专题05 整式乘法相关压轴题（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，通过8类题型系统整合整式乘法公式应用、图形结合等考点，典例与变式结合实现方法迁移，压轴题提升思维上限。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3个核心方法|整体换元、首尾检验、降次求值|从基础运算技巧到复杂问题简化策略| |题型归纳|8题型（1典例+3变式）|代数操作整体代换、图形面积边长转化、公式逆用变形等|从公式直接应用到与图形、新定义、规律探究的综合拓展| |压轴挑战|15道综合题|多考点融合与高阶思维训练|从单一知识点到跨模块综合应用，培养推理意识与创新思维|

专题05 整式乘法相关压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式乘法相关代数操作题 题型二、整式乘法与图形面积 题型三、完全平方公式变形应用 题型四、整式乘法相关规律性问题 题型五、整式乘法相关定义新运算 题型六、幂运算相关公式逆用 题型七、“不含”类问题 题型八、乘法公式与图形面积 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1整体换元，遇到长串多项式相乘，如 (a+1)(a+2)(a+3)，别硬乘。令 t=a+2，原式变为含t的式子，展开后回代即可。2首尾检验法：展开结果出来后，只看最高次项系数（检验头）和常数项（检验尾），头尾对了，中间项即使算错也能快速发现。3题目涉及到降次求值，核心是逐步降次替换，直到把次数降到 1 次或 0 次。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式乘法相关代数操作题 典例1 已知整式，其中n，为正整数，，…，，为自然数，，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足所有条件的M中二次三项式共有3个； ③当，，时，； ④当时，存在，，，，，使得M可以写出的形式，其中p，q为正整数． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型模版 1.特征：已知简单方程，求高次代数式。连乘或“缺项”多项式展开（赋值/取特殊值）。轮换对称式与 a+b、ab 的互相转化。 2.方法：做代数操作题，千万别一上来就展开括号！先观察有没有互为倒数的项、有没有平方差配对，利用整体换元把长式子变换成一个字母。 变式1-1定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 变式1-2．已知整式，其中n、为正整数，、、为整数，且．下列说法： ①若n为偶数，，则； ②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为； ③当，时，满足条件的整式M共有6个． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-3．已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（   ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二、整式乘法与图形面积 典例1 如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 题型模版 1.特征：图像变换与面积的关系，整式的混合运算。 2.方法：根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 变式1-1如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，的值为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（  ） A． B． C． D． 变式1-3．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型三、完全平方公式变形应用 典例1 已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 题型模版 1.特征：题干中含有完全平方公式或公式展开后部分项。 2.方法：利用完全平方公式求出的值，再展开所求代数式，整体代入已知条件计算即可得到结果． 变式1-1已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 变式1-2．若，，则的值是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式1-3．已知实数a，b满足，，则的值是（     ） A．36 B．42 C．60 D．6 题型四、整式乘法相关规律性问题 典例1 观察下列多项式的乘法计算： （1）     （2） （3） （4） 根据你发现的规律，若，则的值为______． 题型模版 1.特征：题干中出现“发现规律”，或“探索规律”。 2.方法：观察等式发现规律是解题的关键．通过观察多项式的乘法计算利用乘法公式得出相应的值，将其代入公式中即可． 变式1-1观察下列等式：；；；……，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 变式1-3．观察下列各式：   ；   ；   ； …… 根据上面的规律计算：的值是（     ） A． B． C． D． 题型五、整式乘法相关定义新运算 典例1 对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，， （1）计算：_____； （2）若不含项，则_____． 题型模版 1.特征：题干中明确给出“定义新运算”. 2.方法：整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据定义，可以将所求式子变形，然后化简即可． 变式1-1定义新运算：，运用新运算计算：______． 变式1-2．在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小王设计了一个新运算，并给出如下定义：，若，，则的值是______． 变式1-3．定义新运算：，则的运算结果为______． 题型六、幂运算相关公式逆用 典例1 若，则_____． 题型模版 1.特征：考查幂的乘方运算与同底数幂的乘法法则。 2.方法：将所求代数式根据同底数幂的乘法法则拆分，再结合幂的乘方法则将已知条件代入变形即可得到结果． 变式1-1若，则的值为______． 变式1-2．已知，，则的值是___________． 变式1-3．若，，，为正整数，求___________． 题型七、“不含”类问题 典例1 已知与的积中不含项，也不含项，则的平方根是_________． 题型模版 1.特征：题干中出现“不含”或“无关。” 2.方法：根据不含某一项，即这一项的系数为0进行求解即可． 变式1-1已知二次三项式与的乘积展开式中不含项，也不含项，则_______． 变式1-2．已知既不含x的二次项，也不含x的一次项，则的值为___________． 变式1-3．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 题型八、乘法公式与图形面积 典例1 将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：1拼图验证公式2.题目只告诉你长方形周长或面积，求长宽平方和或斜边长度。3平方差与“缺角”图形. 2.方法：看到图形想公式，平方差看“缺角”，完全平方看“十字”，知和知积求平方，两数关系全相连。 变式1-1．如图从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形如图，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（     ） A． B． C． D． 变式1-2．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 变式1-3．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学问题中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如下图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，则等于（     ） A． B． C． D．3 2．若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图1，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段把纸片剪开，把剪成的两张纸片无缝隙不重叠地上下摆放在如图2的长方形内．若，图2中阴影部分的面积为27，则图2中空白部分的面积为（    ） A．20 B．21 C．27 D．30 5．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 6．若关于的多项式化简后的结果不含项，则_________． 7．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 8．若，，则的值为________． 9．若，则_____． 10．如图，两个部分重合的正方形边长分别为，，不重合的面积分别为，．若已知，，则________． 11．若，，则的值是___________． 12．已知，，则____________________． 13．如图所示，某小区有一块长为，宽为的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为．为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含的代数式表示绿化的面积． (2)若满足，请帮助物业公司求出此时绿化的面积． 14．试说明：式子的值与的取值无关． 15．【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 (2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式乘法相关压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式乘法相关代数操作题 题型二、整式乘法与图形面积 题型三、完全平方公式变形应用 题型四、整式乘法相关规律性问题 题型五、整式乘法相关定义新运算 题型六、幂运算相关公式逆用 题型七、“不含”类问题 题型八、乘法公式与图形面积 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1整体换元，遇到长串多项式相乘，如 (a+1)(a+2)(a+3)，别硬乘。令 t=a+2，原式变为含t的式子，展开后回代即可。2首尾检验法：展开结果出来后，只看最高次项系数（检验头）和常数项（检验尾），头尾对了，中间项即使算错也能快速发现。3题目涉及到降次求值，核心是逐步降次替换，直到把次数降到 1 次或 0 次。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式乘法相关代数操作题 典例1 已知整式，其中n，为正整数，，…，，为自然数，，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M为单项式； ②当时，满足所有条件的M中二次三项式共有3个； ③当，，时，； ④当时，存在，，，，，使得M可以写出的形式，其中p，q为正整数． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据题意确定系数和与次数和的表达式，，，再结合条件，逐个判断四个说法即可． 【详解】解：① 当时，，，即． 为正整数，为自然数，， 只有，是单项式，①正确． ② 当时，，，即． 二次三项式要求，且，列举得： ，共3个，②正确． ③ 当时，，，即． 当时，，整理得． 联立两式得：，解得，③正确． ④ 当时，，． 展开， ∴． ∴系数和， ，由得， ． 取，得，满足，符合所有条件，④正确． 四个说法都正确，故正确个数为． 题型模版 1.特征：已知简单方程，求高次代数式。连乘或“缺项”多项式展开（赋值/取特殊值）。轮换对称式与 a+b、ab 的互相转化。 2.方法：做代数操作题，千万别一上来就展开括号！先观察有没有互为倒数的项、有没有平方差配对，利用整体换元把长式子变换成一个字母。 变式1-1定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数， 化简：， 任意“和谐数”都是的正整数倍， 验证结论：， 是正整数， 是的倍数，故正确； 验证结论： ， ， ，是的倍数， 是“和谐数”，故错误； 验证结论：设，是正整数， 是“和谐数”， ，得， “和谐数”是的倍数， 是的倍数，， 是的倍数， 是奇数，即是奇数， 是“和谐数”， 是的倍数，得是奇数； 是奇数，是奇数， ，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即（为正整数）， ，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确； 综上，正确的结论有，共个． 变式1-2．已知整式，其中n、为正整数，、、为整数，且．下列说法： ①若n为偶数，，则； ②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为； ③当，时，满足条件的整式M共有6个． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①：∵，为偶数 ∴ 令，得 令，得 ∴，故①正确； ②当，时，由得，即， 又∵，为正整数，为整数，可得所有满足条件的组合： ①，此时，最小值为； ②，此时，最小值为； ③，此时，最小值为； ∵ ， ∴满足条件的的最小值为，故②正确； ③当时，由得，即， 又，为正整数，按分类枚举： ①：此时，满足条件的组合为，共2种； ② ：此时，满足条件的组合为，共3种； ③：此时，满足条件的组合为，共2种； ∴总共有种，故③错误． 综上，正确的说法有2个． 变式1-3．已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（   ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：由题知，为正整数，为自然数，为正整数，满足．验证①： 当时，， ， 是正整数， ， 又，或， 当，仅， 此时，， 当， 正整数解共3种：， 此时，每个． 所有的值总和为，①正确； 验证②： 若所有均为正整数，共有个系数，每个系数至少为1， ． ， ，解得． 是正整数， ，共3种可能，②正确． 验证③ ∵， ∴的所有奇次项系数之和为， 令，∴， 即（1）， 令，∴， 即（2）， 得， ∴的所有奇次项系数之和为，∴③正确； 综上，正确的说法共3个． 题型二、整式乘法与图形面积 典例1 如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） 小长方形的较长边为；阴影的较短边和阴影的较短边之和为；阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为，阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为，阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 故选：A． 题型模版 1.特征：图像变换与面积的关系，整式的混合运算。 2.方法：根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 变式1-1如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，，图①中阴影部分的面积为，②中阴影部分面积为，且，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，图①中阴影部分面积为 ∴，且，，， ∴； 如图所示，图②中阴影部分面积为 ∴，且，，， ∴， ∴， 当时，， 故选：D． 变式1-2．在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解：， ， ． 故选：． 变式1-3．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④，共3个， 故选：B． 题型三、完全平方公式变形应用 典例1 已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 【答案】B 【详解】解：， ． 题型模版 1.特征：题干中含有完全平方公式或公式展开后部分项。 2.方法：利用完全平方公式求出的值，再展开所求代数式，整体代入已知条件计算即可得到结果． 变式1-1已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵ ，已知 ，， ∴ ，解得 ， ∴， 将 ， 代入得， 原式 ． 变式1-2．若，，则的值是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先展开，结合已知条件求出的值，再根据代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式1-3．已知实数a，b满足，，则的值是（     ） A．36 B．42 C．60 D．6 【答案】A 【分析】将所求式子按完全平方公式展开，整理后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 题型四、整式乘法相关规律性问题 典例1 观察下列多项式的乘法计算： （1）     （2） （3） （4） 根据你发现的规律，若，则的值为______． 【答案】 【详解】由题意知，，， ∴， 故答案为：． 题型模版 1.特征：题干中出现“发现规律”，或“探索规律”。 2.方法：观察等式发现规律是解题的关键．通过观察多项式的乘法计算利用乘法公式得出相应的值，将其代入公式中即可． 变式1-1观察下列等式：；；；……，小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“”的值，这个值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出规律，计算即可． 【详解】解：根据题意规律可知：， ∴＝， 故选：B． 变式1-2．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】解：观察已知等式可得规律： ， 变形得 ， 令，，则： ， ∵的个位数字依次为，每次为一个循环， ， ∴的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为， 即所求算式的个位数字为． 变式1-3．观察下列各式：   ；   ；   ； …… 根据上面的规律计算：的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由已知算式可得规律：， 设所求式子为，可变形为， 将代入规律得：， ，两边同除以得：，故选项A符合题意． 题型五、整式乘法相关定义新运算 典例1 对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，， （1）计算：_____； （2）若不含项，则_____． 【答案】 14 15 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：题干中明确给出“定义新运算”. 2.方法：整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据定义，可以将所求式子变形，然后化简即可． 变式1-1定义新运算：，运用新运算计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了 【详解】解：， ∴ ， 故答案为：． 变式1-2．在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小王设计了一个新运算，并给出如下定义：，若，，则的值是______． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式将变换为，再代入求值即可得出的值． 【详解】解： ∵，， ∴， 解得． 变式1-3．定义新运算：，则的运算结果为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平方差公式，定义新运算， 先根据新定义运算，再结合平方差公式解答． 【详解】解：原式． 故答案为：． 题型六、幂运算相关公式逆用 典例1 若，则_____． 【答案】24 【详解】根据积的乘方法则可得：． 题型模版 1.特征：考查幂的乘方运算与同底数幂的乘法法则。 2.方法：将所求代数式根据同底数幂的乘法法则拆分，再结合幂的乘方法则将已知条件代入变形即可得到结果． 变式1-1若，则的值为______． 【答案】 【详解】解：， ， ， 将代入得． 变式1-2．已知，，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：，， ． 变式1-3．若，，，为正整数，求___________． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴ ． 题型七、“不含”类问题 典例1 已知与的积中不含项，也不含项，则的平方根是_________． 【答案】 【详解】解： ， 与的积中不含项，也不含项， ， 解得：， ， 的平方根是， 故答案为：． 题型模版 1.特征：题干中出现“不含”或“无关。” 2.方法：根据不含某一项，即这一项的系数为0进行求解即可． 变式1-1已知二次三项式与的乘积展开式中不含项，也不含项，则_______． 【答案】 【详解】∵ ∵展开式中不含项，也不含项， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为： 变式1-2．已知既不含x的二次项，也不含x的一次项，则的值为___________． 【答案】1 【分析】先根据多项式乘多项式的计算法则计算出，然后【详解】解： ， ∵既不含x的二次项，也不含x的一次项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 变式1-3．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴，即． 题型八、乘法公式与图形面积 典例1 将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图（甲）中边长为的正方形变换到图（乙）位置成为阴影部分的小长方形， 图（乙）中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图（甲）中阴影部分的面积是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得． 题型模版 1.特征：1拼图验证公式2.题目只告诉你长方形周长或面积，求长宽平方和或斜边长度。3平方差与“缺角”图形. 2.方法：看到图形想公式，平方差看“缺角”，完全平方看“十字”，知和知积求平方，两数关系全相连。 变式1-1．如图从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形，然后拼成一个平行四边形如图，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出第一幅图和第二幅图中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：第一幅图中阴影部分的面积为：， 第二幅图中阴影部分的面积为：， ∵两图中阴影部分的面积相等， ∴． ∴选C． 变式1-2．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等面积法求解即可． 【详解】解：大正方形的面积， 大正方形的面积两个小正方形面积两个相同的长方形面积， ∴满足的公式是． 变式1-3．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学问题中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如下图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在图甲中，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形的面积，再加上一个边长为的正方形的面积， 在图乙中，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积， ∴等式为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，则等于（     ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据幂的乘方的逆运算法则求出的值，再根据代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含的一次项，可得一次项系数为，解方程即可求出的值． 【详解】解： 展开式中不含的一次项， 一次项系数， 解得． 3．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，展开后代入已知的值，即可计算出的值． 【详解】， ， ， ， ， ． 4．如图1，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段把纸片剪开，把剪成的两张纸片无缝隙不重叠地上下摆放在如图2的长方形内．若，图2中阴影部分的面积为27，则图2中空白部分的面积为（    ） A．20 B．21 C．27 D．30 【答案】B 【分析】根据图2中阴影部分的面积为27列式求出，然后利用完全平方公式的变形求出，然后列式求解图2中空白部分的面积即可． 【详解】解：∵图2中阴影部分的面积为27， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴图2中空白部分的面积为． 5．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据整式乘除与多项式整除的性质，对三个结论逐一计算验证即可． 【详解】①由题意， ， ， ∵乘积不含项，∴，解得，故①错误． ②已知， 令，得：左边，右边， ∴，整理得 ， 令，左边，右边， ∴，代入得，故②正确． ③若多项式能被整除， 根据多项式整除性质，时．代入得， 整理得，故③正确． 综上，正确的结论共2个． 6．若关于的多项式化简后的结果不含项，则_________． 【答案】9 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再根据结果不含x项得到，再进行变形即可． 【详解】解： ∵结果不含x项， ∴， ∴． 7．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据题意展开，再把，代入计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， 令，代入得， ∴含项为， ∴的展开式中含项的系数是． 8．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】将所求代数式通过完全平方公式变形，用已知的和表示后代入数值计算即可． 【详解】解：，，， ． 9．若，则_____． 【答案】 【分析】将等式左边展开，利用多项式相等对应项系数相等，求出和的值，再计算． 【详解】解：先展开等式左边，， ∵ ∴可得方程组， 解得：， ∴． 10．如图，两个部分重合的正方形边长分别为，，不重合的面积分别为，．若已知，，则________． 【答案】12 【分析】设空白部分面积为，则，求出，再求出，即可求出答案． 【详解】解：设空白部分面积为，则， ∵ ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 11．若，，则的值是___________． 【答案】4 【分析】（，m、n都是正整数，且），（m、n都是正整数） 【详解】解：． 12．已知，，则____________________． 【答案】 【分析】先将所求多项式展开整理，变形为含有和的式子，再整体代入已知条件求值即可. 【详解】解：∵，， ∴ . 13．如图所示，某小区有一块长为，宽为的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为．为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含的代数式表示绿化的面积． (2)若满足，请帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】用长方形面积减去小路的面积即可得到答案； 由非负数的性质得到，，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴，， 当，时，， 答：此时绿化的面积为． 14．试说明：式子的值与的取值无关． 【答案】解： ， ∴该式子的值与的取值无关． 【分析】利用多项式乘以多项式法则、完全平方公式展开，然后合并同类项，最后根据多项式除以单项式、合并同类项的计算法则进行化简即可． 【详解】略． 15．【教材原型】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到，若把等式中的b换成就可得到． (1)根据图2和图3分别写出下列公式： ①写出图2中所表示的数学等式_____________________________________________； ②写出图3中所表示的数学等式______________________________________________； 【模型运用】 (2)若实数x，y满足，且，求的值； (3)若， ，求的值； (4)若，，求的值． 【答案】(1)①; ② (2)49 (3)61 (4)19 【分析】（1）利用大正方形面积减去分割图形面积推导图2等式，整体正方形面积等于各小矩形面积和推导图3等式； （2）由整体代入计算； （3）套用直接代值；（4）先推出的值，再将原式变形为后代入求值． 【详解】（1）解：①大正方形边长，面积；中间小正方形面积，四周4个矩形总面积4ab，得图2中所表示的数学等式： . ②解：大正方形边长，整体面积；拆分9块面积和为，得图3中所表示的数学等式： . （2）解：． （3）解： ． （4）解：， ， ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $