精品解析：重庆市南坪中学校等校2026-2027学年高三上学期入学学情检测数学试卷

高三数学 试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数、的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：， 则下列选项不正确的是（ ） A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 相关系数的绝对值越接近0，表示的线性相关程度越弱 D. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 6. 从5名男生、3名女生中任选2人参加志愿服务，则选出的2人为一男一女的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是偶函数，且在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 的最小值是1 C. 的最小值是1 D. 的最大值是 10. 函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中常数项是，则______． 13. 若函数，则函数在上的最小值为________． 14. 定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数 （1）若，求不等式的解集； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 17. 某市、两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生，中学推荐了3名男生、4名女生．两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛． （1）求中学恰好有1名男生和1名女生入选代表队的概率； （2）设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望； 18. 一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. （1）若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； （2）若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且决定指数. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数. 19. 已知函数. （1）时，求曲线在点处的切线方程； （2）有2个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 2. 不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类讨论结合一元二次不等式的解法可求不等式的解. 【详解】原不等式等价于或， 故或，故原不等式的解集为. 故选：D. 3. 已知函数、的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析与的取值情况，不等式等价于或，解得即可. 【详解】由的图象可知当时，当时， 当的图象可知当时，当时， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 4. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 5. 为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：， 则下列选项不正确的是（ ） A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 相关系数的绝对值越接近0，表示的线性相关程度越弱 D. 用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据条件，直接求出，即可求解；对于B，根据条件，画出散点图，即可求解；对于C，根据相关系数的定义判断即可；对于D，利用线性回归直线方程过样本中心，代入计算，即可求解. 【详解】对于选项A，由题知， ，故选项A正确； 对于选项B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，所以选项B正确； 对于选项C，相关系数的绝对值越接近0，表示的线性相关程度越弱，故选项C正确； 对于选项D，因为样本中心点为，又， 所以不是关于的线性回归直线方程，故选项D不正确. 故选：D 6. 从5名男生、3名女生中任选2人参加志愿服务，则选出的2人为一男一女的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，选出的2人为一男一女的概率为 7. 已知函数是偶函数，且在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据单调性得到，代换得到，再利用偶函数性质得到答案. 【详解】设在上是减函数，则即 函数是偶函数，故，所以 故选 【点睛】本题考查了函数值的大小比较，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 8. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得， 因为，所以， 则，故， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 的最小值是1 C. 的最小值是1 D. 的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】由题知，，. 对于选项A，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是，故B错误； 对于C，由，得，即， 所以， 所以当时，取得最小值是，故C错误； 对于D，由C知，，， 所以， 所以当时，取得最大值是，故D正确. 10. 函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得，由此依次判断各个选项即可. 【详解】由得：， 又分别是定义在上的奇函数和偶函数，； 由得：，； 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于CD，，C正确，D错误. 故选：AC. 11. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D. 【详解】对B，，B正确； 对A，，，A错误； 对C，，，C正确； 对D， ，D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中常数项是，则______． 【答案】 【解析】 【详解】二项式展开式的通项为， 令，得， 则常数项为，得 13. 若函数，则函数在上的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求的区间单调性，进而确定最小值即可. 【详解】因为，令得：， 所以时， 时， 故在上递减，在上递增， 所以，当时有最小值. 故答案为：． 14. 定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用单调性求解不等式. 【详解】令，则，则在上单调递减， 等价于，则，得， 则不等式的解集为. 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集和并集的概念，求出结果即可； （2）根据集合的包含关系，判断集合B的情况，进行分类讨论，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，可得，， 所以，. 【小问2详解】 分两种情况： ①当时，可得，解得，满足； ②当时，可得，解得， 综上所述，. 16. 已知函数 （1）若，求不等式的解集； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，再解一元二次方程； （2）分离参数，令，求出函数在上的最小值，进而求实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 即不等式的解集为； 【小问2详解】 ，恒成立， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 故，则， 故实数的取值范围为. 17. 某市、两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生，中学推荐了3名男生、4名女生．两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛． （1）求中学恰好有1名男生和1名女生入选代表队的概率； （2）设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望； 【答案】（1） （2）分布列为: 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式求解即可； （2）写出的可能取值及对应的概率，列出的分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 由题意知，参加集训的男、女生各有6名． 代表队抽取的学生中刚好有一名男生和一名女生来自中学的概率为； 【小问2详解】 根据题意得，的可能取值为0，1，2，3 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 因此，的数学期望. 18. 一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. （1）若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； （2）若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且决定指数. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数. 【答案】（1） （2）（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出、后代入公式直接计算得、，即可得解； （2）（i）求出线性回归模型的决定系数，与比较即可得解； （ii）直接把代入，计算即可得解. 【小问1详解】 由题意，则，， ，， 所以y关于x的线性回归方程为：. 【小问2详解】 （i）对于线性回归模型，，， 决定系数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好. （ii）当时,（个） 所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 19. 已知函数. （1）时，求曲线在点处的切线方程； （2）有2个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由图象可知，， 要证；即证； 又，，在上为增函数，则只需要证， 又，则只需要证，， 则构造辅助函数， ， 令，， 故为减函数， 所以，，， 所以， 所以为减函数， 所以，所以， 所以，所以， 故，. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求解； （2）（i）令，时，不成立时，得，构造函数，利用导数法，求单调性，结合图像求解即可.（ii）利用的增减性，通过构造 函数，求的导数，构造函数，求的导数，通过增减性求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）令，时，不成立， 时，得， 设，则， 由解得单调增区间为， 由解得单调减区间为，； 作出函数图象. 要使函数有2个零点， 则方程在内有2个根，即直线与函数的图象有2个交点. 又，故的取值范围为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $