重庆市南开中学校2027届高三年级质量检测（一）开学考试数学试卷

**基本信息** 重庆南开中学高三开学数学检测，以函数、几何、概率等核心知识为载体，通过导数零点证明、椭圆斜率关系探究、概率统计分布列等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配高三开学基础巩固与能力诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数奇偶性、线性回归等|基础概念与运算结合，如第4题用回归方程求数据，体现数据意识| |多选题|3/18|函数图象、概率与数列综合|如第10题结合等差数列与不放回抽样，考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项式系数、抽象函数性质、不等式求最值|第13题抽象函数求值，考查数学抽象能力| |解答题|5/77|立体几何证明与线面角、函数极值、椭圆方程与斜率关系、概率分布列与期望、函数零点证明|分层设计，如19题函数零点证明需构造函数论证，体现创新意识；17题椭圆结合斜率关系，考查数学建模与运算能力，适配高考命题趋势|

高2027届高三年级质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 2 4 5 6 8 9 10 11 选项 A D B B D C AC ABD ACD 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1.C【解析】集合B={-2,-1,0,1},故A∩B={-1,0,1},故选C 2.A【解析】f(2027)=f(1)=f(-1)=-2,故选A. 3.D【解析】函数y=x-cosx不具奇偶性；函数y=√x+1·√x-1的定义域为[1，+∞)，不关于原 点对称，不具有奇偶性；对于函数f(x)=lg(x+1+x),定义域为R,f(x)+f(-x)= lg[(√x+1+x)·（√x+1-x)]=0故f(x)为奇函数；对于函数g(x)=ln(1-x)+ln(1+x), 定义域为(-1,1)，g(-x)=ln(1+x)+ln(1-x)=g(x),故g(x)为偶函数，故选D. 4.B 【解析】由题可知=3，y=2.9+3.3+a+4.5+4.8_15.5+a,所以l5.5+a=1.5+2.3,解得a 5 5 5 =3.5,故选B. a3,故选B 5.B【解析】由题意知26=c,得2=c2-62=362,=3 6.A【解析】若a>a'>a>1,当0<a<1时，x<y<z<0,可得z>yz;当a>1时，x>y>z>0,可得 xz>yz,故充分性满足.若xz>yz,取x=2,y=z=1可知a*>a'>a>1不成立，故必要性不满足， 故选A. c…32+2bc·3+c,=2 7.D【解折】由题意得)+-)=346*3+63+6+。36++96 -_c c·3* 相成立，放号--2，部得6=1，c=2碳者6=-1，c=-2,放6+c=±3，应选D 8.C【解析】由已知得e(f(x)+f(x)=1→[ef(x)]'=1→ef(x)=x+c,其 中c为常数，又0)=-2，代入得e=-2,故f)=2,f()-3。 >0→x<3,故f(x)在(-∞，3)单调递增，在(3，+0)单调递减，作出函 数y=f(x)和y=x-k的图象，由图可知3是唯一的整数解，故 f(3)>3k-k 1,故选C 4)≤4-品≤k<2品 数学试题参考答案第1页（共9页） 二、多选题（本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错 的得0分，部分选对的得部分分) 9.AC【解析】令f(x)=e-x-2,f'(x)=e-1>0→x>0,故f(x)在(-∞，0)单调递减，在(0， +∞)单调递增，又f(-2)=之>0，f0)=-1<0,1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,故f(x) 在(-2,0)和(1,2)各存在一个零点，即-2<m<0或1<m<2,结合幂函数的图像性质知应选 A、C. 10.ABD 【解标】由题可知+A+++p,=1,求和得5，+5义4·动=1，解得=0，放AB正确： 网于C:PAX=1)二=)，故选项C错误 C3C 对于D:由全概率公式得：前两次取到的均是黑球的概率P(A)=PC+nC+PC 5 24’ 故选项D正确。 11.ACD 【解析]对于A)=+合+，f()=+2+分，严()=3x+>0→<-月 或x>0,放了()在(-”，单调递增，在(-号0)单调递减，在(0，+)单调递增，又 f(0)=?>0,f(-1)=0,故(x)>0←分x>-1,所以f(x)的单调递增区间为(-1， +0),故A正确； 对于B:当m=0时，f()=+号在R单调递增，f(x)=k只有一个解，显然不符合题意， 故错误； 对于C:f()=+3m2+分，于是直线1的方程为：y=G+3m+》x-子-2m,也 可以y-公+3G+》-子-2m,设斜率为k,则 k=+3m+2=+3m+ 2 子-2m--2m x号+x1x2+x2=-3m(x1+x2） 因为大，故区+(，+)=-2m(图+西+ 若x1+x2=0,则x1=x2=0,不符合题意； 故+0，可得号+好=8m2,故+)2-8m 2 =x1x2=-8m2-3m(x1+x2),解得x1+ x2=-4m或x1+x2=-2m,若x1+x2=-4m,得x1x2=4m2,此时x1=x2=-2m不符合题意 舍去；故x1+x2=-2m. 又f"(x)=3x2+6mx,f"(x)=6x+6m=0→x=-m,f'(x)的图象关于点(-m,f(-m)) 对称，即xo=-m,故C选项正确； 对于D:结合C和f'(x)的图象的对称性可知k=f(x)=f(-m)=2m3+2,故选项D正确， 数学试题参考答案第2页（共9页）】 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相对应位置上） 12.1936 【解析】由题意可得：A=2",B=24×7=112,A-B=1936. 13.2026 【解析】令y=1,得f(x)=f(x-1)+f1)+2(x-1)-1=f(x-1)+2x-1,即f(x)-f(x-1)=2x -1,故f(45)=f(45)-f(44)+f(44)-f(43)+…+f(2)-f1)+f1)=89+87+…+3+2=452 +1=2026 14.90 【解折1冷=(m->0,=m>0,原式=(+2但+》-0++5=0+22号 x Y =90,当且仅当80y-5x,即x=4y,即(m-n）2=4mm时取等号，此时0=3±22，故最小值为90. 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 15.(13分) 不妨设AB=1,则AC=1,A41=2. (1)连接AD,由直棱柱的性质知，四边形ACCA1为矩形，又D为CC,的中点，故AD=AD=2,于 是A,D2+AD2=4=AM,所以A1D1AD,…(2分) 又A1D⊥BD,AD∩BD=D,所以A1D⊥平面ABD,故AD⊥AB.…(4分) 又AA1⊥平面ABC,故AA1⊥AB,又AA1∩AD=A1,故AB⊥平面AA1C,C.…(6分)） (2)由(1)知，AB、AC、AA1两两垂直，故以A为原点，AB,AC,AA1分别为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则： B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),D(0,1,1),BC=(-1,1,0),BA1=(-1,0, 2),BD=(-1,1,1)… D (8分) 设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则 1n·BA=-x+2z=0 ,取z=1,得n=(2,1,1).…(10分) n.BD=-x+y+z=0 记直线BC与平面ABD所成角为0，则 sin0=lcos<元，BC>|= n·BC -2+1+03 元BC √6×2 6 即直线BC与平面A,BD所成角的正弦值为 6 (13分) 数学试题参考答案第3页（共9页） 16.(15分) (1)当a=0时，f(x)=x2lnx,f'(x)=2xlnx+x=x(2nx+1), 令()>0得>记故)在[：岩制单调谜减，在仁单润避增 …(3分)》 汉日)=<e)=,f得-品 放当e[小时，n=伯-名x）m-小e)=2 (6分) （2f(=2(x-a）1nx+a-a°=(x-a21x+1-）,x>0 令到=2咖+1-受A()=是+92>0 由题意知a>0,故h'(x)>0,h(x)在(0，+∞)单调递增，又x→0*，h(x)→-o∞；x→+，h(x)→ +∞，故x∈(0，+∞)使得h(x)=0,即f'(x)=0.…(9分) 当x=a时，f'(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，无极值，不符合题意，舍去； 当x<a时，f(x)>0→0<x<x或x>a,f(x)在(0，x)单调递增，在(x,a)单调递减，在(a, +∞)单调递增，f(x)在x=a处取得极小值，不符合题意，舍去； 当x>a时，f'(x)>0→0<x<a或x>xo,f(x)在(0，a)单调递增，在(a,x)单调递减，在(x, +o)单调递增，f代x)在x=a处取得极大值，满足题意.此时h(a)=2lna<h()=0,解得0<a<1. 综上，实数a的取值范围为(0,1). …(15分) 17.(15分) =2 (1)由题意得{4,1 2+31·解得a2三6,62=3，故椭圆C的标雅方程为。+3=1.…(4分 a2=b2+c2 (2)k,与%2的等量关系为：k+k2=0.… (6分) 设1的方程为y=+(a≠-1)，与若+号=1联立得32+4+2m2-6=0, 4=16m2-12(2n2-6)=72-8m2>0→m2<9且n≠-1 设4(，8)，则玉+场=”名=2n6 3 (9分) 医++2T名+n+5+n-16+n-1)(云-2）+（&+n-1)=四 x1-2x2-2x1-2 2-2 （x1-2)(x2-2) 2x1x2+(n-3)(x1+x2)-4(n-1) x1x2-2(x1+x2)+4 上式中分子=2x,42+(n-3)(x1+x)-4(n-1)=2(2n-6)+-4n(-3》-4(-1)= 3 3 4n2-12-4m2+12n-12n+12=0 3 故k1+k2=0,证毕！ …(15分） 数学试题参考答案第4页（共9页） 18.(17分) (1)由题意可知：事件a1∈AUB的对立事件为a1AUB,则a1AUB的概率为 所以a1∈AUB的概率P=1- C;C 3 (3分) (2)随机变量X的取值为：3,4,5,6 X=3表示集合A,B相等，即P(X=3)= C8C1 9 X=4表示集合A,B有两个公共元素，即P(X=4)= =20 同理x)合S品 0P(X=6)= Cg20 所以随机变量X的分布列为： X 3 4 5 6 1 P 9 20 20 20 20 (9分) (3)方法一：令X= AU8则rX=0-P=1-会 0 a:AUB X服从两点分布，所以E(x)=1-(,其中，i=1,23,…,n …(13分) 放E(0=B(X)+B(x)+…+E(X)=n1-门=2k-只 …(17分) 方法二：令card(A)=k,card(B)=k,则X=card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A∩B) 令Y=cawd(A∩B),问题等价于集合A确定k个元素后，集合B从n个元素中任取k个元素，其中 包含集合A中元素个数为Y,显然Y服从超几何分布 P(Y=i)=- C兰，i=m,m+1,m+2,…k,其中m=max0,2k- C (12分) kCh-12 k (15分) 所以E(X)=k+k-E(Y)=k+k-尽=2k-足 17分) n 数学试题参考答案第5页（共9页）】 方法三：随机变量X的值为：k,k+1,k+2,…,m(m=min{2k,n}) X=k表示集合A与B相等，即P(X=k)=C·GC C.11 X=k+1表示集合A与B有k-1个公共元素，即P(X=k+1)= C。 同理：P(X=k+2)= n k (12分) C C 所以随机变量X的分布列为：(0≤i≤m-k,ieN) k+1 k+2 kti …。 m D C1·Cs C-2.C4 C-.C C-"Cm- C C C C 所以：E(X)=k· Gtk+c+m+(+0·CC+五 C2-"C C C x)G6 C 因i,C=kC1,l≤i≤m-k,故 E(X)= c+c.C++cC+…+C + C C 急cC+cgc++cgc++cc)t +Ci·C-k+…+C2mCm-) 急G+&G-+0-n1=+:-2-其…07分) n！ n 2 19.(17分) (1)f'(x)=(x+a+1)e+1,因为f(x)为增函数，所以g(x)=f(x)≥0对任意实数恒成立.…(2分) 法一：令g'(x)=(x+a+2)e>0,得x>-a-2,故g(x)在(-∞，-a-2)单调递减，在(-a-2, +∞)单调递增，g(x)mim=g(-a-2)=-ea-2+1≥0，解得a≥-2. 所以，实数a的最小值为-2.…（4分) 数学试题参考答案第6页（共9页） 法二：g(x)≥0台-a≤x+1+e,令h(x)=x+1+e,h'(x)=1-e>0→x>0,故h(x)在 (-o,0)单调递减，在(0，+o)单调递增，h(x)min=h(0)=2,得-a≤2→a≥-2. 所以，实数a的最小值为-2.… …(4分) (2)(1)法一：由(1)知f'(x)在在(-∞，-a-2)单调递减，在(-a-2,+∞)单调递增. 若α≥-2，由(1)知f(x)为增函数，至多只有一个零点，不符合题意；…(5分) 若a<-2,则f'(-a-2)<0,f'(0)=a+2<0,x→-0，f'(x)→1；x→+∞，f(x)→+∞， 故存在m∈(-∞，0)和n∈(-a-2,+∞)，使得f'(m)=f'(n)=0,且x∈(-，m)时，f'(x）> 0,f(x)单调递增；x∈(m,n)时，f'(x)<0,fx)单调递减；x∈(n,+∞)时，f'(x)>0,fx)单调递增。 又f0)=0,故f(m)>f0)=0,f(n)<f0)=0,x→-∞，f(x)→-o;x→+∞，f(x)→+∞， 所以存在x1∈(-o,m),x3∈(n,+∞)，使得f(x1)=f(x3）=0. 综上知，当a<-2时，f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1<x2=0<x3: (8分) 法二：因为f(0)=0,所以f(x)有一个零点为0…(5分) 当0时.八)=0aa=“,记孤g,=2 (e-1)2 令p(x)=e2-2xe-1,p'(x)=2e*(e*-x-1)≥0，故p(x)单调递增，又p(0)=0,于是当x∈ (-0,0)时，p(x)<0,H'(x)<0,H(x)单调递减；当x∈(0，+o)时，p(x)>0,'(x)>0,H(x)单 调递增， 由洛必达法则得imx(c+1）=1im（x+1)e+1=2,一-0，H(x)→+0，→+0，H()→+0 0e2-10 ex 当-a≤2时，方程-a=H(x)没有解，不符合题意； 当-a>2时，方程-a=H(x)在(-0,0)和(0，+0)各有一个实数解x1和x3 综上知，当a<-2时，f(x)有三个零点x1,2,x3,且x1<x2=0<x3·…(8分) (ⅱ)法一： 因为f(-x）=(-x+a)e-x-a=-e[x-a+(x+a)e]=-ef(x),故f(-x1)=-e"f(x1) =0,又-x1>0,f(x)有唯一的正零点x3,所以x3=一x1·…（10分) 由f(x1)=f(x3)=0,得(x1+a)e1=a-x1,(x3+a)e=a-x3 故g(x1)+g(x3)=(x1+a+1)e+1+(x3+a+1)e+1=a-x1+e+a-x3+e+2=2a+2+e +e3<e1+e*3… …(12分)） g(x1)-g(x3）=(x1+a+1)e+1-(x3+a+1)e-1=a-x1+e1-a+x3-e=x3-x1+e1-e >e1-e3… …(14分) 又x1<m,x3>n,故g(x1)>g(m)=0,g(x3)>g(n)=0,故0<g(x1)+g(x3)<e+e①…(15分) 数学试题参考答案第7页（共9页） 令F(x)=2x+e-e,F'(x)=2-(e*+e)≤2-2√e*e=0,F(x)单调递减，所以F(x3)< F(0)=0,于是x3-x1+e1-e<0,即有0<g(x3）-g(x1)<e-e1②…(16分) 由①②得[g(3)]2-[g(x1)]2<e2-e2,即有[g(x1)]2-[g(x3)]2>e2-e2,证毕！…(17分) 法二：[g()]2-[g(x3)]2>e21-e2台[g(x1)]2-e21>[g(x3)]2-e2 由x,)=）=0,得(x+a)e=a-,(+a)e=a-,-a（c+》(e+1 e-1 e-1 故g()=(5+a+1)e+1=e+a-,+1=e-心+少-+1，同理g(名)=e- e1-1 x3(e+1) -x3+1… 。。。。。。。。 (9分) ex3-1 设(x)=e-(+山-+1，()=(c4e+2+3,令e(x)=。2产-4e+2x+3, e*-1 (e*-1)2 p'(x)=2e2“-4e+2=2(e-1)2≥0，故p(x)单调递增，又p(0)=0,于是当xe（-0,0)时， p(x)<0,k'(x)<0,k(x)单调递减；当x∈(0，+∞)时，p(x)>0,k'(x)>0,k(x)单调递增， 由洛必达法则得limk(x)=2-li mx(。+1）=2-limx+1)e+1=-2-2=0 x0e*-1 …(11分) ex 令G(x)=2(x)-e2“,G'(x)=2k(x)k'(x)-2e2 当x∈(-∞，0)时，因k(x)>0,k'(x)<0,e2x>0,故G(x)<0,G(x)单调递减；…（13分) 当x∈(0，+0)时， )-e。2e令m)=61-20,m(=e(-2x-)<0,m(x)在(0，+如)单诩 减，m(x)<m(0)=0,又e*-1>0,故0<k(x)<e*; k(x)-e=_2cc1D<0,故0<k'(x)<e. (e*-1)2 所以G(x)<0,G(x)在(0，+∞)单调递减. (15分) 又1imG(x)=limk2(x)-1=0-1=-1,故G(x)>-1>G(x3), 0 即[g(x1)]2-e2>[g(x3)]2-e2,故得证！ (17分) 法三：[g(x1)]2-[g(x3)]2>e2-e2台[g(x1)]2-e2>[g(x3)]2-e2 x1(e1+1)x3(e3+1) 由f(x1)=f(x3）=0,得(x1+a)e=a-x1,(x3+a)e=a-x3,-a= e1-1e-1 故[g(x1)]2-e2=[(x1+a+1)e1+1]2-e2=(a-x1+e+1)2-e2=(a-x1+2e+1)(a-x1 +0=-+1--+1）-2+122】 数学试题参考答案第8页（共9页） 同理g)-产=2+1-2-2） (10分) 令A()=2A()2仁二》>0，放A()(-,0)和0，+)单调递啦 (e*-1)2 又由洛必达法则得 2=24e-2m lim 2x e** 2xe=lim eme三ime2=0,→+阳，A(）→+的…(12分》 因x1<0,故-1<2e1+1- 2c-1+2c(e--D<1,-1<1-2c<1,所以[g(x)]2 e1-1】 -=1+ e1-1 e*1-1 e21>-1, …（14分） 因>0，赦1<2e+1-2e=1+2e（c--1》,1-2e<-1,所以[g2-。<-1, e9-1 e-1 ex3 -1 …(16分)》 所以[g(x1)]2-e2>[g(x3)]2-e2,故得证！ …（(17分) 数学试题参考答案第9页（共9页） 重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（一） 数学试题 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中, 只有一项符合题目要求) 1. 设集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 设函数 ,则 ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 3. 下列函数为偶函数的是( ) A. B. C. D. 4. 某地区 2021 至 2025 年农村家庭人均纯收入 (单位:万元) 的数据如下表: 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 人均纯收入 2.9 3.3 4.5 4.8 据此求得 关于 的线性回归方程为 ,则上表中实数 的值为( ) A.3.4 B.3.5 C.3.6 D.3.7 5. 设双曲线 的左焦点 到两条渐近线的距离之和为 为该双曲线的半焦距,若 ,则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 6. 若 且 ，则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数 的图象关于点 对称,则 ( ) A. 1 B. C. 3 D. 8. 设定义在 上的可导函数 的导函数为 ,且满足 ,若不等式 有且只有一个整数解，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题(本题共 3 小题, 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 有选 错的得 0 分, 部分选对的得部分分) 9. 已知实数 满足 ，则函数 的图象可能为_____. A. B. C. D. 10. 已知袋中有 4 个小球,其中 个红球, 个黑球,这些球除颜色外没有其他差异. 记 ,且 是公差为 的等差数列. 现每次从袋中不放回的随机取一个球观察颜色,记事件 为 “前两次取到的小球均是黑球”,则( ) A. B. C. D. 11. 已知函数 ,直线 与曲线 相切于不同两点 和 ,则下列说法正确的有( ) A. 当 时， 的单调递增区间为 B. 的值可以为 0 C. 若 的导函数的图象关于点 对称,则 成等差数列 D. 直线 的斜率为 三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 把答案填写在答题卡相对应位置上) 12. 记 的展开式的二项式系数和为 的展开式各项系数和为 ,则 _____. 13. 定义在 上的函数 满足: , . 则 _____. 14. 已知实数 满足 且 ,则 的最小值为_____. 四、解答题(本大题共 77 分，解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤) 15. (13 分) 如图所示，在直三棱柱 中， 为棱 的中点， . (1)求证: 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 16. (15 分) 已知 . (1)当 时,求 在区间 上的最值; (2)若 在 处取得极大值,求实数 的取值范围. 17. (15 分) 已知椭圆 的离心率为 且经过点 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)斜率为 1 的直线 与椭圆 交于异于 的两点 、 ，设直线 、 的斜率分别为 、 ，请写出 与 之间的等量关系,并证明你的结论. 18. (17 分) 已知全集 中有 个元素, 为全集 的任意 元子集,设集合 所含元素个数为 . (1)当 时 ① 求 的概率； ② 求随机变量 的分布列; (2)求随机变量 的期望. (结果用 表示) 19. (17 分) 已知函数 ,记 为自然对数的底数. (1)若 为增函数，求实数 的最小值； (2)若 有三个零点 . ( i ) 求实数 的取值范围; (ii) 求证: . 学科网（北京）股份有限公司 $