专题07 分式相关压轴题（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建分式压轴题突破体系，通过抽象分式运算本质、提炼推理方法，培养运算能力与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3要点|因式分解优先、验根关键、繁分式由下至上通分|立足分式运算基础，强调规范步骤| |题型归纳|5题型（每题型含典例+3变式）|代数操作关注定义域与特殊值法；完全平方式综合用平方转化；整体代入抓式子关联性；待定参数用系数比较法；规律问题观察拆项抵消|从基础操作到综合应用，形成“特征-方法”对应链| |压轴挑战|16题（选择+填空+解答）|融合多模块方法，强化复杂情境下的推理与模型构建|衔接中考压轴考法，提升问题解决能力|

专题07 分式相关压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式相关代数操作题 题型二、分式与完全平方式综合 题型三、整体代入求值 题型四、利用分式恒等式求待定参数 题型五、分式相关规律性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 先因式分解再约分：所有分子分母必须先因式分解，看清楚了再约，切勿直接消去相同字母。验根写在草稿纸抬头：解方程第一步就写“经检验，x=...是原方程的根”，这是分数到手的关键步骤。遇到繁分式（大分式套小分式）：从最下面的分母开始通分，逐层往上翻，别从上面往下拆。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式相关代数操作题 典例1 ．对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作”． 例如：，，下列说法： ①对于“绝对和差操作”，化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果： 其中说法正确的是（     ）． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 题型模版 1.特征：1.已知“倒数和”或“差”条件，2分子分母次数相同或分子高次的“假分式”，2分子分母次数相同或分子高次的“假分式”。 2.方法：1. 先看定义域。2.任何通分、约分之前，必须把所有能分解的二次三项式、平方差全部分解完。 3. 慎用“特殊值法”：若考试是填空题/选择题，且题目没有给具体 x 值，可以代满足条件的特殊数（如 x=1）快速验算选项，但这只能用来检查，正式大题慎用，易丢步骤分。 变式1-1我们定义：形如：（、不为零），且两个解分别为，的方程为“十字分式方程”． 例如为“十字分式方程”，可化为，，． 再如为“十字分式方程”，可化为 ，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则， （2）若“十字分式方程”的两个解分别为，，则的值为． （3）若关于的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），则的值为2． 正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-2．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点M为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”M为“穿透点”，当（其中）的值为整数时，称“整点”M为“封闭点”．已知点，下列说法： ①若点M为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在函数的图像上； ②若点M为“整点”且到两坐标轴的距离均小于5，则满足条件的M点的个数为5个； ③若点M为“穿透点”，则满足条件的M点的个数为8个； ④若点M为“封闭点”，则满足条件的M点的个数为10个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-3．已知两个多项式，将、进行加减乘除运算． ①已知，若关于的方程无解，则． ②若为非零整数，且为整数，则满足条件的的值的和为． ③若，则． ④若，则x的取值范围为． 以上说法中正确的个数有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二、分式与完全平方式综合 典例1 若，则=____________． 题型模版 1.特征：分式的化简求值，完全平方公式． 2.方法：通过将两边同时平方，利用完全平方公式得到的值。 变式1-1已知，则代数式值 _______． 变式1-2．已知，则____． 变式1-3．若，则_________． 题型三、整体代入求值 典例1 若，则________． 题型模版 1.特征：分式中含有和整式相同或相近的项。. 2.方法：分式的化简求值，分式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握分式的混合运算原则是解题的关键． 变式1-1已知实数满足，则代数式________． 变式1-2．已知，且，则______． 变式1-3．已知，则________． 题型四、利用分式恒等式求待定参数 典例1 已知，则的值为_______． 题型模版 1.特征：含有2个及以上的待定参数。 2.方法：通过部分分式分解，将右边通分后与左边比较分子，利用系数比较法得到关于待定系数的的方程组，进而求解值． 变式1-1若常数 M， N满足 则 ___________ 变式1-2．已知其中、、、为常数，则_____． 变式1-3．已知，则的值是__________． 题型五、分式相关规律性问题 典例1 观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 题型模版 1.特征：需探究或发现规律。. 2.方法：1观察所给等式，发现各部分的变化规律即可写出第n个式子； 利用前面的规律将每个项拆分为差的形式，通过相互抵消简化求和． 变式1-1阅读理解与应用阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知： （1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_______； （2）计算： ______ 变式1-2．已知，，，，，…，按此规律，请用含的代数式表示________． 变式1-3．观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算：______（n为正整数）． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 2．若实数x满足，则代数式的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．以上都不正确 3．若，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 4．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 7．已知关于的多项式：，下列说法正确的个数有（    ） ①若，则； ②若，，则的值为； ③若的值为整数，则满足条件的所有整数的和为5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．已知实数x满足，则分式的值为_____________； 9．已知，则的值等于______． 10．已知，则的值等于___________． 11．已知，且、为常数，则的值为_________． 12．已知，则整式_______． 13．如果，则的值为 _____． 14．已知，则 __________． 15．已知 求 的值． 16．【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 (1)将假分式化为带分式； (2)若的值为整数，求整数的值； 【拓展延伸】 (3)若，且、为正整数，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式相关压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式相关代数操作题 题型二、分式与完全平方式综合 题型三、整体代入求值 题型四、利用分式恒等式求待定参数 题型五、分式相关规律性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 先因式分解再约分：所有分子分母必须先因式分解，看清楚了再约，切勿直接消去相同字母。验根写在草稿纸抬头：解方程第一步就写“经检验，x=...是原方程的根”，这是分数到手的关键步骤。遇到繁分式（大分式套小分式）：从最下面的分母开始通分，逐层往上翻，别从上面往下拆。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分式相关代数操作题 典例1 ．对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作”． 例如：，，下列说法： ①对于“绝对和差操作”，化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果： 其中说法正确的是（     ）． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查分式化简与绝对值的性质，按照分式运算法则对三个说法逐一验证即可． 【详解】验证①：对， 化简： 原式=， ， 当即时，原式， ①错误； 验证②：构造“绝对和差操作”计算： ， 0是常数，因此至少存在一种操作得到常数结果，②正确； 验证③：5个分式，每个分式有2种符号选择，总共有种操作； 对任意一种操作，将所有符号同时取反得到的新操作与原操作结果相同， 必然存在重复结果，因此化简后不可能有32种不同结果，③正确， 综上，正确的说法是②③． 题型模版 1.特征：1.已知“倒数和”或“差”条件，2分子分母次数相同或分子高次的“假分式”，2分子分母次数相同或分子高次的“假分式”。 2.方法：1. 先看定义域。2.任何通分、约分之前，必须把所有能分解的二次三项式、平方差全部分解完。 3. 慎用“特殊值法”：若考试是填空题/选择题，且题目没有给具体 x 值，可以代满足条件的特殊数（如 x=1）快速验算选项，但这只能用来检查，正式大题慎用，易丢步骤分。 变式1-1我们定义：形如：（、不为零），且两个解分别为，的方程为“十字分式方程”． 例如为“十字分式方程”，可化为，，． 再如为“十字分式方程”，可化为 ，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则， （2）若“十字分式方程”的两个解分别为，，则的值为． （3）若关于的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），则的值为2． 正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：（1）对于 ， ，，符合十字分式方程定义， ，，故（1）正确． （2）方程 可化为 ， 根据定义得，． ．故（2）错误． （3）原方程变形：两边同时减1得 ， 整理得 ， ， ，符合十字分式方程定义， ， ，即 ， 又， ， ， 得 ，， 代入得 ，故（3）正确． 综上，正确的结论共2个． 变式1-2．在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点M为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”M为“穿透点”，当（其中）的值为整数时，称“整点”M为“封闭点”．已知点，下列说法： ①若点M为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在函数的图像上； ②若点M为“整点”且到两坐标轴的距离均小于5，则满足条件的M点的个数为5个； ③若点M为“穿透点”，则满足条件的M点的个数为8个； ④若点M为“封闭点”，则满足条件的M点的个数为10个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】已知点 ，逐一判断： ① 若为整点，则为整数，点横纵坐标满足，因此所有满足条件的整点都在函数的图像上，①正确． ②点到两坐标轴距离均小于5，得且 ，为整数． 解不等式： ， ，因此公共范围为 ．符合条件的整数为 ，共5个点，②正确． ③ 若为穿透点，由定义，得 ． 代入公式化简得：，该式为整数，则为整数，7的整数约数为，共4个，对应4个不同的点，③错误． ④ 若为封闭点，由定义，得．代入公式化简得： ， 该式为整数，则为整数，16的整数约数为 ，共10个，对应10个不同的点，④正确． 变式1-3．已知两个多项式，将、进行加减乘除运算． ①已知，若关于的方程无解，则． ②若为非零整数，且为整数，则满足条件的的值的和为． ③若，则． ④若，则x的取值范围为． 以上说法中正确的个数有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题需逐个判断四个结论的正误，通过整式化简，结合一元一次方程无解的条件，分式整数解，完全平方公式，绝对值的性质逐一验证，最终统计正确个数得到结果． 【详解】已知，，逐个判断： ①计算 方程整理得 ∵一元一次方程无解时，一次项系数为，即，得 ∴①正确． ②计算 ∵为非零整数，约去得 ∵分式值为整数， ∴是的整数约数，即 解得，均满足分母不为 ∴的和为，②正确． ③计算 ∵， ∴ ∵，两边除以得 ∴ ∴③错误． ④令，原方程变为 当时，，等式成立 代入得 解得，∴④正确． 综上，正确的结论共个，故选C． 题型二、分式与完全平方式综合 典例1 若，则=____________． 【答案】6 【详解】试题分析：因为，所以，所以， 所以=． 题型模版 1.特征：分式的化简求值，完全平方公式． 2.方法：通过将两边同时平方，利用完全平方公式得到的值。 变式1-1已知，则代数式值 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，先根据题意得到，再由完全平方公式推出，则． 【详解】解：∵， ∴（不符合题意）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1-2．已知，则____． 【答案】6 【详解】解：由可得， 由题意得，将方程两边除以，得， 则， 由得 ， 所以， 故答案为：6． 变式1-3．若，则_________． 【答案】119 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：119． 题型三、整体代入求值 典例1 若，则________． 【答案】 【分析】由，变形可得，代入所求代数式，化简即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴两边同乘以可得， 变形，得， ∴． 题型模版 1.特征：分式中含有和整式相同或相近的项。. 2.方法：分式的化简求值，分式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握分式的混合运算原则是解题的关键． 变式1-1已知实数满足，则代数式________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简计算，灵活运算是解题的关键． 由已知条件可得，由于，将方程变形为，进而求出，将所求代数式的分子和分母同时除以，代入计算即可． 【详解】解：由，得， 因为（若，代入方程不成立）， 所以将方程两边除以，得，即 则， 所求代数式为， 分子和分母同时除以， 得， 故答案为：． 变式1-2．已知，且，则______． 【答案】 【详解】由 ， 得 ， 即 则 由 两边乘以分母（），得 整理得 则， 代入 ，， 分子 分母 由 知 ， 故 ， 因此 ． 故答案为：． 变式1-3．已知，则________． 【答案】 【详解】解：由可得：， 等式两边同乘， 得，即， 即： ， 故答案为：． 题型四、利用分式恒等式求待定参数 典例1 已知，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法、解二元一次方程组，熟练掌握分式的加法法则是解题关键． 先计算等式右边的加法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 题型模版 1.特征：含有2个及以上的待定参数。 2.方法：通过部分分式分解，将右边通分后与左边比较分子，利用系数比较法得到关于待定系数的的方程组，进而求解值． 变式1-1若常数 M， N满足 则 ___________ 【答案】 【详解】解：由分式等式 ， 右边通分得：与左边分母相同，故分子相等：， 展开右边：， 因此，得到恒等式：， 比较系数：， 则：， 故答案为：． 变式1-2．已知其中、、、为常数，则_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的加减运算，先对进行计算，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题，解题的关键是熟练掌握分式的运算及法则的应用． 【详解】解： ， ∵， ∴，，，， 解得，，，， ∴， 故答案为：． 变式1-3．已知，则的值是__________． 【答案】4 【详解】解：， ， ， ， 解得，， ． 故答案为：4． 题型五、分式相关规律性问题 典例1 观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 题型模版 1.特征：需探究或发现规律。. 2.方法：1观察所给等式，发现各部分的变化规律即可写出第n个式子； 利用前面的规律将每个项拆分为差的形式，通过相互抵消简化求和． 变式1-1阅读理解与应用阅读下面的材料，并解答下列问题： 已知： （1）根据你发现的规律写出第n（n为正整数）个式子是_______； （2）计算： ______ 【答案】 【详解】解：（1）由已知等式 ，，，…， 可得第n个式子为， 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 变式1-2．已知，，，，，…，按此规律，请用含的代数式表示________． 【答案】 【分析】此题主要考查代数式的规律探索，分式的运算，解题的关键是求出各数值，发现规律求解．先求出，，，，，发现规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴3次一循环 ∵ ∴ 故答案为：． 变式1-3．观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算：______（n为正整数）． 【答案】 【分析】先根据已知等式归纳类推出，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，归纳类推得：， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 2．若实数x满足，则代数式的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．以上都不正确 【答案】A 【分析】根据，将等式两边同时除以，易得，再两边同时平方，整理即可求解． 【详解】解：， 当时，等式不成立，即， 将等式两边同时除以，得，即， 将等式两边同时平方，得， ， ． 3．若，则的值为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值．先对已知方程变形得到的值，再利用完全平方公式的恒等变换计算所求式子的值． 【详解】解：∵，且（若，代入方程左边得，矛盾）， ∴方程两边同时除以，得， ∴， ∵， ∴ 将代入，得． 故选：A． 4．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的化简求值、完全平方公式，由已知方程变形得到 ，利用完全平方公式可得，最后代入化简后的表达式求解． 【详解】解：，且 ， 等式两边除以，可得：， ， ， ， ， 故选：C． 5．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的化简求值，掌握分式的性质是解题关键．由已知条件，结合完全平方公式，可先求出的值，再将所求分式分子分母同除以化简后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，且 ∴， ∴ ， 故选：D 6．已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是通过对已知条件变形得到与的关系，再整体代入化简后的分式求值． 先对已知通分变形，得出与的关系， 再将所求分式变形为含的形式 最后把与的关系代入变形后的分式计算结果． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 化简 ∴． 故选：A． 7．已知关于的多项式：，下列说法正确的个数有（    ） ①若，则； ②若，，则的值为； ③若的值为整数，则满足条件的所有整数的和为5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查分式的值，整式的混合运算，将代入相应的代数式，再根据整式、分式的化简方法逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ①，即， ∴， ∴， 因此①正确； ②，即， ∴，即， ∴时，， 因此②正确； ③∵的值为整数， ∴或， 解得或或或， ∴满足条件的所有整数x的和为， 因此③不正确． 综上所述，正确的结论有①②，共2个， 故选：C． 8．已知实数x满足，则分式的值为_____________； 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的化简求值； 由已知条件 ，可得 ，即 ．代入分式的分母可得 ．再化简分式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为 ． 9．已知，则的值等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，利用分式的基本性质对已知条件进行变形是解题的关键． 由可得，再对进行变形，然后八代入计算即可． 【详解】解：由可得：， 所以． 故答案为：． 10．已知，则的值等于___________． 【答案】2 【分析】将已知等式变形，整理后代入原式计算即可得到结果． 【详解】解： 整理得：， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，求得，再利用整体思想代入求值是解题的关键． 11．已知，且、为常数，则的值为_________． 【答案】 【分析】对等号右边的分式进行通分，根据两式相等，得到关于、的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解： 由题意可得 即，解得 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的加减运算以及二元一次方程组的求解，解题的关键是掌握分式的运算法则，正确列出方程组． 12．已知，则整式_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法，解二元一次方程组； 根据异分母分式的加法法则进行计算，结合已知得出关于A、B的二元一次方程组，求出A、B，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．如果，则的值为 _____． 【答案】7 【分析】此题考查的是分式运算和利用完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的变形是解题关键． 先将等式两边同时除以，并整理可得，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为7． 14．已知，则 __________． 【答案】 【分析】先把取倒数得，再两边平方，最后将变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，灵活运用倒数法是解答本题的关键． 15．已知 求 的值． 【答案】 【分析】先将平方，即，再利用已知条件代入求出；利用得，从而得到，与所求值中的式子建立联系，同理一一替换所求式子，最后通分，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴； 由得， ∴， 同理可得，， ∴原式 ． 16．【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 (1)将假分式化为带分式； (2)若的值为整数，求整数的值； 【拓展延伸】 (3)若，且、为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或1 (3)7 【分析】（1）仿照例题计算即可求解； （2）先化为带分式，根据分式的值为整数，得出为整式，进而求得的值； （3）法1：用含的式子表示出；法2：用含的式子表示出；进而同（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． ∴是整数，即或， ∴或1； （3）解：法1：， ∵、为正整数， ∴是正整数， ∴，解得：，则； 或，解得：（舍去）， ∴； 法2：， ∵、为正整数， ∴须为大于1的奇数， 又∵为正整数， ∴是的正约数， ∴，解得：，则， 或，解得：，则（舍去）， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $