重庆市南坪中学校等校2026-2027学年高三上学期入学学情检测数学试卷

高三数学试卷 满分：150分时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.集合M={2,4,6,8,10,N={x-1<x<6,则M∩N=() A.{2,4 B.{2,4,6 C.{2,4,6,8 D.{2,4,6,8,10 2不等式4>0的解集是() A.(-o,-2)U(0,+∞）B.(2,+o∞） c.（-2,0) D.(-2,0)U(2,+o) 3.如图为函数y=f(x)和y=g(x)的图象，则不等式f(x)g(x)<0的解集为() y=f(x) y=g(x) A.（-m,-1U(-1,0) B.(-∞，-1)U(0,1) c.(-1,0u(1,+o) D.(0,1)U(1,+o) 4.函数fx)=x-2x2的图像在点(1，f()处的切线方程为() A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 5.为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入x(亿元)与产品收益y(亿元) 的数据统计如下： 部 高三数学试卷第1页（共4页） 2,- 参考公式：6= -,a=-际，2(5-6-列=34,2(x-=28, 则下列选项不正确的是() A.x=4,y=6 B.由散点图知变量x和y正相关 C.相关系数r的绝对值越接近0，表示x,y的线性相关程度越弱 D.用最小二乘法求得y关于x的线性回归直线方程为)=1.5x+0.5 6.从5名男生、3名女生中任选2人参加志愿服务，则选出的2人为一男一女的概率为() 15 A. B. 13 28 28 D. 5 14 7.已知函数f(x)是偶函数，且f(x-2)在[0,2]上是减函数，则() A.f(-1)<f(2)<f(o) B.f(-1)<f(O)<f(2) c.f(o)<f(-1)<f(2) D.f(2)<f(o)<f(-) 8.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e的极值点，则f(x)的极小值为() A.-1 B.-2e3 c.5e3 D.1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.已知正数x,y满足x+y=1,则下列选项正确的是() 人士的最小值是 B.y的最小值是1 C.x2+y2的最小值是1 D.y+2 的最大值是 6 高三数学试卷第2页（共4页） 10.函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)-g(x)=x+x2-1,则() A.f(-1)=-1 B.g(-)=2 C.f()+g()=1 D.f)+g()=2 山.已知P心0=片10=号若随机事件么B相互独立，则() A.P(B)=3 B.P(AB)=20 1 1 c.Pa卧-号 D.P4+团-号 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(x-)°的展开式中常数项是-160，则a=一 13.已知函数f(x)=x3-3x,则f(x)在[0,2]上的最小值为 14.设定义域为R的函数f(x)满足f(x)<f(x),则不等式ef(x)<f(2x-)的解集为 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知集合A={x1≤x≤4}，B={m+1≤x≤2m-1}. (1)若m=3,求AUB,A∩B: (2)若B≤A,求实数m的取值范围。 16.已知函数f(x)=x2-ax+2 (1)若a=3,求不等式f(x)<0的解集： (2)当x∈[1,2]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围。 高三数学试卷第3页（共4页） 17.某市A,B两所中学的学生组队参加信息联赛，A中学推荐了3名男生、2名女生.B中学推荐 了3名男生、4名女生两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训 的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛 ()求A中学恰好有1名男生和1名女生入选代表队的概率： (2)设X表示A中学参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望： 18.一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据 如下表： 温度x/PC 21 2 24 2729 32 产卵数y/个 6 1120275777 经计算得x= ∑x=26,= 6 y,=3,2x-0y-刃=557，s-°=84,2(0y-列=3930 6 线性回归模型的残差平方和∑(y,-}=236.64,e4s≈3167，其中x,y分别为观测数据中的温差 和产卵数，i=1,2,3,4,5,6 (①)若用线性回归方程，求y关于x的回归方程)=x+à（精确到0.1）： (2)若用非线性回归模型求得y关于x回归方程为=0.06e23,且相关指数R2=0.9522 ()试与(1)中的回归模型相比，用R说明哪种模型的拟合效果更好. ()用拟合效果好的模型预测温度为35C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数） 附：一组数据(x,),(x,y2),(x,y),其回归直线=x+à的斜率和截距的最小二乘估计为 。(5-x0- 20y- 6=回 ,=可-成；相关指数R2=1- 2-列 20-引 19.已知函数f(x)=x-(c (①)a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程 (2)f(x)有2个零点x,为，且x<五. (i)求a的取值范围； (i)证明：，+为>1. 高三数学试卷第4页（共4页）高三数学参考答案及评分标准 1.集合M={2,4,6,8,10},N={x1<x<6,则M∩N=() A.{2,4B.{2,4,6}C.{2,4,6,8) D.{2,4,6,8,10} 【答案】A 【解析】因为M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6,所以M∩N={2,4}, 之不停式>0的安足() A.（-0,-2)U(0,+0） B.（2,+0) C.（-2,0) D.(-2,0)U(2,+0） 【答案】D x>0 x<0 【解析】原不等式等价于 {2-40或 1x2-4<0 故x>2或-2<x<0,故原不等式的解集为(-2,0)U(2,+o). 3.如图为函数y=∫(x)和y=g(x)的图象，则不等式f(x)g(x)<0的解集为() V =g(x) A.（-o,-1)U(-1,0) B.（-∞-1)U(0,1) C.（-1,0)U(1,+0) D.(0,1)U(1,+∞) 【答案】D 【解析】由图象可得当f(x)>0→x∈(-1,0)U(1,+o), 此时需满足g(x)<0,则x∈(-0，-1)U(1,+o),故x∈(L,+∞)； 当f(x)<0→x∈(-m,-1)U(0,1), 此时需满足g(x)>0,则x∈(-1,1)，故x∈(0,1) 综上所述，x∈(0,1)U(1,+o). 4.函数f()=x4-2x2的图像在点(1，f(I)处的切线方程为() A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1 【答案】B 【解析】f(x)=x-2x3,f(x)=4x3-6x2,f(1)=-1,f(1)=-2, 因此，所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1. 故选：B. 5.为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入x(亿元)与产品收益y(亿元)的数 据统计如下： 4 6 7 2 8 9 ∑x4-瓜· 参考公式：b=回 一，a=-m∑（￥-(y-)34,∑（￥-y2=28, 1 则下列选项不正确的是() A.x=4,=6 B.由散点图知变量x和y正相关 C.相关系数r的绝对值r越接近0，表示x,y的线性相关程度越弱 D.用最小二乘法求得y关于x的线性回归直线方程为=1.5x+0.5 【答案】D 【解析】对于选项A,由题知x=+2+3+4+5+6+74, 7 )=2+3+5+7+8+8+9=6,故选项A正确： 7 对于选项B,由图表可得散点图如下，由散点图知变量x和y正相关，所以选项B正确： 对于选项C,相关系数r的绝对值口越接近0，表示x,y的线性相关程度越弱，故选项C正确： 对于选项D,因为样本中心点为(4,6)，又1.5×4+0.5=6.5≠6， 所以少=1.5x+0.5不是y关于x的线性回归直线方程，故选项D不正确. 6.从5名男生、3名女生中任选2人参加志愿服务，则选出的2人为一男一女的概率为() 15 A28 13 3 014 28 c. 【答案】A 【解析】总选法C=28,一男一女选法CC=15,概率P=1 28 7.已知函数f(x)是偶函数，且∫(x-2)在[0,2]上是减函数，则() A.f(-1)<f(2)<f(0) B.f(-1)<f(0)<f(2) C.f(0)<f(-1)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-1) 【答案】C 【解析】设8(x)=f(x-2)在[0,2]上是减函数，则8(2)<g1)<g(0)即f(0)<f(-1)<f(-2) 函数∫(x)是偶函数，故f(2)=f(2),所以f(0)<f(-1)<f(2) 8.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e-1的极值点，则f(x)的极小值为() A.-1 B.-2e3 c.5e3 D.1 【答案】A 【解析】解：f(x)=(x2+a-1)e.导函数f"(x)=[x2+(a+2)x+a-1]e f'(-2)=0∴.a=-1 ·导函数f"(x)=(x2+x-2)e 令f'(x)=0,x=-2,x=1 当x变化时，f(x),f'(x)随变化情况如下表： (-0,-2) -2 (-2,1) (L,+o) f'(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 从上表可知：极小值为f()=-1. 9.已知正数x,y满足x+y=1,则下列选项正确的是() A.+的最小值是4 B.xy的最小值是1 x V 1 9 C.x2+y2的最小值是1 D.y+2 的最大值是 6 【答案】AD 1++6x+功=1+++1≥2+2 【解析】A上+1 .x=4,当且仅当-，即 x y x y x V X=y2时等号成立，故选项A正确， A(。)-片当且仅当xy时峰号发立、微能项B描限 Q-6+列2we+小-°；且取当=y时行5 2 故选项C错误. D.因为x+y=1, 所以 9 ,13 6 当且仅当x=V+24时等号成立，故选项D 正确。 10.函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)-8(x)=x3+x2-1,则() A.f(-1)=-1 B.g(-1)=2 C.f(1)+8(1)=1 D.f(1)+g(1)=2 【答案】AC 【详解】由f(x)-g(x)=x3+x2-1得：f(-x)-g(-x)=-x3+x2-1, 又f(x),8(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，-f(x)-g(x)=-x3+x2-1: f(x)-g(x)=x3+x2-1 由g闲F+2-1得：f0,8四=+1： 对于A,f(-1)=(-1)=-1,A正确： 对于B,g(-1)=-(-1)+1=0,B错误： 对于CD,f(1)+8(1)=1-1+1=1,C正确，D错误. 1.已知P()-行PB0-各若随机亭件A,B相互独立，则《) A.PUB-青 B.u08 c.a-号D.4*-g 【答案】BCD 【年1对，0-8-}-分，B 1 5 对A,PA)=P0P-P),P)-子A错误： 1 对cKn=a@)号片a周=手 PB了亏，C正确： D,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =M+同-P4-片子子子专DE 12.(化-马)°的展开式中常数项是-160，则a= 【答案】a=2 【解析】因为(x-马°的展开式中常数项是：Cx(-马=C(-a, 1 由C8(-a)=-160→20×(-a3=-160→a=2. 13.已知函数f(x)=x2-3x,则f(w)在[0,2]上的最小值为 【答案】-2 【解析】f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[0,21，极值点x=1,又fI)=-2, 所以最小值为-2。 14.设定义域为R的函数f(x)满足f(x)<f(x),则不等式e-1f(x)<f(2x-1)的解集为 【答案】(-0,1) 【解折】令g()-巴，则g倒-f四<0故的在R上单调道硬，不等代 ex ef)<f2x-),即f@<f2x-),故g<g2x-》,故x>2x-l解得<1，所以原不等式 e2x-1 的解集为(-0，)。 15.已知集合A={x1≤x≤4}，B={xm+1≤x≤2m-1}。 (1)若m=3,求AUB,A∩B: (2)若B三A,求实数m的取值范围。 【答案】(1)AUB=L,5]A∩B=4 (2)m≤ 2 【解析】(1)当m=3时，B={x4≤x≤5}，A={x1≤x≤4}。2分 AUB=[,5]A∩B={4}。 6分 (2)分两种情况： ①B=0,+1>2-1,解得<2，满足B二A;.8分 m+1≤2m-1 ②B≠0，m+1≥1 ,解得2≤m≤ 5 .11分 2 2-1≤4 综上：m≤ 2 13分 16.己知函数f(x)=x2-ax+2 (1)若a=3,求不等式f(x)<0的解集； (2)当x∈[1,2]时，f()≥0恒成立，求实数a的取值范围。 【答案】(1)x∈1,2) (2)a∈(-0,2V2] 【解析】 (1)f)=x2-3x+2<0→(x-10x-2)<0→x∈4,2)5分 a)x∈l21,x2-m+2≥0→a≤x+2恒成立， .8分 2 令g(x)=x+ .10分 又g(x)m=g(W2)=2V2 ..13分 a≤2√2. 15分 17.某市A,B两所中学的学生组队参加信息联赛，A中学推荐了3名男生、2名女生.B中学推荐了3名 男生、4名女生两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽 取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛， (1)求A中学恰好有1名男生和1名女生入选代表队的概率： (2)设X表示A中学参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望； 27 【答案】(1) 100 ②)分布列见解析，期望为 【解析】(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名 代表队抽取的学生中刚好有一名男生和一名女生来自A中学队的概率为 cicicc]_27 cc100 ….6分 (2)根据题意得，X的可能取值为0,1,2,3..7分 则x-0-茹x--易 C620 910分 P(x-2)-GG9 Px-3)-g】 C8-20 .13分 所以X的分布列为： X 0 2 3 1 9 9 1 P 20 20 20 20 因此，X的数学期望E(X)=0× 9 +1× +2 ,9+3× 13 202… .15分 20 20 20 18.一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下 表： 温度x°C 21 23 24 27 29 32 产卵数y/个 6 11 2027 57 77 经计算得：x= 25=26,7=18y-3,2x-x)0y-列=57,2(x-=842(g-=3930,线性 6 61 i-1 回归模型的残差平方和∑(y-=236.64,e05≈3167，其中x,y分别为观测数据中的温差和产卵数， i=1,2,3,4,5,6 (1)若用线性回归方程，求y关于x的回归方程)=bx+à（精确到0.1）： (2)若用非线性回归模型求得y关于x回归方程为=0.062，且相关指数R2=0.9522. ()试与(1)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好. (i)用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）· 附：一组数据(5，)，(x2乃)，，（x,),其回归直线=bx+à的斜率和截距的最小二乘估计为 6.0g- Σ(y- ,=可-bx;相关指数R2=1- i 矿 2g-列明 【答案】(1)少=6.6x-138.6(2)(i)非线性回归模型拟合效果更好；(ii)190; 、16 立c-0g-可 y=33, 6= 557 【解析】(1D由题意n=6,则下∑5=26， 6a ≈66， 立你到 84 à=33-6.6×26=-138.6，y关于x的线性回归方程为y=6.6.x-138.6. .6分 (2)(1)对于线性回归模型，∑0-)3=3930，∑0g-)2=236.64, i=1 i=1 相关指数为1- 236.64 3930 ≈1-0.0602=0.9398，因为0.9398<0.9522，所以用非线性回归模 204列 型拟合效果更好... .12分 (ii)当x=35,时)=0.06e230335=0.06×e8605=0.06×3167=-190.02≈190（个） 所以温度为35C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个..17分 19.已知函数f(x)=a-(e. (1)a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)f()有2个零点￥，5，且x<x2 (i)求a的取值范围； (i)证明：+x2>1. 【答案】(1)y=-x-1 (2)(i)(2e,+n); (i)见解析 【解析】(1)当a=1时，f(x)=x-(e)2,1分 则f(x)=1-2(e)2, .2分 则f(0)=-1,且f(0)=1, 则切点(0,1)，且切线的斜率为-1，......3分 故函数f(x)在点(0，f(0)）处的切线方程为y=-x-1......4分 (2)(i)令fx)=m-(e)=0,x=0时，f(x)=0不成立，5分 r≠0时，得a=(c .6分 设g1W-e,则gg-2e-e_ea-D,7分 由g(e,0解得单调暗区间为行+： 自g(<0钓单调减区间为(n0叭，o2》 作出函数图象。 要使函数f(x)有2个零点， y=g(x八 2 则方程a=g(x)在(0，+o)内有2个根，即直线y=a与函数 g(x)的图象有2 个交点 =2e,故a的取值范围为(2e,+0):9分 1 (i)由图象可知，0<5<2<， 要证+为>1；即证x>1-X;10分 又与分1-分g国在公树上为常福数，则只需要证g化)少g0-)。 又g(5)=g(G),则只需要证g(5)>81-,0<名<2 则构造辅助函数c()-6)--)0<<为) .11分 G)-g+g0-对-e旷2-(dy(2x- 1-x g 12分 为减函数， ..13分 所以ee >0, ex e-x >0,2x-1<0, x 1-x x 1-x 所以G(x)<0, 所以G()=g(国-g0-0<<司为减勇数。 14分 所以G(y>G)》, 所以G(x)=g(x)-g1-x)>0, 所以8)>8-0<< 所以g(5)=g(6)>g(1-5),16分 故x2>1-x1, x1+x2>1」 .17分