第七章 证明单元测试2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册第七章“证明”单元卷，90分钟100分，聚焦命题真假判断、逻辑推理及几何应用，融入翻花绳、护眼灯等生活情境，适配单元复习，强化推理意识与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行线性质、对顶角、命题真假（如第2题对顶角相等）|基础概念辨析，结合图形考查空间观念| |填空题|5/20|假命题反例（如第11题举反例说明“若|a|=|b|则a=b”）|抽象能力训练，突出命题逻辑| |解答题|5/50|代数证明（如16题连续偶数平方差）、实际推理（如19题模3问题）|综合运用推理能力，联系生活情境，体现数学思维严谨性|

暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 第七章 证明 注意事项： 1.测试范围：北师大版(2024)八年级上册第七章。 2.考试时间：90分钟试卷满分：100分。 第I卷选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.如图，已知ab,∠2=60°，则() 8 6 A.∠5=60° B.∠6=120° C.∠7=60 D.∠8=60° 2.下列说法是真命题的为() A.同位角相等 B.对顶角相等 C.两点之间直线最短 D.如果两直线平行，那么同旁内角相等 3.如图，直线AB,CD相交于点O,OT⊥AB于O,CEll AB交CD于点C,若 ∠EC0=25°，则∠COT的值为() C E B D A.155o B.145° C.135° D.115° 4.将一块三角板ABC(∠BAC=90,∠ABC=30°)按如图方式放置，使A,B两点分别 落在直线m,n上，添加下列一个条件，不能判定直线m∥n的是() 1/5 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 A.∠1=25°，∠2=559 B.∠ABC=∠2-∠I C.∠ACB=∠I+∠3 D.∠2=2∠1 5.下面给出的说法中，其中正确的有() (1)最大的负整数是-1： (2)在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线平行： (3)当a≤0ta=-a 时， (4)若a2=9,则a=3: (5)一组邻补角的两条角平分线构成一个直角： (6)同旁内角相等，两直线平行： A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②直线与直线之间垂线段最短： ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直：④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤两两不重合的三条直线交点个数为3个，其中正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，AB∥CD,直线I分别与AB,CD相交于点E,F,∠BEF的平分线交CD于点 G.若∠CFE=140°，则∠EGF的度数为() A.50° B.60° C.70° D.80 8.近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图 (台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB,ED∥AB,经使用发现，当 ∠EDC=126°时，台灯光线最佳，则此时∠DCB的度数为() 2/5 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 D B A A.126° B.136° C.144° D.154° 9.某市开展青少年足球比赛，5所中学各派1支球队参加.每2支球队之间都要进行一场 比赛，规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.比赛结束后，各球队积分都 不相同.已知各场比赛均分出了胜负，则这5支球队积分的中位数是() A.3分 B.6分 C.9分 D.12分 10.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，如图①是翻花绳中的“蝴蝶”图案，图②是其平 面示意图，己知ADI‖BC,∠AFB=∠AEB=34°，∠BFC+∠EHF=180°，则∠AED的度 数为() F H 图① 图② A,110 B.112° C.114o D.116 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 1,说明企题“如果V厅>0，那么4>0”是假命腿，只若举出一个反例，反制中的a= (写出一个即可) 12.已知命题P~点M(,）,N(为)在一次函数=匹+b(a0)的图象上，若 <元，则1<片，请写出能说明P为假命愿的一组“，b的值：a b= 3/5 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 13.可以用一个m的值说明命题“正数的算术平方根一定大于它的立方根”是假命题，这 个值可以是m= 14.用一组a,b,c的值说明命题“如果a>b,那么aC>bC”是假命题，这组值可以是 a= b= 15。我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性.若（α≥0）不是某个有 理数的平方，则方程x=a在有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程 x=b 在有理数范围无解.而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好 处.根据你对实数的理解，选出正确命题的序号 ①x”=3在实数范围内有解：②x2w-5=0在实数范围内的解不止一个：③x+x2=5在实 数范围内有解，其中一个解介于l和2之间；④对于任意的(a≥0)， 恒有va≥G 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16.说明“两个连续偶数的平方差是4的倍数”是真命题， 17.将“两个负数之差是负数”改写成“如果…那么…”的形式，再判断它是真命题， 还是假命题？如果是真命题，请说明理由.如果是假命题，请举出反例来说明， 18.已知命题①：一个锐角和一个钝角一定互为补角.命题②：两条边和它们的夹角对应 相等的两个三角形全等. (1)请将上述两个命题改写成“如果…那么…”的形式： (2)判断这两个命题是真命题还是假命题.若是假命题，请举一个反例. 19.在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑。 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：12÷3=40记作“12模 3=0”:16÷3=5…1记作“16模3=1”；11÷3=3…2记作“11模3=2”. (1)直接写出结果：36模3= 一；100模3= (2)命题：如果a模3=0，其中a为正整数，那么10a模3=0.这个命题是真命题，证明过 程如下：若a模3=0，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设a=3k(k为正整数)； 则10a=30k=3×10k: 4/5 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 NH 所以10a能被3整除， 即10a模3=0 命题：如果a模3=1，其中a为正整数，那么10a模3=1.是否正确？若正确，请证明， 若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模3=1，b模3=2，其中a、b为正整数，那么(a+b)模3=0 20.现在黑板上写有x个字母A,y个字母B,z个字母C,小明每次在黑板上擦去两个不 同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C. (1)若x=2,y=5,z=3,试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若x+y+z=2026,试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母. 5/5暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第七章 证明 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）八年级上册第七章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； B、， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； C、， ，故该选项错误，不符合题意； D、， ， ， ，故该选项正确，符合题意． 2．下列说法是真命题的为（     ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．两点之间直线最短 D．如果两直线平行，那么同旁内角相等 【答案】B 【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质、线段的性质进行判断即可． 【详解】解：A． 同位角相等需以两直线平行为前提，原命题为假命题． B． 对顶角相等，为真命题． C． 两点之间线段最短，原命题中直线的表述错误，为假命题． D． 两直线平行时同旁内角互补，原命题中相等的表述错误，为假命题． 3．如图，直线，相交于点，于，交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质得出的度数，结合垂直定义及角的和差关系计算． 【详解】解：， ， ， ， ． 4．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，添加下列一个条件，不能判定直线的是（     ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理，结合三角形内角和及平角定义，推导时与的数量关系，再逐项验证． 【详解】解：，， ， 点在直线上， ， ， 要使，则需要，即； A、若，，满足，，不符合题意； B、若，即，，不符合题意； C、若，则，整理得，，不符合题意； D、若，无法推出（仅当 时成立），不能判定，符合题意． 5．下面给出的说法中，其中正确的有（     ） （1）最大的负整数是； （2）在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线平行； （3）当时，； （4）若，则； （5）一组邻补角的两条角平分线构成一个直角； （6）同旁内角相等，两直线平行； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：（1）最大的负整数是，正确． （2）在同一个平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误． （3）当时，，正确． （4）若，则，原说法错误． （5）邻补角和为，两条角平分线分得的半角和为，构成直角，正确． （6）同旁内角互补，两直线平行，原说法错误． 正确的说法共3个， 故选：B． 6．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②直线与直线之间垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤两两不重合的三条直线交点个数为3个，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抓住各结论的适用前提与直线位置关系的多种可能，逐一判断正误． 【详解】解：①正确．②错误，垂线段最短的适用对象是点与直线，而非直线与直线． ③正确，同一平面内该结论成立． ④错误，需限定点在已知直线外． ⑤错误，两两不重合的三条直线交点个数有、、、四种可能． 正确的说法共个． 7．如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等，求出的度数，再利用角平分线的定义与两直线平行内错角相等求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 8．近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，可知，由题意可知，根据平行线的判定和性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 9．某市开展青少年足球比赛，5所中学各派1支球队参加．每2支球队之间都要进行一场比赛，规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，各球队积分都不相同．已知各场比赛均分出了胜负，则这5支球队积分的中位数是（    ） A．3分 B．6分 C．9分 D．12分 【答案】B 【分析】先计算总比赛场数和每支球队的比赛场数，结合题干条件推出各队的积分，排序后即可求出中位数． 【详解】解：∵共有5支球队，每2支球队之间赛1场， ∴每支球队共进行场比赛，总比赛场数为场，所有比赛共产生个胜场． ∵各场比赛都分出胜负，胜一场得分，负一场得分， ∴每支球队的积分胜场数，必为的倍数． 又∵各队积分互不相同，胜场数只能取，对应总胜场数为，刚好等于总胜场数，符合题意， ∴把5支球队的积分从小到大排列为， ∵个数的中位数为从小到大排列的第个数， ∴积分的中位数为，故选B． 10．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，如图①是翻花绳中的“蝴蝶”图案，图②是其平面示意图，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点G，过点G作，根据平行线的性质得出，，再根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：设与交于点G，过点G作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足条件，但不满足结论的反例，即找出满足且的即可． 【详解】解：当时，，满足命题的条件， 此时，不满足命题的结论， 因此可以作为该命题的反例．故答案为． 12．已知命题“点，在一次函数（）的图象上，若，则”．请写出能说明为假命题的一组，的值：__________，__________． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质，命题为假命题时，一次函数中随的增大而减小，因此只需一次项系数，为任意实数，任取一组符合条件的值即可． 【详解】解：若命题是假命题，则说明在一次函数中，随的增大而减小， 由一次函数的性质可知，当一次项系数时，随的增大而减小，可取任意实数， 取，，满足条件．（答案不唯一） 13．可以用一个的值说明命题“正数的算术平方根一定大于它的立方根”是假命题，这个值可以是__________ 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，即找到一个正数，使它的算术平方根不大于它的立方根． 【详解】解：当时，的算术平方根为，的立方根为，此时的算术平方根等于它的立方根，不满足原命题的结论，因此可以说明原命题是假命题．故这个值可以是． 14．用一组，，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是__________、__________、__________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需举出反例说明命题错误即可，根据不等式的性质，当为非正数时，满足，但无法得到，即可完成举例． 【详解】解：当，，时，可得，即，不满足，因此可以说明“如果，那么”是假命题． 15．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号_____． ①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，其中一个解介于和之间；④对于任意的，恒有． 【答案】 【分析】逐个判断命题，利用奇次幂、偶次幂的实数解性质判断，讨论时和时，的值，即可判断的解的范围，举特殊值反例判断． 【详解】解：对于，是奇数，任意正数在实数范围内都存在奇数次方根，因此方程在实数范围内有解，故正确． 由方程得，是正偶数，在实数范围内有两个解，因此解不止一个，故正确． 当时，， 当时，， ∴在之间，存在实数，使得成立， ∴在实数范围内有解，其中一个解介于和之间，故正确． 举反例：当时，，，此时，不满足，因此错误． 综上，正确命题的序号为． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．说明“两个连续偶数的平方差是的倍数”是真命题． 【答案】证明：设两个连续偶数为和（为整数）， 则两个连续偶数的平方差为， ，且为整数， 是的倍数， “两个连续偶数的平方差是的倍数”是真命题． 【分析】设两个连续偶数为和（为整数），计算平方差即可解答． 【详解】略 17．将“两个负数之差是负数”改写成“如果……那么……”的形式，再判断它是真命题，还是假命题？如果是真命题，请说明理由．如果是假命题，请举出反例来说明． 【答案】解：改写为：如果两个数都是负数，那么这两个数的差是负数，该命题是假命题，反例如下： 当时，满足a、b都是负数，但是，即与的差是正数， ∴原命题是假命题． 【分析】先拆分原命题得到题设和结论，改写成要求的形式，再通过举反例判断命题真假即可． 【详解】略 18．已知命题①：一个锐角和一个钝角一定互为补角．命题②：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (1)请将上述两个命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这两个命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举一个反例． 【答案】(1)命题①改写为：如果两个角一个是锐角，一个是钝角，那么这两个角互为补角； 命题②改写为：如果两个三角形有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等. (2)命题①是假命题，反例：锐角为，钝角为，则，即它们不互为补角； 命题②是真命题. 【详解】（1）略 （2）略 19．在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”． (1)直接写出结果：36模___________；100模___________． (2)命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设（为正整数）； 则； 所以能被3整除， 即模． 命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； (3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模． 【答案】(1)； (2)该命题正确． 证明：若模，则除以余，设（是非负整数）， ， 除以余数为，即模，命题为真命题． (3)证明：模， 设（为非负整数）； 模， 设（为非负整数）， ， 能被3整除，余数为0，即模，得证． 【分析】（1）根据“模”定义，即求正整数除以的余数； （2）由模，设（为非负整数），代入变形，整理成余数形式，求余数； （3）根据模的定义设、代数式，相加后因式分解，证明是3的倍数． 【详解】（1）解：，故模； ，故模． （2）略 （3）略 20．现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【答案】(1)证明：因为，，， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C， ②再擦去A、B，写上C、C， 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C， ③再擦去B、C，写上A、A， A、A、B、B、C、C、C、C、C、C， ④再擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C， 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． (2)证明：因为，， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到个A，0个B，个C， 若，则此时全是C，即可证明， 若，因为x，y除以3余数相同，故是3的倍数，假设， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，个C， 重复上述操作k次，就把个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【分析】（1）通过分步实际操作即可验证； （2）由，可得x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况，则x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同，假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同，即可验证． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $