学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（新教材青岛版，范围：九年级上册第1～2章）

**基本信息** 以相似图形与一元二次方程为核心，融合《孙子算经》古题、新能源汽车销售等真实情境，通过基础辨析、实际应用及综合探究题，梯度化考查九年级上册1-2章知识，适配9月学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似图形识别、一元二次方程定义|结合位似变换考坐标变化（第9题），体现空间观念| |填空题|5/15|根的性质、相似应用|侦察员估算距离（第13题），培养几何直观| |解答题|8/75|方程解法、相似证明、实际应用|新能源汽车销售（第20题）考增长率与利润，渗透模型观念；折叠问题（第23题）综合平行四边形性质，发展推理能力|

11 2026-2027学年年九级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16.（8分） (1)（用配方法解） (2)（用适当的方法解） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（9分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 4 5 6 7 8 9 10 D A B B C C A D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.-2 12.3 13.252 14.7 15.①③④ 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16、17、18、19每题8分，20题每题9分，21题每题7分， 22题每题12分，23题每题15分。 16.【解析】(1)解：-x2+4x-3=0 -x2+4x=3 x2-4X=-3 x2-4x+4=-3+4 x-22=1 X-2=±1 .X1=3,X2=1;(4分) (2)解：3xx-1=2-2x 3xx-1+2x-2=0 3xx-1+2x-1=0 x-13x+2=0 x-1=0或3x+2=0 x1.x系(8分 17.【解析】(1)，关于x的一元二次方程x2-2(k-)+k(k+2)=0有两个不相等的实数根， △=[-2(k-1)]2-4k(k-2)=-16k+4>0, 1 解得：k<4,(4分) 118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)当k=0时，原方程为x2+2xx(x+2)=0, 解得：1=0，X3=-2 ∴.当k=0时，方程的根为0和-2.(8分) 18.【解析】】(1)解：BC=8,BE=3, ..EC=C=BC-BE=5. ,∠ABC=∠AEF=90°」 ∴.∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF=90°， .∠BAE=∠CEF, CD⊥BC, ∠ECF=90°， .∠ABE=∠ECF=90°， .△BAE一△ECF, AB BE ·ECCF 23 即jCF, 解得C℉=5 :(4分) (2)解：设BE=x,则CE=8-X, 由(1)得，△BAE一△ECF, AB BE ·ECCF 2= 8-x6 整理得，x-8x+12=0, 解得X1=2,2=6, 经检验，X1=2,X2=6是原方程的解， BE的长为2或6.(8分) 19.【解析】(1) 如图，△ABC即为所作； 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6 5 3 (4分) C B 012345678910x (2)解：：△ABC一△ABC,且相似比为2 C1=2.(8分) .C2 20.【解析】(1)解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x, 由题意得，31+x2=4.32,(2分) 解得x=0.2=20%或x=-2.2(舍去)，(3分) 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为20%：(4分) (2)解：设汽车的售价下调m万元， 由题意得，25-15-ml8+ m =96,(6分) 0.5 整理得m-6m+8=0, 解得m=2或m=4,(7分) ,此次销售尽量让利于顾客， .m=4, .25-m=21, 答：下调后每辆汽车的售价为21万元.(8分) 21.【解析】解：.MN⊥CF,AB⊥CF,DE⊥CF, ∴.∠MNC=∠ABC=∠MNF=∠=90， .'∠MCN=∠ACB,∠MFN=∠DFE, ∴.△MNC一△ABC,△MNF一△i,(3分) MN_NC MN NF ”ABBC,DE=EF,(4分) .BC=2EF=2, 3/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.EF=1, .AB=2,DE=2, ·MN=NCMW-NE 2-2’2-1 ∴.MN=CN=2NF.(5分) CF=CN+NF,BC=2,BE=85.5,EF=1, CF=MN+号N=-2+855+1=8阳5，(6分y 解得MN=59, ∴.文元塔的高度MN为59m.(7分) 22.【解析】(1) 不是，理由如下： x2-2x+1=0,(2分) x-1=0, 解得X=1, x2-X+2=0, 4=-12-4×2<0 该方程无根，(3分) 故方程x2-2x+1=0与x-x+2=0不是互为“友好方程”. (2)解：，关于x的方程x+3x+2m=0与x-mx+3=0互为“友好方程”， 3×2m=-3m2 解得m1=0,m2=-2 当m=0时，方程x2-m2x+3=0无解， 方程x2+3x+2m=0变为x2+3x=0, 解得X1=0,X2=-3, 故m=0不符合题意；(5分) ②当m=-2时， 方程x2-m2x+3=0变为x2-4x+3=0, 解得X1=3,X2=1, 方程x+3x+2m=0变为x2+3x-4=0, 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得X1=1,X2=-4, 此时有共同的根x=1,此时符合题意： 综上所述，m=-2.(7分) (3)解：，以p为两个方程的相同的根， ∴.p+ap+2b=0,p2+2ap+b=0, ip=b (8分) 9是方程②的一个实数根， p9=2q=b,(9分) a ∴.q=a,(10分) .p+q=-2a, ∴.p=-3a.(12分) 23.【解析】(1) 证明：，四边形ABCD是平行四边形 AD‖BC, ∴.∠AEB=∠EBG(2分) ,平行四边形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，折痕交AD于点E,点A的对应点为F,延长EF交BC于 点G ∴.∠AEB=∠GEB ·∠EBG=∠GEB .GB=≥式.(4分) @AE=DE,由。 如图，取ED的中点F,连接OF, Ac- D B 图(2) ,O是BD的中点， ∴.OF是△BED的中位线，(5分) 5/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .OF‖BE, .∠3=∠4，∠1=∠2 折叠， .∠1=∠3，AE=EO, ∴.∠2=∠4， ∴EF=EO, :AE=EF=号ED:(8分) 2 (3)解：如图，当点E在点P右侧时，过点E作EG⊥BC于点G, A-- 图(3) 同理(1)可得EN=BN, .AB=6,∠A=60°，BP⊥AD .AP=3, PE=2, ..AE=EF=5, ,四边形ABCD是平行四边形， AD‖BC,则EM‖BN, .△EFM一△NFB, EM EF 小BNFN,(1分) 设FN=a,则BN=EF+FN=5+a, ,BP⊥AD,EG⊥BC,ADBC, ∴.∠PBG=∠BGE=∠BPE=90°， .四边形PBGE是矩形， ..BG=PE=2,EG=PB=AB2-AP2=33, .GN=5+a-2=3+a, 在Rt△EGN中，EN2=EG+GN2, 618 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴5+a2=332+3+a2, 解得：q=11 4 EM_5_20 .BN1111: 4 如图，当点E在点P左侧时，过点E作EG⊥CB,交CB的延长线于点G, A军up D 同理可得：四边形BPEG为矩形， ..BG=EP=2,EG=BP=33 根据折叠可得：∠AEB=∠FEB,EF=AE=AP-EP=3-2=1, .180°-∠AEB=180°-∠FEB, 即∠PEB=∠BEN, .AD BC, ∴.∠NBE=∠PEB, ∴.∠BEN=∠NBE, .'EN=BN, 设NG=b,则EN=BN=NG+BG=b+2, 根据勾股定理得：EN2=NG+EG2, 即b+22=b2+332, 解得：b=23 EN=23+2=31 4 4 :NF=EN+EF=31+1=3 4 .AD BC, 718 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.△FEM-△FNB, EM=EF=1=4 .BNNF3535: 4 EM 20.4 综上，BN的值为或35·(15分) 818 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 4．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 5．如果有两边的长是方程的根，第三边的长是方程的根，那么的周长为（    ） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 6．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，则为（    ） A． B． C． D．无法确定 7．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长 短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何．大致意思是：有一根竹竿不知 道有多长，量出它在太阳下的影子长尺，同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺（丈尺，尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（  ） A．25尺 B．35尺 C．45尺 D．55尺 8．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A．（m，n+3） B．（m，n﹣3） C．（m，n+2） D．（m，n﹣2） 10．关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 12．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为_____． 13．我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米． 14．已知实数满足 ，且，则的值是_______． 15．如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是_______．（只需填序号） 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16、17、18、19每题8分，20题每题9分，21题每题7分，22题每题12分，23题每题15分。 16．解下列一元二次方程． (1)（用配方法解） (2)（用适当的方法解） 17．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)写出一个满足条件的 k 的值，并求此时方程的根． 18．如图，，，，射线于点，是线段上一点，是射线上一点，且满足． (1)若，求的长； (2)当时，求的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 20．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． (1)某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 21．文元塔位于府谷香炉山森林公园内，登塔可观赏香炉山景点及府谷、保德两县景观．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量文元塔的高度，活动报告如下： 活动主题 测量文元塔的高度 测量过程及示意图 如图，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上． 测量数据 图形说明 ，点在同一水平线上，图中所有点在同一平面内 请你根据以上活动报告，求出文元塔的高度． 22． 已知关于x的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则称它们互为“友好方程”．如与互为“友好方程”． (1)判断方程与是否是互为“友好方程”？并说明理由； (2)若关于x的方程与互为“友好方程”，求m的值； (3)材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系： ， ．已知关于x的方程①：和关于x的方程②：，p、q分别是方程①和方程②的一个实数根，且，．若方程①和方程②是互为“友好方程”，且以p为两个方程的相同的根，请用含a的代数式分别表示p和q． 23．综合与实践 学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动． 勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点． (1)任务1：初步探究． 求证：． (2)创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ． 任务2：猜想与验证． 猜想，之间的数量关系，并加以证明． (3)开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ． 任务3：求两线段的比值．过点 作于点， 若 ，请直接写出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 4．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 5．如果有两边的长是方程的根，第三边的长是方程的根，那么的周长为（    ） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 6．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，则为（    ） A． B． C． D．无法确定 7．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长 短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何．大致意思是：有一根竹竿不知 道有多长，量出它在太阳下的影子长尺，同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺（丈尺，尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（  ） A．25尺 B．35尺 C．45尺 D．55尺 8．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A．（m，n+3） B．（m，n﹣3） C．（m，n+2） D．（m，n﹣2） 10．关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 12．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为_____． 13．我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米． 14．已知实数满足 ，且，则的值是_______． 15．如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是_______．（只需填序号） 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16、17、18、19每题8分，20题每题9分，21题每题7分，22题每题12分，23题每题15分。 16．解下列一元二次方程． (1)（用配方法解） (2)（用适当的方法解） 17．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)写出一个满足条件的 k 的值，并求此时方程的根． 18．如图，，，，射线于点，是线段上一点，是射线上一点，且满足． (1)若，求的长； (2)当时，求的长． 19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 20．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． (1)某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 21．文元塔位于府谷香炉山森林公园内，登塔可观赏香炉山景点及府谷、保德两县景观．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量文元塔的高度，活动报告如下： 活动主题 测量文元塔的高度 测量过程及示意图 如图，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上． 测量数据 图形说明 ，点在同一水平线上，图中所有点在同一平面内 请你根据以上活动报告，求出文元塔的高度． 22． 已知关于x的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则称它们互为“友好方程”．如与互为“友好方程”． (1)判断方程与是否是互为“友好方程”？并说明理由； (2)若关于x的方程与互为“友好方程”，求m的值； (3)材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系： ， ．已知关于x的方程①：和关于x的方程②：，p、q分别是方程①和方程②的一个实数根，且，．若方程①和方程②是互为“友好方程”，且以p为两个方程的相同的根，请用含a的代数式分别表示p和q． 23．综合与实践 学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动． 勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点． (1)任务1：初步探究． 求证：． (2)创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ． 任务2：猜想与验证． 猜想，之间的数量关系，并加以证明． (3)开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ． 任务3：求两线段的比值．过点 作于点， 若 ，请直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材青岛版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义．根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解． 【详解】解：、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意， 故选：． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义即可求解. 【详解】A. 是一元一次方程，故错误；     B. 含有两个未知数，故错误；     C. 为一元二次方程，正确；     D. 含有分式，故错误， 故选C. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点. 3．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，求代数式的值，利用方程根的定义，将代入方程后变形即可求解． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ， ∴ ， 故选A． 4．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 5．如果有两边的长是方程的根，第三边的长是方程的根，那么的周长为（    ） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 【答案】B 【分析】解出两边长为和，第三边长为或，根据三角形三边关系，的三边长分别为、、，即可求解，本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，解题的关键是：牢记三角形构成条件． 【详解】解：，解得：，， 两边的长分别为和， ，解得：，， 的第三边长为或， ， 不符合题意，舍去， 的三边长分别为、、，周长为， 故选：． 6．如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，则为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得，则可得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 故选：B． 7．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长 短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何．大致意思是：有一根竹竿不知 道有多长，量出它在太阳下的影子长尺，同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺（丈尺，尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（  ） A．25尺 B．35尺 C．45尺 D．55尺 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为尺，依题意， ， 解得（尺）， 故选：C． 8．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可． 【详解】解：根据题意得：； 故答案为：． 故选C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键． 9．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A．（m，n+3） B．（m，n﹣3） C．（m，n+2） D．（m，n﹣2） 【答案】A 【分析】过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，设C（x,y），则CD=y-2、AD=-x、C′D′=2-n、AD′=m,根据位似比为1：2得比例式，计算即可． 【详解】过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′， 设C（x，y）， 则CD=y﹣2、AD=﹣x，C′D′=2﹣n，AD′=m， ∵△ABC与△AB′C′的位似比为2：1， ∴,, 解得：x=﹣m，y=﹣n+3， ∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3）. 故选A． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质，掌握两个图形必须是相似形是解题的关键，注意相似三角形的性质的灵活运用． 10．关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与方程根的定义，对于说法①，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根；对于说法②，通过已知条件推导、与的关系，再代入目标方程计算判别式；对于说法③，将已知根代入原方程，再验证目标值是否满足新方程． 【详解】解：对于①，无实数根， ； 方程的判别式， 也无实数根，故①正确； 对于②，， ，代入得，化简得； 将、代入，得； ，两边除以得， 其判别式， 有两个相同的实数根，故②正确； 对于③，是的根， ； 将代入，得， 是的根，故③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数是3． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 12．已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为_____． 【答案】3． 【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：∵方程2x2+4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根， ∴△＝42﹣4×2×（m﹣1）＝24﹣8m＝0， 解得：m＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是得出方程24﹣8m＝0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程是关键． 13．我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有国军队在活动，为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离约为，食指长约为，旗杆高度为米，则对方与我军距离约为____________米． 【答案】 【分析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案． 【详解】解：63cm=0.63m，AB=7cm=0.07m， ∵AB∥CD， ∴△ABO∽△CDO， ∴ 即 d=252（m）， 故答案为：252． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的对应高的比等于相似比分析是解题关键． 14．已知实数满足 ，且，则的值是_______． 【答案】7 【详解】解：∵实数满足 ，且， ∴是方程的两个根． ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查求代数式的值；一元二次方程根与系数的关系；解题关键是熟练运用根与系数关系求出式子的值，整体代入求值． 15．如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是_______．（只需填序号） 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出，是等腰直角三角形，然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后证明出，即可判断①；再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出②；求出，然后根据等角对等边可得，即可判断③；连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 平分， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又∵， ∴，故①正确； ， ， ∴，， ， ，故②错误； ∴， ， ， ，故③正确； 连接．   ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分。其中：16、17、18、19每题8分，20题每题9分，21题每题7分，22题每题12分，23题每题15分。 16．解下列一元二次方程． (1)（用配方法解） (2)（用适当的方法解） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： 或 ∴，． 17．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)写出一个满足条件的 k 的值，并求此时方程的根． 【答案】方程的根 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）取k=0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可求出方程的根． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣a）x+k（k+2）=0有两个不相等的实数根， ∴△=[﹣2（k﹣1）]2﹣4k（k﹣2）=﹣16k+4＞0， 解得：k＜ ． （2）当k=0时，原方程为x2+2x=x（x+2）=0， 解得：x1=0，x2=﹣2． ∴当k=0时，方程的根为0和﹣2． 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）取k=0，再利用分解因式法解方程． 18．如图，，，，射线于点，是线段上一点，是射线上一点，且满足． (1)若，求的长； (2)当时，求的长． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）证明，得出，代入已知条件计算即可求解； （）设，则，由（），可得关于的方程，解方程即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； （2）解：设，则， 由（）得，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，是原方程的解， ∴的长为或． 19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且相似比为， ∴． 20．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． (1)某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据10月份和12月份的销售量建立方程求解即可； （2）设汽车的售价下调m万元，根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设汽车的售价下调m万元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， ∴， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 21．文元塔位于府谷香炉山森林公园内，登塔可观赏香炉山景点及府谷、保德两县景观．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量文元塔的高度，活动报告如下： 活动主题 测量文元塔的高度 测量过程及示意图 如图，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上，在点处竖立一根高为的标杆，文元塔顶端点、标杆的顶端点与地面上的点在同一条直线上． 测量数据 图形说明 ，点在同一水平线上，图中所有点在同一平面内 请你根据以上活动报告，求出文元塔的高度． 【答案】 【分析】先根据已知条件得出，根据相似三角形的性质可得，再由，可求出，最后根据可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 解得， 文元塔的高度为． 22． 已知关于x的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则称它们互为“友好方程”．如与互为“友好方程”． (1)判断方程与是否是互为“友好方程”？并说明理由； (2)若关于x的方程与互为“友好方程”，求m的值； (3)材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系： ， ．已知关于x的方程①：和关于x的方程②：，p、q分别是方程①和方程②的一个实数根，且，．若方程①和方程②是互为“友好方程”，且以p为两个方程的相同的根，请用含a的代数式分别表示p和q． 【答案】(1) 不是，理由如下： ， ， 解得， ， ∵ ∴该方程无根， 故方程与不是互为“友好方程”． (2) (3)； 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根与系数的关系，理解概念是解题的关键． （1）根据“友好方程”概念进行计算判断即可； （2）根据，求出，，再进行分类讨论，求出一元二次方程的根，判断是否有共同的根即可； （3）根据p为两个方程的相同的根，代入两个方程，即可求得，再结合q是方程②的一个实数根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵关于x的方程与互为“友好方程”， ∴ 解得，， 当时，方程无解， 方程变为， 解得，， 故不符合题意； ②当时， 方程变为， 解得，， 方程变为， 解得，， 此时有共同的根，此时符合题意； 综上所述，． （3）解：∵以p为两个方程的相同的根， ∴，， ∴， ∵q是方程②的一个实数根， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．综合与实践 学习了平行四边形的相关知识之后，李老师带领同学们上了一节“平行四边形纸片的折叠”实践探究课程，同学们分三个小组进行探究活动． 勤学小组的探究：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为， 延长交于点． (1)任务1：初步探究． 求证：． (2)创新小组的探究：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处 ． 任务2：猜想与验证． 猜想，之间的数量关系，并加以证明． (3)开拓小组的探究：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片（，）沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为 ，直线与直线交于点，直线与直线交于点 ． 任务3：求两线段的比值．过点 作于点， 若 ，请直接写出的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点 ∴ ∴ ∴． (2)，理由： 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证； （3）分两种情况讨论：当点E在点P右侧时，当点E在点P左侧时，分别画出图形，根据相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，当点E在点P右侧时，过点作于点， 同理（1）可得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，则， ∴， ∴， 设，则， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． ∴； 如图，当点E在点P左侧时，过点E作，交的延长线于点G， 同理可得：四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可得：，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年年九级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【]【/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[AJ[B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11. 12 13. 15 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(8分) (1)-x2+4x-3=0（用配方法解) (2)3x(x-1)=2-2x(用适当的方法解) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 18.(8分) e E C 19.(8分) 54 A 3 21 C B 01234567 8910x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 23.(10分) D 图(1) 图(2) 图(3) 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！