限时训练卷26复数-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以复数概念为核心，整合代数运算、几何意义与三角形式，通过多样化题型构建“概念-运算-应用”逻辑链，培养空间观念、推理能力与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与运算|选择1-5、填空12|纯虚数判断、方程根求解|从复数定义出发，推导四则运算规则，关联实系数方程虚根成对性质| |几何意义与向量|选择6-7、多选9、填空13-14、解答15-16|模的最值、轨迹方程、向量夹角|复平面与向量坐标对应，将模转化为距离问题，实现代数与几何互化| |三角形式与应用|选择8、多选11、解答19|棣莫弗定理、欧拉公式、正多边形顶点|从三角形式定义拓展至乘方运算规律，结合量子计算背景体现跨学科应用|

2027年高考一轮限时训练卷26　复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）复数满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用复数的分母实数化进行化简求得，利用公式求解模长即可. 【详解】， 所以1. 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第一象限 C．复数的共轭复数为 D．将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为 【答案】B 【分析】由复数的除法法则可得，计算复数的模判断A；写出对应的点判断B；求出其共轭复数判断C；求出旋转所得向量对应的复数，判断D. 【详解】由复数满足，得，所以，A错误； 复数对应的点为，位于第一象限，B正确； 复数的共轭复数是，C错误； 复数对应的点为，绕原点按逆时针方向旋转，得到的点为，所以所得向量对应的复数应为，D错误. 3．（2026高三·全国·专题练习）若复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】由复数的除法运算和纯虚数的概念，求得，再由复数的乘方运算即可求解. 【详解】由题意得，​ 因为该复数是纯虚数， 所以​，解得，即， 又 ，代入，得， 因为，所以， 所以 . 4．（25-26高三·河南·阶段检测）已知复数，满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数模的平方等于复数与其共轭复数的乘积，先由已知模长条件求出交叉项的值，再代入计算目标式的模长. 【详解】由，得，代入， 得，解得， 则，代入已知值和交叉项结果， 得 因此. 5．（2026·安徽·模拟预测）已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设复数，已知，从而， 解得，即. 6．（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数，满足，，若，则可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，得到，且，结合选项，逐项列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】设，因为，可得，即， 又因为，且，可得， 对于A，若，可得，解得， 此时，所以A错误； 对于B，若，可得，解得， 此时，所以B错误； 对于C，若，可得，解得， 此时，所以C正确； 对于D，若，可得，解得， 此时，所以D错误. 7．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在复平面中对应点，，即，表示点Z在以为圆心，以为半径的圆上. 表示点Z到原点的距离，所以的最小值即为圆M上的点Z到原点O的距离最小值,. 8．（25-26高三·湖南娄底·期末）任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的周期可得的周期，即可计算求解. 【详解】，故， 由于的周期均为， 因此也是以3为周期， 由于， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三·黑龙江·开学考试）已知复数，，在复平面内，，的对应点分别为，，为坐标原点，则（    ） A．的虚部为 B． C．向量，的夹角为 D．向量在上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】对于A项，，则，则的虚部为，故A错误； 对于B项，，则，故B正确； 对于C项，，，则，， 设向量，的夹角为，故， 因为，所以，故C正确； 对于D项，向量在上的投影向量为，故D正确； 10．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）下列有关复数的结论正确的是（    ） A． B．若m为实数，复数是纯虚数，则 C．若是关于x的方程的一个根，则 D．若复数 z满足 则复数 z对应的点所构成的图形面积为 【答案】BC 【分析】由复数的有关概念即可判断A；由复数是纯虚数可得，解之即可判断B；由根与系数的关系结合一元二次方程的两根互为共轭复数的结论即可得p，q的值，则C可判断；由复数的几何意义，结合数形结合的方法即可求得D. 【详解】因为虚数不能比较大小，所以A错误； 因为复数是纯虚数， 所以，解得，故B正确； 因为是关于的方程的一个根，则另一根为， 由根与系数的关系可得，解得， 则，故C正确； 若复数满足，由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环， 则复数对应的点所构成的图形面积为，故D错误. 11．（25-26高三·安徽阜阳·期末）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中e是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】由新定义知识依次判断选项即可． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于C，因为， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为， 则在复平面内分别对应点， 可得， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）复数的模为________． 【答案】3 【详解】由题意得 ，得到，由模长公式得. 13．（25-26高三·湖南衡阳·期末）在复平面内，若复数满足，则在复平面内对应点满足的方程为_________. 【答案】 【分析】先设复数，再代入结合模长公式计算化简得出轨迹方程. 【详解】由题意，设， ，， 则， 化简得， 所以z在复平面内对应点满足的方程为. 14．（25-26高三·广东茂名·期末）在复平面内，O为坐标原点，点在第二象限，点所对应的复数，是以为斜边的等腰直角三角形，则点所对应的复数______． 【答案】 【分析】设，因在第二象限，故，再根据，解方程即可求得答案. 【详解】 如图，由知， 由是以为斜边的等腰直角三角形得， 设，因在第二象限，故， 所以，， 将代入得： ，解得 (舍去负根)，则， 所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·浙江台州·期末）已知复数（为虚数单位）是关于的方程的一个根． (1)求，的值； (2)若，且，所对应的向量之间的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）因为是方程的根， 将其代入方程，得. 又， 所以，即. 由，得， 解得，. （2）由题意，对应的向量为，对应的向量为， 两向量夹角为钝角，需满足，且两向量不反向共线， 由，得. 当两向量共线时，，即， 此时，两向量反向，夹角为，舍去. 综上，. 16．（25-26高三·广东广州·期末）设复数，，其中，且复数所对应的点都在复平面第一象限内． (1)若，求实数，的值； (2)设所对应的向量为，若与共线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的几何意义以及复数的模长公式即可求解. （2）由复数的几何意义以及基本不等式即可求解. 【详解】（1），对应的点分别为，且，， 由可得：，， 故，. （2），，因为与共线，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当，时等号成立. 所以的最小值为. 17．（25-26高三·河南·阶段检测）已知复数满足为实数，为纯虚数，i为虚数单位. (1)求； (2)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数表示实数和纯虚数的条件进行求解即可； （2）根据复数乘法、除法的运算公式，结合共轭复数、复数在复平面的位置特征进行求解即可. 【详解】（1）设， 因为为实数 所以，解得. 因为为纯虚数，所以，解得， 故. （2）由（1）可知，. ， 由题意可知，， 解得， 故实数的取值范围为. 18．（25-26高三·安徽六安·期末）已知复数，其中，为虚数单位. (1)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在直线上，求复数的共轭复数； 【答案】(1) (2)当时，，共轭复数；当时，，共轭复数. 【分析】（1）根据第二象限点的坐标特征，列出相应的不等式组，求解可得； （2）由直线上的点的横纵坐标互为相反数，即对应复数的虚部与实部互为相反数，列出相应的方程，求解可得的值，从而求得复数，由共轭复数的定义可求得其共轭复数. 【详解】（1）复数在复平面内对应的点的坐标为， 因为该点位于第二象限，所以， 由①得，解得； 由②得，解得或； 综上所述，实数的取值范围为； （2）直线上的点的横纵坐标互为相反数， 即对应复数的虚部与实部互为相反数，即， 化简得：，即， 解得或. 当时，，其共轭复数； 当时，，其共轭复数. 19．（25-26高三·山东东营·期末）已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角．当时，称为辐角的主值，记为．复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，，则．即模相乘，辐角相加． (1)写出复数的三角形式，并计算，的三角形式，由此归纳出的三角形式； (2)设是复数的辐角主值，是复数的辐角主值，且，若，，求的值． (3)设复平面上单位圆内接正八边形的8个顶点对应的复数依次为，，…，（逆时针顺序），其中．求复数，，…，在复平面所对应不同点的个数． 【答案】(1)，，，． (2) (3)4 【详解】解：（1），故，．故． ，， ． （2）由题意，， 则，， 即， 即． 又因为，所以． 因为，则，所以． 即，所以． （3）正八边形每边对应的圆心角为，故任意一个顶点逆时针旋转可得到下一个顶点， 即，． 故， 当时，得，时，得， 时，得，时，得， 时，得， 发现后续依次重复的结果．对应的不同复数为：1，，，， 所以在复平面所对应不同点的个数为4． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷26　复数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）复数满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第一象限 C．复数的共轭复数为 D．将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为 3．（2026高三·全国·专题练习）若复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 4．（25-26高三·河南·阶段检测）已知复数，满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽·模拟预测）已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 6．（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数，满足，，若，则可能等于（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·湖南娄底·期末）任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（   ） A．1 B．0 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三·黑龙江·开学考试）已知复数，，在复平面内，，的对应点分别为，，为坐标原点，则（    ） A．的虚部为 B． C．向量，的夹角为 D．向量在上的投影向量为 10．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）下列有关复数的结论正确的是（    ） A． B．若m为实数，复数是纯虚数，则 C．若是关于x的方程的一个根，则 D．若复数 z满足 则复数 z对应的点所构成的图形面积为 11．（25-26高三·安徽阜阳·期末）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中e是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）复数的模为________． 13．（25-26高三·湖南衡阳·期末）在复平面内，若复数满足，则在复平面内对应点满足的方程为_________. 14．（25-26高三·广东茂名·期末）在复平面内，O为坐标原点，点在第二象限，点所对应的复数，是以为斜边的等腰直角三角形，则点所对应的复数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·浙江台州·期末）已知复数（为虚数单位）是关于的方程的一个根． (1)求，的值； (2)若，且，所对应的向量之间的夹角为钝角，求的取值范围． 16．（25-26高三·广东广州·期末）设复数，，其中，且复数所对应的点都在复平面第一象限内． (1)若，求实数，的值； (2)设所对应的向量为，若与共线，求的最小值． 17．（25-26高三·河南·阶段检测）已知复数满足为实数，为纯虚数，i为虚数单位. (1)求； (2)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 18．（25-26高三·安徽六安·期末）已知复数，其中，为虚数单位. (1)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在直线上，求复数的共轭复数； 19．（25-26高三·山东东营·期末）已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角．当时，称为辐角的主值，记为．复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，，则．即模相乘，辐角相加． (1)写出复数的三角形式，并计算，的三角形式，由此归纳出的三角形式； (2)设是复数的辐角主值，是复数的辐角主值，且，若，，求的值． (3)设复平面上单位圆内接正八边形的8个顶点对应的复数依次为，，…，（逆时针顺序），其中．求复数，，…，在复平面所对应不同点的个数． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $