专题02 等式与不等式（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了等式与不等式专题，涵盖等式与不等式性质、不等式求解、基本不等式及其应用等核心考点，通过知识脑图搭建体系，考点分层突破基础与高阶内容。 清单采用基础梳理与高阶拓展分层设计，将柯西不等式等作为重点解读，标注“1的代换”等技法点拨，培养学生数学思维与运算能力。设高考母题探究与易错剖析，如分式不等式解集标注分母不为0警示，帮助学生精准突破，教师可据此优化复习策略。

专题02 等式与不等式 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 等式与不等式的性质 考点02 不等式的求解 考点03 基本不等式及其应用 ▶高阶思维・探究拓展 重点解读01 柯西不等式与权方和不等式 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 等式与不等式的性质 题型02 不等关系与不等式 题型03 基本不等式及其应用 题型04 分式不等式 题型05 一元二次不等式及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01 等式与不等式的性质 重点02 运用基本不等式求最值 重点03 分式不等式 重点04 绝对值不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01 运用“1”的代换构造基本不等式 技法点拨02 由一元二次不等式求参与恒成立问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01 指、对数不等式的解法 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 等式与不等式的性质 1.方程的解集 方程：含有未知数的等式. 方程的解：使得方程左右两边相等的未知数的值. 方程的解集：以方程的所有解为元素组成的集合. 2.韦达定理 若一元二次方程（其中，且）的两个根为和，则： 3.两个实数的大小关系（作差法的依据） 对于实数，则有： 4.不等式的性质 大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（）、小于等于号（）统称为不等号，用不等号连接两个表达式，就得到一个不等式. （1）传递性 设均为实数，若且，则. （2）加法单调性 设均为实数，若，则. （3）乘法单调性 设均为实数：若且，则；若且，则. 5.常用不等式 定理：对任意实数和，总有：且等号当且仅当时成立. 6.“作差法”比较两个代数式值的大小 （1）作差并整理； （2）常用因式分解或配方（针对某个参数配方）； （3）判断因式或各部分的符号； （4）利用不等式基本性质得出结论. 7.常用结论 （1）不等式的同向可加性 若且，则：且 （2）不等式的倒数性质 若，则： 若且，则： （3）不等式的同正同向可乘性 若且，则： （4）不等式的乘方性质 若，则对任意正整数，有： （5）不等式的开方性质 若，则对任意整数，有： 【新题对点练】（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 【新题对点练】（2026·上海金山模拟）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 考点02 不等式的求解 1.解不等式（组） 不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值. 不等式的解集：一个不等式的解的全体所组成的集合. 不等式的求解（解不等式）：求不等式解集的过程. 不等式组：将含有相同未知数的多个不等式联立起来. 解不等式组：求不等式组中所有不等式的解集的交集. 2.一元一次不等式的求解（以关于的不等式为例，其中） （1）当时，解集为； （2）当时，解集为； （3）当且时，解集为； （4）当且时，解集为. 3.一元二次不等式的解 （1）定义 设为实数，且，形如：的不等式统称为一元二次不等式. （2）一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系（以为例） 判别式 二次函数（）的图像 一元二次方程 的根 两个相异实根（） 两个相等实根 没有实数根 的解集 的解集 的解集 的解集 4.分式不等式的解法（其中为关于的一元多项式） 5.含绝对值不等式的解法（） 6.一元二次不等式恒成立的条件 （1）（）恒成立的充要条件： （）恒成立的充要条件： （2）（）恒成立的充要条件： （）恒成立的充要条件： 7.一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若在集合中恒成立，即是不等式的解集的子集，可先求解集，再由子集含义求解参数范围； (2)转化为函数值域问题，常通过“参变分离”后，列出参数满足的不等式，注意等号能否取到. 【新题对点练】（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为，即， 令， 解得， 所以的解集为. 即不等式的解集是. 【新题对点练】（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 【答案】/ 【详解】因为，所以，即，所以解集为 考点03 基本不等式及其应用 1.平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值，即对任意正数，有： 且等号当且仅当时成立. 常用不等式： 对任意实数，有：且等号当且仅当时成立. 2.平均值不等式的应用 (1)证明不等式：当不等式两边具有两个正数的和与积的形式时，可考虑使用平均值不等式. (2)求最值：已知两个正数.若积为定值，则当时，和有最小值；若和为定值，则当时，积有最大值. 应用平均值不等式求最值时，需注意三个条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可.当等号成立条件不具备时，常考虑利用函数（“耐克”函数）的单调性求解. 3.三角不等式 定理（三角不等式）：对任意实数，有：且等号当且仅当时成立. 4.常用结论 当，时： 调和平均值：；平方平均值：. （1）任意两个正数的各种平均值总是介于这组数的最大值和最小值之间，且有如下链式不等式（当且仅当时取等号）： 上述结论可推广到一组正数的情形. （2）平均值不等式推广： 若为个正数，则：当且仅当时等号成立. （3）对任意实数，有：注：当为复数或向量时，该结论也成立. 【新题对点练】（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为正实数满足， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 【新题对点练】（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 难点解读01 柯西不等式与权方和不等式 柯西不等式 设均为实数，则当且仅当时，等号成立. 【注意】当时，等号成立. 当时，上式可变形为重要不等式： 权方和不等式 设，则当且仅当时取等号（常用于速求一些分式和的极值）. 证明： 欲证 两边同乘，得 方法一：不等式①的左边 当且仅当即时取等号. 方法二：不等式①可化为与的形式，由柯西不等式可得，因此权方和不等式可看成柯西不等式的变形. 【注意】这两种不等式我们只研究二维代数形式. 难点破解 【典例1】已知正数满足，求的最小值. “1”的代换的基本问题，按照此类问题的通用解法处理即可. 解析：因为，所以又均为正数，所以当且仅当，即时取等号.所以当且仅当时取等号. 另解 利用权方和不等式得当且仅当，即时等号成立，故的最小值为16. 常见错误分析 不少同学在最开始做此类问题时，会这么来写： 因为且 所以 所以的最小值为12. 这样的做法，错在哪了？ 事实上这个方法有两次放缩： 第一次：当且仅当，即时取等号. 第二次：当且仅当时取等号. 显然第一次、第二次放缩的等号并不能同时取到，所以最小值并不是12. 使用基本不等式时，尤其是多次连用基本不等式后，一定不要忘记验证等号成立的条件. 【典例2】已知且，求的最小值. 解析 此题中有个分母是，看起来与“1”的代换没关系，但是别急，我们可以通过换元，令 于是问题就变成了“已知正数满足，求的最小值.”这样我们就可以用通用方法愉快地玩耍了. 素养进阶·答题技法突破 题型01 等式与不等式的性质 考情定位：本考点是上海高考开篇固定必考的基础题型，属于等式与不等式章节的核心送分考点，年年必考，分值稳定在4~5分。命题位置通常为填空题第1-2题或选择题第1题，难度偏低，以基础概念考查为主，偶尔结合函数单调性、代数式变形做轻度综合，是全卷必须拿满的基础得分点。 核心考法：① 依托不等式基本性质，判断给定条件下代数式的不等关系是否恒成立；② 用作差法、作商法比较两个代数式的大小关系；③ 结合特殊值法，快速排除不成立的不等式选项；④ 结合一元一次、一元二次不等式求解，考查集合的交并补运算（常与集合考点结合命题）；⑤ 结合幂函数、指数函数的单调性，判断变量的大小关系。 解题要点：① 判断不等式恒成立问题，优先使用“特殊值法”代入边界值快速排除错误选项；② 运用不等式乘除性质时，务必注意正负号对不等号方向的影响；③ 作差比较大小需对差式因式分解或配方，结合已知变量范围判断符号；④ 与集合结合的解集运算题，依托数轴判别端点的虚实与取舍；⑤ 含参数的不等式问题，优先讨论系数为0、空集等特殊情况，再结合数轴验证端点等号能否取到。 【典例1】（2026•上海）已知，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】举例说明错误，由不等式的性质判定． 【解答】解：取，，满足，此时，故错误； 取，，此时，，，故错误； 当时，，故正确； 取，，此时，，，故错误． 故选：． 【点评】本题考查等式与不等式的性质，是基础题． 题型02 不等关系与不等式 考情定位：本考点是上海高考不等式章节的基础必考题型，分值稳定在4~5分，多位于填空前3题或选择前2题，难度偏低，侧重基础应用，是必拿分的基础考点。 解题要点：① 结合实际情境，将文字表述转化为不等式（组）；② 依据不等式性质，推导并判断不等关系的真假；③ 用作差、作商法比较代数式的大小；④ 结合函数单调性，判定变量或函数值的大小排序；⑤ 与集合、充要条件结合命题考查。 解题要点：① 列不等式时抓住“至少、至多”等关键词，准确对应符号；② 乘除变形时注意正负号对不等号方向的影响；③ 比较大小优先作差，通过因式分解或配方判号；④ 判断命题真假可用特殊值法快速排除错误选项；⑤ 结合集合、充要条件题型，先求解范围再判定关系。 【典例2】（2024•上海），，，，下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：对于，若，则，选项不成立，故错误； 对于，，， 由不等式的可加性可知，，故正确． 对于、，若，则选项不成立，故、错误． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 题型03 基本不等式及其应用 考情定位：上海高考不等式模块的核心基础考点，多以填空、选择题形式出现，分值4~5分，侧重公式条件判定与基础应用，难度中等偏下，是必须拿分的基础题型。 核心考法：①考查基本不等式"一正二定三相等"的成立条件;②依托基本不等式判断代数式的不等关系是否恒成立;③利用基本不等式证明简单的不等关系;④结合代数式拆凑变形，考查公式的灵活套用。 解题要点：①使用前先验证"正数、定值、等号可取”三个核心条件;②证明题优先通过拆项、凑项构造基本不等式形式;③判断题可代入特殊值快速排除错误选项;④最终必须验证等号成立的条件是否符合题意。 【典例01】（2026•上海）已知，则的最大值为 ． 【答案】． 【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值． 【解答】解：因为实数，满足， 所以由基本不等式可得：， 所以，当且仅当，即或时等号成立， 即的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 【典例02】（2025•上海）设，，，则的最小值为　 　 ． 【分析】根据题意，，展开，运用基本不等式可求出的最小值． 【解答】解：由已知，，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查用基本不等式求最值，属于基础题． 题型04 分式不等式 考情定位：上海高考基础必考题型，常出现在填空前几道，或与集合考点结合命题，分值4~5分，难度偏低，是不等式求解的基础得分点。 核心考法：①求解一元一次分式不等式;②求解可因式分解的高次分式不等式;③含参数的分式不等式分类讨论;④与集合交并补运算结合考查解集。 解题要点：①先移项通分，将右侧化为0，严禁直接去分母;②转化为整式不等式(组)时，必须标注分母不为0;③高次分式不等式优先用穿根法求解;④含参数时先讨论系数正负，再验证端点能否取到。 【典例01】（2026•上海）关于的不等式的解集为___________ ． 【答案】． 【分析】由可得，解不等式可得其解集． 【解答】解：由，得， 解得：， 则不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查分式不等式的解法，是基础题． 【典例02】（2025•上海）不等式的解集为　 　 ． 【分析】将分式不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集即可． 【解答】解：不等式的等价于， 解得， 所以不等式的解集是 故答案为 【点评】本题考查简单的分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想． 【典例03】（2025•上海）不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】由不等式可得，由此解得不等式的解集． 【解答】解：由不等式可得，解得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 题型05 一元二次不等式及其应用 考情定位：上海高考不等式章节的核心基础考点，年年必考，常与集合、二次函数结合命题，分值4~5分，难度偏低，是全卷必须拿满的基础得分点。 核心考法：①求解标准型、含参数型一元二次不等式;②已知不等式解集，反求参数的值或范围;③一元二次不等式在实数集、区间上的恒成立问题;④结合二次函数图像，考查对应方程根的分布。 解题要点：①先将二次项系数化为正，结合对应二次函数图像求解;②已知解集可利用韦达定理反推参数; ③恒成立问题优先分析开口方向与判别式;④含参数时，按二次项系数、判别式、根的大小依次分类讨论。 【典例01】（2024•上海）已知，则不等式的解集为 　 　． 【答案】． 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可． 【解答】解：可化为， 解得， 故不等式的解集为：． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题． 重点01 等式与不等式的性质 在不等式性质辨析类问题中，可借助赋值代入检验命题真伪，例如判断相关命题是否恒成立，可选取正负、边界特殊值代入，快速甄别错误选项.需要注意的是，举反例仅可否定命题，不能直接证明命题成立，留存的正确选项仍要依托不等式性质、函数单调性完成逻辑推导，同时重点关注运算变形的适用前提. 【典例01】（2026•浦东新区二模）已知实数、、满足，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合不等式的性质即可求解． 【解答】解：当时，显然错误； 因为，所以，则，正确； 当，，时，显然错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题． 【典例02】（2026•松江区二模）若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由不等式的性质即可得解． 【解答】解：对于，当，时，满足条件，此时，，故错误，错误，错误； 对于，因为，所以，所以，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的性质，是基础题． 【典例03】（2026•杨浦区二模）若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，取，，则可排除错误选项． 【解答】解：由，取，，则可排除． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题． 【典例04】（2026•浦东新区模拟）已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】对于：举反例说明即可；对于：利用作差法分析判断即可． 【解答】解：对于选项：当，时，显然错误； 对于选项：当，，满足，但，故错误； 对于选项：因为， 且，、是非零实数，则，， 可得，即，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 重点02 运用基本不等式求最值 在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式的最小值，可以利用均值不等式从而得出最小值为2，并且在时取到最小值．需要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证． 【典例01】（2026•黄浦区三模）已知实数，满足，则的最大值为　　 ． 【答案】1． 【分析】根据基本不等式求解即可． 【解答】解：由题可得：． 由于对任意实数，，有， 将其代入上式：，则． 当且仅当时取等号，代入，解得或，此时，满足取等条件，因此的最大值为1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题． 【典例02】（2026•杨浦区二模）设正实数，满足，则的最小值为_________． 【答案】． 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解． 【解答】解：因为正实数，满足， 所以， 当且仅当， 因为，所以时，等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 【典例03】（2026•宝山区二模）设，则的最小值为　　 ． 【答案】4． 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值． 【解答】解：由题可得： ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 【典例04】（2026•松江区二模）已知函数且的图像过定点，正实数、满足，则的最小值为_________． 【答案】． 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解． 【解答】解：当时，，所以的图象过定点， 所以，，得， 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 重点03 分式不等式 将分式不等式转化为普通不等式，并限定分母部分不为零，找出符合不等式的区间．综合各区间解，写出最终解集． 【典例01】（2026•嘉定区二模）解不等式，则不等式的解集是_________． 【答案】． 【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解． 【解答】解：由，得， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查分式不等式的求解，属于基础题． 【典例02】（2025•浦东新区三模）不等式的解集为_________． 【分析】不等式等价于，即可求解． 【解答】解：由不等式等价于， 可得：， 故答案为． 【点评】本题考查分式不等式的解法，基本知识的考查． 【典例03】（2026•静安区模拟）不等式的解集为_________． 【答案】或或． 【分析】将分式不等式化为，应用穿根法求解集即可． 【解答】解：由题设得， 所以或或， 故解集为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题主要考查了高次不等式的解法，属于基础题． 【典例04】（2026•闵行区模拟）不等式的解集为__________． 【答案】，． 【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解． 【解答】因为， 则，解得， 所以不等式的解集为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 重点04 绝对值不等式 在求解绝对值不等式时，可以将含绝对值的不等式转化为普通代数不等式求解.例如，求解不等式，可以利用绝对值的意义转化为从而得到解集，并且在端点处检验等号是否成立.需要注意的是，含有多个绝对值的不等式可通过零点分段法分类求解，转化过程要保证等价，避免出现增解或漏解. 【典例01】（2026•松江区二模）不等式的解集为_________． 【答案】． 【分析】结合绝对值不等式的解法求解即可． 【解答】解：已知，则， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题． 【典例02】（2026•杨浦区模拟）已知集合，，则_________． 【答案】，． 【分析】先化简两集合，再计算两个数集的交集即可． 【解答】解：因为，， ， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查绝对值不等式的求解，集合的运算，属基础题． 【典例03】（2026•黄浦区模拟）如果关于的不等式，的解为一切实数，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用绝对值的几何意义，分类讨论，即可求出的取值范围． 【解答】解：利用绝对值的几何意义，当时，满足题意； 当时，就不满足题意， 同理分析，，就不满足题意；，比如，就不满足题意；时，比如，就不满足题意． 故答案为：． 【点评】本题考查的取值范围，考查学生的计算能力，比较基础． 【典例04】（2026•静安区模拟）不等式解集为_________． 【分析】通过分类讨论右边与右边即可得出． 【解答】解：①当时，原不等式可化为，即，矛盾，应舍去； ②当时，左边，右边，显然左边右边，因此． 综上可知：不等式解集为． 故答案为． 【点评】熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 技法点拨01 运用“1”的代换构造基本不等式 在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题． 【典例01】（2026•宝山区模拟）已知，，，则的最小值为_________． 【分析】由，得，把要求的式子化为，再展开后利用基本不等式求得它的最小值． 【解答】解：，当且仅当，时取等等号， 的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题． 【典例02】（2026•静安区模拟）已知实数，，且，求的最小值_________． 【答案】． 【分析】根据，，可得出，然后根据基本不等式即可求出的最小值． 【解答】解：，，， ，当且仅当，即时取等号， 的最小值为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了基本不等式和1的代换求最值的方法，考查了计算能力，属于基础题． A． B． C． D． 技法点拨02 由一元二次不等式求参与恒成立问题 在处理一元二次不等式求参与恒成立问题时，可结合解集端点、集合包含关系或函数最值转化条件求解.例如，已知不等式解集为给定区间的真子集，可先求出不等式的解集，再根据子集关系列参数的取值范围；对于指定区间上的恒成立问题，常通过分离参数，转化为参数与对应函数最值的大小关系.需要注意的是，判断充分必要条件时，需先求出命题成立的参数充要范围，再通过集合的包含关系判定逻辑关系，同时留意自变量区间的开闭对最值取等的影响. 【典例01】（2026•金山区模拟）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是_________． 【答案】． 【分析】解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解． 【解答】解：因为，所以解不等式，得， 又因为不等式的解集是区间的真子集， 所以的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了含参数的不等式求解问题，是基础题． 【典例02】（2026•上海模拟）“”是“不等式在上恒成立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】先求出不等式在上恒成立时的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断“”与“不等式在上恒成立”之间的关系． 【解答】解：不等式在上恒成立， 即在上恒成立． 令，对称轴， 函数在区间上单调递增， 当时，，． 若，则一定成立， “”是“不等式在上恒成立”的充分条件； 若，则推不出． “”不是“不等式在上恒成立”的必要条件． “”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，充分必要条件的判断，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题． 易错点01 指、对数不等式的解法 指数不等式：转化为代数不等式 对数不等式：转化为代数不等式 【典例01】（2025•虹口区模拟）“”的一个必要非充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】依次求出各个选项的等价条件，再结合充分性、必要性的定义，即可求解． 【解答】解：令，，满足，但，故必要性不成立，故错误； 等价于，故错误； ，即， 不能推出，充分性不成立， 能推出，必要性成立，故正确； 等价于，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查充分性、必要性的判断，属于基础题． 【典例02】（2026•杨浦区二模）不等式的解集为_________． 【答案】． 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解． 【解答】解：令，定义域为， 因为函数和在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 又因为（1）， 所以不等式可化为：（1）， 解得， 即不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题． 【典例03】（2025•虹口区二模）已知函数的表达式为，． （1）解不等式：； （2）若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值． 【答案】（1），；（2）4． 【分析】（1）根据对数的运算，对数函数和指数函数的单调性解不等式即可； （2）根据条件可得出，然后根据的范围可求出的范围，然后根据对勾函数可求出的范围． 【解答】解：（1）由原不等式得：， ，且， ，且， ，且，解得， 原不等式的解集为，； （2）根据题意得：， ， ， 令，，则， ，则在上单调递增，时，取最小值4， 的最小值为4． 【点评】本题考查了指数函数的单调性，指数的运算，等比数列的定义，辅助角公式，对勾函数的单调性，是中档题． 优题精练·专题实战通关 1．（2026·上海·三模），是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， ， 显然当成立时，不一定成立，例如， 当成立时，显然一定成立， 所以，是的必要不充分条件. 2．（2026·上海·三模）已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】明确不等式有意义的等价条件，再结合绝对值三角不等式分别判断充分性和必要性即可 【详解】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母，等价于不同时为，即，故必要性成立. 验证充分性：若，此时； 根据绝对值三角不等式，对任意实数，恒有 ， 不等式两边同时除以正数，可得，故充分性成立. 综上，“”是“成立”的充要条件. 3．（2026·上海浦东新·三模）已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以 当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 D.：此时，式子，与题目矛盾，排除 4．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知函数，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解. 5．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 6．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 7．（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 【答案】 【详解】，则，解得或， 即， 已知全集为，补集． 8．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解. 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 9．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. $专题02 等式与不等式 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 等式与不等式的性质 考点02 不等式的求解 考点03 基本不等式及其应用 ▶高阶思维・探究拓展 重点解读01 柯西不等式与权方和不等式 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 等式与不等式的性质 题型02 不等关系与不等式 题型03 基本不等式及其应用 题型04 分式不等式 题型05 一元二次不等式及其应用 ▶重点突破・考法深研 重点01 等式与不等式的性质 重点02 运用基本不等式求最值 重点03 分式不等式 重点04 绝对值不等式 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01 运用“1”的代换构造基本不等式 技法点拨02 由一元二次不等式求参与恒成立问题 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01 指、对数不等式的解法 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 等式与不等式的性质 1.方程的解集 方程：含有未知数的等式. 方程的解：使得方程左右两边相等的未知数的值. 方程的解集：以方程的所有解为元素组成的集合. 2.韦达定理 若一元二次方程（其中，且）的两个根为和，则： 3.两个实数的大小关系（作差法的依据） 对于实数，则有： 4.不等式的性质 大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（）、小于等于号（）统称为不等号，用不等号连接两个表达式，就得到一个不等式. （1）传递性 设均为实数，若且，则. （2）加法单调性 设均为实数，若，则. （3）乘法单调性 设均为实数：若且，则；若且，则. 5.常用不等式 定理：对任意实数和，总有：且等号当且仅当时成立. 6.“作差法”比较两个代数式值的大小 （1）作差并整理； （2）常用因式分解或配方（针对某个参数配方）； （3）判断因式或各部分的符号； （4）利用不等式基本性质得出结论. 7.常用结论 （1）不等式的同向可加性 若且，则：且 （2）不等式的倒数性质 若，则： 若且，则： （3）不等式的同正同向可乘性 若且，则： （4）不等式的乘方性质 若，则对任意正整数，有： （5）不等式的开方性质 若，则对任意整数，有： 【新题对点练】（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【新题对点练】（2026·上海金山模拟）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 考点02 不等式的求解 1.解不等式（组） 不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值. 不等式的解集：一个不等式的解的全体所组成的集合. 不等式的求解（解不等式）：求不等式解集的过程. 不等式组：将含有相同未知数的多个不等式联立起来. 解不等式组：求不等式组中所有不等式的解集的交集. 2.一元一次不等式的求解（以关于的不等式为例，其中） （1）当时，解集为； （2）当时，解集为； （3）当且时，解集为； （4）当且时，解集为. 3.一元二次不等式的解 （1）定义 设为实数，且，形如：的不等式统称为一元二次不等式. （2）一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系（以为例） 判别式 二次函数（）的图像 一元二次方程 的根 两个相异实根（） 两个相等实根 没有实数根 的解集 的解集 的解集 的解集 4.分式不等式的解法（其中为关于的一元多项式） 5.含绝对值不等式的解法（） 6.一元二次不等式恒成立的条件 （1）（）恒成立的充要条件： （）恒成立的充要条件： （2）（）恒成立的充要条件： （）恒成立的充要条件： 7.一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 (1)若在集合中恒成立，即是不等式的解集的子集，可先求解集，再由子集含义求解参数范围； (2)转化为函数值域问题，常通过“参变分离”后，列出参数满足的不等式，注意等号能否取到. 【新题对点练】（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 【新题对点练】（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 考点03 基本不等式及其应用 1.平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值，即对任意正数，有： 且等号当且仅当时成立. 常用不等式： 对任意实数，有：且等号当且仅当时成立. 2.平均值不等式的应用 (1)证明不等式：当不等式两边具有两个正数的和与积的形式时，可考虑使用平均值不等式. (2)求最值：已知两个正数.若积为定值，则当时，和有最小值；若和为定值，则当时，积有最大值. 应用平均值不等式求最值时，需注意三个条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可.当等号成立条件不具备时，常考虑利用函数（“耐克”函数）的单调性求解. 3.三角不等式 定理（三角不等式）：对任意实数，有：且等号当且仅当时成立. 4.常用结论 当，时： 调和平均值：；平方平均值：. （1）任意两个正数的各种平均值总是介于这组数的最大值和最小值之间，且有如下链式不等式（当且仅当时取等号）： 上述结论可推广到一组正数的情形. （2）平均值不等式推广： 若为个正数，则：当且仅当时等号成立. （3）对任意实数，有：注：当为复数或向量时，该结论也成立. 【新题对点练】（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为______. 【新题对点练】（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 难点解读01 柯西不等式与权方和不等式 柯西不等式 设均为实数，则当且仅当时，等号成立. 【注意】当时，等号成立. 当时，上式可变形为重要不等式： 权方和不等式 设，则当且仅当时取等号（常用于速求一些分式和的极值）. 证明： 欲证 两边同乘，得 方法一：不等式①的左边 当且仅当即时取等号. 方法二：不等式①可化为与的形式，由柯西不等式可得，因此权方和不等式可看成柯西不等式的变形. 【注意】这两种不等式我们只研究二维代数形式. 难点破解 【典例1】已知正数满足，求的最小值. “1”的代换的基本问题，按照此类问题的通用解法处理即可. 常见错误分析 不少同学在最开始做此类问题时，会这么来写： 因为且 所以 所以的最小值为12. 这样的做法，错在哪了？ 事实上这个方法有两次放缩： 第一次：当且仅当，即时取等号. 第二次：当且仅当时取等号. 显然第一次、第二次放缩的等号并不能同时取到，所以最小值并不是12. 使用基本不等式时，尤其是多次连用基本不等式后，一定不要忘记验证等号成立的条件. 【典例2】已知且，求的最小值. 素养进阶·答题技法突破 题型01 等式与不等式的性质 考情定位：本考点是上海高考开篇固定必考的基础题型，属于等式与不等式章节的核心送分考点，年年必考，分值稳定在4~5分。命题位置通常为填空题第1-2题或选择题第1题，难度偏低，以基础概念考查为主，偶尔结合函数单调性、代数式变形做轻度综合，是全卷必须拿满的基础得分点。 核心考法：① 依托不等式基本性质，判断给定条件下代数式的不等关系是否恒成立；② 用作差法、作商法比较两个代数式的大小关系；③ 结合特殊值法，快速排除不成立的不等式选项；④ 结合一元一次、一元二次不等式求解，考查集合的交并补运算（常与集合考点结合命题）；⑤ 结合幂函数、指数函数的单调性，判断变量的大小关系。 解题要点：① 判断不等式恒成立问题，优先使用“特殊值法”代入边界值快速排除错误选项；② 运用不等式乘除性质时，务必注意正负号对不等号方向的影响；③ 作差比较大小需对差式因式分解或配方，结合已知变量范围判断符号；④ 与集合结合的解集运算题，依托数轴判别端点的虚实与取舍；⑤ 含参数的不等式问题，优先讨论系数为0、空集等特殊情况，再结合数轴验证端点等号能否取到。 【典例1】（2026•上海）已知，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 题型02 不等关系与不等式 考情定位：本考点是上海高考不等式章节的基础必考题型，分值稳定在4~5分，多位于填空前3题或选择前2题，难度偏低，侧重基础应用，是必拿分的基础考点。 解题要点：① 结合实际情境，将文字表述转化为不等式（组）；② 依据不等式性质，推导并判断不等关系的真假；③ 用作差、作商法比较代数式的大小；④ 结合函数单调性，判定变量或函数值的大小排序；⑤ 与集合、充要条件结合命题考查。 解题要点：① 列不等式时抓住“至少、至多”等关键词，准确对应符号；② 乘除变形时注意正负号对不等号方向的影响；③ 比较大小优先作差，通过因式分解或配方判号；④ 判断命题真假可用特殊值法快速排除错误选项；⑤ 结合集合、充要条件题型，先求解范围再判定关系。 【典例2】（2024•上海），，，，下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 题型03 基本不等式及其应用 考情定位：上海高考不等式模块的核心基础考点，多以填空、选择题形式出现，分值4~5分，侧重公式条件判定与基础应用，难度中等偏下，是必须拿分的基础题型。 核心考法：①考查基本不等式"一正二定三相等"的成立条件;②依托基本不等式判断代数式的不等关系是否恒成立;③利用基本不等式证明简单的不等关系;④结合代数式拆凑变形，考查公式的灵活套用。 解题要点：①使用前先验证"正数、定值、等号可取”三个核心条件;②证明题优先通过拆项、凑项构造基本不等式形式;③判断题可代入特殊值快速排除错误选项;④最终必须验证等号成立的条件是否符合题意。 【典例01】（2026•上海）已知，则的最大值为 ． 【典例02】（2025•上海）设，，，则的最小值为　 　 ． 题型04 分式不等式 考情定位：上海高考基础必考题型，常出现在填空前几道，或与集合考点结合命题，分值4~5分，难度偏低，是不等式求解的基础得分点。 核心考法：①求解一元一次分式不等式;②求解可因式分解的高次分式不等式;③含参数的分式不等式分类讨论;④与集合交并补运算结合考查解集。 解题要点：①先移项通分，将右侧化为0，严禁直接去分母;②转化为整式不等式(组)时，必须标注分母不为0;③高次分式不等式优先用穿根法求解;④含参数时先讨论系数正负，再验证端点能否取到。 【典例01】（2026•上海）关于的不等式的解集为___________ ． 【典例02】（2025•上海）不等式的解集为　 　 ． 【典例03】（2025•上海）不等式的解集为___________． 题型05 一元二次不等式及其应用 考情定位：上海高考不等式章节的核心基础考点，年年必考，常与集合、二次函数结合命题，分值4~5分，难度偏低，是全卷必须拿满的基础得分点。 核心考法：①求解标准型、含参数型一元二次不等式;②已知不等式解集，反求参数的值或范围;③一元二次不等式在实数集、区间上的恒成立问题;④结合二次函数图像，考查对应方程根的分布。 解题要点：①先将二次项系数化为正，结合对应二次函数图像求解;②已知解集可利用韦达定理反推参数; ③恒成立问题优先分析开口方向与判别式;④含参数时，按二次项系数、判别式、根的大小依次分类讨论。 【典例01】（2024•上海）已知，则不等式的解集为 　 　． 重点01 等式与不等式的性质 在不等式性质辨析类问题中，可借助赋值代入检验命题真伪，例如判断相关命题是否恒成立，可选取正负、边界特殊值代入，快速甄别错误选项.需要注意的是，举反例仅可否定命题，不能直接证明命题成立，留存的正确选项仍要依托不等式性质、函数单调性完成逻辑推导，同时重点关注运算变形的适用前提. 【典例01】（2026•浦东新区二模）已知实数、、满足，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例02】（2026•松江区二模）若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【典例03】（2026•杨浦区二模）若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． ． 【典例04】（2026•浦东新区模拟）已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 重点02 运用基本不等式求最值 在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式的最小值，可以利用均值不等式从而得出最小值为2，并且在时取到最小值．需要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证． 【典例01】（2026•黄浦区三模）已知实数，满足，则的最大值为　　 ． 【典例02】（2026•杨浦区二模）设正实数，满足，则的最小值为_________． 【典例03】（2026•宝山区二模）设，则的最小值为　　 ． 【典例04】（2026•松江区二模）已知函数且的图像过定点，正实数、满足，则的最小值为_________． 重点03 分式不等式 将分式不等式转化为普通不等式，并限定分母部分不为零，找出符合不等式的区间．综合各区间解，写出最终解集． 【典例01】（2026•嘉定区二模）解不等式，则不等式的解集是_________． ． 【典例02】（2025•浦东新区三模）不等式的解集为_________． 【典例03】（2026•静安区模拟）不等式的解集为_________． 【典例04】（2026•闵行区模拟）不等式的解集为__________． 基础题． 重点04 绝对值不等式 在求解绝对值不等式时，可以将含绝对值的不等式转化为普通代数不等式求解.例如，求解不等式，可以利用绝对值的意义转化为从而得到解集，并且在端点处检验等号是否成立.需要注意的是，含有多个绝对值的不等式可通过零点分段法分类求解，转化过程要保证等价，避免出现增解或漏解. 【典例01】（2026•松江区二模）不等式的解集为_________． 【典例02】（2026•杨浦区模拟）已知集合，，则_________． 【典例03】（2026•黄浦区模拟）如果关于的不等式，的解为一切实数，那么的取值范围是_________． 【典例04】（2026•静安区模拟）不等式解集为_________． 技法点拨01 运用“1”的代换构造基本不等式 在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题． 【典例01】（2026•宝山区模拟）已知，，，则的最小值为_________． 【典例02】（2026•静安区模拟）已知实数，，且，求的最小值_________． A． B． C． D． 技法点拨02 由一元二次不等式求参与恒成立问题 在处理一元二次不等式求参与恒成立问题时，可结合解集端点、集合包含关系或函数最值转化条件求解.例如，已知不等式解集为给定区间的真子集，可先求出不等式的解集，再根据子集关系列参数的取值范围；对于指定区间上的恒成立问题，常通过分离参数，转化为参数与对应函数最值的大小关系.需要注意的是，判断充分必要条件时，需先求出命题成立的参数充要范围，再通过集合的包含关系判定逻辑关系，同时留意自变量区间的开闭对最值取等的影响. 【典例01】（2026•金山区模拟）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是_________． 基础题． 【典例02】（2026•上海模拟）“”是“不等式在上恒成立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点01 指、对数不等式的解法 指数不等式：转化为代数不等式 对数不等式：转化为代数不等式 【典例01】（2025•虹口区模拟）“”的一个必要非充分条件是（　　） A． B． C． D． 【典例02】（2026•杨浦区二模）不等式的解集为_________． 【典例03】（2025•虹口区二模）已知函数的表达式为，． （1）解不等式：； （2）若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值． 优题精练·专题实战通关 1．（2026·上海·三模），是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·上海·三模）已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（2026·上海浦东新·三模）已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知函数，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 6．（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 7．（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 8．（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 9．（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． $