p:两个三角形的两边及其夹角分别对应 相等，q:两个三角形全等； ③p:a=b,q:a2=b; ④p:二次函数y=x2十k的图象过坐标原 点，q:k=0； ⑤p:两条直线被第三条直线所截，同旁内 角互补，q:这两条直线平行； ⑥p:两直角三角形的斜边相等，q:两直角 三角形全等」 其中，p是q必要条件的有 ;p是q 充分条件的有 ;p是q充要条件的 有 .（填写序号) 12.在下列各题中，用符号“→”、“←”或“台” 填空： (1)x=a (x-a)(x-b)(x-c） =0; (2)x是能被4整除的自然数 x是 偶数； (3)已知p,q∈Z,p+g是偶数 p3-g3是偶数； (4)甲是上海人 甲是中国人； (5)la|+|bl=|a+b ab>0. 13.设集合A={x2x2-a.x+b=0,x∈R}, B={x|bx2+(a+2)x+b=0,x∈R},则 A∩B=日的充要条件是 12 四、解答题 14.求证：一元二次方程x2+x+q=0有两个 异号实数根的充要条件是q<0. 15.指出下列命题中，p是q的什么条件： (1)p:x=1,q:|x=1: (2)p:两直线平行，q:同位角相等； (3)p:点在角的平分线上，q:点到角的两边 所在直线的距离相等； (4)p:斜边相等，q:两直角三角形全等. 16.设a,b,c∈R.求证：a>0,b>0,c>0的充要 条件是a+b+c>0,ab+bc+ca>0, abc>0. 17.在①AUB=B;②“x∈A”是“x∈B”的充分 不必要条件；③A∩B=0这三个条件中任 选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并 求解下列问题. 问题：已知集合A={x|2a-1<x≤a+1}, B={x|-1≤x≤3}. (1)当a=- 时，求An(B. (2)若 ,求实数a的取值范围. 21.4.1充分条件与必要条件 知识梳理 知识点 p→gp中g 基础过关 1.B由必要条件的概念知“x=a”→“x2=9”,所以a可以是 士3，故选B. 2.B由已知设“积跬步”为命题b,“至千里”为命题g,“故不积 跬步，无以至千里”，即“若一p,则g”,其逆否命题为“若q则 p”,反之不成立，所以命题力是命题q的必要不充分条件，故 选：B. 3.B因为x2一x-6=0,故可得x=一2或3，若x2-x-6=0, 则不一定有x=3,故充分性不满足；若x=3,則一定有x2 x一6=0，故必要性成立，综上所述：“x2-x-6=0”是“x=3” 的必要不充分条件，故选：B. 4.Ax>7→x>5;x>5中x>7,所以“x>7”是“x>5”成立的充 分不必要条件.故选：A 5.A解方程x2一3x十2=0可得x=1或x=2,{2}手{1,2}， 因此，“x=2”是“x2一3x十2=0”的充分不必要条件.故选：A. 6.D若0<x<1,则一定有x<2,故充分性满足；若x<2,不一 定有0<x<1,例如x=一3，满足x<2,但不满足0<x<1,故 必要性不满足：故“0<x<1”是“x<2”的充分不必要条件.故 选：D. 7.D,x∈[1,2]，.3x2∈[3,12]，因为命题“x∈[1,2]， 3.x2一a≥0，”为真命题，所以有a≤3，显然选项A是充要条 件，由a≥2不一定能推出a3,由a≤4不一定能推出a3, 由a<2一定能推出a≤3，故选：D. 8.B命题：令t=√x-1≥0，可得t2=t,即t(t一1)=0，故 t=1或t=0,解得x=1或x=2,故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 9.BC由1≤x≤3得1≤x2≤9，因为命题为真，所以a≥9，记为 A={aa≥9}，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所 选答案中a的范围应为集合A的真子集.故选：BC. 10.解：(1)当m=2时，B={x2≤x≤5}，又A={x3<x6}, 所以A∩B={x|3<x≤5}，AUB={x|2≤x≤6}： (2)因为x∈B是x∈A的必要条件， 所以A三B,即(3,6]三[m,2m+1], 2m十1≥6解得2<m≤3. 所以有m≤3 所以实款m的取植花因为[受3]： 11.解：(1)A={x-2<x<1}. 当m=一1时，B={x一1≤x≤2} 所以A∩B={x-1≤x<1},AUB={x-2<x2}: (2):x∈A是x∈B的充分不必要条件 A是B的真子集，故2m十1≤-2 17m+3≥1 中-2≤m<-是 所以实数m的取值范国是[-2，一] 1.4.2 充要条件 知识梳理 知识点1 逆命题充分必要充要 基础过关 1,A由m≥一1可以推出m≥一2，但反之不成立，故“m≥一1” 是“m≥一2”的充分不必要条件，故选：A. 2.B由x<3不能推出一1<x<3,例如x=一2，但一1<x<3 必有x<3,所以：x<3是：一1<x<3的必要不充分条件。 故选：B. 3.C由√a-b>a-b台a-b+b>√a台（√a-b+b)2> (a)2台/a≥b≥0 /a≥60 台a la-b+2 vb(a-b)+b>a 2 vb(a-b)>0 b>0,由此可知“a>b>0”是“√a一b>√a一√b”的充要条件 故选：C 4.D先验证→q,若x=0,y=一1，显然满足x>y,但不满足 x2>y2,所以不成立；再验证q→p,若x=一1，y=0,显然满足 x2>y2,但不满足x>y,所以不成立.故选：D. 5.BD,“a=b”→“ac=bc”为真命题，但当c=0时，“ac=bc”→ “a=b”为假命题，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故 A为假命题；：“a十5是无理数”→“a是无理数”为真命题，“a -13 参考答案 是无理数”→“a十5是无理数”也为真命题，故“a十5是无理 数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；·“a>b”→ “a2>b2”为假命题，“a2>b2”→“a>b”也为假命题，故“a>b” 是“α2>b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题：因为由 a<3能得出a<5,而由a<5得a<3不一定成立，故“a<5” 是“a<3”的必要条件，故D为真命题.故选：BD. 6.CD对于A,若x2>4,则x>2或x<-2,所以“x2>4”是 “x<一2”的必要不充分条件，故A错误；对于B,在△ABC 中，若AB2十AC2=BC2,则△ABC为直角三角形，反之，若 △ABC为直角三角形，直角为∠B,∠C时，AB2十AC2=BC2 不成立，所以“AB2+AC2=BC2是”△ABC为直角三角形“的 充分不必要条件，故B错误：对于C,若a十b2≠0，则a,b不 全为0，若a,b不全为0，则a2+b≠0，所以“a2+b≠0”是“a, b不全为0”的充要条件，故C正确：对于D,当x为无理数，若 x=√2，则x2=2为有理数，若x2为无理数，则x为无理数，所 以“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件，故D正 确.故选：CD. 7.BCDA.由“a=b”可得“ac=bc”,反之，由“ac=bc”不一定得 到“a=b”,故“a=b”是“ac=bc”的既充分也不必要条件，故A 错误；B.由“a=b”可得“a2=b2”,反之，“a2=b2”可得“a 士b”,所以“a=b”是“a2=b2”的充分不必要条件，故B正确； C.由“a>b”由指数函数的单调性可得“2a>2b”,反之也成立， 故“a>b”是“2a>2h”的充要条件，故C正确：D.若“a>b”,当 其中一个为负数时，则“√a>√B”不成立，反之，若“√a>√B”,可 得“a>b”,所以“a>b”是“√a>√B”的必要不充分条件，故D正 确.故选：BCD. 8.BC对于A:由xy>0,得x>0,y>0或x<0,y<0,故P不 是q的充要条件，故A错误；对于B:由AUB=A,则B二A, 若B二A则AUB=A,故P是q的充要条件，故B正确；对于 C:三角形是等腰三角形台三角形存在两角相等，故P是q的 充要条件，故C正确：对于D:四边形的对角线互相垂直且平 分→四边形为菱形，故卫不是q的充要条件，故D错误；故 选：BC. 9.答案：充要 解析：，k>4时，k一4>0，b<5时，b-5<0, .直线y=（k一4)x十b一5交y轴于负半轴，交x轴于正 半轴； y=(k一4)x十(b一5)与y轴交于(0，b一5)与x轴交 b-5<0 由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知{ 、∫b<5 04 故k>4,b<5是一次函数y=(k一4)x十b一5的图象交y轴 于负半轴，交x轴于正半轴的充要条件， 故答案为：充要 10.答案：(1)充要(2)充分不必要(3)既不充分也不必要 解析：(1)因为“A二B→A∩B=A”是真命题，“A∩B=A→ A二B”也是真命题， 所以力是q的充要条件： (2)因为“a=b→|a=|b”是真命题，“|a=|b→a=b”是假 命题，如a=一1，b=1,满足a|=b,但是a≠b: 所以饣是q的充分不必要条件； (3)因为“四边形的对角线相等→四边形是平行四边形”是假 命题， “四边形是平行四边形→四边形的对角线相等”也是假命题， 所以力是q的既不充分也不必要条件 故答案为：充要：充分不必要：既不充分也不必要， 11.答案：②④⑤⑥①②③④⑤②④⑤ 解析：对①，易知由p能得q,但是，若a>0,则由q不能得p, 故力是g充分不必要条件； 对②，根据三角形全等定理可知，力是q充要条件 对③，由p能得q,但是，若a=一b,则由g不能得p,故p是g 充分不必要条件； 对④，易知力是q充要条件： 对⑤，由直线平行定理可知，饣是q充要条件； 对⑥，由三角形的全等定理可知，由力不能得q,但由g可以 得力，故力是q必要不充分条件， 故答案为：②④⑤⑥；①②③④⑤；②④⑤ 12.答案：(1)→(2)→(3)台(4)→(5)← 解析：(1)当x=a时，(x一a)(x一b)(x一c)=0, 当(x一a)(x一b)(x一c)=0,x=a或x=b或x=c, 故x=a→(x-a)(x-b)(x-c)=0: 65 数学必修第一册 (2)当x是能被4整除的自然数，则x是偶数， 当x是偶数，当x不一定是能被4整除的自然数， 故当x是能被4整除的自然数→x是偶数； (3)若p十q是偶数，则p,9都是奇数或都是偶数， 当p,g都是奇数时，p3,g都是奇数，则b3一q3是偶数， 当p,q都是偶数时，p3,q都是偶数，则p3一q3是偶数， 所以p十g是偶数，则p3一g3是偶数， 若p3一g3是偶数，则p3,3都是奇数或p3,g3都是偶数 当b3,93都是奇数时，，q都是奇数，则力十q是偶数， 当b3,q都是偶数时，力，q都是偶数，则p十q是偶数， 所以p3一g是偶数，则p十q是偶数， 所以力十g是偶数台p3一q是偶数： (4)若甲是上海人，则甲是中国人， 若甲是中国人，则甲不一定是上海人， 所以甲是上海人→甲是中国人； (5)若|a十|b=|a十b,当a=b=0时，等式成立， 则|a|+|b=|a+b1,ab>0不一定成立， 若ab>0,则a>0,b>0或a<0,b<0, 则|a|+lbl=|a+b1, 所以|a十b=|a十b←-ab>0. 故答案为：(1)→；(2)→；(3)台：(4)→；(5)←-. 、2 13.答案：a=-3b=- 解析：由AnB={合}，可知2∈A,2∈B,于是 [2×(号）广-a×2+6=0, b×(3）+(a+2)x号+b=0. 1 a=- 3 解得 b=2 3 此时A={-号号}B={2 符合A∩B= 故AnB=(合}药充委条件是a= 2 1 、2 故答案为：a=一3，b=一3 14.解：证明：①充分性： 因为g<0,所以方程x2+x十q=0的△=b2-4g>0, 故方程x2十px十g=0有两个不相等的实数根， 设方程的两根为x1,x2, 因为·2=q<0,所以方程x2+px十q=0有两个异号实 数根. ②必要性： 因为方程x2十x十g=0有两个异号实数根， 设两根为x1,x2,所以x1·x2<0. 因为x1·x2=q,所以q<0. 由①②，命题得证。 15.解：(1)由|x|=1可得x=士1，因为{1}{一1,1}，因此，p 是q的充分不必要条件； (2)两直线平行，则同位角相等，反之，若同位角相等，则两直 线平行，因此，饣是q的充要条件； (3)若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离 相等， 反之，若点到角的两边所在直线的距离相等，则该点在角的 角平分线或该角的补角的平分线上，故力是？的充分不必要 条件； (4)若两个直角三角形的斜边相等，如三条边长分别为√2 √2、2的直角三角形和三边边长分别为1、√5、2的直角三角 形，这两个三角形不全等， 另一方面，若两个直角三角形全等，则这两个直角三角形的 斜边相等 因此，力是q的必要不充分条件 16.解：证明：（必要性）由a>0,b>0,c>0,显然有a十b十c>0, ab+bc+ca>0,abc>0. (充分性)用反证法：假设a>0,b>0,c>0不成立，则a,b,c 中至少有一个不大于0. 由a,b,c的对称性，不妨设a0 由abc>0得bc<0,从而由ab+bc+ca>0, 得ab+ca>-bc>0,即a(b+c)>0 故b十c<0,于是a十b十c<0.这与a十b十c>0矛盾，于是假 设不成立， 因此，a>0,b>0,c>0. 17.解：1)当a=-2时，集合A={x-2<x≤2}， B={x-1x≤3}， ·CRB={xx>3或x<-1. ∴.A∩(CRB)={x|-2<x<-1}. (2)若选择①AUB=B,则A二B, A=☑时，2a-1≥a+1,即a≥2； /2a-1a+1, A≠0时，{2a一1≥-1，解得0≤a<2, a十13， .实数a的取值范围是a≥0. 若选择②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A军B,A ☑时，2a一1≥a十1，即a≥2； /2a-1a+1, A=☑时，{2a一1≥一1，解得a≤a<2 a+13, .实数a的取值范围是a≥0. 若选择③A∩B=☑，则A=⑦时，2a一1≥a+1,即a≥2； A≠时十或8-1解得a<-2。 ∴实数a的取值范围是a≥2或a<-2. 1,5.1全称量词与存在量词 基础过关 1,D“有些”“有一个”“至少有一个”均为存在量词，即ABC不 符合题意：“每一个”是全称量词，即D符合题意.故选D. 2.C由命题：Hx>0,x2>0,得p:3x0>0,x60,故 选：C 3.D对于0中，由2-x叶子-(-号)广20成立，所以伞题 112 ①为真命题：对于②中，由x3十1=0无法判定真假，所以②不 是命题，不特合题意：对于③中，例知当1=号时，此时2<， 所以命题n∈R,n2≥n为假命题：对于④中，由x3+1=0,解 得x=一1，所以命题④为真命题；故选：D. 4.Ax∈[1,2]，x2-3x-a≤0为真命题，.a≥(x2- 3xsze[12],×y=2-3x=(2-是）-是当x=1 或x=2时，ymx=-2,a≥-2，：(-2，十∞)=[-2， +∞)，.Vx∈[1,2]，x2-3x一a≤0为真命题的一个充分不 必要条件是a>一2，故选：A. 5.BCA和D用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量 词命题，B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题， B、C是全称量词命题.故选：BC. 6.CD对于A选项，命题“所有的正方形都是矩形”是全称量词 命题，该命题为真命题，A不满足要求；对于B选项，命题“有 些梯形是平行四边形”为存在量词命题，该命题为假命题，B 不满足要求；对于C选项，命题“]x∈R,3x十2>0”为存在量 词命题，取x=0,则3×0+2>0，该命题为真命题，C满足要 求；对于D选项，命题“至少有一个整数m,使得m<1”为存 在量词命题，取m=0,则02<1，该命题为真命题，D满足要 求.故选：CD. 7.BC对于A.是存在量词命题，但不存在实数x,使x2十2<0 成立，即为假命题，故A错误，对于B,是存在量词命题，例如 无理数√2，它的立方是2为有理数，故B正确，对于C,是存在 量词命题，例如1的倒数是它本身，为真命题，故C正确，对于 D,是全称量词命题，故D错误，故选：BC. 8.答案：(-c0,3] 解析：对于任意x3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a, .a3. 故答案为：（一0,3]. 9.解：(1)若x2=2,解得x=士√2，因为士√2不是整数，故命题 “3x∈Z,x2=2”为假命题； (2)若x2=2,解得x=士√2，因为士√2∈R,故命题“3x∈R, x2=2”为真命题； (3)根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到 这条线段两个端，点的距离相等：故命题：“线段的垂直平分线 上的点到这条线段两个端，点的距离相等；”为真命题； 6