专题06 因式分解相关压轴题（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建因式分解专项训练体系，提炼“无中生有、主元降维”等核心策略，实现方法迁移与思维进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心策略|十字相乘法、拆项添项、主元降维、试根配方|从基础方法到高阶技巧，构建完整解法体系| |题型归纳|8题型（1典例+3变式/题型）|参数求解用系数对应，简便运算逆用公式，分组分解按项分组，数形结合用面积验证|覆盖求参数、实数分解等中考高频考法，方法与题型精准对应| |压轴挑战|15题|综合运用换元、拆添项等复杂技巧|衔接中考压轴题，提升推理能力与创新意识|

06 因式分解相关压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用因式分解求参数 题型二、因式分解相关简便运算 题型三、实数范围内因式分解 题型四、分组分解法 题型五、拆项法 题型六、十字相乘法 题型七、利用配方法求值 题型八、因式分解与图形面积 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 因式分解压轴题，不仅仅需熟练掌握十字相乘法。还需考虑 “无中生有”（拆项、添项）和 “主元降维”，高次看试根，多元选主元，无根就配方，复杂必换元。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用因式分解求参数 典例1 ．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开因式乘积，根据多项式对应项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，， 解得， ∴． 题型模版 1.特征：因式分解题目及答案均含参数 2.方法：利用多项式乘法展开右侧因式乘积，再根据多项式相等对应项系数相等的性质求解参数，也可直接对左侧多项式因式分解得到结果． 变式1-1已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：， 根据题意可得， 可得， 解得． 变式1-2．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【答案】B 【分析】若多项式含有因式，则当时，该多项式的值为，代入即可求出的值. 【详解】解：∵ 二次三项式有一个因式为 ， ∴ 当时，， 将代入等式得： ， 化简计算得：， 解得：. 变式1-3．关于的多项式可以分解为，则，的值为（     ） A．12，6 B．8，4 C．10，8 D．2，6 【答案】A 【分析】先展开分解后的因式乘积，根据多项式相等时对应项系数相等，列等式求解即可得到和的值． 【详解】解：∵，多项式可以分解为， ∴， ∴ ， 解得． 题型二、因式分解相关简便运算 典例1 简便运算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型模版 1.特征：含有平方项的简便运算 2.方法：考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 变式1-1利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 变式1-2．简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 变式1-3．利用分解因式简便运算： (1) (2)． 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题考查了利用分解因式进行简便运算，解题的关键在于掌握平方差公式与完全平方公式． （1）利用平方差公式计算求解，即可解题； （2）根据完全平方公式进行计算求解，即可解题； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三、实数范围内因式分解 典例1 在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 题型模版 1.特征：题目中常数项不是平方数。 2.方法：考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键；通常先提取公因式，再运用公式法因式分解. 变式1-1在实数范围因式分解：___________． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式进行分解，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是恰当进行分组，然后用公式法分解． 变式1-2．在实数范围内因是分解：______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解因式． 【详解】解： = = = 故答案为：． 变式1-3．（在实数范围内分解因式）___________． 【答案】 【详解】解：原式． 故答案为：． 题型四、分组分解法 典例1 ．分解因式：______． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型模版 1.特征：题目中一般含有4项及以上，不能直接用公式因式分解。 2.方法：利用分组分解法分解因式，先将一、二项分成一组，三、四项分成一组，第一组用平方差公式分解，第二组用提公因式法分解，组与组之间再提公因式即可． 变式1-1因式分解：____________． 【答案】 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底． 【详解】解： ． 变式1-2．分解因式：______． 【答案】 【分析】利用分组分解法，先分解二次项部分，再提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 变式1-3．因式分解：___________． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 题型五、拆项法 典例1 ．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 题型模版 1.特征：题干中有“拆项法”及相关的例题详解。 2.方法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解. 变式1-1我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①， ② (2) 为等腰三角形，理由如下： ． 的三边长a，b，c ，b，c均为正数， ， ， 为等腰三角形． 【详解】（1）解：①． ②． （2）略 变式1-2．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴为等腰三角形． 【详解】（1）解：①； ② （2）略 变式1-3．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)12 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：由图1可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的总面积为， ∵大长方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和，即， 两个表达式对应同一个图形的面积， ∴因式分解结果为． （4）解：由图2可知，大正方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和， ∴， ∵，， ∴， 由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数， ∴， ∴． 题型六、十字相乘法 典例1 ．材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得， 均为整数， ， ． 题型模版 1.特征：题干中有“十字相乘法”及相关的例题详解。 2.方法：十字相乘时，把 c 的符号先带进去。若 b 绝对值较大，优先尝试让交叉项同号相加的组合。拆完后，口算一次交叉项的和，等于 b 即胜利，否则立即调整。 变式1-1．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图① 由答图①知． （2）解：如图②． 由答图②可知． 变式1-2．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图， 由图知． （2）解：如图， 由图知． （3）解：如图， 由图知． 变式1-3．，反过来可写成．于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法． 示例：因式分解：． 解：由图②可知，． 请根据示例，对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意给出的因式分解法即可求出答案． 【详解】（1）解：由图1可知，． ； （2）解：由图2可知，． ． 题型七、利用配方法求值 典例1 【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式： ． ②用配方法求值：例如，即． ． ③用配方法确定范围：例如 ， ∴当时，M有最小值． 【问题解决】 请根据上述材料解决下列问题： (1)如果（__________）是一个完全平方式，则括号内的常数应为__________； (2)分解因式： (3)已知，当__________，__________时，y有最小值，最小值是__________； (4)已知，试比较P，Q的大小． 【答案】(1)9 (2) (3)4，5，2 (4) 【详解】（1）解： ； 故答案为：9 （2）解：； （3）解：∵ ， ∴当，时y有最小值， ∴，， ∴当，时，最小值是2； （4）解： ， ∴． 题型模版 1.特征：题干中有“配方法”及相关的例题详解。 2.方法：先配方，把原式化成两个完全平方式和一个常数之和的形式，然后根据完全平方式求解。 变式1-1．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ∴当时，的值最小，原式最小值为1984． 例如：分解因式： 解：原式 (1)分解因式：___________； (2)利用配方法求代数式的最大值； (3)试说明：m、n取任何实数时，代数式的值总大于8． 【答案】(1) (2)58 (3)见解析 【详解】（1）； 故答案为：； （2） ∵ ∴ ∴ 当时，值最大，最大值为58； （3）∵ 又∵，， ∴， ∴m、n取任何实数时，代数式的值总大于8． 变式1-2．阅读下列材料： 材料1：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值1． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料2：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例1因式分解： 解： 例2因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)若，则的最小值为___________； (2)因式分解：___________； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值． （2）解：， ∵，且， ∴； （3）解： ∵， ∴当时，有最小值． 变式1-3．我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：x2+2x-3=（x2+2x+1）-4=（x+1）2-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）；求代数式2x2+4x-6的最小值：2x2+4x-6=2（x2+2x-3）=2（x+1）2-8，可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：m2-4m-5= ； (2)求代数式-a2+8a+1的最大值； (3)当a，b为何值时，多项式a2-4ab+5b2+2a-2b+有最小值，并求出这个最小值； (4)设a为实数，b为正整数，当多项式a2-4ab+5b2+2a-2b+取得最小整数时，则a= ，b= 【答案】(1) (2)最大值是17； (3)当a=-3，b=-1时，最小值是； (4)或，1 【详解】（1）解：m2-4m-5 = (m-2)2-9 =(m-2-3)(m-2+3) =（m-5）（m+1）； （2）解：-a2+8a+1 =-（a2-8a-1） =-[（a2-8a+16）-17] =-（a-4）2+17 当a=4时，最大值是17； （3）解：a2-4ab+5b2+2a-2b+ =a2+2a +1-4ab-4b+4b2+b2+2b+1+ =(a+1)2-4b(a+1) 4b2+(b+1)2+ =（a+1-2b）2+（b+1）2+， 当a=-3，b=-1时，最小值是； （4）解：由（3）知，原式=（a+1-2b）2+（b+1）2+， ∵（a+1-2b）2+（b+1）2+要取得最小整数， ∴当b=1时，（a-1）2+=5 ∴a-1=或a-1= ∴a=或. 故答案为：或；1． 题型八、因式分解与图形面积 典例1 ．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等的小正方形（两个大小不同的正方形不重合、无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ， ． 题型模版 1.特征：1拼图验证公式2.题目只告诉你长方形周长或面积，求长宽平方和或斜边长度。3平方差与“缺角”图形. 2.方法：看到图形想公式，平方差看“缺角”，完全平方看“十字”，知和知积求平方，两数关系全相连。 变式1-130．将两个正方形，如图摆放，点E在上，点G在上，若两个正方形面积之和为58，，则图中阴影部分面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【详解】解：设，， 由题得，， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵． 故选：C． 变式1-2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图所示的长方形，可以得到的因式分解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：运用组合图形的思路求整体的面积，直接求矩形面积 ∴． 变式1-3．如图是一个由4个完全相同的小长方形（长为，宽为）拼成的大正方形，下列是表示阴影部分的面积，且因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，， ∴ 整理，得； 故选C． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察式子特征，提取公因式后可利用完全平方公式简化运算． 【详解】解： ． 2．已知，则的值为（     ） A．8 B．16 C．50 D．32 【答案】D 【分析】先对所求多项式因式分解，再将已知条件整理后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴将代入得原式． 3．如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，大长方形的宽为，长为， ∴大长方形的面积， 由图可知，大长方形的面积， ∴． 4．分解因式：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【详解】解：． 5．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解． 将每个多项式因式分解后，检查是否含有因式，不含有该因式的即为答案． 【详解】解：选项A：，含有因式； 选项B：，含有因式； 选项C：，含有因式； 选项D：，不含有因式； 故选：D． 6．因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 7．分解因式：___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组得到，再利用完全平方公式分解因式，进一步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．在实数范围内分解因式：___________． 【答案】 【分析】先提公因式，再配方，最后根据平方差公式分解因式即可．本题考查了实数范围内分解因式，掌握是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．配方填空：______（x-____）2． 【答案】 9 【分析】要先提公因式，再运用和的完全平方公式，用中间项除以2再除以左边项即可得到右边项． 【详解】解：提公因式后得 ， 利用完全平方公式得右边项：，即配方为：， 由得第一空的答案为：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：多项式先提出二次项系数，常数项是一次项系数一半的平方，掌握并熟练运用配方法是解题关键． 10．若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 【答案】 【分析】因式分解与整式乘法互为逆运算，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求出的值． 【详解】解：， ， 对比多项式同类项的系数可得． 11．因式分解：． 【答案】 【分析】采用分组分解法，将含相同公因式的项分组，逐步提取公因式完成因式分解． 【详解】解： ． 12．材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 原式 ， 再将“”还原，得 原式． 13．你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②；综合应用： 【详解】解：（1）； 故答案为； （2）①； 故答案为； ② ∴或， ∴； （3）① ； ② ； 故答案为；； 综合应用： ； 故答案为． 14．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式：． 解：原式第1步：拆项法，将拆成和 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部) 第4步：提公因式法(整体)； 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底 (1)请你试一试分解因式：； (2)请你试一试在实数范围内分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．我们把选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如；根据上述材料，解决下面问题： (1)写出的配方过程； (2)求出的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)5． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用完全平方公式把式子分解因式即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式把式子分解因式，根据非负数的性质可推出，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴ ∴的最小值为5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 06 因式分解相关压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用因式分解求参数 题型二、因式分解相关简便运算 题型三、实数范围内因式分解 题型四、分组分解法 题型五、拆项法 题型六、十字相乘法 题型七、利用配方法求值 题型八、因式分解与图形面积 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 因式分解压轴题，不仅仅需熟练掌握十字相乘法。还需考虑 “无中生有”（拆项、添项）和 “主元降维”，高次看试根，多元选主元，无根就配方，复杂必换元。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用因式分解求参数 典例1 ．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：因式分解题目及答案均含参数 2.方法：利用多项式乘法展开右侧因式乘积，再根据多项式相等对应项系数相等的性质求解参数，也可直接对左侧多项式因式分解得到结果． 变式1-1已知多项式因式分解后是，则的值为（     ） A． B． C．4 D．5 变式1-2．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 变式1-3．关于的多项式可以分解为，则，的值为（     ） A．12，6 B．8，4 C．10，8 D．2，6 题型二、因式分解相关简便运算 典例1 简便运算：． 题型模版 1.特征：含有平方项的简便运算 2.方法：考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 变式1-1利用公式简便运算： (1)； (2)． 变式1-2．简便运算： (1) (2) 变式1-3．利用分解因式简便运算： (1) (2)． 题型三、实数范围内因式分解 典例1 在实数范围内因式分解：______． 题型模版 1.特征：题目中常数项不是平方数。 2.方法：考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键；通常先提取公因式，再运用公式法因式分解. 变式1-1在实数范围因式分解：___________． 变式1-2．在实数范围内因是分解：______． 变式1-3．（在实数范围内分解因式）___________． 题型四、分组分解法 典例1 ．分解因式：______． 题型模版 1.特征：题目中一般含有4项及以上，不能直接用公式因式分解。 2.方法：利用分组分解法分解因式，先将一、二项分成一组，三、四项分成一组，第一组用平方差公式分解，第二组用提公因式法分解，组与组之间再提公因式即可． 变式1-1因式分解：____________． 变式1-2．分解因式：______． 变式1-3．因式分解：___________． 题型五、拆项法 典例1 ．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 题型模版 1.特征：题干中有“拆项法”及相关的例题详解。 2.方法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解. 变式1-1我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作分组分解法． 例如： ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项或多项后，再利用提公因式法或公式法分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）． (2)已知的三边长a，b，c满足，判断的形状并说明理由． 变式1-2．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 变式1-3．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 题型六、十字相乘法 典例1 ．材料：如何将型的式子分解因式呢？ 我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：． 例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为 ； (2)若利用十字相乘法可分解为（a，p均为整数），求a和p的值． 题型模版 1.特征：题干中有“十字相乘法”及相关的例题详解。 2.方法：十字相乘时，把 c 的符号先带进去。若 b 绝对值较大，优先尝试让交叉项同号相加的组合。拆完后，口算一次交叉项的和，等于 b 即胜利，否则立即调整。 变式1-1．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)． 变式1-2．某些形如的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如：将式子和分解因式，如图，；． 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 变式1-3．，反过来可写成．于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法． 示例：因式分解：． 解：由图②可知，． 请根据示例，对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 题型七、利用配方法求值 典例1 【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式： ． ②用配方法求值：例如，即． ． ③用配方法确定范围：例如 ， ∴当时，M有最小值． 【问题解决】 请根据上述材料解决下列问题： (1)如果（__________）是一个完全平方式，则括号内的常数应为__________； (2)分解因式： (3)已知，当__________，__________时，y有最小值，最小值是__________； (4)已知，试比较P，Q的大小． 题型模版 1.特征：题干中有“配方法”及相关的例题详解。 2.方法：先配方，把原式化成两个完全平方式和一个常数之和的形式，然后根据完全平方式求解。 变式1-1．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ∴当时，的值最小，原式最小值为1984． 例如：分解因式： 解：原式 (1)分解因式：___________； (2)利用配方法求代数式的最大值； (3)试说明：m、n取任何实数时，代数式的值总大于8． 变式1-2．阅读下列材料： 材料1：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值1． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料2：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例1因式分解： 解： 例2因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)若，则的最小值为___________； (2)因式分解：___________； (3)若，求的最小值． 变式1-3．我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式：x2+2x-3=（x2+2x+1）-4=（x+1）2-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）；求代数式2x2+4x-6的最小值：2x2+4x-6=2（x2+2x-3）=2（x+1）2-8，可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：m2-4m-5= ； (2)求代数式-a2+8a+1的最大值； (3)当a，b为何值时，多项式a2-4ab+5b2+2a-2b+有最小值，并求出这个最小值； (4)设a为实数，b为正整数，当多项式a2-4ab+5b2+2a-2b+取得最小整数时，则a= ，b= 题型八、因式分解与图形面积 典例1 ．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等的小正方形（两个大小不同的正方形不重合、无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：1拼图验证公式2.题目只告诉你长方形周长或面积，求长宽平方和或斜边长度。3平方差与“缺角”图形. 2.方法：看到图形想公式，平方差看“缺角”，完全平方看“十字”，知和知积求平方，两数关系全相连。 变式1-130．将两个正方形，如图摆放，点E在上，点G在上，若两个正方形面积之和为58，，则图中阴影部分面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 变式1-2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图所示的长方形，可以得到的因式分解是（     ） A． B． C． D． 变式1-3．如图是一个由4个完全相同的小长方形（长为，宽为）拼成的大正方形，下列是表示阴影部分的面积，且因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．结果为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（     ） A．8 B．16 C．50 D．32 3．如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（    ） A． B． C． D． 4．分解因式：（     ） A． B． C． D． 5．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（    ） A． B． C． D． 6．因式分解：=___________ 7．分解因式：___________． 8．在实数范围内分解因式：___________． 9．配方填空：______（x-____）2． 10．若多项式因式分解的结果为，则常数的值为______． 11．因式分解：． 12．材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 13．你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 14．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式：． 解：原式第1步：拆项法，将拆成和 第2步：分组分解法，通过添括号进行分组 第3步：提公因式法和十字相乘法(局部) 第4步：提公因式法(整体)； 第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底 (1)请你试一试分解因式：； (2)请你试一试在实数范围内分解因式：． 15．我们把选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如；根据上述材料，解决下面问题： (1)写出的配方过程； (2)求出的最小值． 1 / 10 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