专题04 因式分解及其应用11类热考题型 （压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”为框架，系统梳理因式分解11类热考题型，提炼“一提二套三分组”等核心方法，培养运算能力与推理意识，构建从基础到应用的完整知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心解法|分解两原则+“先提公因式，再用公式法”等口诀|整式乘法逆变形→工具性作用（分式化简等）| |11类题型|每类含典例+3-4变式|类型一“一提二套三分组四检查”、类型二十字相乘步骤、类型三换元法步骤等|基础方法（提公因式/公式）→特殊方法（十字相乘/换元/拆添项/分组）→应用（求值/简算/几何等）| |压轴挑战|10道综合题|分组分解/等幂差公式拓展等高阶方法|方法迁移至复杂情境，提升创新意识与应用能力|

专题04 因式分解及其应用11类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、选用合适的方法分解因式 1 类型二、十字相乘法分解因式 2 类型三、换元法分解因式 10 类型四、拆添项法分解因式 17 类型五、分组分解法分解因式 20 类型六、由因式分解求值 25 类型七、由因式分解进行简算 27 类型八、由因式分解解决整除问题 30 类型九、由因式分解判断三角形形状 34 类型十、由因式分解进行证明 38 类型十一、由因式分解解决综合实践题 42 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 因式分解是整式乘法的逆变形，是分式化简、解方程、几何证明的重要工具，期中期末必考。解题贯穿两条原则：一是分解要彻底，每个因式都不能再分解；二是结果必须是整式乘积的形式，且首项系数为正。常用方法口诀：先提公因式，再用公式法，十字相乘试一试，分组分解要合适，换元拆项灵活用。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、选用合适的方法分解因式 典例精讲1（25-26八年级下·宁夏银川·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因数，再利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型归纳 1.特征：给出一个多项式，要求因式分解，需根据多项式的项数、次数、结构选择合适的方法 2.方法：按 "一提二套三分组四检查" 的顺序：①先看有无公因式，有则先提；②二项式考虑平方差公式；三项式考虑完全平方公式或十字相乘法；四项及以上考虑分组分解法；③分解后检查每个因式是否还能继续分解 3.易错提醒：公因式提不彻底（如系数的最大公约数漏提）；分解不彻底，因式还能再分却停止；结果不是乘积形式（中间还含加减号）；首项为负时未提取负号 变式训练1（25-26七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接使用完全平方公式分解即可； （2）先变形提取公因式，再利用平方差公式继续分解； （3）先利用完全平方公式分解，再对得到的多项式利用平方差公式继续分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 变式训练2（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）将下列各式分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 变式训练3（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 变式训练4（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： (1) ； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解 （2）根据完全平方公式因式分解； （3）利用平方差公式进行因式分解； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解： 类型二、十字相乘法分解因式 典例精讲2（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）__________；__________；__________． （2）思考（1）中三个等式左侧两个因式的一次项系数、常数项与对应右侧二次三项式的二次项系数、一次项系数、常数项有何关系．根据思考，分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法、因式分解中的十字相乘法．熟练掌握因式分解中的十字相乘法和理解题意是解题的关键． （1）直接应用多项式乘法法则计算三个表达式； （2）通过观察（1）中等式左侧常数项与右侧系数之间的关系，得出因式分解的一般形式． 【详解】解：（1）； ； ． （2）通过（1）中等式分析：左侧两个因式的常数项之和等于右侧二次三项式的一次项系数，常数项之积等于常数项．因此，对于，两个数p和q满足为一次项系数，为常数项，故． 故答案为：（1）；；；（2）． 题型归纳 1.特征：二次三项式，二次项系数为 1 或不为 1，能分解为两个一次因式的乘积 2.方法：对于 x 的平方加 bx 加 c 型：找两个数，使它们的乘积等于 c，和等于 b，分解为括号 x 加第一个数乘括号 x 加第二个数。对于二次项系数不为 1 的，将二次项系数和常数项分别拆成两个因数，十字相乘后相加等于一次项系数 3.易错提醒：找的两个数乘积对了但和不对，或和对了乘积不对；符号出错（常数项为正时两数同号，为负时异号）；二次项系数不为 1 时因数拆分方向搞反 变式训练1（25-26八年级上·全国·期末）教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查利用十字相乘法求解一元二次方程，判断是否可以利用十字相乘法是解题的关键． 首先观察这个式子的二次项系数，常数项和一次项系数，利用十字相乘法运算得到即可． 【详解】解：∵这个式子的二次项系数，常数项，一次项系数， ∴， 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级下·山西运城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 变式训练3（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 类型三、换元法分解因式 典例精讲3（24-25八年级下·全国·暑假作业）阅读材料： 将进行因式分解． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 将多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3) 证明：原式． 令， 则原式． 为正整数， 为正整数． 代数式的值一定是某个整数的平方． 【分析】本题考查运用换元法进行因式分解，读懂题意，理解换元法是解题的关键． （1）令，根据材料的方法进行求解即可； （2），根据材料的方法进行求解即可； （3）将式子化为，令，则式子可化为，即可证明． 【详解】（1）解：令，则 原式． （2）解：令，则原式． （3）略 题型归纳 1.特征：多项式中某一部分反复出现，或整体结构复杂但有重复单元，直接分解困难 2.方法：将反复出现的部分设为一个新字母（换元），简化多项式结构，用常规方法分解后，再将新字母换回原式，继续分解到不能再分为止 3.易错提醒：换元后未分解彻底就停止；换回原式后忘记继续分解；换元时只替换了部分出现处，遗漏其他处；设元不当导致结构更复杂 变式训练1（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C (2) (3)； 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，提公因式法，十字相乘法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）①仿照材料中求解方法，设，用换元法、公式法进行分解因式即可； ②设，用换元法、提公因式法、十字相乘法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解， 故答案为：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：， 故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 变式训练2（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3) 证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）略 变式训练3（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先整理得，再计算得到，然后利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到： 原式； （2）解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到： 原式 ； （3） 解： ． 类型四、拆添项法分解因式 典例精讲4（22-23八年级下·四川成都·期中）义务教育数学课程标准（年版）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，看懂题例，学会拆项法及添项法是解决本题的关键． （1）把拆成、，然后分组分解； （2）把拆成、，然后三二分组分解； （3）把、、分别拆成、、，再两两分组分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型归纳 1.特征：多项式无法直接用公式或分组分解，需要通过拆项（把一项拆成两项）或添项（加减同一个项）制造公式结构 2.方法：观察多项式与某个乘法公式的差距，通过拆项或添项补全公式结构（如补成完全平方），再用公式分解；拆添项后要保证与原式相等，通常采用 "加一项减一项" 的方式 3.易错提醒：拆添项后与原式不相等（只加不减或只减不加）；补全公式时系数算错；拆项后分组不当导致无法继续分解；分解不彻底 变式训练1（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了拆项法分解因式． 通过拆项法将原式中的项拆分成两部分，使一部分形成完全平方式，另一部分构成平方差公式中的平方项，从而应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 变式训练2（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 类型五、分组分解法分解因式 典例精讲5（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型归纳 1.特征：多项式有四项或更多项，无公因式可提，也不能直接用公式，但适当分组后每组可提公因式或用公式，组间又能继续分解 2.方法：四项式常见分组方式：①二二分组（两两一组分别提公因式，组间再提公因式）；②一三分组（三项构成完全平方，与另一项构成平方差）。分组后确保组间有公因式或能继续用公式 3.易错提醒：分组方式不当，导致组间无法继续分解；二二分组时符号处理错误；一三分组时完全平方公式用错；分组后忘记继续分解到彻底 变式训练1（25-26八年级上·江西赣州·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)是等腰三角形 【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）①两两分组进行因式分解；②三一分组进行因式分解； （2）移项后两两分组进行因式分解求得的关系即可． 【详解】（1）解：①原式 ； ②原式 ； （2）解：， ， ， ∴或， 即：或， ∴是等腰三角形． 变式训练2（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 【答案】(1)； (2) 证明： 由三角形三边关系得，， ，， ，， ， ． 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式计算． （1）将式子分成两组，然后提取公因式进行因式分解即可； （2）先将不等式左边进行因式分解，然后根据三角形的三边关系判断结果小于0． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；； （2）略 变式训练3（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）前两项一组，后两项一组，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解即可； （2）前两项一组，后两项一组，利用分组分解法进行因式分解后，整体代入法求值即可； （3）等式左边利用分组分解法，转化为两个完全平方的和的形式，根据非负性，求出的值，根据等腰三角形的定义，分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰三角形， ∴当时，，满足题意，此时等腰三角形的周长为； 当时，，不能构成三角形，不符合题意； 综上等腰三角形的周长为7． 类型六、由因式分解求值 典例精讲6（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）若，，则的值为__________． （2）已知，，则的值为__________． （3）若，则的值为__________． 【答案】 12 0.36/ 3 【分析】（1）利用平方差公式分解因式进行计算即可； （2）先根据已知条件求出，再利用完全平方公式分解因式进行计算即可； （3）先分解因式，然后再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． 故答案为：12； （2）∵，， ∴，即， ∴． 故答案为：0.36； （3）∵， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算，注意整体思想的应用． 题型归纳 1.特征：已知条件中含有方程或代数式，要求某个字母的值、代数式的值，或已知部分条件求整体值 2.方法：对已知条件或所求式子进行因式分解，转化为几个因式乘积等于 0 或某个值的形式；若乘积为 0 则至少一个因式为 0，据此求字母值；整体代入时将所求式子用已知因式表示 3.易错提醒：因式分解不彻底导致漏解；乘积为 0 时只考虑一个因式为 0，遗漏其他情况；整体代入时代数式变形错误；求出字母值后未检验是否符合题意 变式训练1（25-26七年级下·河北邢台·期末）已知，，则的值等于______． 【答案】 【分析】把所求式子因式分解为，再利用整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 变式训练2（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为_____． 【答案】2035 【分析】此题考查了因式分解的应用，将原式利用平方差公式分解，并代入已知条件，逐步化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2035． 变式训练3（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，先求出，再把所求式子因式分解为，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 变式训练4（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）已知，，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 类型七、由因式分解进行简算 典例精讲7（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用提公因式进行因式分解，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可； （2）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型归纳 1.特征：给出较复杂的数值计算（如多个平方数的和差、大数乘积），直接计算繁琐，可通过因式分解简化 2.方法：观察算式结构，提取公因数，或利用平方差、完全平方公式因式分解，将大数运算转化为小数运算；常见形式：平方差公式用于两数平方差，提取公因数用于有公共因数的和差运算 3.易错提醒：公因式提取不彻底；平方差公式套用错误（分不清哪项是 a、哪项是 b）；因式分解后计算仍出错；未分解到最简就计算导致不够简便 变式训练1（25-26八年级上·全国·单元复习）简便运算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9900 (2)400 (3)1 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、因式分解的应用等知识点，灵活运用提取公因式法和公式法分解因式成为解题的关键． （1）先提取公因数99因式分解，然后再计算即可； （2）先运用平方差公式因式分解，然后再计算即可； （3）先运用完全平方公式因式分解，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：     ． （3）解： ． 变式训练2（25-26八年级上·全国·课前预习）运用提公因式法分解因式，简便计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，原式先提取公因式9，再进行计算即可． 【详解】解： ． 变式训练3（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段检测）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型八、由因式分解解决整除问题 典例精讲8（25-26八年级下·河北保定·期末）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 【答案】(1)45 (2)解： ， ∵为整数， ∴为整数， ∴与的平方差能被整除． 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算出的结果即可． 【详解】（1）解： ， 则的结果是的45倍． （2）略． 题型归纳 1.特征：证明一个多项式（或数）能被某个数或式子整除，或求整除时的参数值 2.方法：对多项式进行因式分解，证明分解后的因式中含有除数（或除数的所有质因数）；对于数字整除问题，分解出连续整数乘积，利用连续整数的倍数性质证明；求参数时利用因式定理或对比系数 3.易错提醒：因式分解不彻底，未能分解出关键因数；连续整数的倍数性质记错；只证明被部分质因数整除，遗漏其他；未说明整数范围前提 变式训练1（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）根据下面的探究过程完成内容： 猜想 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 验证 （1） （写结果）= ． 推理 （2）比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 延伸 （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”． 【答案】（1），； （2）∵设偶数为（为整数）， ∴， ， ， ． ∵为整数， ∴是的倍数， ∴ 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除； （3）∵根据整数，可知比大的数为， ∴， ， ， ， ， ， ． ∵为整数， ∴被除的余数为， ∴比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、提公因式和平方差公式的应用，熟练掌握提公因式和平方差公式是解题的关键． （1）利用平方差公式运算即可； （2）先设偶数为（为整数），再利用平方差公式和提取公因式法运算即可； （3）先根据整数，可知比大的数为，再利用平方差公式和提取公因式法运算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）略 （3）略 变式训练2（2023·河北廊坊·一模）发现：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： (1)的结果是3的几倍？ (2)设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除． 延伸： (3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数足几呢？请说明理由． 【答案】(1)15倍 (2) 解：由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除； (3) 解：余数为3，理由如下： 设这个数为n，比n大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3． 【分析】（1）计算出的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为n，比n大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是3的15倍； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 变式训练3（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 【答案】证明： ， ∵是正整数， ∴能被整除，即能被整除． 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，得到，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 类型九、由因式分解判断三角形形状 典例精讲9（25-26九年级上·山东威海·期中）已知、、是三边的长． (1)若、、满足，试判断的形状，并说明理由； (2)若、、满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)等边三角形，理由如下 ， ， ， ， ， 且， ，即为等边三角形； (2)的形状是等腰三角形或直角三角形，理由如下： ， ， ， ， 即或， 当即时，是直角三角形 当即时，是等腰三角形 综上所述：的形状是等腰三角形或直角三角形． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理逆定理，等边三角形的判定． （1）整理后得到，根据平方的非负性得到且，则，即为等边三角形； （2）整理后得到，分情况判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型归纳 1.特征：已知三角形三边 a、b、c 满足某个关系式，要求判断三角形的形状（等腰、等边、直角等） 2.方法：对已知关系式进行因式分解或配方，转化为几个因式乘积等于 0 或几个完全平方和等于 0 的形式；若某个因式为 0 则得出两边相等（等腰）或两边平方和等于第三边平方（直角）；几个完全平方和为 0 则每部分都为 0，得出三边相等（等边） 3.易错提醒：因式分解或配方错误；乘积为 0 时只取一种情况导致判断不全面；忽略三角形边长为正的条件；将等腰与等边混淆 变式训练1（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 【答案】（1）为等腰三角形；（2）为等边三角形 【分析】（1）将等式移项为，再整理得，后两项提取公因式，再进行因式分解得到，根据可得，即可得出结论； （2）将等式整理为，根据完全平方公式得出，则，，，即可得出结论． 【详解】解：等式， 移项得， 整理得， 即， 分解因式得， 由，可得，即， 则为等腰三角形． （2）， ， ， ，，， ，，， ， 为等边三角形 【点睛】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． 变式训练2（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】 解：该三角形是等边三角形，理由： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴且， ∴， ∴该三角形是等边三角形． 【分析】本题考查了因式分解的应用和等边三角形的判定，正确变形、熟知非负数的性质是解题的关键；先将原式变形为，再根据非负数的性质得出且，进而可得结论． 【详解】略 变式训练3（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【分析】（1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， 则， 解得， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或 ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，平方式的非负性等知识点，熟练掌握这些知识并灵活运用是解答的关键． 类型十、由因式分解进行证明 典例精讲10（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，求证：a，b，c三个数中至少有两个相等． 【答案】 证明：∵ ， ∴或或， ∴或或， 因此a，b，c三个数当中至少有两个数相等． 【分析】本题考查了因式分解的应用．首先把原式进一步整理，因式分解得出，由此得出答案即可． 【详解】略 题型归纳 1.特征：要求证明某个等式成立、某式的值为非负数、两式之间的大小关系，或某多项式具有某种性质（如恒为正、能被某式整除等） 2.方法：对待证式子进行因式分解或配方：①证明等式成立，将左边因式分解变形到右边，或左右两边同时变形到同一式；②证明非负，配成完全平方加正数的形式，利用完全平方大于等于 0；③证明大小关系，作差后因式分解，判断差的正负；④证明整除，分解出含除数的因式 3.易错提醒：因式分解或配方不彻底，导致无法判断符号；作差法比较大小时差的正负判断错误；完全平方的非负性用反，遗漏常数项；证明逻辑不严谨，缺少 "因为…… 所以……" 的推导环节 变式训练1（24-25八年级上·甘肃武威·阶段检测）若、、为非零实数，且，求证：． 【答案】 证明：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键． 【详解】略 变式训练2（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）阅读下面分解因式的过程：．上述分解因式的方法，叫做分组分解法．利用以上方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若是的三边，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵ ∵，，是的三边 ∴， 由 得 ，由 得 ∴ 即 【分析】本题考查因式分解和三角形三边关系． （1）使用分组分解法进行因式分解； （2）通过因式分解将表达式变形，结合三角形三边关系证明不等式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）略 变式训练3（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读以下材料： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，设，则原式 再将“”还原，则原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)求证：无论为何值，式子的值一定不小于1． 【答案】(1) (2) (3) 证明：设， 原式， ， ， ， ， 无论为何值，式子的值一定不小于1． 【分析】本题主要考查了用换元法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． （1）设，然后利用完全平方公式因式分解； （2）设，则原式，然后展开再进行因式分解即可； （3）设，则原式，再由完全平方公式的非负性求解即可． 【详解】（1）解：设，则原式， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则 原式， ， ， ； （3）略 类型十一、由因式分解解决综合实践题 典例精讲11（25-26八年级下·宁夏银川·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)12 【分析】（1）根据题干中提供的信息利用分组分解法即可； （2）根据题干中提供的信息利用拆项法分解因式即可； （3）结合图形可得大长方形的面积等于内部所有小图形的面积之和，从而利用因式分解得出结果； （4）根据图形可得出，结合已知条件可得到，由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数，从而求得结果． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：由图1可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的总面积为， ∵大长方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和，即， 两个表达式对应同一个图形的面积， ∴因式分解结果为． （4）解：由图2可知，大正方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和， ∴， ∵，， ∴， 由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：以实际生活或几何图形为背景（如面积、体积、工程问题、增长率等），需要列代数式并用因式分解解决问题 2.方法：根据题意列出代数式，利用因式分解化简或建立方程；面积问题常通过因式分解表示长宽关系；方程问题通过因式分解转化为几个一次方程求解；结合实际意义取舍结果 3.易错提醒：实际问题中的数量关系理解错误；因式分解后解方程漏解；未结合实际意义检验结果（如边长、时间为正）；单位不统一 变式训练1（25-26八年级上·山东日照·期末）【知识生成】 （1）图形是一种重要的数学语言，它直观形象、简洁概括、有时我们可以借助几何图形来研究代数恒等式，观察图，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，我们可以得到________． 【知识应用】 （2）基于上面的解答，根据图，写出一个代数恒等式：_______________． （3）利用（）中得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值． 【知识迁移】 （4）类似，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图表示的是一个棱长为的正方体截去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________________． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式在几何图形中的应用，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）依据正方形的面积，正方形的面积，可得等式； （）依据正方形的面积，正方形的面积，可得等式； （）依据进行计算即可； （）根据原几何体的体积等于新几何体的体积，列式可得结论． 【详解】（）解：观察图，正方形的面积，正方形的面积， ∴， 故答案为：；   （）解：∵正方形的面积，正方形的面积， ∴， 故答案为：； （）解：， ∴， ∴的值为； （）解：∵原几何体的体积，新几何体的体积， ∴． 变式训练2（25-26八年级上·四川遂宁·期末）【阅读】“算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三角形的三边长a，b，c，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”，化简得： 【理解】 （1）边长为的正方形，按图2分割成几个小正方形与小长方形，请你用“算两次”直接写出一个关于a，b，c，的等式．__________． （2）如图3，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼接成一个梯形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于a，b，c，的等式，请你写出这个等式并化简． 【运用】 （3）如图4，请你用3张边长为的正方形纸片，2张边长为的正方形纸片和张长为，宽为的长方形纸片，拼接出一个大长方形（无缝衔接）． ①请直接写出的所有值：__________． ②取最小值时，请画出你拼接的一个大长方形示意图（画出一种即可）． 【答案】（1）； （2）； （3）①5或7； ②取最小值，即时，如图所示： 【分析】本题考查了列代数式，整式乘法与因式分解； （1）根据正方形和长方形的面积公式可直接得出答案； （2）根据梯形和三角形的面积公式列式，再利用勾股定理进行整理、化简； （3）①根据总面积为，由因式分解可知有两种情况，分别计算出项的系数即可； ②根据3张边长为的正方形纸片，2张边长为的正方形纸片，5张长为，宽为的长方形纸片，进行作图即可． 【详解】（1）解：把图2当作边长为的正方形计算面积为：， 分割成几个小正方形与小长方形进行计算面积为：， 即可得：， 故答案为：； （2）解：把图3当作梯形计算面积为：， 分割成3个直角三角形进行计算面积为：， 即可得：， 由勾股定理得：， 所以， 整理得：； （3）解：①由题意得，总面积为：， 当时，， 此时； 当时，， 此时； 故答案为：5或7； ②略 变式训练3（25-26八年级上·重庆忠县·期末）【综合与实践】在一次数学拼图实践活动中，数学兴趣小组为活动准备了如图1所示的三种A，B，C形状的纸片各若干张，纸片A，B分别是边长为a，的正方形，纸片C是长为b，宽为a的长方形． (1)若小忠同学用图1中x张纸片A，y张纸片B，z张纸片C拼成了一个面积为的长方形，求的值； (2)小义同学不仅用了图1中若干纸片，还自制了几张含边长为c的正方形及长方形纸片，然后拼成了图2边长为的正方形． ①观察图2的面积关系，写出含a，b，c的等量关系式； ②若，，根据①的结论，求的值； (3)小忠同学继续探索，用自制的8块积木拼成了如图3的棱长为的正方体，根据图3，写出的等式，若，，求的值． 【答案】(1)13 (2)①；② (3)，630 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键： （1）将展开，求出的值，代入代数式进行计算即可； （2）①利用分割法表示出正方形的面积，即可得出等量关系式；②结合①中关系式利用整体代入法，进行求解即可； （3）根据分割法表示出正方体的体积，即可得出结果，将进行因式分解后，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∵纸片A，纸片B，纸片C的面积分别为， ∴， ∴； （2）解：①由图形可知：； ②∵，， ∴， ∴； （3）解：由图可知：； ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（江苏省无锡市大桥实验学校2025-2026学年上学期八年级数学19周周考试卷）因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握“一提二套三分组四检查”的口诀是解题关键． （1）使用提取公因式法进行因式分解即可； （2）使用平方差公式进行因式分解即可； （3）先以为整体，提取公因式，再使用平方差公式进行因式分解即可； （4）先提取公因式，再使用完全平方公式进行因式分解即可； （5）先以为整体，将乘式展开，再使用完全平方公式将多项式的一部分合并，最后使用平方差公式进行因式分解即可； （6）以为整体，使用十字相乘法进行因式分解即可； （7）先以为整体，运用十字相乘法进行初步的因式分解，再使用完全平方公式和十字相乘法将所得的结果进一步分解； （8）先分组提取公因式，将所得的结果再提取一次公因式即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ； （5）解：， ， ， ； （6）解：， ； （7）解：， ， ； （8）解：， ， ． 2．（25-26七年级下·北京·期末）我们已经学习了平方差公式，下面我们来研究其更一般的形式——“等幂差”公式，并应用“等幂差”公式解决问题． 【旧知回顾】平方差公式，立方差公式． (1)因式分解：__________； (2)【发现规律】化简：__________； (3)【发现规律】猜想：__________； (4)【新知运用】证明：是6的倍数； (5)【新知运用】证明：对任意正整数n，都是21的倍数． 【答案】(1) (2) (3) (4)证明：由（3）的结论得∵ ，且第二个因式为正整数， ∴ 是6的倍数， ∴ 也是6的倍数； (5)证明： 由（3）的结论得； ∵ ，且第二个因式为正整数， ∴ 是21的倍数， ∴ 原式是21的倍数，即对任意正整数，都是21的倍数； 【分析】（1）逆用立方差公式，解答即可； （2）利用整式的乘法法则计算求解即可； （3）根据前面的计算，解答即可； （4）根据猜想的规律，逆用公式，分解求解即可； （5）逆用同底数幂的乘法，幂的乘方，结合已证结论，证明即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ； （3）解：， ； ； （4）略 （5）略 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 原式． 4．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，然后对因式分解，然后整体代入求值即可； （2）先对因式分解，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：． 5．（25-26七年级下·浙江台州·期末）下面是小明对“”进行因式分解的过程，请认真阅读并完成下列各小题． 解：原式               第一步                第二步 ．               第三步 (1)小明第一步选择 法进行因式分解．（填序号） ①提取公因式        ②平方差公式        ③完全平方公式 (2)小明的因式分解过程从第 步开始出错． (3)请你写出正确的因式分解过程． 【答案】(1)① (2)二 (3)解： ． 【分析】（1）观察原式两项都含有公因式，第一步是将公因式提取出来，据此对应判断所用的因式分解方法； （2）检查去括号的运算规则，逐一核对第二步去括号后的各项符号，判断出错步骤即可； （3）先正确提取公因式，再对括号内的项正确去括号、合并同类项，最后检查分解结果是否彻底，符合因式分解的要求． 【详解】（1）解：小明第一步将原式两项共有的公因式提取出来，使用的是提取公因式法， 因此填①； （2）解：根据去括号法则：，小明第二步去括号时错误变号，写成了， 因此从第二步开始出错； （3）略． 6．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 7．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，，则有，，．其中11，17，15分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码111517．取另外一些适当的数字，则得出其它的密码． 【问题解决】 (1)已知多项式，当，时，用上述方法形成的密码是 ； (2)已知多项式，用上述方法形成的密码是121416，若密码的每个因式码都是两位数，求，的值． 【答案】(1)101822 (2)，或，或， 【分析】（1）将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可； （2）设，且，分三种情况，结合题中定义求得m， n，再计算a、b值即可． 【详解】（1）解：， 当，时，，，， 将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码101822； （2）解：∵形成的密码是121416， ∴设，且， 分三种情况： 若，则，， 解得，， ∴， ∴，； 若，则，， 解得，， ∴， ∴，； 若，则，， 解得，， ∴， ∴，， 综上，满足条件的a、b为，或，或，． 8．（25-26八年级下·江西吉安·期末）下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （提公因式） ，（提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)将式子进行因式分解； (2)若，，求式子的值； (3)已知，，为等腰的三边长，且满足，求等腰的周长． 【答案】(1) (2) (3)等腰的周长为32或34 【分析】（1）仿照示例，先分组，然后提公因式分解因式； （2）由，求出，再整体代入（1）中因式分解后的式子计算； （3）将已知等式利用完全平方公式变形，根据非负数的性质求出，的值，再根据等腰三角形的腰不确定，分两种情况讨论，先确定三角形的三边长是否符合三角形的定义，再计算周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，为等腰的三边长， ∴分以下两种情况： 当，，，符合三角形的定义， ∴的周长为； 当，，，符合三角形的定义， ∴的周长为； ∴等腰的周长为32或34． 9．（25-26八年级下·江西吉安·期末）【综合应用】 材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：；再如“”分法：． 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式：； (2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由； (3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：该式子的值不能大于，理由如下： ， 是的三条边长， ∴， ∴， ∴ ； 即的值不能大于0； (3) 解：是等边三角形，理由如下： ， ∴， ∴， ， ，，， ，，， ， 是的三条边长， 是等边三角形. 【分析】（1）利用分组分解法进行求解即可； （2）先对原式因式分解，再根据三角形三边关系判断两个因式的符号，进而得到原式的符号； （3）将等式变形后分组凑完全平方，利用平方的非负性得到三边相等，即可判断三角形形状. 【详解】（1）解： ； （2）略 （3）略 10．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）【阅读材料】 材料1：通过乘方的学习我们知道：任何数的平方都是非负数．利用平方结果的非负性可以确定一个代数式值的范围． 例如：∵， ∴． ∴当时，有最小值为2． 材料2：在数学的计算中，我们可以把相同的代数式看作一个整体，这种常见的思想方法称为“整体思想”． 例如：因式分解：． 解：∵， ∴将看成整体，令． 则原式． 将还原，则原式． 【数学理解】 (1)因式分解：； 【拓展探索】 (2)试说明：无论，取何值，代数式的值一定是正数． 【答案】(1) (2)证明：设， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的值一定是正数． 【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）设，利用完全平方公式原式可变形为，根据平方的非负数的性质即可证明代数式的值一定是正数． 【详解】（1）解： ． （2）解：略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解及其应用11类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、选用合适的方法分解因式 1 类型二、十字相乘法分解因式 2 类型三、换元法分解因式 4 类型四、拆添项法分解因式 7 类型五、分组分解法分解因式 8 类型六、由因式分解求值 10 类型七、由因式分解进行简算 10 类型八、由因式分解解决整除问题 11 类型九、由因式分解判断三角形形状 12 类型十、由因式分解进行证明 13 类型十一、由因式分解解决综合实践题 14 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 因式分解是整式乘法的逆变形，是分式化简、解方程、几何证明的重要工具，期中期末必考。解题贯穿两条原则：一是分解要彻底，每个因式都不能再分解；二是结果必须是整式乘积的形式，且首项系数为正。常用方法口诀：先提公因式，再用公式法，十字相乘试一试，分组分解要合适，换元拆项灵活用。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、选用合适的方法分解因式 典例精讲1（25-26八年级下·宁夏银川·期末）因式分解： (1) (2) 题型归纳 1.特征：给出一个多项式，要求因式分解，需根据多项式的项数、次数、结构选择合适的方法 2.方法：按 "一提二套三分组四检查" 的顺序：①先看有无公因式，有则先提；②二项式考虑平方差公式；三项式考虑完全平方公式或十字相乘法；四项及以上考虑分组分解法；③分解后检查每个因式是否还能继续分解 3.易错提醒：公因式提不彻底（如系数的最大公约数漏提）；分解不彻底，因式还能再分却停止；结果不是乘积形式（中间还含加减号）；首项为负时未提取负号 变式训练1（25-26七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)． 变式训练2（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）将下列各式分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 变式训练3（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式训练4（25-26八年级上·全国·期末）因式分解： (1) ； (2)． (3) (4) 类型二、十字相乘法分解因式 典例精讲2（25-26八年级上·广东广州·期末）（1）__________；__________；__________． （2）思考（1）中三个等式左侧两个因式的一次项系数、常数项与对应右侧二次三项式的二次项系数、一次项系数、常数项有何关系．根据思考，分解因式：__________． 题型归纳 1.特征：二次三项式，二次项系数为 1 或不为 1，能分解为两个一次因式的乘积 2.方法：对于 x 的平方加 bx 加 c 型：找两个数，使它们的乘积等于 c，和等于 b，分解为括号 x 加第一个数乘括号 x 加第二个数。对于二次项系数不为 1 的，将二次项系数和常数项分别拆成两个因数，十字相乘后相加等于一次项系数 3.易错提醒：找的两个数乘积对了但和不对，或和对了乘积不对；符号出错（常数项为正时两数同号，为负时异号）；二次项系数不为 1 时因数拆分方向搞反 变式训练1（25-26八年级上·全国·期末）教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式：_________． 变式训练2（25-26八年级下·山西运城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 变式训练3（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 类型三、换元法分解因式 典例精讲3（24-25八年级下·全国·暑假作业）阅读材料： 将进行因式分解． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 将多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 题型归纳 1.特征：多项式中某一部分反复出现，或整体结构复杂但有重复单元，直接分解困难 2.方法：将反复出现的部分设为一个新字母（换元），简化多项式结构，用常规方法分解后，再将新字母换回原式，继续分解到不能再分为止 3.易错提醒：换元后未分解彻底就停止；换回原式后忘记继续分解；换元时只替换了部分出现处，遗漏其他处；设元不当导致结构更复杂 变式训练1（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 变式训练2（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 变式训练3（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 类型四、拆添项法分解因式 典例精讲4（22-23八年级下·四川成都·期中）义务教育数学课程标准（年版）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 题型归纳 1.特征：多项式无法直接用公式或分组分解，需要通过拆项（把一项拆成两项）或添项（加减同一个项）制造公式结构 2.方法：观察多项式与某个乘法公式的差距，通过拆项或添项补全公式结构（如补成完全平方），再用公式分解；拆添项后要保证与原式相等，通常采用 "加一项减一项" 的方式 3.易错提醒：拆添项后与原式不相等（只加不减或只减不加）；补全公式时系数算错；拆项后分组不当导致无法继续分解；分解不彻底 变式训练1（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 变式训练2（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 类型五、分组分解法分解因式 典例精讲5（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型归纳 1.特征：多项式有四项或更多项，无公因式可提，也不能直接用公式，但适当分组后每组可提公因式或用公式，组间又能继续分解 2.方法：四项式常见分组方式：①二二分组（两两一组分别提公因式，组间再提公因式）；②一三分组（三项构成完全平方，与另一项构成平方差）。分组后确保组间有公因式或能继续用公式 3.易错提醒：分组方式不当，导致组间无法继续分解；二二分组时符号处理错误；一三分组时完全平方公式用错；分组后忘记继续分解到彻底 变式训练1（25-26八年级上·江西赣州·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例：“两两分组”： 解： 原式 例：“三一分组” 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)因式分解： ； (2)已知，，是的三边长， 且满足．试判断的形状． 变式训练2（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 变式训练3（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 类型六、由因式分解求值 典例精讲6（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）若，，则的值为__________． （2）已知，，则的值为__________． （3）若，则的值为__________． 题型归纳 1.特征：已知条件中含有方程或代数式，要求某个字母的值、代数式的值，或已知部分条件求整体值 2.方法：对已知条件或所求式子进行因式分解，转化为几个因式乘积等于 0 或某个值的形式；若乘积为 0 则至少一个因式为 0，据此求字母值；整体代入时将所求式子用已知因式表示 3.易错提醒：因式分解不彻底导致漏解；乘积为 0 时只考虑一个因式为 0，遗漏其他情况；整体代入时代数式变形错误；求出字母值后未检验是否符合题意 变式训练1（25-26七年级下·河北邢台·期末）已知，，则的值等于______． 变式训练2（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为_____． 变式训练3（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则代数式的值为________． 变式训练4（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）已知，，，则代数式的值为______． 类型七、由因式分解进行简算 典例精讲7（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型归纳 1.特征：给出较复杂的数值计算（如多个平方数的和差、大数乘积），直接计算繁琐，可通过因式分解简化 2.方法：观察算式结构，提取公因数，或利用平方差、完全平方公式因式分解，将大数运算转化为小数运算；常见形式：平方差公式用于两数平方差，提取公因数用于有公共因数的和差运算 3.易错提醒：公因式提取不彻底；平方差公式套用错误（分不清哪项是 a、哪项是 b）；因式分解后计算仍出错；未分解到最简就计算导致不够简便 变式训练1（25-26八年级上·全国·单元复习）简便运算 (1)； (2)； (3)． 变式训练2（25-26八年级上·全国·课前预习）运用提公因式法分解因式，简便计算：． 变式训练3（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段检测）用简便方法计算： (1)； (2)． 类型八、由因式分解解决整除问题 典例精讲8（25-26八年级下·河北保定·期末）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 题型归纳 1.特征：证明一个多项式（或数）能被某个数或式子整除，或求整除时的参数值 2.方法：对多项式进行因式分解，证明分解后的因式中含有除数（或除数的所有质因数）；对于数字整除问题，分解出连续整数乘积，利用连续整数的倍数性质证明；求参数时利用因式定理或对比系数 3.易错提醒：因式分解不彻底，未能分解出关键因数；连续整数的倍数性质记错；只证明被部分质因数整除，遗漏其他；未说明整数范围前提 变式训练1（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）根据下面的探究过程完成内容： 猜想 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 验证 （1） （写结果）= ． 推理 （2）比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 延伸 （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”． 变式训练2（2023·河北廊坊·一模）发现：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： (1)的结果是3的几倍？ (2)设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除． 延伸： (3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数足几呢？请说明理由． 变式训练3（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 类型九、由因式分解判断三角形形状 典例精讲9（25-26九年级上·山东威海·期中）已知、、是三边的长． (1)若、、满足，试判断的形状，并说明理由； (2)若、、满足，试判断的形状，并说明理由． 题型归纳 1.特征：已知三角形三边 a、b、c 满足某个关系式，要求判断三角形的形状（等腰、等边、直角等） 2.方法：对已知关系式进行因式分解或配方，转化为几个因式乘积等于 0 或几个完全平方和等于 0 的形式；若某个因式为 0 则得出两边相等（等腰）或两边平方和等于第三边平方（直角）；几个完全平方和为 0 则每部分都为 0，得出三边相等（等边） 3.易错提醒：因式分解或配方错误；乘积为 0 时只取一种情况导致判断不全面；忽略三角形边长为正的条件；将等腰与等边混淆 变式训练1（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 变式训练2（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）已知三角形的三边长分别是，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 变式训练3（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 类型十、由因式分解进行证明 典例精讲10（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，求证：a，b，c三个数中至少有两个相等． 题型归纳 1.特征：要求证明某个等式成立、某式的值为非负数、两式之间的大小关系，或某多项式具有某种性质（如恒为正、能被某式整除等） 2.方法：对待证式子进行因式分解或配方：①证明等式成立，将左边因式分解变形到右边，或左右两边同时变形到同一式；②证明非负，配成完全平方加正数的形式，利用完全平方大于等于 0；③证明大小关系，作差后因式分解，判断差的正负；④证明整除，分解出含除数的因式 3.易错提醒：因式分解或配方不彻底，导致无法判断符号；作差法比较大小时差的正负判断错误；完全平方的非负性用反，遗漏常数项；证明逻辑不严谨，缺少 "因为…… 所以……" 的推导环节 变式训练1（24-25八年级上·甘肃武威·阶段检测）若、、为非零实数，且，求证：． 变式训练2（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）阅读下面分解因式的过程：．上述分解因式的方法，叫做分组分解法．利用以上方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若是的三边，求证：． 变式训练3（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读以下材料： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，设，则原式 再将“”还原，则原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)求证：无论为何值，式子的值一定不小于1． 类型十一、由因式分解解决综合实践题 典例精讲11（25-26八年级下·宁夏银川·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 题型归纳 1.特征：以实际生活或几何图形为背景（如面积、体积、工程问题、增长率等），需要列代数式并用因式分解解决问题 2.方法：根据题意列出代数式，利用因式分解化简或建立方程；面积问题常通过因式分解表示长宽关系；方程问题通过因式分解转化为几个一次方程求解；结合实际意义取舍结果 3.易错提醒：实际问题中的数量关系理解错误；因式分解后解方程漏解；未结合实际意义检验结果（如边长、时间为正）；单位不统一 变式训练1（25-26八年级上·山东日照·期末）【知识生成】 （1）图形是一种重要的数学语言，它直观形象、简洁概括、有时我们可以借助几何图形来研究代数恒等式，观察图，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，我们可以得到________． 【知识应用】 （2）基于上面的解答，根据图，写出一个代数恒等式：_______________． （3）利用（）中得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值． 【知识迁移】 （4）类似，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图表示的是一个棱长为的正方体截去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________________． 变式训练2（25-26八年级上·四川遂宁·期末）【阅读】“算两次”，又称“富比尼原理”，是指把同一个量用两种不同的方式表示出来，通过等量关系进行求解的一种数学策略．通过把面积“算两次”，可以巧妙地解决一些数学问题．例如，如图1，已知直角三角形的三边长a，b，c，可用“算两次”求斜边上的高．面积“算两次”，化简得： 【理解】 （1）边长为的正方形，按图2分割成几个小正方形与小长方形，请你用“算两次”直接写出一个关于a，b，c，的等式．__________． （2）如图3，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼接成一个梯形，结合此图，用“算两次”可得到一个关于a，b，c，的等式，请你写出这个等式并化简． 【运用】 （3）如图4，请你用3张边长为的正方形纸片，2张边长为的正方形纸片和张长为，宽为的长方形纸片，拼接出一个大长方形（无缝衔接）． ①请直接写出的所有值：__________． ②取最小值时，请画出你拼接的一个大长方形示意图（画出一种即可）． 变式训练3（25-26八年级上·重庆忠县·期末）【综合与实践】在一次数学拼图实践活动中，数学兴趣小组为活动准备了如图1所示的三种A，B，C形状的纸片各若干张，纸片A，B分别是边长为a，的正方形，纸片C是长为b，宽为a的长方形． (1)若小忠同学用图1中x张纸片A，y张纸片B，z张纸片C拼成了一个面积为的长方形，求的值； (2)小义同学不仅用了图1中若干纸片，还自制了几张含边长为c的正方形及长方形纸片，然后拼成了图2边长为的正方形． ①观察图2的面积关系，写出含a，b，c的等量关系式； ②若，，根据①的结论，求的值； (3)小忠同学继续探索，用自制的8块积木拼成了如图3的棱长为的正方体，根据图3，写出的等式，若，，求的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（江苏省无锡市大桥实验学校2025-2026学年上学期八年级数学19周周考试卷）因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2．（25-26七年级下·北京·期末）我们已经学习了平方差公式，下面我们来研究其更一般的形式——“等幂差”公式，并应用“等幂差”公式解决问题． 【旧知回顾】平方差公式，立方差公式． (1)因式分解：__________； (2)【发现规律】化简：__________； (3)【发现规律】猜想：__________； (4)【新知运用】证明：是6的倍数； (5)【新知运用】证明：对任意正整数n，都是21的倍数． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 4．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 5．（25-26七年级下·浙江台州·期末）下面是小明对“”进行因式分解的过程，请认真阅读并完成下列各小题． 解：原式               第一步                第二步 ．               第三步 (1)小明第一步选择 法进行因式分解．（填序号） ①提取公因式        ②平方差公式        ③完全平方公式 (2)小明的因式分解过程从第 步开始出错． (3)请你写出正确的因式分解过程． 6．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 7．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，，则有，，．其中11，17，15分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码111517．取另外一些适当的数字，则得出其它的密码． 【问题解决】 (1)已知多项式，当，时，用上述方法形成的密码是 ； (2)已知多项式，用上述方法形成的密码是121416，若密码的每个因式码都是两位数，求，的值． 8．（25-26八年级下·江西吉安·期末）下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （提公因式） ，（提公因式） 乙： （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)将式子进行因式分解； (2)若，，求式子的值； (3)已知，，为等腰的三边长，且满足，求等腰的周长． 9．（25-26八年级下·江西吉安·期末）【综合应用】 材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：；再如“”分法：． 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式：； (2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由； (3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由． 10．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）【阅读材料】 材料1：通过乘方的学习我们知道：任何数的平方都是非负数．利用平方结果的非负性可以确定一个代数式值的范围． 例如：∵， ∴． ∴当时，有最小值为2． 材料2：在数学的计算中，我们可以把相同的代数式看作一个整体，这种常见的思想方法称为“整体思想”． 例如：因式分解：． 解：∵， ∴将看成整体，令． 则原式． 将还原，则原式． 【数学理解】 (1)因式分解：； 【拓展探索】 (2)试说明：无论，取何值，代数式的值一定是正数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $