专题02 数轴动点问题（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建系统方法体系，通过分层训练实现从概念理解到复杂问题解决的能力迁移，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|设动点、表距离、列方程（含绝对值分类讨论）|从数轴基本概念到动点坐标表示的转化| |题型归纳|5类（每类1典例+3变式）|定值问题：设点-表距-化简；最值问题：定零点-分区间-验端点；变速问题：找拐点-分段写坐标；多动点：分别表坐标-代入关系；求时间：列方程-验范围|从单一动点到多变量、从匀速到变速的难度递进| |压轴挑战|10道|综合运用分类讨论与动态建模|整合数轴性质与代数推理，对接中考压轴题思维要求|

专题02 数轴动点问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点定值问题 题型二、动点最值问题 题型三、动点变速问题 题型四、多动点问题 题型五、求运动时间 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1.设动点（用t表示）：先确定起点和运动方向。2表距离（加绝对值）：数轴上两点距离 |A-B|。若不确定谁大谁小，必须加绝对值。列方程（去绝对值）：根据题眼（如“相距X单位”、“中点”），列出含绝对值的方程，然后分类讨论去掉绝对值求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点定值问题 典例1 如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1)___________；___________；___________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为___________； (3)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为， ①请你用含的代数式表示线段和线段的长； ②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)，，7 (2)3 (3)①，；②存在，，定值为 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵多项式是关于的二次多项式，一次项系数为， ∴， ∴． 故答案为：，，7； （2）解：∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕处的数是， ∴与点重合的点所表示的数为． 故答案为：3； （3）解：①∵后点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴，， ②存在， ∵， ∴当，即时，的值为定值，定值为． 题型模版 1.特征：题干末尾常问“是否为定值？”“求其值”或“证明其为定值”。 2.方法：1设点：依然用 起点 ± vt 表示所有动点（注意方向）。2表距：把表达式里的每条线段都用 “大数 - 小数” 表示。。3.代入化简：将线段代入目标式，合并同类项。若 t 的系数为 0，剩余常数项即为定值；反之则不是定值。 变式1-1．小慧发现利用数轴结合所学的代数与几何知识可以解决很多问题： (1)利用数轴找出表示和6的两点的距离为 ，中点表示的数为 ． (2)按（1）中的问题多尝试几组数，发现规律并思考：如果折叠数轴，当表示和44的点重合时，表示2025的点和表示 （填数字）的点重合；此时恰好有两数相距106，则这两数的积为 ． (3)动点A、B分别从表示和2点处出发，以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，同时C从6处以每秒个单位长度的速度向右运动，是否存在有理数使得的值为定值？若存在直接写出和定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)10；1 (2)； (3)存在，，定值为34 【详解】（1）解：和6的两点的距离为， 中点表示的数为 故答案为：10；1． （2）解：当表示和44的点重合时， ∴折叠点为， 设表示2025的点为x, ∴，解得， ∴表示2025的点和表示的点重合； 设这两个数分别为m和n， ∵折叠点为， ∴，即①， ∵两数相距106，即②， ∴①②可得，解得， ∴， ∴这两数的积为． 故答案为：；． （3）解：存在，，定值为34． 设运动时间为t秒， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴， ， ∴， 若的值为定值， 则，解得，定值为34． 变式1-2．如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足． (1)填空：__________，__________； (2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动． ①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长； ②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度． 【答案】(1)4，8 (2)①或8；②定值为6，当时，为定值 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为4，8； （2）解：由（1）可知：，， ∵M，N分别为线段的中点， ∴， ∴若6秒后，在点左边时， 由， 即， 解得：， 若6秒后，在点右边时， 则， 即， 解得：， ②运动秒后，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，为定值． 变式1-3．如图，在数轴上点A表示的数为a、点B表示的数为b，且a，b满足，表示点A与点B之间的距离． (1)求a，b的值； (2)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m，使得的值为定值？若存在，求出m的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①或10；②存在，定值为 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：①如图所示： 当时，， 若点A向右运动，点B向左运动，则运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为． ∵动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动t秒时，P点表示的数为； 下面分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时， ∵， ∴， 解得； 点A、B在相遇时，，此时A与B重合， 则， 解得； 显然，点A，B在相遇后，大于，不符合条件． 综上所述，或10； ②当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为， ， 当时，上式的值不随时间t的变化而改变． ∴存在常数，使得的值为定值， 此时． 题型二、动点最值问题 典例1 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． ①______，______； ②将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为．例如，5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取得最小值． (3)数轴上点C、D表示的数分别为4、． ①动点P从D出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与C的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从C出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点D的距离是点P到点C距离的2倍？ 【答案】(1)①，② (2)①②③ (3)① 经过秒或秒 ②或 【详解】（1）解：①， 解得 ，， 故答案为：，； ②点与表示的点重合，则此两点间的距离为， ∵折线与数轴的交点为这两个点的中点， ∴中点与A的距离为， ∴中点表示的数为， 点B与中点的距离为， 则与B点重合的点表示的数为． 故答案为：5； （2）解：① 表示数轴上点到与的距离之和， 当 时，该和最小，为． 故答案为； ② 表示点到与的距离之和等于， ∵， ∴当时等式恒成立， 整数有 ， 和为 故答案为：； ③ 表示点到2，3，4三点的距离之和， 由绝对值几何意义，当 时该和最小． 故答案为：； （3）解：① 由题意，运动 秒点表示的数为， P与C的距离是2个单位长度， 则， 解得 或 ， 即 或 ． 答：经过秒或秒，P与C的距离是2个单位长度； ② 运动秒后，点表示的数为，点表示的数为 ．依题意： 当 时，， 得 ， ， ； 当 时， ， 得 ， ， ； 当 时， ， 得 ， ， （舍）． 故答案为：或． 题型模版 1.特征：题目出现“最小值”、“最大值”、“最短距离”或“取值范围”。 2.方法：1.定零点。令每个绝对值内=0，求出临界时间 t。2.画区间。把 t 的取值范围和这两个零点画在时间轴上，分成几段。3.看端点。在每一段内，原式是一次函数（单调的）。最值一定出现在分段点（零点）或题目给定的运动端点处。你只需要把这几个关键点的 t 值代入计算，比大小即可，不用管中间过程！ 变式1-1【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 【答案】(1)6 (2)①；；②14 (3)的最小值为14，最大值为22 【详解】（1）解：点，之间的距离； （2）解：①点，之间的距离为，点，之间的距离为； 故答案为：；； ②由①可知表示的意义是点到点，的距离之和， 当在数轴上表示的点在表示和（包括和的点之间时，取得最小值，最小值为14； （3）解：的几何意义是表示有理数的点到，，6所对应的三点距离之和， 当时，的值最小，最小值为14； 当时，的值最大，最大值为22； 的最小值为14，最大值为22． 变式1-2．如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1) (2)10或8 (3)的最小值是7，此时 (4) 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时，求的值为8或10； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：， 此时：； （4）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：； 此时：． 变式1-3．如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足．已知线段的中点表示的数可以记作，A、B之间的距离为． (1)求a，b，m的值； (2)数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数； (3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段上至少存在一点T与点A构成线段，当线段的中点在线段（包含端点）上，求t最大值和最小值． 【答案】(1)，， (2)或，N表示的数为0或4 (3)最小为，最大为 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， 表示的数为：；又B表示的数为2， ∴， ∴或 表示的数为0或4； （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 设线段上有一点T，T点表示的数是x， ∴的中点， ∵的中点在线段上， ∴在线段上， ∴， ∴， ①最小值：当P点运动到1时，，解得， 当Q点运动到1时，，解得， 因此最小为； ②最大值：当P点运动到5时，，解得， 当Q点运动到5时，，解得， 因此最大为． 题型三、动点变速问题 典例1 已知点在数轴上，它们表示的数分别为，且满足，点在点的右侧且到点的距离个单位长度，点表示的数是． (1)_________，_________，_________； (2)动点从点出发以个单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位秒速度向左运动． 当点到达点后停留秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当两点相距个单位时，求的值； 我们规定两点之间为“变速区”，规则为动点从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，动点从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后也立刻恢复原速，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动，当为何值时，两点的距离是？ 【答案】(1)，，； (2)的值为或或或；的值为或． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点在点的右侧且到点的距离个单位长度， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：， ∴点从点运动到点需要秒， 当点从点运动到点的过程中，且没有相遇时，点与点相距个单位， 则，解得：； 当点从点运动到点的过程中，且相遇后，点与点相距个单位， 则，解得：（舍去）； 当点在点停留时，点与点相距个单位， 则，解得：； 当点从点向左运动，且没有相遇时，点与点相距个单位， 则，解得：； 当点从点向左运动，且相遇后，点与点相距个单位， 则，解得：； 综上可得：的值为或或或； ∵，， ∴点从点运动到点的时间需要秒，点从点运动到点的时间需要秒， ∴当点从点向右运动，且没有经过点时， ∵两点的距离是， ∴， 解得：； ∵点运动出变速区需要的时间为，点运动出变速区需要的时间为， ∴当点和点都运动出变速区时， ∵两点的距离是， 则， 解得：； 综上可得：的值为或． 题型模版 1.特征：题干出现“速度变为原来的2倍”、“立即返回”、“停止运动”或“加速/减速”。 2.方法：1找拐点，定分段。仔细读题，找出所有运动规律变化的时刻。2逐段写坐标。每一段都重新设起点。3按段列式求解。题目问什么，就在对应的时间段内列方程。最关键的一步：解出答案后，必须检查 t 是否在你假设的这一段时间范围内，不在就舍去！ 变式1-1如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为______． 【答案】(1)，，16 (2)当t为15或25时，A、B之间的距离为5 (3)1 【详解】（1）解， ，， ，， ，即， ． 答：，，． （2）解：经过t秒后，点A对应的数为，点B对应的数为， ， 当时，得，即或， 解得或． 答：当t为15或25时，A、B之间的距离为5． （3）解：点P在数轴上对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒8个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒2个单位长度，对应的数为； 当点Q在上时，速度为每秒4个单位长度，对应的数为； ①当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； ②当点M在上时，得，解（不符合题意，舍去）； ③当点M在上时，得，解得； ④当点M在上时，得，解得（不符合题意，舍去）； 当时，P、Q两点在点M处相遇，此时点M表示的数为． 答：点M表示的数为． 变式1-2．如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的2倍． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点、、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值； (3)如图2，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)，，； (2)①14；②6； (3)8 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 点到原点距离是， 点到原点距离是点到原点距离的2倍， 点到原点距离是， 由数轴可知，点在原点右侧， ， 故答案为：，，； （2）解：①由题意可知，经过秒后，点、、在数轴上对应的数分别是、、， 点在数轴上对应的数是， ，， ， ， 解得：； ②由题意可知，点一直在点左侧，则， 当点在点左侧时，此时， ， 的值始终保持不变， ， 解得：（不符合题意，舍）； 当点在点右侧时，此时， ， 的值始终保持不变， ， 解得：， 综上可知，的值为6； （3）解：由题意可知，，，，， 设运动时间为秒，则点表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， ①当点在上时，则，解得：， 此时点、均不在上，不符合题意； ②当点在上时，则，解得：， 此时点、均在上，符合题意，此时点表示的数为； ③当点在上时，则，解得：， 此时点、均在上，符合题意，此时点表示的数为； ④当点在上时，则，解得：， 此时点、均不在上，不符合题意； 综上可知，点表示的数为． 变式1-3．已知，如图，数轴上依次有、、三点，它们在数轴上对应的数分别是、、，其中、满足，点到点的距离为20． (1)求、、的值． (2)如图1，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点从点出发，以每秒1单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，、两点同时出发，在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中、两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为秒，请直接写出当为何值时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)；； (2) (3)当为4或7或10或16时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 【详解】（1）解：， ， 解得， 、在数轴上对应的数分别是、，如图所示： ， 解得； （2）解：设相遇点所对应的数是，相遇时间为，则 ，解得， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（1）知；；， ，， 动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， 走完用时为秒，走完用时秒； 动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍， 走完用时为秒，走完用时秒； 当不在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当在线段上、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 当为4或7或10或16时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 题型四、多动点问题 典例1 ．【问题呈现】 如图，在单位长度为1的数轴上有，，，四个点表示4个不同的有理数，点，表示的有理数互为相反数． 【问题发现】 （1）分别求出点、、、表示的有理数，并在数轴上将原点0的位置表示出来； 【拓展应用】 （2）点同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点和点分别以每秒6个单位长度和5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒． ①用含t的代数式表示经过秒点之间的距离； ②经过秒，若点，之间的距离为，点，之间的距离为，求的值． 【答案】 （1）在数轴上表示原点0的位置如下图所示： （2）①；②1 【详解】解：（1）因为点，表示的有理数互为相反数，且点，之间的距离为6， 所以点表示的有理数是，点表示的有理数是3， 点表示的有理数是，点表示的有理数是4； 解：（2）①t秒钟过后，点A表示的数为，点D表示的数为， 所以点A，D之间的距离为； ②t秒钟过后，点B表示的数为，点C表示的数为， 所以，， 所以． 题型模版 1.特征：同时出现 P、Q、M、N 等多个动点。 2.方法：多动点，不用慌，各自坐标写两行；中文变式代进去，同步验根防漏网。 变式1-1【问题背景】 如图，，，是数轴上从左到右的三个点，点在数轴的负半轴上，且点到点和原点的距离均为2，点在数轴的正半轴上，点，之间的距离为7． 【初步探究】 （1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ； 【拓展延伸】 （2）点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒3个单位长度和每秒5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒． ①用含的代数式分别表示点，，表示的数； ②若将点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，用含的代数式分别表示，．当时，求的值． 【答案】（1），，；（2）①点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；②，，当时，． 【详解】解：（1）点到点和原点的距离均为2， 点表示的数为，点表示的数为， 点在数轴的正半轴上，点，之间的距离为7， 点表示的数为， 故答案为：，，； （2）①由题知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为； ②点表示的数为，点表示的数为， ， 点表示的数为， ， 当时，． 变式1-2．点，在数轴上分别对应有理数，，则，两点之间的距离表示为．如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)_______，______ (2)点，同时在数轴上运动，若点向左移动了个单位长度，点向右移动了个单位长度，求． (3)点，，同时在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)3，5 (2) (3)不变， 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）点向左移动了个单位长度后表示的数为，点向右移动了个单位长度后表示的数为． 所以． （3）的值不会随着运动时间的变化而改变． 由题意得，移动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． ． ． ． 的值不会随着运动时间的变化而改变，． 变式1-3．数轴是初中数学的一个重要工具，若点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是_____； ②在①的情况下，如果，那么为_____； (2)代数式的最小值是_____． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，是最大的负整数，且， ①计算、、的值． ②点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)①；②或， (2)； (3)①，，；②的值不随着时间的变化而改变，值为． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是， 故答案为：； ②，如果，则， 解得：或， 故答案为：或， （2）解：代数式表示到的距离与到的距离之和， 即当在和之间的线段上时，距离和最小， 此时， 即代数式的最小值是， 故答案为：； （3）解：①是最大的负整数， ， ，， ，； ②由题意可知，秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 则，， ， 的值不随着时间的变化而改变，值为． 题型五、求运动时间 典例1 如图，数轴上有，，三个点，点对应的数是，点，对应的数分别为，，且，满足． (1)直接写出_____，_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动；动点到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点与动点到原点的距离相等？ (3)若数轴上有两个动点，分别从，两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3个单位长度/秒，点速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，记线段的中点为．是否存在的值，使得、、三点中的一点到余下两点的距离相等？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等； (3)或． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴动点到达原点时，动点未到达原点． 设经过秒动点与动点到原点的距离相等， 动点到达原点前：，解得：； 动点到达原点后：，解得：； 即经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等； （3）解：， 当为、中点时， ， 解得：； 当为、中点时， 解得：； 当为、中点时， ， 则， 此种情况不成立； 综上所述，或． 题型模版 1.特征：题干中出现“经过几秒”、“当t为何值时”。 2.方法：求时间，列方程；几何条件代坐标；解出双解要警惕，代入范围验真身。 变式1-1如图，点为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过6秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动；点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以2个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以4个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以6个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 【答案】(1)或 (2) (3)秒 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴A对应的数为8，B对应的数为50， 由题意可得：当时，P为，Q为， ∵， ∴，即， 解得或； （2）解：由题意可得：、的中点E、F，，A对应的数为8， ∴点P表示的数为，点E表示的数为，点Q表示的数为，点F表示的数为， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵k为定值， ∴， ∴ ∴． （3）解：∵ 而， ∴总共107个零点，107为奇数，则在第54个零点取最小，此时． ∴， ∵P表示的数为，Q表示的数为，M表示的数为，而为的中点， ∴， 解得：． ∴经过秒点M是的中点． ． 变式1-2．如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 【答案】(1)或6 (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴A为10，B为40 由题意可得：当时，P为，Q为， ∵， ∴，即， 解得或6． （2）解：由题意可得：、的中点E、F，，A为10， ∴P为，E为， Q为，F为， 则，， ∴， 设， ∴， ∵k为定值， ∴且， ∴， 综上，． （3）解：∵ 而， ∴总共25个零点，25为奇数，则在第13个零点取最小，此时． ∴， ∵P为t，Q为，M为，而为的中点， ∴， 解得：； 变式1-3．数轴上两点对应的数分别为，且满足． (1)___________，___________，线段___________； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请在数轴上找一点，使，则点表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若点在线段上，动点从点出发，以个单位长度秒速度由向的方向运动；同一时刻，另一动点从点出发，以个单位长度秒速度向正方向运动，设动点的运动时间为秒，当动点、两点相距为个单位长度时，求此时的值． 【答案】(1)；15；24 (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵数轴上两点A，B对应的数分别为a，b， ∴ 故答案为：；15；24 （2）解：设点表示的数是， 当点在点的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点在点，之间时，此时， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，C点表示的数是或； （3）解：由（2）得：C点表示的数是， 根据题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵动点P、Q两点相距为4个单位长度， ∴或， 解得：或， 即当动点P、Q两点相距为个单位长度时，此时t的值为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．距离是数学、天文学、物理学中的研究热门，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．如图一动点从原点出发向数轴正方向运动到达A点，同时一动点从原点出发向数轴负方向运动到达B点，两点相距3个单位长度，且速度之比为． (1)求A，B两点在数轴上表示的数值； (2)若P点为数轴上一点，且满足，求P点表示的数； (3)若点A处有一个钢珠以每秒2个单位长度向右滚动，同时点B处有一个钢珠以每秒1个单位长度的速度向左运动，当它碰到数轴处的钢板时立即反弹，速度保持不变．忽略钢珠的大小，设钢珠运动时间为t秒，问：是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值并求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)表示的数为2，B表示的数为 (2)1或5 (3)当时，，定值为0，当时， ，定值为，当时， ，定值为 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解方程，代数式的值与某字母无关，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）两动点速度之比为，运动的时间相同，则两动点运动路程为，由此可求得两点的运动路程，则题目可求； （2）设点 表示的数为，利用 可列方程，求解即可； （3）B 钢珠到达 处的钢板所需时间秒，分三种情况讨论当，，时，分别表示出，根据列式，让k的系数为零即可． 【详解】（1）解：∵两动点速度之比为，运动的时间相同， ∴两动点运动路程为， ∵两点相距3个单位长度， ∴A点运动路程为单位长度， B点运动路程为个单位长度， ∴ ∴表示的数为2，B表示的数为； （2）解：设点 表示的数为，则： 由 得： 或 解得或， 故P点所表示的数为1或5； （3）解：B 钢珠到达 处的钢板所需时间：秒， 当时， A处钢球所在的点表示为，B处钢球所在点表示为， ，     令 得 ， 此时（与 无关）； 当时， A处钢球所在的点表示为，B处钢球所在点表示为， ， 令 得 ， 此时 （与 无关）； 当时， ， 令 得 ， 此时（与 无关）； ∴存在常数 使表达式在特定时间段内为定值：当时，，定值为0，当时， ，定值为，当时， ，定值为． 2．已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点、对应的数分别为、，为原点．动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点的运动时间为（秒）． (1)的值为_____，的值为_____，、两点之间的距离为_____． (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____． (3)当时，通过计算判断两点的位置关系． (4)当点表示的数为正数时，问是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)重合 (4)时，不是定值；时是定值， 【分析】本题考查了列代数式，两点间的距离公式，整式的加减运算，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）易得多项式中三次项的系数为，那么可得的值，二次项系数为，则，、两点之间的距离为表示、两点的数的差的绝对值； （2）点表示的数为：点表示的数点的运动路程，点表示的数为：点表示的数点的运动路程； （3）把代入（2）中得到的代数式，计算后即可得到、两点的位置关系； （4）根据点表示的数为正数，当点到达点时停止运动，点也随之停止，可得的大致取值范围，进而表示出所求代数式，根据不同的取值范围可得所求代数式的值是否为定值． 【详解】（1）解：多项式是关于的二次多项式， ， ， 二次项系数为， ， 、两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动， 点表示的数为：， 动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动， 点表示的数为：， 故答案为：，； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 点和点重合； （4）解：当时，不是定值，当时，是定值，定值为，理由如下： ， 点表示的数为正数， ， ， 点到达点时停止运动，点也随之停止， ， 解得：， ， ， 当时，， 此时不是定值； 当时，， 此时是定值． 3．如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，，． (1)写出数轴上点，表示的数：___________，___________． (2)动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①为何值时，点到点的距离为2个单位长度； ②为何值时，点到、、三点的距离和有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)2，5 (2)①3或5；②，最小值为11 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，合理运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据长度关系运算求解即可； （2）①：运用含的式子表达出点，再分类讨论点的位置，结合距离的运算方法列式运算即可； ②：分类讨论点的位置，结合距离的运算方法列式运算即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①解：由题意可得：， 当点在点的左边时， 解得： 当点在点的右边时， 解得： 综上，或时，点到点的距离为2个单位长度； ②解：到、、三点的距离为： 当点在中间线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 当点在中间线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 当点在的右边线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 综上，时，可取最小值，最小值为． 4．如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 【答案】(1)；10 (2)或 (3)这个定值为15； 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）先表示出t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为，再根据点与点之间的距离为4个单位长度，列出方程，解方程即可； （3）先表示出t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：，再表示出，然后根据在运动过程中为定值，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是10； （2）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为， ∵点与点之间的距离为4个单位长度， ∴， 解得：或， 即当或时，点与点之间的距离为4个单位长度； （3）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：， 当P、D相遇时，， ∵当相遇时停止运动， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵在运动过程中为定值， ∴， 解得：， ∴这个定值为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，绝对值方程，整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式 5．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 6．数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2)5或1 (3)或 (4)1秒或2秒或3秒或秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离的求解方法． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）由得到或，再解方程即可； （3）分类讨论去绝对值，再解一元一次方程即可； （4）点表示的数为，设运动时间为,当时，点表示的数为，点表示的数为，则由题意得，；当时，点表示的数为，点表示的数为，由题意得，，再分别解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为， 故答案为：， 故答案为：； （2）解： 则或 解得或， 故答案为：5或1； （3）解： 时，，解得； 时，，不符合题意，舍； 时，，解得， ∴当或时，， 故答案为：或； （4）解：∵点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧， ∴点表示的数为， 秒， 设运动时间为 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则由题意得，， 即或 解得或； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 即或 解得或， 综上：运动1秒或2秒或3秒或秒后，点P与点Q相距1个单位长度． 7．已知点，，在数轴上对应的数分别为，，10，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒． （1）用含的式子表示点到点和点的距离，______，______； （2）当点运动至点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数． 【答案】（1），；（2）能，-4或-2 【分析】（1）根据题意路程=速度×时间得出结果； （2）需要分类讨论：当点P在Q的左边和右边列出方程解答． 【详解】.解：（1）PA=1·t= t；PC=（24+10）-t= 故答案为：，； （2）设点运动的时间为秒，可分两种情况讨论： ①当点还没追上点时，即点在点的左侧（如图1）， 则，， 此时， 解得 所以点所表示的数是-24+14+6=； ②当点追上并超过点时，即点在点的右侧（如图2）， 则，， 此时， 解得 点所表示的数是-24+14+8=． 综上，点开始运动后，两点之间的距离能为2个单位长度，点所表示的数为或． 【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用．解答（2）题，对t分类讨论是解题关键． 8．我们知道：若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B之间距离可表示为|a﹣b|，已知多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b． （1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　，A、B之间的距离是 　 　． （2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （i）化简|x﹣5|＋|x＋2|； （ii）直接写出点C到点A、点B距离之和的最小值是 　 　． （3）如图，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QN＝BN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，求的值． 【答案】（1），，；（2）当时，；当时，；当时，；（3） 【分析】（1）根据多项式的次数，常数项的定义分别求得的值，根据题意求得的距离； （2）（i）分三种情况讨论，当时，当时，当时，进而化简绝对值；（ii）根据（i）的结论可知当时，点C到点A、点B距离之和的最小，进而求得最小值； （3）分别表示出，进而根据，结合题意为定值，进而可得，即可求得的值． 【详解】解：（1）多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为，常数项为 故答案为：，， （2）（i）当时， |x﹣5|＋|x＋2| 当时，， |x﹣5|＋|x＋2|； 当时，， |x﹣5|＋|x＋2|； 综上所述，当时，；当时，；当时， （ii）当点位于之间时，点C到点A、点B距离之和的最小， |x﹣5|＋|x＋2|； 则最小值为 （3）点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t， 点表示的数为,点表示的数为，， QN＝BN， 为定值， 即 【点睛】本题考查了多项式的项数与次数，化简绝对值，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，整式的加减，掌握数轴上两点的距离计算是解题的关键． 9．如图①点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为____________． (3)如图③，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，现有一动点在数轴上运动，点运动到数轴上的什么位置时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【答案】(1)3； (2)8 (3)点运动到数轴上的或或或10或或270位置时，，和中恰有一个点为其余两点的奇点 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数加减运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据奇点定义进行求解即可； （2）根据点E在M、N之间时，最小，求出结果即可； （3）分六种情况讨论：当点B为的奇点时，当点B为的奇点时，当点P为的奇点时，当点P为的奇点时，当点A为的奇点时，当点A为的奇点时，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 设的奇点为P，则， ∴， ∴此时点P表示的数为：， 即数3所表示的点是的奇点； 设的奇点为Q，则， ∴， ∴此时点Q表示的数为：； （2）解：∵点是数轴上的一个动点， ∴当点E在M、N之间时，最小， ∴的最小值为； 故答案为：8； （3）解：∵点所表示的数为，点所表示的数为30， ∴； 当点B为的奇点时，， 此时点P表示的数为； 当点B为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为； 当点P为的奇点时，， ∴， ∴此时点P表示的数为：； 当点P为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为：； 当点A为的奇点时，， 此时点P表示的数为：； 当点A为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为：； 综上，点运动到数轴上的或或或10或或270位置时，，，中恰有一个点为其余两点的奇点． 10．已知两点A，B在数轴上，，点A表示的数是a，且a与互为相反数． (1)写出点B表示的数； (2)如图1，当点A，B位于原点O的同侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，4秒后两动点相遇，当动点Q到点5时，运动停止．在整个运动过程中，当时，求点P，Q所表示的数； (3)如图2，当点A，B位于原点O的异侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发2秒；当动点Q运动3秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动5秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动8秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当时，求动点P，Q运动的速度． 【答案】(1)13或 (2)点P，Q所表示的数分别为5，11或13，7 (3)点Q速度为1.5，点P的速度为1或2 【分析】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． （1）先由a与互为相反数．得出a的值，再分两种情况分别得出点B所表示的数：①当点A、点B在原点的同侧时；②当点A、点B在原点的异侧时； （2）当点A、B位于原点O的同侧时，点B表示的数是13，设点Q的运动速度为x，则点P的速度为，根据题意得出关于x的一元一次方程并求解；设运动时间为，则点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：，则，解出t，则易求得点P和点Q所表示的数； （3）根据题意先列式求出点Q的运动速度，再设点P的运动速度为x，根据，得到关于x的方程，解出x即可． 【详解】（1）解：∵a与互为相反数，， ∴， ∵， ∴点B表示的数为13或； （2）解：当点A、B位于原点O的同侧时，点B表示的数是13， 设点Q的运动速度为x，则点P的速度为， 由4秒后两动点相遇可得：， 解得， ∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2， 设运动时间为，则点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：， ∴， ∴， ∴或， ∴解得或， ∵当动点Q到点5时，运动停止，此时，解得， 时，点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：， 当时，点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：； （3）解：∵动点Q比动点P晚出发2秒；当动点Q运动3秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动5秒恰与动点Q相遇， ∴点先向右移动5秒到点C处，再向左移动5秒，此时回到点， ∴点P点与Q点在点A处相遇，此时Q点运动8秒，运动了12个单位长度， ∴点Q速度为， 设点P的速度为x， ∴点P又立即掉头以原速向右运动8秒后位置为点M处，表示的数为，此时动点Q到达点N处，表示的数为， ∵， ∴， 解得或， ∴点P的速度为1或2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴动点问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点定值问题 题型二、动点最值问题 题型三、动点变速问题 题型四、多动点问题 题型五、求运动时间 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1.设动点（用t表示）：先确定起点和运动方向。2表距离（加绝对值）：数轴上两点距离 |A-B|。若不确定谁大谁小，必须加绝对值。列方程（去绝对值）：根据题眼（如“相距X单位”、“中点”），列出含绝对值的方程，然后分类讨论去掉绝对值求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、动点定值问题 典例1 如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1)___________；___________；___________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为___________； (3)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为， ①请你用含的代数式表示线段和线段的长； ②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在请说明理由． 题型模版 1.特征：题干末尾常问“是否为定值？”“求其值”或“证明其为定值”。 2.方法：1设点：依然用 起点 ± vt 表示所有动点（注意方向）。2表距：把表达式里的每条线段都用 “大数 - 小数” 表示。。3.代入化简：将线段代入目标式，合并同类项。若 t 的系数为 0，剩余常数项即为定值；反之则不是定值。 变式1-1．小慧发现利用数轴结合所学的代数与几何知识可以解决很多问题： (1)利用数轴找出表示和6的两点的距离为 ，中点表示的数为 ． (2)按（1）中的问题多尝试几组数，发现规律并思考：如果折叠数轴，当表示和44的点重合时，表示2025的点和表示 （填数字）的点重合；此时恰好有两数相距106，则这两数的积为 ． (3)动点A、B分别从表示和2点处出发，以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，同时C从6处以每秒个单位长度的速度向右运动，是否存在有理数使得的值为定值？若存在直接写出和定值，若不存在请说明理由． 变式1-2．如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足． (1)填空：__________，__________； (2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动． ①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长； ②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度． 变式1-3．如图，在数轴上点A表示的数为a、点B表示的数为b，且a，b满足，表示点A与点B之间的距离． (1)求a，b的值； (2)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m，使得的值为定值？若存在，求出m的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 题型二、动点最值问题 典例1 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． ①______，______； ②将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为．例如，5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取得最小值． (3)数轴上点C、D表示的数分别为4、． ①动点P从D出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与C的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从C出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点D的距离是点P到点C距离的2倍？ 题型模版 1.特征：题目出现“最小值”、“最大值”、“最短距离”或“取值范围”。 2.方法：1.定零点。令每个绝对值内=0，求出临界时间 t。2.画区间。把 t 的取值范围和这两个零点画在时间轴上，分成几段。3.看端点。在每一段内，原式是一次函数（单调的）。最值一定出现在分段点（零点）或题目给定的运动端点处。你只需要把这几个关键点的 t 值代入计算，比大小即可，不用管中间过程！ 变式1-1【定义】数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离． 【应用】如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为6，动点P表示的数为x． (1)求点A，B之间的距离； (2)①点P，A之间的距离为______，点P，C之间的距离为______；（用含x的代数式表示） ②求的最小值； (3)已知动点P从点A出发，沿着数轴的正方向运动，到终点C停止运动，直接写出的最大值及最小值． 变式1-2．如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 变式1-3．如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足．已知线段的中点表示的数可以记作，A、B之间的距离为． (1)求a，b，m的值； (2)数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数； (3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段上至少存在一点T与点A构成线段，当线段的中点在线段（包含端点）上，求t最大值和最小值． 题型三、动点变速问题 典例1 已知点在数轴上，它们表示的数分别为，且满足，点在点的右侧且到点的距离个单位长度，点表示的数是． (1)_________，_________，_________； (2)动点从点出发以个单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位秒速度向左运动． 当点到达点后停留秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当两点相距个单位时，求的值； 我们规定两点之间为“变速区”，规则为动点从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，动点从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后也立刻恢复原速，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动，当为何值时，两点的距离是？ 题型模版 1.特征：题干出现“速度变为原来的2倍”、“立即返回”、“停止运动”或“加速/减速”。 2.方法：1找拐点，定分段。仔细读题，找出所有运动规律变化的时刻。2逐段写坐标。每一段都重新设起点。3按段列式求解。题目问什么，就在对应的时间段内列方程。最关键的一步：解出答案后，必须检查 t 是否在你假设的这一段时间范围内，不在就舍去！ 变式1-1如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点A、B分别同时以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，A、B之间的距离为5？ (3)如图2，将数轴在原点O、点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点P从点A出发．以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点D，同时，动点Q从点D出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为t秒．若P、Q两点在点M处相遇，则点M表示的数为______． 变式1-2．如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的2倍． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点、、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值； (3)如图2，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 变式1-3．已知，如图，数轴上依次有、、三点，它们在数轴上对应的数分别是、、，其中、满足，点到点的距离为20． (1)求、、的值． (2)如图1，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点从点出发，以每秒1单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，、两点同时出发，在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中、两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为秒，请直接写出当为何值时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 题型四、多动点问题 典例1 ．【问题呈现】 如图，在单位长度为1的数轴上有，，，四个点表示4个不同的有理数，点，表示的有理数互为相反数． 【问题发现】 （1）分别求出点、、、表示的有理数，并在数轴上将原点0的位置表示出来； 【拓展应用】 （2）点同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点和点分别以每秒6个单位长度和5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒． ①用含t的代数式表示经过秒点之间的距离； ②经过秒，若点，之间的距离为，点，之间的距离为，求的值． 题型模版 1.特征：同时出现 P、Q、M、N 等多个动点。 2.方法：多动点，不用慌，各自坐标写两行；中文变式代进去，同步验根防漏网。 变式1-1【问题背景】 如图，，，是数轴上从左到右的三个点，点在数轴的负半轴上，且点到点和原点的距离均为2，点在数轴的正半轴上，点，之间的距离为7． 【初步探究】 （1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ； 【拓展延伸】 （2）点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒3个单位长度和每秒5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒． ①用含的代数式分别表示点，，表示的数； ②若将点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，用含的代数式分别表示，．当时，求的值． 变式1-2．点，在数轴上分别对应有理数，，则，两点之间的距离表示为．如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，．请利用数形结合思想回答下列问题： (1)_______，______ (2)点，同时在数轴上运动，若点向左移动了个单位长度，点向右移动了个单位长度，求． (3)点，，同时在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 变式1-3．数轴是初中数学的一个重要工具，若点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是_____； ②在①的情况下，如果，那么为_____； (2)代数式的最小值是_____． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，是最大的负整数，且， ①计算、、的值． ②点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 题型五、求运动时间 典例1 如图，数轴上有，，三个点，点对应的数是，点，对应的数分别为，，且，满足． (1)直接写出_____，_____； (2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动；动点到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点与动点到原点的距离相等？ (3)若数轴上有两个动点，分别从，两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3个单位长度/秒，点速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，记线段的中点为．是否存在的值，使得、、三点中的一点到余下两点的距离相等？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：题干中出现“经过几秒”、“当t为何值时”。 2.方法：求时间，列方程；几何条件代坐标；解出双解要警惕，代入范围验真身。 变式1-1如图，点为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过6秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动；点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以2个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以4个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以6个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 变式1-2．如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足． (1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值． (2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系； (3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点． 变式1-3．数轴上两点对应的数分别为，且满足． (1)___________，___________，线段___________； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请在数轴上找一点，使，则点表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若点在线段上，动点从点出发，以个单位长度秒速度由向的方向运动；同一时刻，另一动点从点出发，以个单位长度秒速度向正方向运动，设动点的运动时间为秒，当动点、两点相距为个单位长度时，求此时的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．距离是数学、天文学、物理学中的研究热门，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．如图一动点从原点出发向数轴正方向运动到达A点，同时一动点从原点出发向数轴负方向运动到达B点，两点相距3个单位长度，且速度之比为． (1)求A，B两点在数轴上表示的数值； (2)若P点为数轴上一点，且满足，求P点表示的数； (3)若点A处有一个钢珠以每秒2个单位长度向右滚动，同时点B处有一个钢珠以每秒1个单位长度的速度向左运动，当它碰到数轴处的钢板时立即反弹，速度保持不变．忽略钢珠的大小，设钢珠运动时间为t秒，问：是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值并求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 2．已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点、对应的数分别为、，为原点．动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点的运动时间为（秒）． (1)的值为_____，的值为_____，、两点之间的距离为_____． (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____． (3)当时，通过计算判断两点的位置关系． (4)当点表示的数为正数时，问是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． 3．如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，，． (1)写出数轴上点，表示的数：___________，___________． (2)动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①为何值时，点到点的距离为2个单位长度； ②为何值时，点到、、三点的距离和有最小值，并求出这个最小值． 4．如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 5．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 6．数学实验室： 唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度． 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为，点B表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)利用上述表示方法，“表示的点与表示3的点之间的距离”表示为______．（不化简） (2)结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P先沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，到达点B后立刻以原速向数轴负半轴运动．点Q沿数轴负方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P与点Q相距1个单位长度？（请写出必要的求解过程） 7．已知点，，在数轴上对应的数分别为，，10，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒． （1）用含的式子表示点到点和点的距离，______，______； （2）当点运动至点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数． 8．我们知道：若数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，则A、B之间距离可表示为|a﹣b|，已知多项式7x3y2﹣3x2y﹣2的次数为a，常数项为b． （1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　，A、B之间的距离是 　 　． （2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数为x． （i）化简|x﹣5|＋|x＋2|； （ii）直接写出点C到点A、点B距离之和的最小值是 　 　． （3）如图，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以v1、v2的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QN＝BN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，求的值． 9．如图①点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为____________． (3)如图③，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，现有一动点在数轴上运动，点运动到数轴上的什么位置时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ 10．已知两点A，B在数轴上，，点A表示的数是a，且a与互为相反数． (1)写出点B表示的数； (2)如图1，当点A，B位于原点O的同侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，4秒后两动点相遇，当动点Q到点5时，运动停止．在整个运动过程中，当时，求点P，Q所表示的数； (3)如图2，当点A，B位于原点O的异侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发2秒；当动点Q运动3秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动5秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动8秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当时，求动点P，Q运动的速度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $