1.4.2 充要条件课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦逻辑关系与集合应用，通过基础概念辨析、中档综合判断、高阶证明探究三级分层，构建从单一知识点到跨模块综合应用的巩固路径，培养数学推理与表达能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|逆命题、充要条件概念|以简单命题（如三角形相似）直接考查定义，巩固逻辑基础| |进阶层|集合与逻辑结合、条件判断|结合集合包含关系（如N⊆M）、不等式解集，提升数学抽象能力| |综合层|跨模块应用、证明推理|通过函数图象条件、方程根分布证明（如ac<0充要性），发展逻辑推理与表达|

1．设x∈R，“若x<2，则x<3”的逆命题是(　　) A．若x>2，则x>3 B．若x<3，则x<2 C．若x≥2，则x≥3 D．若x≤3，则x≤2 解析：选B．互为逆命题的两个命题的条件与结论是相互对调的，即“若x<3，则x<2”． 2．“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可以得到“两个三角形的三边对应成比例”，即充分性成立；反之，由“两个三角形的三边对应成比例”可以得到“两个三角形相似”，即必要性成立．所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件． 3．(2026·广州期中)设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝”是“N⊆M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．由题意知，当a＝时，N＝{2}，此时N⊆M，故充分性成立；当N⊆M时，a2＝1或a2＝2，即a＝±1或a＝±，故必要性不成立．综上，“a＝”是“N⊆M”的充分不必要条件． 4．甲：“实数a，b，c满足2b＝a＋c”，乙：“实数a，b，c满足＋＝2”，则甲是乙的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．当a＝b＝c＝0时，实数a，b，c满足2b＝a＋c，但此时＋＝2不成立；反过来由＋＝2得a＋c＝2b.综上所述，“实数a，b，c满足2b＝a＋c”是“实数a，b，c满足＋＝2”的必要不充分条件． 5．使－1<x<4成立的一个充分不必要条件是(　　) A．－1<x≤4 B．－1<x<0 C．－1<x<5 D．－2<x<1 解析：选B．设集合A＝{x|－1<x<4}，则使－1<x<4成立的充分不必要条件是集合A的真子集． 对照选项知只有B符合题意． 6．(多选)设全集为R，则下列条件中，是B⊆A的充要条件的有(　　) A．A∩B＝A B．(∁RA)∩B＝R C．∁RA⊆∁RB D．A∪(∁RB)＝R 解析：选CD．对于A，因为A∩B＝A，所以A⊆B，不满足题意；对于B，若(∁RA)∩B＝R，则∁RA＝R且B＝R，只有A＝∅且B＝R时成立，不满足题意；对于C，若∁RA⊆∁RB，则B⊆A，同时若B⊆A，则∁RA⊆∁RB，满足题意；对于D，若A∪(∁RB)＝R，则B⊆A，同时若B⊆A，则A∪(∁RB)＝R，满足题意． 7．设a，b∈R，则“a2＋b2＝0”的充要条件是____________________________． 解析：因为a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a2＝b2＝0，即a＝b＝0；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，所以“a2＋b2＝0”的充要条件是“a＝b＝0”． 答案：a＝b＝0 8．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空． (1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的__________________________________________； (2)“x<5”是“x<3”的__________________________________________. 解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为BA，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件． 答案：(1)充要条件　(2)必要不充分条件 9．若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<b，b∈R}，则A∪B＝R的一个必要不充分条件是__________________________________． 解析：由A∪B＝R，得b>2， 所以A∪B＝R的一个必要不充分条件是b>1. 答案：b>1(答案不唯一) 10．(13分)指出下列各题中，p是q的什么条件： (1)p：a＝2，q：a2＝4；(3分) (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3分) (3)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两个角相等；(3分) (4)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．(4分) 解：(1)由a2＝4，得a＝±2，所以p⇒q，q p，即p是q的充分不必要条件． (2)因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，所以p是q的充要条件． (3)由等腰三角形的定义可知，p，q可互相推出，因此p为q的充要条件． (4)A∩B为空集，则A与B无公共元素，但不一定是空集，若A与B之一为空集，则A∩B为空集，因此p为q的必要不充分条件． 11．命题p：一次函数y＝(k－1)x＋2k＋1的图象经过第一、二、四象限的充要条件是(　　) A．－<k<2 B．－<k<1 C．k<1 D．k<－ 解析：选B．因为一次函数y＝(k－1)x＋2k＋1的图象经过第一、二、四象限， 则解得－<k<1， 即一次函数y＝(k－1)x＋2k＋1的图象经过第一、二、四象限的充要条件是－<k<1. 12．设U＝R，A＝{x|mx2＋4x＋2＝0}．若∁UA＝U，则实数m的取值范围为______________；集合A中有两个元素的充要条件是__________________________________________________． 解析：当∁UA＝U时，A＝∅，即mx2＋4x＋2＝0无解，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m<0，解得m>2.综上可知，实数m的取值范围为{m|m>2}.集合A中有两个元素，即mx2＋4x＋2＝0有两个不相等的实数根，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m>0，解得m<2.因此集合A中有两个元素的充要条件是m<2且m≠0. 答案：{m|m>2}　m<2且m≠0 13．(13分)已知集合A＝{x|x<a或x>a＋2}，B＝{x|x≥3}． (1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，求实数a的取值范围；(6分) (2)若“x∈∁RA”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．(7分) 解：(1)若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，则B⊆A，故a＋2<3，解得a<1.所以实数a的取值范围是{a|a<1}． (2)若“x∈∁RA”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则∁RAB．因为∁RA＝{x|a≤x≤a＋2}，所以a≥3.所以实数a的取值范围是{a|a≥3}． 14．(13分)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，设为x1，x2，所以Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，所以ac<0. 充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根． 综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 15．(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S).设A，B都为有限集合，则下列结论中正确的是(　　) A．A∩B＝∅的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B) B．A⊆B的必要条件是card(A)≤card(B) C．A⊆B的必要不充分条件是card(A)≤card(B)－1 D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B) 解析：选AB．易知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).A∩B＝∅，也就是集合A与集合B没有公共元素，故A正确；A⊆B，也就是集合A中的元素都是集合B中的元素，因此card(A)≤card(B)，故B正确；当A＝B时，满足A⊆B，此时card(A)＝card(B)，所以card(A)≤card(B)－1不成立，故C错误；A＝B，也就是两个集合中的元素完全相同，元素个数也相等，则有card(A)＝card(B)，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，如A＝{1，2，3}，B＝{1，2，4}，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $