专题04 与数轴有关的化简求解问题有关的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦数轴四大核心应用，以基础表示为起点，逐步延伸至折叠变换、动态轨迹及创新定义，构建从具象到抽象的思维训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用数轴表示有理数|5题|结合数轴画法、数的比较与标注|从数轴三要素出发，强化数与形的对应，培养抽象能力| |数轴折叠问题|5题|涉及对称点计算、折叠中点确定|基于中点公式，延伸对称性质应用，发展几何直观| |数轴动点问题|5题|含单动点/双动点追及、距离关系|通过代数式建模运动过程，提升推理意识与运算能力| |数轴新定义问题|5题|定义“倍点”“格距点”等概念|迁移数轴基本原理解决创新问题，培养模型意识与应用能力|

专题04 与数轴有关的化简求解问题有关的四种模型 题型一 用数轴上的点表示有理数 题型二 数轴上的折叠问题 题型三 数轴上的动点问题 题型四 数轴上的新定义型问题 题型一：用数轴上的点表示有理数 1．（25-26七年级上·四川广安·阶段检测）（1）画数轴并在数轴上把下列各数表示出来： ，，，． （2）将上列各数用“”连接起来． 【答案】 （1）在数轴上表示如图： （2）． 【分析】本题主要考查了数轴比较大小，有理数的乘方，绝对值，熟练掌握相关概念是解题关键． （1）按照数轴上表示数的特点画出数轴，逐一找出各数即可； （2）根据所画数轴右边的数大于左边的数进行依次大小比较即可． 【详解】解：（1），，，； （2）由图可知：． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) ，，， 数轴表示如下所示： 则． 【分析】（1）根据点A、B表示的数找出原点即可； （2）先化简，再把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 本题考查了有理数大小比较，数轴，相反数，绝对值和乘方，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)若数轴上点与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数是__________； (3)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． ________________________________________ 【答案】(1) 如图，为原点，点所表示的数是4， (2)2或6 (3) 在数轴上表示，如图所示： ，，， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数大小，解题的关键是在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是，找出原点，以及点所表示的数即可； （2）根据数轴上两点之间的距离分情况求解，即可解题； （3）在数轴上确定表示各数点的位置，再根据数轴以向右为正方向时，右边的数总比左边的数大，最后用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）解：点表示的数为或， 故答案为：2或6； （3）解：，，， 故． 故答案为：，，，． 4．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，并指出点B所表示的数是________； (2)若数轴上点C与点B的距离为5个单位长度，那么点C表示的数是________； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】(1)3 (2)或8 (3) 在数轴上表示，如图所示． 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点表示即可得原点位置，进一步得到点所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解； （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）解：∴点B所表示的数是3． 故答案为：3． （2）当点C在点B左边时， 点C表示的数是； 当点C在点B右边时， 点C表示的数是． 故答案为：或8． （3），，， 按从小到大顺序为：． 5．（25-26七年级上·广西钦州·期中）根据数轴，回答下列问题： (1)数轴上点 A，B，C，D，E分别表示下列哪些数?填一填： A： ，B： ， C： ， D： ， E： ． (2)用“>”将数轴上表示的数连接起来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的乘方运算，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再结合数轴，进行分析，即可作答． （2）根据越在数轴的右边的数越大，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 观察数轴，得， ， ， ； （2）解：观察数轴，得． 题型二：数轴上的折叠问题 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）操作与尝试：在纸面上有如图所示的数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，    探究与应用：现打开纸面后，再次折叠，使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上、两点折叠后重合，、两点折叠后重合 (1)则数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上、两点之间的距离为2024，如果点表示的数比点表示的数大，求点、点表示的数 【答案】(1) (2)B点表示的数是或1； (3)M点表示的数是，N点表示的数是． 【分析】本题主要考查的是数轴的认识，数轴上两点之间的距离，点的对称性． （1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数； （3）依据M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称， ，而， ∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示时，，， 当点A表示5时，，， ∴B点表示的数是或1； （3）解：M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合， ∴，， 又∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是，N点表示的数是． 7．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图1，点A，B在数轴上表示的数分别为2，，则A，B两点的距离为．     (1)在数轴上，与点A的距离为5的点表示的数是____； (2)若将数轴折叠，使得点A与表示的点重合，求点B与数几表示的点重合？ (3)《庄子天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图2所示．仔细观察图2，求出的值． 【答案】(1)7或 (2)点B与数表示的点重合 (3) 【分析】此题考查数轴上两点之间的距离，中点公式，数字与图形的变化规律，找出与数据之间的联系，得出规律解决问题． （1）根据数轴上两点之间距离的表示方法，进行分类讨论即可； （2）先求出点A与表示的点的中点为，设点B与数x表示的点重合，根据中点公式，即可解答； （3）由图可知：，，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为2， ∴与点A的距离为5的点表示的数是或， 故答案为：7或． （2）解：∵点A与表示的点重合， ∴点A与表示的点的中点为， 设点B与数x表示的点重合， ∴， 解得：， ∴点B与数表示的点重合． （3）解：由图可知：，， ∴． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是______；如果数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是______； (2)如图，点、表示的数分别是、，数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图，若将此纸条沿、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点C表示的数是或； (3)最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为和． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，有理数乘方，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）找出表示的点与表示的点组成线段的中点表示数，然后结合数轴即可求得答案； （）点在线段上时，当点在点的左侧时两种情况解答； （）先求出，两点之间距离和连续对折次后的段数，再求出每两条相邻折痕间的距离，即可解得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴折痕与数轴的交点表示的数是：； ∵两点间的距离为， ∴这两点到表示数的点的距离为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：设点表示的数为， ∵， ∴点离点较近，只有两种情况： 点在线段上时，，解得：； 当点在点的左侧时，，解得：， ∴点C表示的数是或； （3）解：对折次后，每两条相邻折痕间的距离为， ∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数为：，最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：， ∴最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为和． 9．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且． (1)______，______； (2)如图2所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点与点B重合． ①点C表示的数为______； ②点D为该数轴上点C左侧的一点，沿着点C进行同样的折叠后，对应点记作点E．若点E与点B之间相距5个单位长度，借助数轴求出点D所表示的数． 【答案】(1)，10 (2)①；②或 【分析】本题考查了数轴，两点之间的距离以及有理数的运算，熟练掌握以上知识点是关键， （1）根据绝对值的非负性，进行求解即可； （2）①根据折叠确定点C表示的数； ②根据点E与点B之间相距5个单位长度，得到点D与点A的距离也是5，再根据两点间的距离，得到点D表示的数即可． 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴， 故答案为：，10； （2）解：①∵该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点与点B重合， ∴点C表示的数为：， 故答案为：； ②∵点E与点B之间相距5个单位长度，点E是点D的对应点，点B是点A的对应点， ∴点D与点A的距离也是5． ∴点D表示的数为或． 10．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且 (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)若将该数轴沿着点C折叠，如图②所示，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距3个单位长度，则点D所表示的数为 ； (3)在（2）的条件下，再将该数轴沿着点C还原．有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子狗从对应的点E沿数轴向右运动，当电子狗遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回…设机器猫每秒运动1个单位长度，电子狗每秒运动1.5个单位长度，当机器猫到点E处停止运动，此时电子狗也停止运动．求电子狗运动的路程． 【答案】(1)，4 (2)1或7 (3)电子狗运动的路程为12或30个单位长度 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，有理数乘除的实际应用．熟练掌握绝对值的非负性以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，进行求解即可； （2）根据对称性确定点表示的数，根据点E与点A之间相距3个单位长度，得到点表示的数，再根据对称性，得到点表示的数即可； （3）分两种情况，结合路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：，4； （2）∵该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合， ∴点表示的数为：， ∵点E与点A之间相距3个单位长度， ∴点表示的数为：或， ∴点表示的数为：或； 故答案为：1或7； （3）①当点E表示的数为−7，点D表示的数为1时，则， 由题意，得机器猫到达E点所用的时间为秒， 在这8秒内，电子狗一直在运动， ∴电子狗运动的路程为：个单位长度； ②当点E表示的数为−13，点D表示的数为7时，则， 由题意，得机器猫到达E点所用的时间为秒， 在这20秒内，电子狗一直在运动， ∴电子狗运动的路程为个单位长度； 答：电子狗运动的路程为12或30个单位长度． 题型三：数轴上的动点问题 11．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；4； (2)3 (3)①3；②存在t值为或，使得． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质： （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）求得中点对应的数，即可求解； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为，当点Q追上点P时，，求解即可； ②根据运动方向和运动速度分别表示出t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，然后分两种情况，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵b是最大的负整数， ∴， 故答案为：；；4； （2）解：由题意可得，中点对应的数为， ∵点B表示的数为， ∴点B与表示3的点重合； 故答案为：3； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点Q追上点P时， ， 解得， ∴t为3时，点Q追上点P； ②解：存在， 根据题意得：t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点B，Q重合时，，此时， 当点Q在点B的右侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点B的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 存在t值为或，使得． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、b满足 (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求此时在数轴上与点B重合的点表示的数． (3)动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点Q的速度是点P速度的3倍，2秒钟后，点P到达点点Q到达点C后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，当点Q改变方向后，点P与点Q相距2个单位时，求点Q表示的数． 【答案】(1)；1；6 (2)3 (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴上的动点问题等知识点． （1）根据题中已知条件及绝对值与平方的非负性，即可确定a，b，c； （2）根据折叠及轴对称的性质进行求解即可； （3）求出点P的速度，点Q的速度，设经过t秒后点P与点Q相距2个单位，分两种情况作答即可. 【详解】（1）解：， ，， ，， 是最小的正整数， 故答案为：；1；6； （2）解：点A与点C重合时，折痕表示的数为， 设与点B重合的点表示的数为x， ， 解得， 故与点B重合的点表示的数为3； （3）解：点P从原点出发，2秒钟后到达点A， ， 即点P的速度为1个单位长度每秒， ， 即点Q的速度为3个单位长度每秒， 设经过t秒后点P与点Q相距2个单位， 此时点P表示的数为， 点Q到达点C所用时间为秒， 点Q表示的数为， 根据题意，当点P在点Q左边时，， 解得， 此时点Q表示的数为； 当点P在点Q右边时，， 解得， 此时点Q表示的数为， 点P与点Q相距2个单位时，点Q表示的数为或 13．（25-26七年级上·吉林·期中）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，a，b满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点C在数轴上表示的数______． (3)现有动点P，Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；当点P出发5秒后，点Q也从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右运动，且当点Q到达A点时，点P就停止移动，设点Q运动的时间为t秒． ①当P、Q两点相距4个单位长度时，求t的值； ②当P、Q两点到原点的距离相等时，______． 【答案】(1)， (2)或 (3)①秒；②秒或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，绝对值的性质，非负数的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论． （1）根据非负数的性质可得和的值； （2）设点在数轴上表示的数为，则，，再根据题意列出方程即可求解； （3）①经过后，点表示的数为，点表示的数为，分情况讨论：点在点的左侧时；点在点的右侧时；根据题意列方程即可求解；②经过后，点表示的数为，点表示的数为，根据题意可得：，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：设点在数轴上表示的数为，则，， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述，点在数轴上表示的数为或， 故答案为：或； （3）①经过后，点表示的数为，点表示的数为， 分情况讨论： 情况一：点在点的左侧时， ， 解得：； 情况二：点在点的右侧时， ， 解得：， 又， 当点从点到达点的时间为：， ， 舍去； 综上所述，当为秒时，、两点相距个单位长度； ②经过后，点表示的数为，点表示的数为， ，， 根据题意得：， 即， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述，当为秒或秒时，、两点到原点的距离相等． 14．（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图，已知点，，是数轴上的三个点，点为原点，点，在数轴上表示的数分别为，，且，满足，点，点之间的距离记为． (1)________，________，________； (2)动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设，运动时间为秒． ①当时，求的长； ②若，求的值． ③若动点从原点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点比点，晚出发2秒，求（）为何值时，． 【答案】(1)，，； (2)①；②或；③或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题,数轴上两点间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识． （1）根据非负数的性质得到，，根据两点间的距离公式即可求出的值； （2）①根据计算即可； ②分两种情况列方程求解即可； ③分两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：，，； （2）解：①由题意可知，当时，； ②，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：； ③∵点比点，晚出发2秒， ∴当，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：． 15．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根． (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为 、 、 ； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【答案】(1)，30，10， (2)经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4 (3)10单位长度/秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，非负数的性质： （1）根据几个非负数的和为0，那么这几个 非负数的值都为0求出a、b的值，再解方程即可求出c的值即可得到答案； （2）设运动时间为t秒，则运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）设点R的运动速度为x个单位长度/秒，则点P的运动速度为个单位长度/秒，点Q的运动速度为个单位长度/秒，则运动5秒后点R表示的数为，点P表示的数为，点Q表示的数为，再分当点R为P、Q的中点时， 当点P为R、Q的中点时，当点Q为P、R的中点时，三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解方程得， ∴， 故答案为：，30，10； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵P、Q之间的距离恰好等于4， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4； （3）解：设点R的运动速度为x个单位长度/秒，则点P的运动速度为个单位长度/秒，点Q的运动速度为个单位长度/秒， ∴运动5秒后点R表示的数为，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点R为P、Q的中点时，则， 解得（舍去）； 当点P为R、Q的中点时，则， 解得（舍去）； 当点Q为P、R的中点时，则， 解得； 综上所述，点R的运动速度为10个单位长度/秒 题型四：数轴上的新定义型问题 16．（25-26七年级上·广东广州·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M、N、P，当点M在点N左侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍（n为正整数），即，则称点P是“n倍点”．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a、b满足．点O是数轴原点． (1)_________，_________．原点O_________（填“是”或“不是”）“n倍点”； (2)若点C是“3倍点”，则点C所表示的数为_________； (3)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，两点同时出发，设运动时间为t（）．作“1倍点”记为D，作“2倍点”记为E，若P恰好是“2倍点”，求此时t的值． 【答案】(1)，不是 (2)或 (3) 【分析】本题考查非负性，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键： （1）根据非负性，求出的值，根据新定义，进行判断即可； （2）设点C所表示的数为，根据新定义，列出方程进行求解即可； （3）根据新定义，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∵点在点的右侧，不满足新定义， 故原点O不是“n倍点”； （2）设点C所表示的数为，则：， 由题意，， 解得或； 故点表示的数为或； （3）由题意，点表示的数为， ∵作“1倍点”记为D， ∴， ∴点为的中点， ∴点表示的数为； 点表示的数为， ∵作“2倍点”记为E， ∴， 当点在之间时，则，故点表示的数为， 当点在点右侧时，则为的中点，故点表示的数为， ∵P恰好是“2倍点， ∴点在点的左侧，且， ∴当点表示的数为时，，解得； 此时点表示的数为，点表示的数为，符合题意； 当点表示的数为时，，解得（不符合题意，舍去）； 故． 17．（25-26七年级上·广东深圳·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 【答案】(1)；2；9 (2)G；或11 (3)秒或秒或秒． 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据非负数的性质求得和的值，再利用两点之间的距离求解即可； （2）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化； （3）根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况，分情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴M在数轴上所表示的数为，N在数轴上所表示的数为，M、N两点间的距离为， 故答案为：；2；9； （2）解：①根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． ②根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点M的左侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件． 点的右侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 综上，【M，N】美好点H所表示的数是或11； 故答案为：或11； （3）解：根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况， 第一种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第二种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，M为【N，P】的美好点，点在，之间，如图， 当时，， 因此秒； 综上所述，秒或秒或秒． 18．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 19．（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)①当点P表示的数为1时，；②当点P表示的数为5时， (4)点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数为或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 20．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与数轴有关的化简求解问题有关的四种模型 题型一 用数轴上的点表示有理数 题型二 数轴上的折叠问题 题型三 数轴上的动点问题 题型四 数轴上的新定义型问题 题型一：用数轴上的点表示有理数 1．（25-26七年级上·四川广安·阶段检测）（1）画数轴并在数轴上把下列各数表示出来： ，，，． （2）将上列各数用“”连接起来． 2．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，． 3．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)若数轴上点与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数是__________； (3)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． ________________________________________ 4．（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，并指出点B所表示的数是________； (2)若数轴上点C与点B的距离为5个单位长度，那么点C表示的数是________； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 5．（25-26七年级上·广西钦州·期中）根据数轴，回答下列问题： (1)数轴上点 A，B，C，D，E分别表示下列哪些数?填一填： A： ，B： ， C： ， D： ， E： ． (2)用“>”将数轴上表示的数连接起来． 题型二：数轴上的折叠问题 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）操作与尝试：在纸面上有如图所示的数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，    探究与应用：现打开纸面后，再次折叠，使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上、两点折叠后重合，、两点折叠后重合 (1)则数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上、两点之间的距离为2024，如果点表示的数比点表示的数大，求点、点表示的数 7．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图1，点A，B在数轴上表示的数分别为2，，则A，B两点的距离为．     (1)在数轴上，与点A的距离为5的点表示的数是____； (2)若将数轴折叠，使得点A与表示的点重合，求点B与数几表示的点重合？ (3)《庄子天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图2所示．仔细观察图2，求出的值． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是______；如果数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是______； (2)如图，点、表示的数分别是、，数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图，若将此纸条沿、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 9．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且． (1)______，______； (2)如图2所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点与点B重合． ①点C表示的数为______； ②点D为该数轴上点C左侧的一点，沿着点C进行同样的折叠后，对应点记作点E．若点E与点B之间相距5个单位长度，借助数轴求出点D所表示的数． 10．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且 (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)若将该数轴沿着点C折叠，如图②所示，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距3个单位长度，则点D所表示的数为 ； (3)在（2）的条件下，再将该数轴沿着点C还原．有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子狗从对应的点E沿数轴向右运动，当电子狗遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回…设机器猫每秒运动1个单位长度，电子狗每秒运动1.5个单位长度，当机器猫到点E处停止运动，此时电子狗也停止运动．求电子狗运动的路程． 题型三：数轴上的动点问题 11．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、b满足 (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求此时在数轴上与点B重合的点表示的数． (3)动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点Q的速度是点P速度的3倍，2秒钟后，点P到达点点Q到达点C后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，当点Q改变方向后，点P与点Q相距2个单位时，求点Q表示的数． 13．（25-26七年级上·吉林·期中）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，a，b满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点C在数轴上表示的数______． (3)现有动点P，Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；当点P出发5秒后，点Q也从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右运动，且当点Q到达A点时，点P就停止移动，设点Q运动的时间为t秒． ①当P、Q两点相距4个单位长度时，求t的值； ②当P、Q两点到原点的距离相等时，______． 14．（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）如图，已知点，，是数轴上的三个点，点为原点，点，在数轴上表示的数分别为，，且，满足，点，点之间的距离记为． (1)________，________，________； (2)动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点从点出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设，运动时间为秒． ①当时，求的长； ②若，求的值． ③若动点从原点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点比点，晚出发2秒，求（）为何值时，． 15．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根． (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为 、 、 ； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 题型四：数轴上的新定义型问题 16．（25-26七年级上·广东广州·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M、N、P，当点M在点N左侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍（n为正整数），即，则称点P是“n倍点”．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a、b满足．点O是数轴原点． (1)_________，_________．原点O_________（填“是”或“不是”）“n倍点”； (2)若点C是“3倍点”，则点C所表示的数为_________； (3)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，两点同时出发，设运动时间为t（）．作“1倍点”记为D，作“2倍点”记为E，若P恰好是“2倍点”，求此时t的值． 17．（25-26七年级上·广东深圳·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足，现回答下列问题： (1)M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______； (2)①点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是【M，N】美好点的是______； ②写出【M，N】美好点H所表示的数是______； (3)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值） 18．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 19．（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 20．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与数轴有关的化简求解问题有关的四种模型 题型一 用数轴上的点表示有理数 题型二 数轴上的折叠问题 题型三 数轴上的动点问题 题型四 数轴上的新定义型问题 题型一：用数轴上的点表示有理数 1． 【答案】 （1）在数轴上表示如图： （2）． 【详解】解：（1），，，； （2）由图可知：． 2． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) ，，， 数轴表示如下所示： 则． 3． 【答案】(1) 如图，为原点，点所表示的数是4， (2)2或6 (3) 在数轴上表示，如图所示： ，，， 【详解】（1）略 （2）解：点表示的数为或， 故答案为：2或6； （3）解：，，， 故． 故答案为：，，，． 4． 【答案】(1)3 (2)或8 (3) 在数轴上表示，如图所示． 【详解】（1）解：∴点B所表示的数是3． 故答案为：3． （2）当点C在点B左边时， 点C表示的数是； 当点C在点B右边时， 点C表示的数是． 故答案为：或8． （3），，， 按从小到大顺序为：． 5． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意，， 观察数轴，得， ， ， ； （2）解：观察数轴，得． 题型二：数轴上的折叠问题 6． 【答案】(1) (2)B点表示的数是或1； (3)M点表示的数是，N点表示的数是． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称， ，而， ∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示时，，， 当点A表示5时，，， ∴B点表示的数是或1； （3）解：M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合， ∴，， 又∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是，N点表示的数是． 7． 【答案】(1)7或 (2)点B与数表示的点重合 (3) 【详解】（1）解：∵点A表示的数为2， ∴与点A的距离为5的点表示的数是或， 故答案为：7或． （2）解：∵点A与表示的点重合， ∴点A与表示的点的中点为， 设点B与数x表示的点重合， ∴， 解得：， ∴点B与数表示的点重合． （3）解：由图可知：，， ∴． 8． 【答案】(1)，； (2)点C表示的数是或； (3)最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为和． 【详解】（1）解：∵， ∴折痕与数轴的交点表示的数是：； ∵两点间的距离为， ∴这两点到表示数的点的距离为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：设点表示的数为， ∵， ∴点离点较近，只有两种情况： 点在线段上时，，解得：； 当点在点的左侧时，，解得：， ∴点C表示的数是或； （3）解：对折次后，每两条相邻折痕间的距离为， ∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数为：，最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：， ∴最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为和． 9． 【答案】(1)，10 (2)①；②或 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴， 故答案为：，10； （2）解：①∵该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点与点B重合， ∴点C表示的数为：， 故答案为：； ②∵点E与点B之间相距5个单位长度，点E是点D的对应点，点B是点A的对应点， ∴点D与点A的距离也是5． ∴点D表示的数为或． 10． 【答案】(1)，4 (2)1或7 (3)电子狗运动的路程为12或30个单位长度 【详解】（1）解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：，4； （2）∵该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合， ∴点表示的数为：， ∵点E与点A之间相距3个单位长度， ∴点表示的数为：或， ∴点表示的数为：或； 故答案为：1或7； （3）①当点E表示的数为−7，点D表示的数为1时，则， 由题意，得机器猫到达E点所用的时间为秒， 在这8秒内，电子狗一直在运动， ∴电子狗运动的路程为：个单位长度； ②当点E表示的数为−13，点D表示的数为7时，则， 由题意，得机器猫到达E点所用的时间为秒， 在这20秒内，电子狗一直在运动， ∴电子狗运动的路程为个单位长度； 答：电子狗运动的路程为12或30个单位长度． 题型三：数轴上的动点问题 11． 【答案】(1)；；4； (2)3 (3)①3；②存在t值为或，使得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵b是最大的负整数， ∴， 故答案为：；；4； （2）解：由题意可得，中点对应的数为， ∵点B表示的数为， ∴点B与表示3的点重合； 故答案为：3； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点Q追上点P时， ， 解得， ∴t为3时，点Q追上点P； ②解：存在， 根据题意得：t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点B，Q重合时，，此时， 当点Q在点B的右侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点B的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 存在t值为或，使得． 12． 【答案】(1)；1；6 (2)3 (3)或 【详解】（1）解：， ，， ，， 是最小的正整数， 故答案为：；1；6； （2）解：点A与点C重合时，折痕表示的数为， 设与点B重合的点表示的数为x， ， 解得， 故与点B重合的点表示的数为3； （3）解：点P从原点出发，2秒钟后到达点A， ， 即点P的速度为1个单位长度每秒， ， 即点Q的速度为3个单位长度每秒， 设经过t秒后点P与点Q相距2个单位， 此时点P表示的数为， 点Q到达点C所用时间为秒， 点Q表示的数为， 根据题意，当点P在点Q左边时，， 解得， 此时点Q表示的数为； 当点P在点Q右边时，， 解得， 此时点Q表示的数为， 点P与点Q相距2个单位时，点Q表示的数为或 13． 【答案】(1)， (2)或 (3)①秒；②秒或秒 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：设点在数轴上表示的数为，则，， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述，点在数轴上表示的数为或， 故答案为：或； （3）①经过后，点表示的数为，点表示的数为， 分情况讨论： 情况一：点在点的左侧时， ， 解得：； 情况二：点在点的右侧时， ， 解得：， 又， 当点从点到达点的时间为：， ， 舍去； 综上所述，当为秒时，、两点相距个单位长度； ②经过后，点表示的数为，点表示的数为， ，， 根据题意得：， 即， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述，当为秒或秒时，、两点到原点的距离相等． 14． 【答案】(1)，，； (2)①；②或；③或． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：，，； （2）解：①由题意可知，当时，； ②，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：； ③∵点比点，晚出发2秒， ∴当，相遇前，，解得：； ，相遇后，，解得：． 15． 【答案】(1)，30，10， (2)经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4 (3)10单位长度/秒 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解方程得， ∴， 故答案为：，30，10； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵P、Q之间的距离恰好等于4， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4； （3）解：设点R的运动速度为x个单位长度/秒，则点P的运动速度为个单位长度/秒，点Q的运动速度为个单位长度/秒， ∴运动5秒后点R表示的数为，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点R为P、Q的中点时，则， 解得（舍去）； 当点P为R、Q的中点时，则， 解得（舍去）； 当点Q为P、R的中点时，则， 解得； 综上所述，点R的运动速度为10个单位长度/秒 题型四：数轴上的新定义型问题 16． 【答案】(1)，不是 (2)或 (3) 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∵点在点的右侧，不满足新定义， 故原点O不是“n倍点”； （2）设点C所表示的数为，则：， 由题意，， 解得或； 故点表示的数为或； （3）由题意，点表示的数为， ∵作“1倍点”记为D， ∴， ∴点为的中点， ∴点表示的数为； 点表示的数为， ∵作“2倍点”记为E， ∴， 当点在之间时，则，故点表示的数为， 当点在点右侧时，则为的中点，故点表示的数为， ∵P恰好是“2倍点， ∴点在点的左侧，且， ∴当点表示的数为时，，解得； 此时点表示的数为，点表示的数为，符合题意； 当点表示的数为时，，解得（不符合题意，舍去）； 故． 17． 【答案】(1)；2；9 (2)G；或11 (3)秒或秒或秒． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴M在数轴上所表示的数为，N在数轴上所表示的数为，M、N两点间的距离为， 故答案为：；2；9； （2）解：①根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． ②根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点M的左侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件． 点的右侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 综上，【M，N】美好点H所表示的数是或11； 故答案为：或11； （3）解：根据美好点的定义，M为其余两点的美好点分3种情况， 第一种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第二种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，M为【N，P】的美好点，点在，之间，如图， 当时，， 因此秒； 综上所述，秒或秒或秒． 18． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 19． 【答案】(1)5 (2)6 (3)①当点P表示的数为1时，；②当点P表示的数为5时， (4)点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 20． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $