专题01 相交线与平行线相关压轴题分类训练（7种类型56道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级下册

专题01 相交线与平行线相关压轴题分类训练 （7种类型56道） 1．如图，下列推理不正确的有（   ）地 城 类型01 综合性问题 ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：若，则，故①正确； 若，则，故②错误； 若，则，故③正确； 若，不能得到，故④错误， 故推理不正确的有②④，共2个， 故选：C． 2．如图，已知，，分别为，的角平分线，，则下列说法：①；②；③平分；④．正确的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选：B． 3．如图，为的角平分线，，平分，下列结论：①，②，③，④．正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要利用平行线的性质和角平分线的定义求解，由平行线性质及角平分线定义即可判断①②，根据平行线性质即可判断③，依据平行线之间距离处处相等，等底等高的三角形面积相等可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 故①②正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， 故③错误； ∵， ∴与是等底等高的三角形， ∴， 故④正确． 所以①②④正确． 故选：D． 4．如图，平分，，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解；∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有2个， 故选：B． 5．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A．②③ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，还有“拐点”模型，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和构造辅助线． 利用平行线的性质逐项判定即可得出答案． 【详解】解：①由题意可知，， ∴， ∴， ， 故①正确； ②根据三角板的度数可知，， ， 故②错误； ③ 如图，过点作， 又， ， ，， 又， ， 故③正确； ④由③得， ， ， 故④正确； 故选：C． 6．如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据可得，从而可得，再根据可得，再根据代入计算，即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断③；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断②和④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，则结论①正确； ∵， ∴， ∴，则结论③正确； ∵， ∴，， 但不一定等于，也不一定等于， 所以平分，平分都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③． 故选：B． 7．如图，已知平分，垂直于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理和平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行公理和平行线的性质，准确进行推理证明． 【详解】解：∵ ∴，①正确； ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴，②正确； ∵ ∴， ∵，即， ∵，即，③正确； ∵垂直于， ∴， ∵， ∴，④正确； 故选：D． 8．如图，如果，，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤中，正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出，得出，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果． 【详解】解：， ，，故②正确； ， ， ，故①正确； ，故⑤正确； 而不一定平分，不一定等于，故③，④错误； 综上分析可知：正确的有3个， 故选：C． 9．已知 ，P是截线上的一点，与，分别交于E，F．地 城 类型02 定值问题    (1)如图（1），P在AB、CD之间，若，，求的度数； (2)如图（1），当点P在线段EF上运动时，与的平分线交于Q，则是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围； (3)如图（2），当点P在线段FE的延长线上运动时，与的平分线交于Q，的值是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)15° (2)是定值， (3)是， 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质进行角得相关计算可求的度数； （2）由（1）的结论结合角平分线的性质可以解决问题； （3）过点P作，过点Q作，由平行线性质得，，从而得，同理可得，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：（1）如图，当点在线段，之间时，过点作．    ∵，， ∴． ， ， ． ． （2）解：是定值， 如图，    由（1）知， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵， ∴    ， ∴，， ∴， 同理可得， 又∵DQ、BQ分别平分与， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，及角平分线的定义，运用角的和与差解决问题，正确作出辅助线是解题的关键． 10．如图，为射线上一动点，连接，作平分，交于点，作平分，交于点． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当时，求的度数． (3)请说明在点的运动过程中，的值是否为定值．若是定值，请求出的度数，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，角度的计算，熟练掌握平行线的性质，角平分线的性质是解题的关键， （1）由于可得．根据平行线的性质可得 ．进而推出．再利用角平分线的性质得到. （2）由于可得．根据平行线的性质可得，，再利用角平分线的性质得到，根据平行线的性质可得，可推出，再由平分，； （3）由平行线的性质得到，从而得到，再由角平分线的性质得到从而得到，即可得以，由于，，的值为定值． 【详解】（1）解： ． ． ． 平分， . （2）解： ． ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， （3）解：的值是定值， ， ， 平分平分， ， ， ， ，即， 易证， ， 是定值，． 11．如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． (1)当时，求的度数； (2)判断是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当时，求的度数． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)当时，的度数为 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据提议设，则，由此即可求解； （3）设，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵分别平分和， ； （2）解：为定值， ∵平分， ∴设， ， ， ， 为定值，这个定值为2； （3）解：∵平分， ∴设， 由（2）知：， ， ，， ， ， ， ， 又， ． ∴当时，的度数为． 12．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”． (1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD．试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”； (2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数； (3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据等角的补角相等可得，进而根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等可得，进而根据角的和求解即可； （3）根据角平分线的意义，以及角度的和差计算可得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：OC平分∠BOD 射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线” （2）射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”， （3）射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”， 射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC， 【点睛】本题考查了新定义，等角的补角相等，根据邻补角求角度，角平分线的意义，几何图形中角度的和差关系，理解题意，数形结合是解题的关键． 13．如图1，已知直线．点A、B在直线上，点C、D在上．线段交点E，且． (1)求的值； (2)如图2，当F、G分别在线段上，，，标记为，为． ①若，求的度数： ②当_______时，为定值，此时定值为_______°． 【答案】(1) (2)①；②当时，为定值，此时定值为 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，则，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，则，通过计算，令计算结果中的的系数为 0 即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ． （2）解：设， ， ， ， ， 由（1）可得：，，， ， ， ①， ， ， ； ② ， 当，即时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 14．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，直线互相平行，一块的直角三角板放置在图中，直角顶点C在两条平行线之间，A在上方，B在下方．分别交于点D、E，分别交于点． (1)若，求的度数； (2)点H为线段上一点，若_______，求证：_______． 从①②中选择一个条件，③④中选择一个结论，如果是真命题将序号填在对应的横线上，并全部加以证明． ①；②；③是定值；④是定值． 【答案】(1) (2)若①，求证：④；若②，求证：③． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是本题解题的关键． （1）过C作，先根据平行线的性质求出，再根据余角求出，再根据平行线的性质求出，最后根据补角求出即可； （2）根据（1）的结论，可以用表示出，进而得出结论． 【详解】（1）解：过C作，如图 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）当选题设①时，如图： 由（1）知， ， ， ∴，为定值，即④正确； 当选题设②时，由①可得：， ∴， ∴， ∴，为定值，即③正确． 故答案为：若①，求证：④；若②，求证：③． 15．【模型呈现】学习平行线时，我们发现了一些常见的模型图：如图1，若，可以得到结论：；如图2，若，可以得到结论：；如图3，若，可以得到结论：． 【模型运用】利用上述模型结论解决下列问题： 已知，直线，直角三角形的顶点A在直线上，． (1)直角三角形的顶点C在直线上，平分，平分， ①如图4，直角三角形的顶点B在直线之间，若，求的度数； ②如图5，直角三角形的顶点B在直线下方，若的大小改变，的大小会变化吗？如果变化，请说明理由；如果不变，求出的度数． (2)如图6，直角三角形的顶点C在直线和之间，且，，，当n为何值时，的度数为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)①；②的大小不变，其度数为 (2)当，的度数为定值，这个定值为 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握三个结论，是解题的关键： （1）①根据角平分线平分角，结合平行线的性质和图1的结论进行求解即可； ②设，根据角平分线平分角，结合平行线的性质和图3的结论进行求解即可； （2）设，利用图2的结论和平行线的性质，推出，根据的度数为定值，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 由图1的结论可知：． ②设． ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， 由图3的结论可知：， ∴， ∴的大小不变，其度数为． （2）设． ∵， ∴， 由图2的结论可知：， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的度数为定值， ∴，， ∴当，的度数为定值，这个定值为． 16．已知直线， 直线分别交于点M、N．P 是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度； （3）如图3，若 ，，交 的延长线于点E，交的延长线于点F，请问是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；②，理由见解析；（2）；（3）是定值，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义： （1）①如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得，则；②同（1）①求解即可； （2）由（1）可得，设，则，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质可得，则； （3）由（1）可得，，，设，，则，，即可得到，则。 【详解】解：（1）①如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得， 设，则， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）是定值，，理由如下： 由（1）可得，，， 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是定值。 17．已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系．地 城 类型03 探究数量关系 (1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______； (2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据图形的性质找角之间的关系． （1）利用两直线平行，内错角相等即可解答； （2）同理（1）利用两直线平行，内错角相等可得，再利用周角的定义即可解答； （3）利用两直线平行，内错角相等可得，，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 同理（1）可得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 18．已知点O为直线上的一点，，平分．    (1)如图①，若，则的度数是多少？ (2)若，则的度数是多少？与是什么数量关系？ (3)当绕点O逆时针旋转到如图②所示的位置时，（2）中与的数量关系还成立吗？若成立，请写出数量关系，并写出推理过程．若不成立，请说明理由． (4)当绕点O顺时针旋转到如图③所示的位置时，（2）中与的数量关系还成立吗？若成立，请写出数量关系，并写出推理过程．若不成立，写出与数量关系． 【答案】(1)； (2)，； (3)（2）中与的数量关系还成立，理由见解析； (4)（2）中与的数量关系不成立，此时，理由见解析． 【分析】（1）求得的度数，即可求解； （2）求得的度数，即可求得，根据即可求得与的数量关系； （3）根据角平分线求得的度数，即可求得，根据即可求得与的数量关系； （4）根据角平分线求得的度数，即可求得，根据即可求得与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴； （3）（2）中与的数量关系还成立，理由如下： ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴； （4）（2）中与的数量关系不成立，此时，理由如下： ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴，即． 【点睛】此题考查了与角平分线有关的角关系的求解，解题的关键是理解角平分线的定义，掌握角的和差关系． 19．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）根据角平分线的定义得到，，再根据（1）中结论可作出判断； （5）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图①，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图③， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4）如图④，∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∴， 故答案为：； （5），理由： 如图⑤，过C作，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴ 20．综合与探究 【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想． 【提出问题】有这样一个问题：如图①，已知直线，直线分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线的左侧，点是直线上的一个动点（不与点E，F重合），设．当点在线段上运动时，试探索之间的数量关系． 【解决问题】 （1）张睿的解题思路是：“过点作……”请你用直尺和铅笔在图①中作出这条辅助线，并帮助张睿完成推理过程． 【类比探究】 当点在线段外运动时，（1）中得到的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． （2）如图②，当动点在线段之外且在直线的上方运动（不与点重合）时，之间满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）请用直尺、铅笔在图③中画出动点在线段之外且在直线的下方运动（不与点重合）时的图形，并仿照图①，图②，标出图③中的，此时，之间满足怎样的数量关系？请直接写出结论：______． 【应用拓展】 （4）如图④所示，，请直接写出图中之间满足的数量关系：______． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4），理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （2）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （3）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （4）过点作，过点作，根据平行线的性质即可得出结论； 【详解】解：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， （4）如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（1）如图①，已知，点为平面内一点，．小颖说：“过点作，很容易就能找到和的数量关系．”则和的数量关系是___________． （2）如图②，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，点在射线上运动，当点运动到点与点之间时，试判断与，之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，当点在射线上的其他地方运动时（点与，，三点不重合）请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当点在、两点之间时：；当点在的延长线上时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据可得，进一步得到 ； （2）过点作，交于，根据平行线的性质可得，可得； （3）分两种情况：当点在、两点之间时；当点在的延长线上时；进行讨论可求与的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作，则，    ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，过点作，交于，则，    ， ， ， ， ； （3）过点作，交于， ①当点在、两点之间时，如图所示，    ∵ ∴， ，， ， ； ②当点在的延长线上时，如图所示，    同理可得， ，， ， ． 综上所述，当点在、两点之间时：；当点在的延长线上时，． 22．已知：如图1，，点E，F分别为上一点． (1)在之间有一点M（点M不在线段上），连接，试探究之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明． (2)如图2，在之间有两点M，N，连接，请选择一个图形写出存在的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)图形见解析，．．证明见解析 (2)，． 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可；②过点作，过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （2）根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ，； ，； ②证明：如图，过点作， ， 则， ， ， ， ， ； 如图，过点作， ， 则， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， 则， ， ， ，， ，， ； 如图，过点作，过点作， 则， ， ， ，， ，， ， ． 23．如图，，点、分别在直线，上，为直线和之间的一个动点，且满足． (1)如图1，、、之间的数量关系为 ． (2)如图2，、、之间的数量关系为 ． (3)如图3，，分别平分和，点在左侧，点在右侧． ①若，求的度数． ②猜想规律：与的数量关系可表示为 ． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，……依此类推，则与的数量关系是 ． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查了根据平行线的性质探究角的关系以及角平分线的有关计算，掌握相关结论，学会举一反三是解题关键． （1）作，根据、即可求解； （2）作，根据、即可求解； （3）结合（1）（2）的结论即可求解； 【详解】（1）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴、 ∴、 故答案为： （2）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴、 ∴ 即： 故答案为： （3）解：作，，如图所示： ∵， ∴， 若， 由（1）可得： ∴ ∵，分别平分和， ∴ 由（2）可得： 即： ∴ 由（1）可得： ∴ ∵，分别平分和， ∴ 由（2）可得： 即： ∴ 故答案为： 由②得： ∵与的角平分线交于点， ∴… 依此类推：，，…., ∴ 故答案为： 24．已知，E是两直线内一点，F、G分别为AB、CD上的点． (1)如图，连EF，EG，直接写出与和之间的数量关系___________；    (2)如图，与的平分线交于H点，探究与之间的数量关系，写出这个数量关系，并说明理由；      (3)若H为AB、CD间的一点，且满足，则直接写出与之间的数量关系___________； 【答案】(1)=+ (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论； （2）根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义，即可求解； （3）根据平行线的判定和性质以及角的和差的关系，即可求解． 【详解】（1）解∶如图∶过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为∶； （2）解：由（）得，， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 25．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒．地 城 类型04 存在性问题 (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 26．如图1，，是直线上的动点，连接，的平分线交直线于点． (1)证明：； (2)是射线上的动点，平分交直线于点，过点作交于点． ①如图2，若，于点，求的度数； ②探究在点和点的运动过程中，是否存在的情形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)① ②存在   【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质即可得证； （2）①由（1）可知，再由，可得，又由于平分可得，，最后由即可求得的度数； ②先固定点E，再依据点G的运动情况进行分析角度变化趋势即可． 【详解】（1）是的平分线， ， ， ， ； （2）①由（1）得， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ； ②存在的情形，理由如下： 固定点E，设，则由（1）可知， 由题意得，当点G在射线上运动到足够远时： 和均在直线上，， ，且可变得任意小， 平分，当G足够远时，趋于定角，方向稳定，且， 此时趋近于固定值， 因此，存在G的位置使， 此时，故， 故的度数的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、几何动态问题的知识，处理动态问题时可先固定一个点再根据题意分析另一个动点在极限位置时的角度变化趋势，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27．如图，已知直线，，点，在上，且满足，平分． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若平行移动，则在此过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】此题考查了平行线的性质与判定． （1）根据平行线的性质，以及等量代换证明，即可证得； （2）由直线，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由，即可求得的度数； （3）首先设，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可表示出与的度数，又由，即可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴； （3）解：存在． 设， ∵， ∴，， ∴， 若， 则， 得． ∴存在． 28．将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，的值为或 【分析】本题考查了邻补角、角平分线等知识，正确分情况讨论，并熟练掌握角平分线的运算是解题关键． （1）先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义求解即可得； （2）①分三种情况：当平分由，两条射线组成的角时；当平分由，两条射线组成的角时；当平分由，两条射线组成的角时，根据角平分线的定义求解即可得； ②分三种情况：、和，先分别求出和的大小，再根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵射线平分， ∴， 故答案为：． （2）解：①（Ⅰ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴； （Ⅲ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴， ∴此时旋转角大于，不符合题意，舍去； 综上，满足要求的所有的值为或． ②（Ⅰ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得，符合题设； （Ⅱ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得，符合题设； （Ⅲ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得，不符合题设，舍去； 综上，在旋转过程中存在，此时的值为或． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移18个单位长度得到点C． (1)求点C的坐标． (2)如图，点M为线段上的一个动点，点F在x轴的正半轴上，点E、D在直线上，，．请直接写出的大小______． (3)如图2，当点M从点B以1个单位长度/秒的速度向左运动时，射线上的动点N同时从点A以2个单位长度/秒的速度向右移动，设运动时间为t秒（0~18）． ①点M和点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变、请求出这个比值；若会改变，请说明理由． ②是否存在某个时间点t使得线段可看作线段向右平移得到．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①和的面积比不会改变，这个比值为；②． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解一元一次方程． （1）利用绝对值和平方的非负性，列出二元一次方程组，求解得到，，再利用平移的性质即可求得； （2）由题意设，则，设，则，根据，求得，据此即可求得的大小； （3）①由题意得，，利用三角形面积公式求得，，据此即可得到和的面积比不会改变，这个比值为； ②根据平移的性质得到，据此列式得到，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 得， 将代入①得， ∴，， ∵将点B向左平移18个单位长度得到点C， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴设，则，即， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：①和的面积比不会改变，这个比值为； 由题意得，，则， ∵，， ∴， ②由平移的性质得到， ∵，， ∴， 解得． 30．如图，已知直线，．是射线上一动点，连接，作，交直线于点，平分交直线于点G．为射线上一点，． (1)若点在点的右侧，求的度数； (2)是否存在一点，使？若存在；请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的度数为或 【分析】本题考查平行线的性质， （1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数； （2）设，，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，依据等量关系列方程求解即可； 解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； （2）存在． 理由如下： 设，， ①如图，当点在点的右侧时， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在点的左侧时， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 31．如图①，点、点分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． (1) ； (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不变， 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算，通过分析旋转过程中角度的变化，利用平行线的性质来求解角度和时间的关系． （1）连接，利用平行线的性质即可求得； （2）设当时刻时，点分别转到了， 将延长，交EF于点；将反向延长，交延长线于点，或其补角为射线与射线所在直线的夹角，得到，其补角为，计算即可得到答案； （3）分别将与利用含有时间的代数式表示出来，根据其比值结果是否含有即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图①所示， ， ， 故答案为：； （2）解：设当时刻时，点分别转到了，如图②所示， 将延长，交EF于点；将反向延长，交延长线于点， 或其补角为射线与射线所在直线的夹角， 由题意可知：， 转到时同时停止转动， 的最大值为秒， ， ， ， ，其补角为， 当时，（秒）； 当时，（秒）． 答：存在这样的时刻，当秒或秒时，射线与射线所在直线的夹角为； （3）解：不会发生改变； 理由：如图③，由题意可知：， ， ， ， ， ， ， ． 32．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，与相交于点M，且所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在？若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据题意，根据平行线的性质可得，即可求解． （2）依据题意，先求出的度数即可求解． （3）依据题意，分两种情况进行讨论，点E在上方和在下方两种情况求解即可． 本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，注意分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意，过点E作，如图， ， ，． ， ， ； （3）解：存在，有两种情况； ①当点E在上方时，如图； ， ， ， ∴射线与所夹锐角的度数为． ②当点E在下方时，如图； ， ， 即， ． ∴射线与所夹锐角． 综上所述射线与所夹锐角的度数为或． 33．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转．地 城 类型05 旋转问题 (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 34．如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． (1)求的度数； (2)为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． (3)如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 【答案】(1) (2)①；不成立， (3)或或或 【分析】（1）证明，结合，证明，可得，再进一步可得答案； （2）①当时，作，分别求出，进而求出关系； ②如图，设与相交于点，，作，同理①分别求出，进而求出关系即可； （3）分四种情况讨论：如图，当于时，如图，当于时，记与于，如图，当于时，如图，当第二次于时，再利用数形结合建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当时，如图，由题意得， ， ∴，， ， 作， ， ， ， ∵， 由（），得， ∵， ∴， ∴； ②不成立，，理由如下： 如图，设与相交于点，作， 同理①可得，，，， ，， ∴， ∴； （3）解：∵，，，作的角平分线，与的角平分线交于点． ∴，，， ∴， ∵，， 如图，当于时， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 如图，当于时，记与于， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 如图，当于时， 同理：，， ∴， 解得：， 如图，当第二次于时， 由对顶角相等可得：，，， ∴， 解得：， 综上：当或或或时，直线与三角形的某一边所在直线垂直． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，平行线的性质，一元一次方程的定义，角的动态定义的含义，本题的难度很大，画出图形是解本题的关键． 35．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． AI (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当当转到之前时，构建方程即可解决问题．当落在射线上时返回，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， 当转到之前时 ， ， ， ， ， ， 当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 在旋转过程中，若边，t的值为或； ②当转到之前时 绕点B旋转，平分的角平分线， ， ； 绕点E旋转，平分 ， 当时 ∵ ∴ 即 解得：；      当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时 如图 ，， 当时 ， ∵ ∴， ∵ 即 解得：； 36．如图，直线，一副三角板（，，，）．按图（1）所示方式放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图（2），将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边平行时，请写出对应的t值． 【答案】(1)； (2)①秒；② 【分析】本题主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解； （2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解； ②分三种情况：当时，当时，当时，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒， ②当时，分别延长和交于点I，交于点，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得：； 延长，交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当， 同理可得， 解得：； 当， 同理可得：， 解得：； 同理可得：， 解得：． 综上可得：t的值为． 37．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，转至后停止旋转；射线绕点逆时针旋转至后停止旋转．若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且、满足． (1) ， ； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直？ (3)若射线绕点顺时针先转动秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为，则这两个非负数均等于． （1）依据，即可得到,的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直， 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， 解得， 故至少旋转秒时，射线、射线互相垂直； （3）设射线转动秒时，射线、射线互相平行， 如图，射线绕点顺时针先转动秒后，转动至的位置，， ①当到达前，，， ， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当到达后，，，， ， ， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动秒或秒时，射线、射线互相平行． 38．前山河部分水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的处分别设置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设两岸，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点M处射出的光线每秒旋转a度，点N处射出的光线每秒旋转b度，且． (1)求的值； (2)设点M处探照灯先旋转20秒后，记两盏灯一起旋转的时间为t秒，当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，求出所有t的值：若不能，说明理由； (3)已知垂直河岸，设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直，求的度数； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查非负性，平行线的性质，角度的计算： （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，进行求解即可； （2）根据平行线的性质和角度之间的关系，列出方程进行求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：； （2）M处探照灯先旋转20秒后，M旋转了； 当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置，，解得；当t经过旋转了； 中间存在t值使得两盏探照灯射出的光线互相平行，如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； 此后的移动速度比要快，均不可能平行． 因此答案为； （3）设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直． ①当时，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即：， 解得：，此时，两光线交于点，不符合题意； 当时： 两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直时， 同法可得：，解得； 此时 当，两个的探照灯又会回到平行时候的状态， 故是唯一解． 39．综合与探究：如图，直线，的顶点在直线上，． (1)如图1，当时， °， °．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，若是的倍，判断与的位置关系，并说明理由． (3)如图2，当与重合时，交于点，将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到射线，同时，将射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动．设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查平行线的性质及应用，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解． （2）根据是的倍，结合（1），得出方程，解得，进而求得，即可得证； （3）分两射线相遇前平行和相遇后平行两种情况讨论，分别画出图形，根据条件以及平行线的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；．． （2）． 理由：由题意，得， 解得， 即， ， ． （3）存在．分以下两种情况： ①如图1，，． ， ． ， ，解得； ②如图2，， ， ， ，解得． 综上所述，的值为或． 40．如图1，已知，点A，B分别在，上，且，射线绕点A顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是/秒），射线绕点B顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是/秒）、且a、b满足．    (1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒，两条旋转射线交于点C，过C作交于点D，求与的数量关系； (2)若射线先旋转20秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为t秒，若旋转中，求t的值． 【答案】(1)； (2)若旋转中，t的值为10或85． 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a，b的值，由题意可得，再根据即可得到，从而可得，再根据，可得，从而可得，即可得出结论； （2）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵a、b满足． ∴， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 过点C作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴，即射线旋转的角度小于， ①当，即时， ， 解得：； ②当且，即时， ， 解得：； ③当，即时， ， 解得：（不合题意，舍去）； ∴若旋转中，t的值为10或85． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 41．【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________；地 城 类型06 知识迁移 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【答案】问题情境：；问题迁移：，理由见解析；问题拓展： 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，运用平行线的判定及性质求解是解题的关键． 问题情境：根据平行线的判定可得，从而得到，，再由角的和差即可求解； 问题迁移：过点P作，得到，因此，，根据角的和差即可解答； 问题拓展：过点P作，过点G作，则，因此，从而．再由，得到，，进而有，即可得出． 【详解】解：【问题情境】∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【问题迁移】，理由如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【问题拓展】过点P作，过点G作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 42．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由； （2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______； （3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则∠Ln=______． 【答案】（1）理由见解析；（2）；（3）①FG∥KL，理由见解析，② 【详解】（1）如图，过点作，则， ， ； （2）如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ； （3）①+=180°，， ， 是的角平分线， ， 平分， ， 又平分， ， ， ， 同（1）可得 ， 又∵∠EGF=90°， ∴∠EGF=∠ELK, FG∥KL； ②根据题意可得 同理可得 …… ． 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 43．（1）问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请对说明理由； ②拓展探究：请对说明理由． （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______． 【答案】（1）①理由见解析；②理由见解析；（2）211 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】解:（1）①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，∠1，∠2，∠3的顶点分别为C，B，F， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴， 故答案为：211． 44．（1）【问题解决】如图1，已知，，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的下方，看一看，想一想，证一证： 以下与有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1）；（2）正确，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及作辅助线． （1）根据平行线的判定，得，根据平行线的性质得，进而可以算出答案； （2）关键作出辅助线，过P点作，则有，根据平行线的性质，知， ，即可知道哪个结论正确． 【详解】解：（1）， ， ， ． ， ． ． ． （2）正确，理由如下： 如图2，过P点作， ，， ． ． ， ． ， ． ． 45．已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间． 【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由． 【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M． （1）若，则的大小为________度； （2）若，则的大小为________度． 【答案】【探究】判断与平行，理由见解析；【迁移】（1）20 ；（2）30 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，掌握平行线性质及角平分线性质是解题关键． 【探究】根据平行线性质即可求证； 【迁移】（1）根据平行可得，，利用平分，即可求解； （2）根据平行可得，则，根据等式可得，求解即可． 【详解】解：【探究】判断与平行，理由如下： ， ， 又， ， ， ， ； 解：【迁移】（1）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 故答案为：20； （2）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：30. 46．问题情境：如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，问与、之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)当点P在线段上时，；当在延长线上时，；当在延长线上时，；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过作，则，通过平行线性质求出的度数即可得到答案； （2）过作交直线于，分在线段上，在延长线上和在延长线上，三种情况画出示意图，推出，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ， ∵，， ， 故答案为：100． （2）解：当点P在线段上时，；当在延长线上时，；当在延长线上时，；理由如下： 当点P在线段上时，过作交直线于，    ， ， ， ； 当在延长线上时，过作交直线于， ， ， ， ∴； 当在延长线上时，过作交直线于， ， ， ∴，， ∴． 47．（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，可得．再由，可得，即可求解； （2）过点作，可得，再由，可得，从而得到，即可求解； （3）过点作的平行线．可得，进而得到，，再由的平分线和的平分线交于点，可得，，再由（2）得：，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ． ∵， ∴， ． ， ． ，即． （2），理由如下： 如图，过点作， ， ∵， ∴， ， ， ， ， （3）如图，过点作的平行线． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得：， ， ． 即． 48．已知直线， 直线分别交于点M、N．P是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度． 【答案】（1）；②，理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义： （1）①如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得，则；②同（1）①求解即可； （2）由（1）可得，设，则，由角平分线的定义可得，，再由平行线的性质可得，则． 【详解】解：（1）①如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得， 设，则， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 49．已知分别是上的动点，也为一动点．地 城 类型07 动点求值 (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动、，使，若，则___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解答此题的关键． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 50．已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 【分析】（1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解； （2）①过点P作，过点M作，设，，可得，，然后根据角的和差关系即可求证； ②当点P在线段上时，过点P作，而，则，通过平行线的性质即可建立方程进行求解；当点P在线段延长线上时，过点P作，设，通过平行线的性质和角平分线的意义可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：过点P作． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，证明如下： 设，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 过点P作，过点M作， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，过点P作，而，则， 设，设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在线段延长线上时， 过点P作，则，设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上：的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键． 51．【问题背景】 如图，射线分别交直线，于点A，E，． 【探索求证】 （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图2，G为射线上一动点，连接，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长交射线于点H，N为线段上一动点．连接，若平分，平分，当时，求的值． 【答案】（1）见解析，（2），（3） 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知求出，根据平行线的判定得出结论； （2）根据平行线的性质，得到，结合可得答案； （3）根据平行线的性质和角平分线定义求出，，由平行线的性质得到，再求出，进而可计算的值， 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， （3）由（1）知， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 52．如图，已知直线，点、分别在直线和直线上的点，点在直线与直线之间（其中和均为钝角）． (1)求证：． 小明同学做法如下，请同学们帮助小明同学将以下①②③处补充完整 证明：如图，过点作直线， （① ） ② （平行于同一条直线的两条直线平行） ③ 又 (2)若，请直接写出与的数量关系： ． (3)若的度数为，且，则与的数量关系为 （用含的式子表示）． (4)如图，若，点为平面内一动点，点为射线上一动点，连接，的长为定值，，当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；； (2) (3) (4) 【分析】此题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线得出平行线解答． （1）根据平行线的性质和判定，两直线平行，内错角相等解答即可； （2）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （3）根据平行线的性质和判定，两直线平行，同旁内角互补解答即可； （4）当时，的值最小，进而利用结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作直线， ， 两直线平行，内错角相等， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ； 故答案为：两直线平行，内错角相等；；； （2）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （3）如图，过点作直线， ， 两直线平行，同旁内角互补， ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 又， ， ； 故答案为：； （4）当时，的值最小， ，， ， ， ， ． 53．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出 的度数； (2)点M为直线下方的动点，连接，平分， ①如图2，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点P在直线的下方运动时（点P在射线上），射线平分，点K在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见详解；②或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键． （1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解； （2）①过点P作，过点M作，设，，可得，则，则，即可求证； ②当点P在线段上时，过点P作，而 ，则，通过平行线的性质得到，即，解得；当点P在线段延长线上时，过点P作，，设，，通过平行线的性质和角平分线的意义得到，代入得，解得． 【详解】（1）证明：过点P作，则，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①解：， 设，， ∵平分， ∴， ∵平分，∴， 过点P作，过点M作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，过点P作，而 ，则， 设，设 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在线段延长线上时， 过点P作，则，设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， 综上：的度数为或． 54．直线，是上一定点，是直线上一动点，点在直线，之间，且，，的平分线交直线于点．    (1)如图1，若，则的度数是_____． (2)如图2，若，求的度数； 【答案】(1)135 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，平行公理的推论，补角的定义，熟练运用平行线的性质，角的平分线的性质是解题的关键． （1）过点Q作，则，利用平行线的性质求解即可； （2）利用补角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，求解即可； 【详解】（1）解：如图1，过点Q作， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，    故答案为：135； （2）证明：， ， 平分， ． ∵ ． ∵， ．    55．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)； (2)不变， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据，由同旁内角互补得，因为、分别平分和，根据角度等量关系可得，即可解出答案； （2）由角平分线与平行线的性质，可得，故得的比值不变； （3）根据角度之间的倍数关系，证出以及，根据平行线同旁内角互补以及角度关系转换可得出，故可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）解：的值不发生变化． 理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 56．已知：如图，，点P是射线上一动点（与点C、点D不重合），分别平分和交射线于点E、F． (1)当时，求的度数； (2)随着点P的移动，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由． (3)若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)随着点P的移动，与之间的数量关系不会改变，， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行的性质是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到，进而得出，进而完成解答； （3）同理（1）求出，根据，易证，再根据角平分线的定义得到，结合平行线的性质得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：随着点P的移动，与之间的数量关系不会改变，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 专题01相交线与平行线相 (7种类型56 相交线与平行线相关压轴题 目目 类型01 综合性问题 1.如图，下列推理不正确的有() ①若∠1=∠2，则AB∥CD;②若AD∥BC,则∠3+∠A=180°； 若AB∥CD,则∠3=∠4. D 4 A.0个 B.1个 C.2个 2.如图，已知ABII CD,∠BEH=∠CFG,E、FK分别为∠A 1/26 上好每一堂课 关压轴题分类训练 道) 类型综合性问题 类型2定值问题 类型坚探究数量关系 类型4存在性问题 类型5旋转问题 类型6知识迁移 类型7动点求值 ③若∠C+∠CDA=180°，则AD∥BC;④ D.3个 EH,∠CFG的角平分线，FK⊥FJ,则下 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 列说法：①EH‖GF;②∠CFK=∠H;③FJ平分∠GFD;④∠AEI+∠GFK=90°.正确的有() 个 E B D F A.4 B.3 C.2 D.1 3.如图，BD为ABC的角平分线，DE∥AB,EF平分∠DEC,下列结论：①∠BDE=∠DBE,② EF∥BD,③CD=CE,④SARDE=SABDE·正确的有（) B E A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 4.如图，EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=110°，∠ACF=20°，下列结论正确的个数是() ①EF∥BC; ②∠BCF=50°； ③∠FEC=30°； ④∠AEF+∠BAC=70°. D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，AB∥CD,将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列结论：①GE∥MP; ②∠EFN=135°；③∠BEF=75°；④LAEG=∠PMN.其中正确的结论有() 2/26 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.②③ B.①② C.①③④ D.①②③④ 6.如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分LAFG,FG⊥EH于点G,且LAFG=2LD, 则下列结论：①∠D=30°；②FD平分∠HFB;③2LD+LEHC=90°；④FH平分∠GFD.其中正确的结 论有( B G D H A.①② B.①③ C.②③ D.①③④ 7.如图，已知AB‖CD,CD‖EF,AE平分∠BAC,AC垂直于CE,下列结论：①AB∥EF;② ∠3+∠1=180°；③2∠3-∠2=180°；④2∠1-∠4=90°，其中正确的结论有() B -D 3 F A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 8.如图，如果∠1=∠2，DE∥BC,则下列结论：①FG∥DC;②LAED=LACB;③CD平分∠ACB; ④∠1+∠B=90°；⑤∠BFG=∠BDC中，正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 目目 类型02 定值问题 3/26 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.己知AB∥CD,P是截线MN上的一点，MN与CD,AB分别交于E,F, Q M E N N/ 图(1) 图(2) (1)如图(1)，P在AB、CD之间，若∠EFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度数； 2如图(1，当点P在线段EF上运动时，LCDP与LABP的平分线交于O,则B是否为定值？若是 定值，请求出定值；若不是，说明其范围； B如图(2.当点P在线段FE的延K线上运对时，∠CDP与∠8P的平分线交于Q,品6的值是否为 定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由. 10.如图，∠A=60°，AM∥BN,P为射线AM上一动点，连接BP,作BC平分∠PBA,交AM于点C,作 BD平分∠PBN,交AM于点D M DM B N 图1 图2 (1)如图1，当BP⊥AM时，求∠ABC的度数， (2)如图2，当BC⊥AM时，求∠PBD的度数. (3)请说明在点P的运动过程中，∠PCB+∠PDB的值是否为定值.若是定值，请求出LPCB+∠PDB的度数， 若不是定值，请说明理由. 11.如图，已知射线AM∥BN,连接AB,点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC,BD分别 平分∠ABP和LPBN,分别交射线AM于点C,D· N B M D A (1)当∠A=50°时，求∠CBD的度数； 2)判断4PB是否为定值？若是定值，请求出这个定值：若不是，请说明理由： ∠ADB 4/26 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)当∠ACB=∠ABD时，求∠ADB+∠A的度数， 12.如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC=180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的 “互补线”. B B 图1 图2 D 图3 图4C (1)如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD.试说明： 射线OB为∠BOC与∠AOC的"互补线”； (2)如图3，己知直线AB、CD相交于点O,射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD=136°，求 ∠DOE的度数； (3)如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC,试判 断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由. 13.如图1，已知直线l∥I,点A、B在直线4上，点C、D在Z上.线段AD、BC交点E,且∠BED=63 E D C D 图1 图2 (1)求∠ABE+∠EDC的值； (2)如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，∠ABF=2∠FBE,∠EDG=2LGDC,标记∠BFE为∠1， LBGD为∠2 ①若∠1-∠2=12°，求∠ABC的度数： ②当k=_时，∠1+k∠2为定值，此时定值为° 14.在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.如图，直 线MN、PQ互相平行，一块30°的直角三角板ABC放置在图中，直角顶点C在两条平行线之间，A在MN上 方，B在PO下方.AC、AB分别交MN于点D、E,BC、AB分别交PO于点F,G. 5/26 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠ADE=45°，求LCFG的度数； (2)点H为线段CA上一点，若，求证： 从①②中选择一个条件，③④中选择一个结论，如果是真命题将序号填在对应的横线上，并全部加以证明. FC+∠CFG=180°：②2LHFC+LCFG=180°；③是定值；④∠HFG∠ADE ∠ADE 15.【模型呈现】学习平行线时，我们发现了一些常见的模型图：如图1，若AB∥ED,可以得到结论： ∠B+∠D=∠BCD;如图2，若AB∥ED,可以得到结论：∠B+∠BCD+∠D=360°；如图3，若AB∥ED ,可以得到结论：∠B+∠BCD=∠D. M -M M-0 图 图2 图3 图4 图5 图6 【模型运用】利用上述模型结论解决下列问题： 已知，直线EF∥GH,直角三角形ABC的顶点A在直线EF上，∠ACB=90°. (1)直角三角形ABC的顶点C在直线GH上，AP平分∠CAF,CP平分∠BCH, ①如图4，直角三角形ABC的顶点B在直线EF、GH之间，若∠BCH=20°，求∠APC的度数； ②如图5，直角三角形ABC的顶点B在直线GH下方，若∠BCH的大小改变，∠APC的大小会变化吗？如 果变化，请说明理由；如果不变，求出∠APC的度数. (2)如图6，直角三角形ABC的顶点C在直线EF和GH之间，且LEAB<45°，LABC=nZABP, LFAC=3LFAP,当n为何值时，∠BAP的度数为定值，并求出这个定值， 16.己知直线AB∥CD,直线MN分别交AB、CD于点M、N.P是AB、CD之间的一点，且位于直线 6/26 可学科网·上好课 上好每一堂课 MN左侧，连接PM、PN, 【基础探究】 (1)①如图1，若∠AMP=18,∠CNP=45°，则∠P的度数为_度： ②在图1中探究∠AMP、∠CNP和∠P的数量关系，并说明理由. 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： (2)如图2，若MP平分∠AMN,NQ平分∠CNP,NQ交MP的延长线于点Q,∠Q=50°，则∠PNM的 度数为-度； (3)如图3，若∠AME=;∠AMP,∠CNF=∠CNP,ME交NP的延长线于点E,NF交MP的延长线 3 于点下，请问B+F是否为定值？若是，请求出定值若不是，请说明理由。 ∠MPN M B B A 图1 图2 图3 目目 类型03 探究数量关系 17.已知：AB‖CD,点E在直线AB,CD外，连接AE,CE,探究∠A,∠C,∠AEC之间的数量关系. B A B A -B E D D E 图1 图2 图3 (1)如图1，过点E作EF∥AB,:ABII CD,.EFCD,:∠A=∠AEF,∠C=LCEF,则∠A,∠C, ∠AEC之间的数量关系为； (2)如图2，过点E作EF∥AB,猜想∠A,∠C,∠AEC之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作EF∥AB,直接写出∠A,∠C,∠AEC之间的数量关系为一 18.已知点O为直线AB上的一点，∠C0E=90°，OF平分∠A0E. 7/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (1)如图①，若∠C0F=35°，则∠B0E的度数是多少？ (2)若∠C0F=m°，则LB0E的度数是多少？∠B0E与∠C0F是什么数量关系？ (3)当∠C0E绕点O逆时针旋转到如图②所示的位置时，(2)中∠B0E与∠C0F的数量关系还成立吗？若成 立，请写出数量关系，并写出推理过程.若不成立，请说明理由 (4)当∠C0E绕点O顺时针旋转到如图③所示的位置时，(2)中∠B0E与∠C0F的数量关系还成立吗？若成 立，请写出数量关系，并写出推理过程.若不成立，写出∠BOE与∠COF数量关系. 19.综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题.归纳模型：若AB∥CD,如图①“M"型和如 图②铅笔型.试猜想∠BAE,∠DCE,∠AEC之间的数量关系. D C D 图① 图② 【独立思考】 (1)如图①∠BAE,∠DCE,∠AEC之间的数量关系是 (2)如图②∠BAE,∠DCE,∠AEC之间的数量关系是 【问题迁移】 (3)如图③，AB∥CD,AN,CN分别是∠BAM,∠DCM的角平分线，探索∠AMC,LANC之间的数 量关系是 (4)如图④，AB∥CD,AP、CP分别是∠BAQ、∠DCQ的角平分线，探索∠AQC、∠APC之间的数量 关系是 D 图③ 图④ 【联想拓展】如图⑤，己知直线AB,将一个含30的直角三角板QCP，使顶点P落在直线AB上，过点Q作 8/26 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直线MN,且满足∠NQC+∠BPC=90°. (5)请你探索直线MN与AB具有怎样的位置关系，并说明理由. M--- N 图⑤ 20.综合与探究 【问题情境“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存 在着这个“基本图形”，当发现题月的图形不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整.把“非基本图形”转 化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想 【提出问题】有这样一个问题：如图①，己知直线a∥b,直线c分别与直线a,b相交于点E,F,点A,B 分别在直线a,b上，且在直线c的左侧，点P是直线C上的一个动点（不与点E,F重合），设 ∠PAE=∠1，∠APB=∠2，∠PBF=∠3.当点P在线段EF上运动时，试探索∠1，∠2，∠3之间的数量关系. M 62 3>N B C14 ② ③ ④ 【解决问题】 (1)张睿的解题思路是：“过点P作PM∥α…”请你用直尺和铅笔在图①中作出这条辅助线，并帮助张睿 完成推理过程， 【类比探究】 当点P在线段EF外运动时，(1)中得到的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨 论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系， (2)如图②，当动点P在线段EF之外且在直线☑的上方运动（不与点E重合）时，∠1，∠2，∠3之间满足怎 样的数量关系？并说明理由； (3)请用直尺、铅笔在图③中画出动点P在线段EF之外且在直线b的下方运动（不与点F重合）时的图 形，并仿照图①，图②，标出图③中的∠1，∠2，∠3，此时∠1，∠2，∠3之间满足怎样的数量关系？请直接写出 结论： 9/26 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【应用拓展】 (4)如图④所示，AB∥CD,请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4之间满足的数量关系： 21.(1)如图①，已知AB∥DC,点M为平面内一点，BM⊥CM·小颖说：“过点M作MP∥AB,很容易 就能找到∠ABM和∠DCM的数量关系."则∠ABM和∠DCM的数量关系是」 (2)如图②，点E,A,D在一条直线上，点E,B,C在一条直线上，且AB∥DC,点M在射线ED上 运动，当点M运动到点A与点D之间时，试判断∠BMC与∠ABM,∠DCM之间的数量关系，并说明理由. (3)在(2)的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时（点M与E,A,D三点不重合）请直接 写出∠BMC与∠ABM,∠DCM之间的数量关系， B M E A\M D A 图① 图② 备用图1 备用图2 22.己知：如图1，AB∥CD,点E,F分别为AB,CD上一点. E -B ·B D C- 图1 E D 万 图2 (1)在AB,CD之间有一点M(点M不在线段EF上)，连接ME,MF,试探究LAEM,LEMF,∠MFC之间有 怎样的数量关系.请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明. (2)如图2，在AB,CD之间有两点M,N,连接ME,MW,NF，请选择一个图形写出 ∠AEM,∠EMN,∠MNF,∠NFC存在的数量关系（不需证明). 23.如图，AB∥CD,点E、F分别在直线AB,CD上，P为直线AB和CD之间的一个动点，且满足 0°<∠EPF<180°. 10/26