专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （2025·河北邢台·模拟检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． （2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，是高，是角平分线， 度． 例2（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 例3（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，是的高，是的平分线，求的度数． 例4（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是高，，是的外角的平分线，且交的延长线于点，平分交于点．已知，求： (1)的度数； (2)的度数． 例5（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 模型2.双垂直模型 例1（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中， (1)如图1，若，分别是的高，求证：； (2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）； (3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：． 例2（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 例3（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，、是的高，和相交于点． (1)图中有哪几个直角三角形？ (2)图中有与相等的角吗？请说明理由． (3)若，，求，的度数． 例4（24-25七年级下·全国·单元测试）在中： (1)如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2） 可以得到，无论是锐角还是钝角，总有 ． 例5（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，，是边上的高，是边上的高，是和的交点，求的度数． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（24-25八年级上·云南曲靖·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 例2（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 例3（24-25八年级上·江西赣州·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． (1)求的度数． (2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 例4（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 例5（24-25八年级上·四川达州·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 2．（24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，的角平分线与交于点，过点作边上的高，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 6．（24-25八年级上·四川泸州·期末）在中，是高，是的平分线，，，则的度数是 ． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号） 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，的高与交于点O，若，则 ． 9．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是 ． 10．（24-25七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 11．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，分别是的高和角平分线，，求的度数． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是高，，是角平分线，和交于点O，，． (1)请直接写出的度数为______． (2)请你试着求出的度数． 13．（24-25八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 14．（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 15．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 16．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上的高，为的平分线，点E为边上的一点，连接交于点O． (1)当为边上的中线时，若，的面积为36，求的长． (2)当为的平分线时，若，求的度数． 17．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ． (2)当时，求的度数． 18．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)若点为边的中点，，的面积为30，求的长； (2)若平分，，，求的度数． 19．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 20．（24-25八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 21．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线，    (1)如图1，若，，求； (2)若点是射线上一点，过点F作直线的垂线交直线于点H，交直线于点， ①如图2，当点G与点B重合时，请写出之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点F为延长线上一点时，①中的结论还成立吗？请说明理由． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （2025·河北邢台·模拟检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)． 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∴，，， ∴由（2）可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． （2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和，得到与的关系，再根据角平分线的定义得到与的关系，即可解答； （2）利用平行线的性质得到，即可得到与的关系，即可解答； （3）根据，列方程求得的值，再根据三角形内角和定理求得，即可解答． 【详解】（1）证明：若，则， ， 分别是的高和角平分线， ，， ； （2）解：根据三角形内角和定理可得， ， ， ， ， 根据， 可得，即 解得； （3）解：根据，可得， 当时，可得 可得， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形角平分线和高有关的计算，平行线的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形内角和进行角度的转换是解题的关键． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，是高，是角平分线， 度． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， 故答案为：10． 例2（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，根据是边上的高， 得出，然后在中，利用直角三角形的两锐角互余求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，进而根据外角的性质求出． 【详解】（1）解：在中，，是的平分线， ， 是边上的高， ， ， ， 即的度数为； （2）解：是的角平分线， ， ，， ， ， 即的度数为． 例3（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，是的高，是的平分线，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理，结合已知可得的度数，从而可得和的度数，相减即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 答：的度数为． 例4（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是高，，是的外角的平分线，且交的延长线于点，平分交于点．已知，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的基本知识，涉及三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的高以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）先求得，结合，即得； （2）根据角平分线的定义可得，再求出，即可求得． 【详解】（1）解：是的高， ． ， ． ， ． （2）解：∵平分， ． ∵平分， ， ． 例5（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为； （2）解：由题意得， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （3）解：∵和的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了三角形角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角形有关的角的知识是解题的关键． 模型2.双垂直模型 例1（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中， (1)如图1，若，分别是的高，求证：； (2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）； (3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了高线的性质，角平分线的性质以及中线的性质，需熟练掌握三角形的内角和，得到是解决本题的关键． （1）根据，分别是的高由此可得垂直，即可得直角，再根据等量代换求解即可． （2）先由角平分线的性质求出，再根据三角形内角和即可求解． （3）根据中线的性质，由面积的关系可得，再根据面积可得由此可得． 【详解】（1）证明：∵，分别是的高， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，分别是的角平分线， ∴，， ∴ ， ∴ ． （3）证明：∵D是的中点， ∴，， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 例3（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，、是的高，和相交于点． (1)图中有哪几个直角三角形？ (2)图中有与相等的角吗？请说明理由． (3)若，，求，的度数． 【答案】(1)、、、、、 (2)与相等的角是．理由见解析 (3)， 【分析】本题考查了三角形的高线，熟记三角形的高线的定义以及直角三角形的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的定义，从直角顶点找出即可； （2）根据同角的余角相等解答； （3）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据对顶角相等可得． 【详解】（1）解：直角三角形有：、、、、、； （2）解：与相等的角是． 理由如下：、是的高， ，， ， 与相等的角是； （3）解：，是高， ， 在中，， ． 例4（24-25七年级下·全国·单元测试）在中： (1)如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2） 可以得到，无论是锐角还是钝角，总有 ． 【答案】(1) (2)见解析，，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （2）由垂线的定义得出，再由三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得解； （3）根据（1）、（2）直接得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点O． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示： ，理由如下： ∵，边上的高，所在直线交于点O， ∴， ∵，， ∴； （3）解：由（1）、（2）可得：． 例5（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，，是边上的高，是边上的高，是和的交点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形的高的定义以及直角三角形两锐角互余，解得，，然后在中，利用三角形内角和定理解得的度数即可． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴在中，． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（24-25八年级上·云南曲靖·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用三角形的等面积法即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 又，，， ， 解得：， 则的长为； （2）解：的边上的中线是，，， ， ， 则的面积为． 例2（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 例3（24-25八年级上·江西赣州·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． (1)求的度数． (2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 【答案】(1)，； (2)、都是“友爱三角形”，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； （2）解：、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ，， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， ， 为“友爱三角形”． 例4（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【答案】(1)和的周长的差是； (2)的长度为； (3). 【分析】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 例5（24-25八年级上·四川达州·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∵为边上的高， ∴， ∴， ． （3）证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴． 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高以及角的相关性质与运算，同时还考查了等积法． 解题的关键在于对三角形相关知识的熟练掌握与灵活应用． 【详解】①是的中线， ， 的周长， 的周长， 的周长的周长， 故①说法正确； ②在中，， ， ， ， 又，，，是角平分线， ， ， 故②说法不正确； ③，是的高， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 故③说法正确； ④，是的高， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 故④说法正确； ⑤，，，，是的高， ， ， ， 故⑤说法错误． ①③④说法正确． 故选：D． 2．（24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，的角平分线与交于点，过点作边上的高，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．再由角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，由即可求解． 【详解】解：∵，的角平分线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三线，根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，故①错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵，是的高， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴，即：；故③正确； ∵， ∴；故④正确； 故选B． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，利用三角形的面积公式列出等式是解题关键． 根据三角形的面积公式即可得． 【详解】由题意得： ， 解得． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·四川泸州·期末）在中，是高，是的平分线，，，则的度数是 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能根据知识点求出各个角的度数是解此题的关键． 根据高的定义求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：是高， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线，角平分线，直角三角形两个锐角互余， 先根据等底等高的三角形面积相等可判断①；再根据直角三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质推导②；然后根据直角三角形的性质求出，根据角平分线定义判断③；最后根据已知条件无法判断④，可得答案． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴． ∴①正确； ∵是角平分线， ∴． ∵为高线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴②正确； ∵为高， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴． ∴③正确； 根据条件不能说明， ∴④不正确． 故答案为：①②③． 8．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，的高与交于点O，若，则 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．利用直角三角形两个锐角互余求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：和是的高， ， 在中，，， ， ； 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，是的高，是的角平分线，，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形高的定义；先根据角平分线的定义得到，则，再由三角形高的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·河南南阳·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 11．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，分别是的高和角平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，由高的定义可得，进而可得，再计算出，由角平分线的定义得，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：是的高， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是高，，是角平分线，和交于点O，，． (1)请直接写出的度数为______． (2)请你试着求出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和． （1）由是角平分线得到，进而求出，根据是角平分线得到，求出，进而求出，即可求出的度数； （2）由（1）可知， 【详解】（1）解：∵，是角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴ 故答案为： （2）解：由（1）可知， 13．（24-25八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，中线；掌握三角形的中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）先求出的面积，然后根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）解：∵是直角三角形，， ∴， 又∵是边的中线， ∴． 14．（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】习题回顾：证明见解析；变式思考：相等，理由见解析；探究延伸：，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 习题回顾：先证明，，再利用三角形的外角的性质可得：，，从而可得结论； 变式思考： 先证明，，结合， 可得； 探究延伸： 先证明，， 可得， 结合，，，， 可得， 从而可得答案． 【详解】习题回顾：证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； 变式思考：， 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 探究延伸：， 证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 15．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 16．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，为边上的高，为的平分线，点E为边上的一点，连接交于点O． (1)当为边上的中线时，若，的面积为36，求的长． (2)当为的平分线时，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、高，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用三角形的面积公式得到，代入数据求出的长，再根据中线的定义即可求出的长； （2）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，，再利用三角形外角的性质以及等量代换即可求解． 【详解】（1）解：∵为边上的高， ∴， ∵，的面积为36， ∴， ∵为边上的中线， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∴． 17．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ． (2)当时，求的度数． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了中线与面积，三角形内角和性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合是的中线，的面积为6，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运算三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为； （2）解：∵，， ∴. ∵平分， ∴. ∵，， ∴， ∴. 18．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)若点为边的中点，，的面积为30，求的长； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积计算公式求出，再根据三角形中线的定义即可得到的长； （2）由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，接着求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ∵， ， 是的中点， ； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ， ， ． 19．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形外角的性质是解题的关键； （1）根据是边上的高，得，利用角平分线的性质求出 ，再利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）利用角平分线的性质表示出，然后利用高线的性质得出，再利用三角形内角和即可得出答案； （3）根据题意画出的平分线，与交于D点。画出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F，然后根据高线的性质及角平分线的性质和三角形外角的性质解答即可 【详解】解：（1）是边上的高线， ， 是的角平分线，， ， 又， ； （2）解为的角平分线， ， 是边上的高， ， ； （3）如图：作出的平分线，与交于D点．作出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F， 证明：在中，， ， 又平分， ， ． 又平分， ， ， ， ， ， ． 20．（24-25八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2），详见解析 （3）详见解析， 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质证明； （2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答； （3）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义、直角三角形的性质解答即可； 【详解】（1）解：，是高， 是角平分线， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 为的角平分线， 是边上的高， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图： 三点共线，为角平分线， ， ， ， 21．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线，    (1)如图1，若，，求； (2)若点是射线上一点，过点F作直线的垂线交直线于点H，交直线于点， ①如图2，当点G与点B重合时，请写出之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点F为延长线上一点时，①中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②成立，理由见解析 【分析】题目主要考查三角形的高线和角平分线，三角形外角的性质，结合图形，找准各个角之间的关系是解题关键． （1）根据题意得出，确定，再由角平分线得出，即可求解； （2）①根据题意得出，，利用三角形外角的性质得出，进行等量代换求解即可； ②根据垂直及等角的余角相等得出，再由角平分线及等量代换代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是的高， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）①∵，，，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $