限时训练卷22　三角函数与解三角形-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形知识整合，覆盖基础计算、性质应用、实际建模，以题载法强化知识逻辑与核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择1-3、填空12|三角函数定义、恒等变换|从定义到公式推导，强化运算能力| |性质应用|选择5、7、9|单调性、对称性、图像变换|性质与图像结合，培养推理意识| |解三角形综合|选择4、6、8、10、11、填空13、解答18、19|范围最值、面积、中线角平分线|正弦余弦定理应用，构建数量关系| |实际建模|填空14、解答17|测量、摩天轮高度|模型意识，用数学语言表达现实问题|

2027年高考一轮限时训练卷22　三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和与差的正弦公式，及同角的三角函数的基本关系即可求解． 【详解】由，， 两式相加得，即， 两式相减得，即， 所以． 2．（25-26高三·辽宁沈阳·期中）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式建立已知角与待求式中角的关系，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式计算即可． 【详解】由，得， 又，所以， 所以， ， 所以． 3．（25-26高三·北京·期末）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式化简已知等式，求出和的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为为第二象限角，所以，则， 整理得，又为第二象限角， 所以，， . 4．（2026高三·全国·专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理得，，则周长为，可转化为，由即可求周长的取值范围. 【详解】因为， 所以. 所以，. 因为，所以，，且. 所以周长 因为，所以. 所以. 所以 所以周长取值范围为. 5．（25-26高三·北京昌平·期末）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】B 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数基本关系及二倍角余弦公式化简为，再结合余弦函数的单调性逐一判断各选项. 【详解】， 因为，，可得. 的单调递增区间为，单调递减区间为，令. 选项A，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故在该区间不单调，A错误. 选项B，当时，，是时的单调递增区间，故在该区间单调递增，B正确. 选项C，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故在该区间不单调，C错误. 选项D，当时，，在上单调递增，在上单调递减，故在该区间不单调，D错误. 6．（25-26高三·北京·期末）在中，设内角，，的对边分别为，，.若且，则面积的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用正弦定理求出角的正弦值，再结合余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而得到三角形面积的最大值. 【详解】由题设，所以，根据正弦定理， 得，所以或. 当时，由余弦定理， 所以，根据基本不等式，， 当且仅当时等号成立. 此时. 当时，由余弦定理得，故， 当且仅当时等号成立， 此时. 综上，面积的最大值为. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值． 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 8．（25-26高三·广东佛山·期中）在中，，D为边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则可在中利用正弦定理求出，则可求出，从而可结合得到与间关系，再利用即可得解. 【详解】设，则，， 由，则，， 在中，由正弦定理可得， 由，则，故， 由，故，故，即， 则 ， 则，即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·山西朔州·开学考试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合 D．若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以对于都有， 即恒成立， 所以，因为，所以，A正确； 对于B，，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，由A选项可知， 将其图象向右平移个单位长度后所得函数为， 与的图象不重合，C错误； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后所得函数为， 因为关于轴对称，所以， 解得，因为， 所以当时，的最小值为. 10．（2026·海南·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则是等腰三角形或直角三角形 【答案】AD 【详解】对于选项A，由化简得， 所以，所以，即A正确； 对于选项B，若，由正弦定理可得，即，得，所以B错误； 对于选项C，由得，因为，所以， 当时，可得，即，此时为直角三角形， 当，且时，，例如，满足条件，不是直角三角形，所以C错误； 对于选项D，可知，所以，由可知， 当时，即时，是等腰三角形， 当时，可得，此时，所以为直角三角形，所以D正确. 11．（25-26高三·湖南衡阳·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由正弦定理，对进行边角互化，结合的取值范围得，再利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得为锐角，利用诱导公式、同角三角函数关系及正弦函数的单调性，可得，判断A；求出，判断B；求出判断C，D. 【详解】因为，所以，根据正弦定理边角互化得， 因为，，所以，即， 所以，即. 由余弦定理可知，，故， 若，则，注意到， 所以，（两者同负会有两个钝角，不成立），即，， 因为，，都是锐角， 所以， 于是，这和相矛盾， 故不成立，所以． 所以，，， 所以，故A选项正确； ，即， 所以或，即或， 当时，，； 当时，，，故B选项错误； 因为的面积为， 所以，当，时，，，， 解得，，； 当，时，，，， 解得，，， 故C选项错误，D选项正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【答案】 或 / 【分析】根据同角三角函数基本关系即可求解；根据第四象限角的三角函数符号确定的正负，进而求出其值. 【详解】① 由，得 ， 化简得 ， 解得. 又（，若则，不满足已知等式）， 即 ，整理得，解得. ② 因为是第四象限角，故，，因此. 由， 所以. 13．（25-26高三·上海·期中）已知函数，若，且，则___________． 【答案】 【分析】先利用二倍角余弦公式化简为辅助角形式，结合的范围求出的正、余弦值，再通过两角和的正弦公式计算. 【详解】由二倍角余弦公式，可得， 因此：， 已知，代入化简后得：， 由，得，该区间内余弦值为负， 因此：， . 14．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）某学生为测量一个建在小矮山上的建筑物的高度，选择了与小矮山底部在同一水平线上的两点、（在矮山的同侧），如图所示，测得在处看、的仰角分别为、，在处看的仰角为，，由此可以计算求得_________.    【答案】 【分析】延长交的延长线于点，先在中利用正弦定理求出，再在中求出、，再在中利用正弦定理求出，最后利用求解. 【详解】延长交的延长线于点，    在中，， ， ， 利用正弦定理，即， 得， 在中，，， 直角三角形所对直角边是斜边的一半， 所以，，由勾股定理得， 在中，，， 利用正弦定理，即， 得：， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·贵州遵义·期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 8 0 (1)将表中数据补充完整，并直接写出的解析式； (2)将的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，直接写出的解析式并求出它的单调区间. 【答案】(1)表中数据补充：依次为，，，，；依次为，，，，；. (2)；单调递增区间为；单调递减区间为. 【分析】（1）利用表中已有数据可得，联立方程组可解得，可补充表中数据并求出函数解析式. （2）由伸缩变换规则可得，可通过整理代换法令和，求出所有单调区间. 【详解】（1）根据表中第二列数据可知，解得； 结合第一列和第五列数据可得，解得； 因此可将表中数据补充如下． 0 0 8 0 －8 0 可知 （2）易知 由，得． 所以的单调递增区间为． 由，得， 即的单调递减区间为． 16．（25-26高三·甘肃酒泉·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可； （3）根据两角和正弦公式、辅助角公式，结合同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1） ； （2） （3） ， 因为，所以， 所以， 所以 . 17．（25-26高三·贵州遵义·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲从点进舱，坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，且在转动一周的过程中，关于的函数解析式为 (1)设游客甲在3min后到达点，求此时的面积； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）.从游客甲进入座舱开始计时，游客乙所在的高度关于时间的函数解析式为 （i）在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度相等的次数以及首次距离地面的高度相等的时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时段”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时段”的时间段. 【答案】(1)； (2)（i）次，；（ii） 【分析】（1）求出3min旋转的圆心角，利用三角形面积公式进行求解； （2）（i）求出甲的座舱高度关于时间的函数，从而得到方程，求出，，根据求出，进而得到答案； （ii）在（i）的基础上，得到不等式，求出答案 【详解】（1）转一周需要，故3min旋转的圆心角为， 转盘半径为40m，的面积为； （2）（i）设甲的座舱高度关于时间的函数为， 则， 当甲乙两人距离地面的高度相等时，， 即，即， 故，，故，， 令，得， 又，故，所以运行一周的过程中，两人距离地面的高度相等的次数为2次， 当时，，即首次距离地面的高度相等的时间； （ii）因为，所以， 令，即， 故，解得， 故甲处于“震撼时段”的时间段为. 18．（25-26高三·甘肃白银·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的面积； (3)求的最小值，并指出此时的形状． 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为，此时为等边三角形． 【分析】（1）先根据正弦定理，将边化角，再结合三角恒等变换，即可求解； （2）利用三角形的中线性质，结合三角形余弦定理，列出关于的方程组，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）先化简原式，再结合三角函数的运算，求得最值，进而可判断三角形的形状. 【详解】（1）因为，根据正弦定理可得，， 代入原式，可得， 又因为为锐角三角形，所以，，所以， 所以，即，所以， 又，所以， 所以，解得． （2）因为为的中点，所以，则， 因为，，所以， 整理得①， 又根据余弦定理，，且， 所以，即②， 由①②得③， 又因为，且，， 所以④，联立③④，解得， 所以的面积为． （3）由题意，， 又为的内角，所以，所以， 所以， 因为，所以 ， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则，所以， 所以，所以， 所以，即的最小值为， 此时，即，解得， 又，所以，所以为等边三角形． 19．（25-26高三·福建南平·期末）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）当为锐角三角形时，设与的平分线交于点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用余弦定理进行边角互化即可得到，再用余弦定理求解即可； （2）（i）应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；（ii）应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得由，利用三角函数即可求面积的取值范围. 【详解】（1）已知，由余弦定理. ​, 代入已知等式得：，即， 再由余弦定理 又，所以. （2）（i）由 (1) 知​，由余弦定理, 得到 由代入上式得到 设三角形周长， 由基本不等式， 令则 因，故，当且仅当时取等号， 此时周长最大值. （ii）为锐角三角形，，故，且 解得， 分别平分，则； 在中，由正弦定理 在中，由正弦定理, 即 则 由得到，， 所以 , 所以 由，则，故， 因此面积取值范围为. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮限时训练卷22　三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·辽宁沈阳·期中）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·北京·期末）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·北京昌平·期末）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 6．（25-26高三·北京·期末）在中，设内角，，的对边分别为，，.若且，则面积的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 8．（25-26高三·广东佛山·期中）在中，，D为边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·山西朔州·开学考试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．的图象关于点对称 C．将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合 D．若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为 10．（2026·海南·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则是等腰三角形或直角三角形 11．（25-26高三·湖南衡阳·期中）在中，，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 13．（25-26高三·上海·期中）已知函数，若，且，则___________． 14．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）某学生为测量一个建在小矮山上的建筑物的高度，选择了与小矮山底部在同一水平线上的两点、（在矮山的同侧），如图所示，测得在处看、的仰角分别为、，在处看的仰角为，，由此可以计算求得_________.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·贵州遵义·期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 8 0 (1)将表中数据补充完整，并直接写出的解析式； (2)将的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，直接写出的解析式并求出它的单调区间. 16．（25-26高三·甘肃酒泉·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 17．（25-26高三·贵州遵义·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲从点进舱，坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，且在转动一周的过程中，关于的函数解析式为 (1)设游客甲在3min后到达点，求此时的面积； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）.从游客甲进入座舱开始计时，游客乙所在的高度关于时间的函数解析式为 （i）在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度相等的次数以及首次距离地面的高度相等的时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时段”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时段”的时间段. 18．（25-26高三·甘肃白银·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的面积； (3)求的最小值，并指出此时的形状． 19．（25-26高三·福建南平·期末）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）当为锐角三角形时，设与的平分线交于点，求面积的取值范围． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $