第七章 证明 单元卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦第七章“证明”单元，以定义、命题、平行线性质与判定、三角形内角和为核心，通过基础辨析、推理排序、实践探究等题，培养推理意识与几何直观，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、命题判断、平行线性质、几何原本|基础概念辨析，如第1题定义识别、第5题数学史| |填空题|6/18|命题真假、对顶角改写、作图依据|结合几何直观，如第13题直尺三角尺作图依据| |解答题|8/72|证明过程排序、三角形内角和证明与应用、三角尺实践|分层设计，如21题定理证明与应用，23题三角尺叠放探究，体现推理能力与应用意识|

第七章 证明（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 2、下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 3、给出下列语句：不许大声讲话；鸟是动物；连结A、B两点；无论为怎样的自然数，式子的值都是质数．其中不是命题的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 4、下列命题是真命题的是（   ） A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．若，则且 5、数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 6、如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 7、如图，下列条件中，能够判断的是（   ） A． B． C． D． 8、试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 9、如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 10、对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：b∥c． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为两直线平行，同位角相等 D．②处为同位角相等，两直线平行 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③平行于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号） 12、将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 ． 13、如图所示，用直尺和三角尺作直线，这种作法的依据是 ． 14、如图（，，三点在同一直线上），要使，需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，任意添加一组）． 15、已知，在△ABC中，，是边上的高，若，则 ． 16、将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 18、把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等． 19、如图，已知．求证：． 20、如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，则与相等吗？为什么？ 21、一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在△ABC中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 22、在有理数运算、整式运算的学习中．我们感受到：这部分内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律．请你类比方法解决下列问题： 观察下列等式，并回答问题： ..... (1)将写成两个正整数平方差的形式：__________； (2)观察、归纳，得出猜想：用含有字母（，且为整数）的等式表示上述的规律为：__________； (3)验证：用已学的知识验证上述发现的规律； (4)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是的倍数．这个命题是__________命题（填“真”或“假”）． 23、综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是_______． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 24、【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过△ABC的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 证明（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【答案】D 【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确． 2、下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【答案】B 【详解】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句； B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句； C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句； D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句． 3、给出下列语句：不许大声讲话；鸟是动物；连结A、B两点；无论为怎样的自然数，式子的值都是质数．其中不是命题的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：：不许大声讲话，这个语句没有对一件事物做出判断，所以不是命题； 鸟是动物，这个语句对鸟做出了判断，所以是命题； 连结A、B两点，这个语句没有对一件事物做出判断，所以不是命题； 无论为怎样的自然数，式子的值都是质数，这个语句对式子的值做出判断，所以是命题． 这四个语句中有两个不是命题． 4、下列命题是真命题的是（   ） A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．若，则且 【答案】D 【详解】解：、两点之间线段最短，原选项是假命题，不符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则且，原选项是真命题，符合题意； 5、数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 【答案】B 【详解】解：《几何原本》的作者是：欧几里得， 6、如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 7、如图，下列条件中，能够判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， A、，， ∴，不能判定，故不符合题意； B、，， ∴，不能判定，故不符合题意； C、，不能判定，故不符合题意； D、∵，， ∴ ∴，故符合题意； 8、试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 9、如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ， ， ∴A、C、D选项结论不一定正确，C选项正确． 10、对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：b∥c． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为两直线平行，同位角相等 D．②处为同位角相等，两直线平行 【答案】D 【详解】解：已知：如图，，a∥c． 求证：b∥c． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ，（两直线平行，同旁内角互补） ，， ，（同位角相等，两直线平行）． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③平行于同一条直线的两条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号） 【答案】①③ 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； ④在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题； 其中是真命题的有①③； 故答案为：①③． 12、将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 ． 【答案】如有两个角是对顶角，那么这两个角相等 【详解】解：根据命题的定义，将“对顶角相等”改写成：如图两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如图两个角是对顶角，那么这两个角相等． 13、如图所示，用直尺和三角尺作直线，这种作法的依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【详解】解：如图， ， 由画法可得：，则，这种作法的依据是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 14、如图（，，三点在同一直线上），要使，需要添加的条件是 （只用图中的数字与字母，任意添加一组）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 添加， ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：（答案不唯一）． 15、已知，在△ABC中，，是边上的高，若，则 ． 【答案】或 【详解】解：分为两种情况：①如图， 为边上的高， ， ， ∴， ∵， ； ②如图， 同理可得：， ∵， ． 故答案为：或． 16、将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴此时有， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 若，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 若，则， ∵， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 【答案】见详解 【详解】解：（1）（2）（3）是命题，它们都对事情作出了肯定的判断；（4）是命题，它对事情作出了否定的判断；（5）不是命题，只表示疑问，并未作出判断； （6）不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思． ∴（1）（2）（3）（4）是命题，（5）（6）不是命题． 18、把下列句子改写成“如果……那么……”的形式，并回答题设是什么，结论是什么． (1)和互余； (2)两个互补的角是钝角； (3)互为相反数的两个数的绝对值相等． 【答案】见详解 【详解】（1）解：如果，那么和互余；题设是，结论是和互余． （2）如果两个角互补，那么这两个角是针角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角． （3）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相等． 19、如图，已知．求证：． 【答案】见详解 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 20、如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，则与相等吗？为什么？ 【答案】(1)平行，理由见详解 (2)相等，理由见详解 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）相等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21、一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于 【定理证明】 （1）小红的证明思路是：如图1，在△ABC中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程； 【定理应用】 （2）如图2，若，，，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）45°； 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：如图，延长交于E， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∵，， ∴． 22、在有理数运算、整式运算的学习中．我们感受到：这部分内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律．请你类比方法解决下列问题： 观察下列等式，并回答问题： ..... (1)将写成两个正整数平方差的形式：__________； (2)观察、归纳，得出猜想：用含有字母（，且为整数）的等式表示上述的规律为：__________； (3)验证：用已学的知识验证上述发现的规律； (4)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是的倍数．这个命题是__________命题（填“真”或“假”）． 【答案】（1）；（2）；（3）见详解 ；（4）真 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （3）证明：； （4）解：设两个相邻奇数分别为和， 则 ， ∴两个相邻奇数的平方差一定是的倍数，该命题是真命题， 故答案为：真． 23、综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是_______． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， 成立，理由见详解 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当△ACD和△BCE没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24、【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过△ABC的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（______） ∵（平角的定义） ∴______（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）近年来，我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系．（提示：过点作） 【学以致用】（3）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】（1），两直线平行，内错角相等， （2） （3） 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，． （2）解：过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即 （3）如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $