专题04 含辅助线的全等三角形证明（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以变换逆操作（翻折、平移、旋转）为通法核心，系统构建倍长中线、截长补短等六类辅助线题型的解题体系，形成“通法-题型-变式-压轴”的递进逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|辅助线为变换逆操作：翻折（轴对称）、平移、旋转构造全等|从变换本质抽象辅助线添加通法，奠定思维基础| |题型归纳|6题型，每题型含典例+3-4变式|倍长中线（构造全等证线段倍分）、截长补短（全等证线段和差）等|按“特征-方法-变式”展开，实现从单一到综合应用| |压轴挑战|10综合题|综合运用多类辅助线，结合动态旋转、最值探究|整合六类题型方法，提升复杂问题解决能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04含辅助线的全等三角形证明 目录 解题通法一明晰核心解法， 助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倍长中线 题型二、截长补短 题型三、半角模型 题型四、探究角的数量关系 题型五、角平分线相关辅助线问题 题型六、含辅助线的最值问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 辅助线是变换的逆操作：翻折（轴对称）：遇角平分线或中垂线，沿对称轴翻折，构造全等，把边 和角“掰”到一起。平移：遇平行线或相等线段，平移其中一条，构造平行四边形或“手拉手”全等。旋 转：遇等边三角形、等腰直角或共顶点等线段，将某三角形绕顶点旋转，把散落边拼接成特殊图形（如手 拉手、半角模型)。 ◆◆ 刁题型到归纳一—精讲夹型题法，本夫解题根基 题型一、倍长中线 典例1如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC,求证：CE=2CD 1/92 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】证明：延长CD至点F,使得CD=DF,连接BF B、 D 、Ff ,CB是△AEC中线，CD是△ABC中线 :'EB=AB,BD=AD :在△ADC和△BDF中 BD=AD CD=DF ∠BDF=∠ADC △ADC≌△BDF(SAS) ..AC=BF 又：AB=AC ∴AB=AC=BF=BE,CD=DF,∠A=∠DBF ∠A=∠DBF, 、AC‖BF(同位角相等，两直线平行) :∠ACB+∠CBF=180°（同旁内角互补） AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB(等边对等角) ∴∠ABC+∠CBF=180° ,点A、B、E共线(CB是△AEC的中线)， .∠ABC+∠CBE=180°（平角定义） 2/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBF=∠CBE ,在△CBE和△CBF中 [∠CBF=∠CBE BF=BE BC=BC △CBE≌ACBF(SAS) .'.CE=CF 又：CD=DF=)cF=CE 2 ∴.CE=2CD 题型模版 1特征：三角形中线性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质。 2方法：通过中线倍长法构造全等三角形，利用等腰三角形和平行线的性质推导角与边的关系，从而证明 线段倍分关系。 变式1-1如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F,AE=EF,求证：AC=BF, F D 【答案】 证明：延长AD到点G,使GD=AD,连接GB, 3/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F D 为 中线， G .AD△ABC .BD=CD 在AGBD和△ACD中， GD=AD ∠GDB=∠ADC BD-CD ∴△GBD≌AACD(SAS) ∴.GB=AC,∠G=∠CAF, AE=EF, ∴∠CAF=∠EFA, .∠G=LEFA, ∠EFA=∠BFG, .∠G=∠BFG, ..GB=BF, .AC=BF 3.【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： 4/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.请你帮小宜解决此问题，AD的取值范围 是： 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形. 【灵活运用】 (2)大为同学又遇到了新的问题.如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，AC=CD,求证： ∠BAD=∠EAD:请你尝试帮助该同学解决问题. 【拓展延伸】 3)如图3，在△ABC中，AC⊥BD,CF⊥AB,BD与CF相交于点E,AD=CD,AB=6,CE=4, △BCE的面积为8，则△ABC的面积是 【答案】(1)1<AD<7 (2)证明：如图2，延长AE至点M,使得EM=AE,连接DM, 5 E 是 的中线， M 图2 ·AE △ADC ∴DE=CE, 在△DEM和△CEA中， DE=CE ∠DEM=∠CEA AE=ME 5/92 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴ADEM≌△CEA(SAS) ∴DM=AC.∠EDM=∠C, :AD是△ABC的中线，AC=CD, ∴.DM=AC=CD=BD,∠CAD=∠ADC, ∴.∠ADM=∠ADE+∠MDE=∠CAD+∠C=I80°-∠ADC=∠ADB 在△ABD和△AMD中， (BD=MD ∠ADB=∠ADM AD=AD ∴.△ABD≌△AMD(SAS) ∴.∠BAD=∠MAD, 即∠BAD=∠EAD: (3)20 【详解】(1)解：如图1所示，延长AD至点E,使得AD=DE,连接BE, :AD是BC边上的中线， .BD=CD 在△BDE和ACDA中， BD=CD ∠BDE=∠CDA DE=AD ,∴.△BDE≌ACDA(SAS) .BE=AC=6 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .8-6<2AD<8+6, .1<AD<7. 6/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD的取值范围是1<AD<7: (2)略： (3)解：如图3，延长ED至点H,使得DH=DE,连接AH, A H 图3 在△ADH和△CDE中， AD=CD ∠ADH=∠CDE DH=DE ∴.△ADH≌ACDE(SAS) ∴AH=CE=4,∠DAH=∠DCE, .CF⊥AB ∴∠AFC=90° ∴.∠CAF+∠ACF=90° ∴.∠CAF+∠DAH=90°，即∠BAH=90°， ∴.BA⊥AH. 1 D+ScoE=Sn+SMDH=SBB)XAB×AH=,×6x4=12 S.ABC =S.ABD+S.CDE+S.BCE =12+8=20 4.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法. 7/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D D 图1 图2 图3 (1)【问题背景】如图1，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围. 我们可以延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下 来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围.请按照上述 思路，写出求解AD的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF, AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90° 连接.求证： EF EF=2AD (3)【探究延伸】如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,∠BAC+∠BAD=180°，点F是 BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长. 【答案】(1) 解：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, D 是 的中线， E 图1 :AD△ABC .CD=BD, 8/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADC=∠EDB,DE=AD, ∴.△ADC≌△EDB(SAS), .BE=AC=5, AB-BE<AE<AB+BE,AB=8. .8-5<AE<8+5, ∴.3<AE<13, .DE AD, .AE =2AD, .3<2AD<13, 解得：AD<只 即10的取值范国为：40< 3 2 (2) 证明：如图2，延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD, 为的中点， B D G 图2 .D BC ∴.CD=BD, ∠ADC=∠GDB,DG=AD, .∴，△ADC≌△GDB(SAS), ∴.∠C=∠GBD,AC=BG, .AC∥BG, ∴.∠ABG+∠BAC=180°， .AC=AF, 9/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BG=AF, ∠BAE=∠CAF=90°， .∠EAF+∠BAC=180° .∠ABG=∠EAF, 在△EAF和△ABG中， EA=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG ∴.△EAF≌△ABG(SAS), .AG=EF, .EF =2AD; (3)BD=12 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图3，延长EF到G,使得EF=FG,连接CG,延长CA到H,使得AH=AD,连接BH, H D 是 的中点， B F 图3 G .F BC ∴.CF=BF, :∠EFB=∠CFG,EF=FG, ∴.△BEF≌△CGF(SAS), ∴.BE=CG,∠G=∠BEF, ..CG BE, ∴.∠BEH=∠GCE, ∠BAC+∠BAH=180°，∠BAC+∠BAD=180°， 10/92 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAH=∠BAD, 在△BAH和△BAD中， AB=AB ∠BAH=∠BAD AH=AD ,∴.△BAH≌△BAD(SAS), .BH=BD,∠H=∠ADB, '∠ADB=∠CEF, .∠H=∠CEF, 又：∠BAH=∠BAD,BE=CG, ,∴.△HBE≌△EGC(AAS), .EG=BH=BD=2EF=2×6=12, 即BD=12. 题型二、截长补短 典例1如图1，△ABC中，AB=AC,点D,E分别是边AB,AC上的动点，且AD=CE. 图1 图2 图3 (1)当点D在AC的垂直平分线上时，连接CD,DE. ①求证：△CDE是等腰三角形： ②求证：∠ADE=∠BCD. (2)如图2，在(1)的条件下过点D作DF⊥BC,垂足为F,求证：BC-DE=2BF: B如图3，连接C”,BE.交点为G,若5c=a, ，直接写出四边形 ADGE 面积的最大值（结果用含a的 11/92 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 式子表示)· 【答案】(1) 证明：①：点D在AC的垂直平分线上， .AD=CD, .AD=CE, .CD=CE ,△CDE是等腰三角形： ②设∠A=x°， AD CD. :∠DCA=∠A=x°， AB=AC,CD=CE, 28=24c8-(g.cE=cED-10} 2BcD=4c8-∠4cD-0-小 ,∠CED为△ADE的外角， .∠CED=∠A+∠ADE, .∠ADE=∠CED-∠A=90- 3) 2· ∴∠ADE=∠BCD: (2) 证明：如图，在FC上取点H,使得DH=BD, E D B FH BD=DH,DF⊥BC ∴.BH=2BF,∠DHB=∠B. 12/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)可得LCED=∠B, .∠CED=∠DHB, .180°-∠CED=180°-∠DHB, 即∠AED=∠DHC, 由(I)得∠ADE=∠BCD,AD=CD, .△ADE≌△DCH(AAS) ∴DE=CH, .BC-DE=BC-CH=BH=2BF. 即BC-DE=2BF: e号 【详解】(1)①略 ②略 (2)略 (3)解：如图，连接AG, 4 D B AB=AC,AD=CE, ∴AB-AD=AC-CE,即BD=AE, 设AD=CE=x,BD=AE=y, 则AB=AC=x+y, SE=4E=yS四=AD=X :S.4Bc AC x+y,S.ABc AB x+y 又： S.ABC=a 13/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S.o6 =ya x+y: S.ACD =xa x+y' S.AE=S.ANG=AE=y S.ACD=S.4DG=AD= S.BCE S.CEG CE x,S.BCD S.8DG BD y, S.AnG=S.ABE-S.APG=y S.ACG=S.ACD-S40Gx :S.C8G S.BCE-S.CEG x,S.C8G S.8CD-S.BDG y, 5.o.Sc.cw y S.uwet5.co.c5.o5..cw y xya :.S.co=2+y2+y' y'a x'a x2+y2+xy, S.4co=2+y+y, S四边形ADGE=SABE+S.ACD-SABG-S。4cG x'a x+y x+y x2+y2+xy x2+y2+xy xya x2+y2+xy” (x-y2≥0 x2-2xy+y220x2+y222xy ,即 x2+y2+xy23xy xya -≤ya_a y+xy3xy 3' ·S四边形ADGE的最大值为3， a 即四边形ADGE面积的最大值为3： 14/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：含线段的和差关系。. 2方法：通过证明全等得到线段的等量关系，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可证明。 变式1-1已知，点D为△ABC内部一点，分别连接DB、DC,且DB=DC,∠BAC=LDBC+∠ACD, C E 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB=CB: (2)如图2，延长BD交AC于E,若∠AEB=60°，求证：EB+EC=EA: (3)如图3，在(2)的条件下，连接AD,作∠ADC的平分线DF交AC于点F,若EF+EA=ED+I6, △ADB的面积为68，求BC的长， 【答案】(1) 证明：DB=DC, .∠DBC=∠DCB, :∠BAC=∠DBC+∠ACD ∴.∠BAC=∠DCB+∠ACD=∠ACB, .AB=CB: (2) 证明：如图，在AC上截取点F,使得AF=CE,连接BF, B 图2 15/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠A=∠BCE AF=CE △ABF≌△CBE(SAS) .'BF BE, 又，∠AEB=60° ∴.△BEF是等边三角形， :EF EB, :.EB+EC=EF+AF=EA: (3)17 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，以AB为边在AB上方构造等边△GAB,在AD上截取DN=DC,连接FN、DG,设AD 与BG交于点H, C B ,等边△GAB .GB=AB=AG,∠ABG=∠BAG=60°， .AB=CB .GB=CB,∠BAC=LBCA, 设∠DBC=∠DCB=a, ∴∠BAC=∠BCA=∠AEB-∠DBC=60°-， ∠ABC=180°-2∠BAC=180°-2(60°-a）=60°+2a 16/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠FCD=∠BCA-∠DCB=60°-au-a=60°-2a, .∠DBG=∠ABC-∠ABG-∠DBC=60°+2a-60°-a=u, .∠DBG=∠DBC. 又，GB=CB,BD=BD, △DBG≌DBC(SAS) ∴DG=DC, .DB=DC, .'.DG=DB, 又，AG=AB, ·AD垂直平分GB, ·AD⊥BG BH=GH=-BG ∴.∠AHB=90° .∠BAD=90°-∠ABG=90°-60°=30°， .∠DAF=∠BAC-∠BAD=60°-a-30°=30°-a, :DF是∠ADC的平分线， .∠NDF=∠CDF, 又：DN=DC,DF=DF, △DFN≌△DFC(SAS) ∴FN=FC,∠FND=∠FCD=60°-2a, ∠AFN=∠FND-∠DAF=60°-2a-(30°-a)=30°-a .∠AFN=∠DAF, ∴.FN=AN, 由(2)得，EB+EC=EA, .EF+EA=ED+16. .'EF +EB+EC=EB-DB+16. 整理得：FC+DB=16, 17/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FC=FN=AN,DB=DC=DN, .AN+DN=16,即AD=16, ,△ADB的面积为68，BH⊥AD, :BH=2S=2x6817 AD162, ∴.BG=2BH=17, .'BC=AB=BG=17. 7.如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段AB上，连接CD,∠ADC=60°， AD=2,过C作CE⊥CD,且CE=CD,连接DE,交BC于F. E B (1)求△CDE的面积： (2)证明：DF+CF=EF 【答案】(1)8 (2) 证明：在EF上取一点M,使得EM=DF, E D ·EC=CD,∠E=∠CDF=45°， ∴.aECM≌aDCF, ∴CM=CF, 18/92 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADC=60°， .∠FDB=180°-60°-45°=75°. .∠DFB=∠CFM=180°-75°-45°=60°， :.△CFM是等边三角形， ∴CF=MF, ∴.EF=EM+MF=DF+CF 【分析】(1)在RtAACD中，求出CD即可解决问题： (2)在EF上取一点M,使得EM=DF,只要证明△MCF是等边三角形即可解决问题. 【详解】(1)解：在Rt△ADC中， ,AD=2,∠ADC=60°， .∠ACD=30°， ..CD=CE=2AD=4. ,EC⊥CD, ∠ECD=90° m=2 xCDxCE=x 1 2×4x4=8 (2)略 8.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E. E 图1 图2 图3 (1)如图1，连接CE,求证：BC=AE: (2)如图2，点M为CE上一点，连接BM,作等边△BMN,连接EN,求证：CM=EN: (3)如图3，点P为线段AD上一点，连接BP,作∠BPO=60°，PO交DE延长线于Q,求证： DO=AD+DP 1992 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)证明：：∠ACB=90°，∠A=30°， BC=- ∴.∠ABC=60°， 2 :BD是△ABC的角平分线， ∠DBA=2∠ABC=30 ∠A=∠DBA, .AD=BD. DE⊥AB, .E-8 ∴.BC=AE (2)证明：由(1)得，BC=AE=BE,∠ABC=60°， 等边△BMN, ∴.BM=BN,∠MBN=60° .∠ABC=∠MBN, ∴.∠CBM+∠MBE=∠EBN+∠MBE, ∴.∠CBM=∠EBN 在△CBM和△EBN中， BC=BE ∠CBM=∠EBN BM=BN ∴.ACBM≌△EBN(SAS) ∴.CM=EN (3)证明：如图，延长BD至F,使DF=PD,连接PF, 20/92 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30°+30°=60°DF=PD ∴△PDF为等边三角形， .PF=PD,∠F=∠FPD=60°， DE⊥AB, ∠DEA=90°， ∴∠PDQ=90°-∠A=60° ∴.∠F=∠PDQ=60° .∠BPQ=60° .∠FPD=∠BPQ .∠FPD+∠DPB=∠BPQ+∠DPB ∴∠FPB=∠DPQ 在PFB△PDO 中， '∠F=∠PDQ PF=PD ∠FPB=∠DPQ' ∴△PFB≌△PDQ(ASA) ∴.FB=DQ 由(1)得，AD=BD, 21/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD+DP=BD+DF=FB=DQ ..DO=AD+DP 题型三、半角模型 典例1综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,LB=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF= 2 ∠BAD 请探究线段EF,BE,FD之间的数量关系，下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下 内容补充完整. 解：延长EB到 G,使得 BG=DF,连 接AG 在△ABG和 △ADF中 AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF GB E 图1 △ABG≌△ADF AG=AF,∠BAG 22/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAG+∠BAE= ∠EAF=1∠BAD 2 ∠GAE=∠EAF … (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形ABCD中，若AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上 的点，且∠BAF-)B1D,(1)中的结论仍然是皮立的，访你写出结论并说明理由。 D F E 图2 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且 ∠EAF=∠BAD, 请判断线段EF,BE,FD之间的数量关系，并说明理由. 图3 【答案】(1) 解：延长EB到G,使得BG=DF,连接AG, 23/92 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B E C 图1 在△ABG和△ADF中 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF △ABG≌△ADF(SAS) ·AG=AF,∠BAG=∠DAF, :.∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE, &<E1r=号<B1D, ∴.∠GAE=∠EAF, 在△AEG和△AEF中 AG=AF ∠GAE=∠EAF AE=AE .△AEG≌△AEF, .EF =EG=BE+BG=BE+DF, (2) EF=DF+BE;理由如下： 延长FD到点G,使DG=BE,则∠ADF+∠ADG=180°， 24/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F 图2 ,∠B+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADG, AB=AD, .△ABE≌AADG, .AG=AE,∠I=∠3， :LEAF=}∠BAD 2 :∠1+∠2=)∠BAD. A+2=BD,即：FAG= ∠BAD .∠EAF=∠FAG, 又AF=AF, ∴.△AEF≌aAGF, ..EF=GF, .GF DF+DG, ∴.EF=DF+BE: (3) EF=BE-DF,理由如下： 在BC上取一点G,使BG=DF, 25/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图3 :∠ADF+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADF, 又AB=AD, .△ABG≌△ADF, ∴AG=AF,∠I=∠2， :1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD 2 &∠GAE=)∠BAD=∠EF 又AE=AE, .△AGE≌aAFE, .EF =EG=BE-BG=BE-DF 题型模版 1.特征：给出其中一个角是另一个角的一半或2倍。 2方法：全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角 形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意：同角的补角相等。 变式1-1已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 LEAF-BAD 26/92 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路 小明的解题思路：先证明△ABE≌一；再证明了△AEF≌一，即可得出BE,EF,FD之间的数量关 系为EF=BE+FD (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你 的结论，如果不成立，请说明理由 (3)如图3，若E、F分别是边BCCD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EFBE、FD之间的 数量关系为 (不用证明) 【答案】(1) 补全图形，如图： G B E △ADG,△AGF (2成立， 证明如下： 延长FD到点G,使DG=BE,则∠ADF+∠ADG=180°， G A ∠B+∠ADC=180° 27/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠ADG, AB=AD, ∴△ABE≌△ADG .AG=AE,∠1=∠3， :∠BAF=8D, :4+2=5B1D, &B+2-BD,即：∠FAG-B1D, .∠EAF=∠FAG, 又AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF, :.EF=GF, .GF DF+DG, .EF DF+BE: (3)EF=BE-DF 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：在BC上取-点G,使BG=DF, A∠ 2 G C E :∠ADF+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADF, 又AB=AD, .△ABG≌△ADF, .AG=AF,I=∠2， 28/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+32+3=∠Ef-BD, ·∠CAE=)∠BAD=∠EAF 1 又AE=AE, .△AGE≌△AFE, .EF =EG=BE-BG=BE-DF 故答案为：EF=BE-DF 11.如图(1)，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD,以点A为顶点作∠EAF,且 EAF)ZBAD,连接En B B A B A D E F 0 F D C (图1) (图2) (图3) (1)观察猜想 如图(2)，当∠BAD=∠B=∠D=90°时， ①四边形ABCD是 (填特殊四边形的名称)； ②BE,DF,EF之间的数量关系为一- (2)类比探究如图(1)，线段BE,DF,EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不 成立，请说明理由。 (3)解决问题如图(3)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,点D,E均在边BC上，且 ∠DAE=45°BD=V2 若 求DE的长 【答案】(1)①正方形：②BE+DF=EF (2)详见解析 29/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)详见解析 【详解】(1)解：①∠BAD=∠B=∠D=90°， .四边形ABCD是矩形， 又：AB=AD, ∴，矩形ABCD是正方形 ②如下图，延长CD至点G,使得DG=BE, AB=AD, ∠ADG=∠ADF=90°， .∠ADG=∠B, .△ABE≌△ADG, ..AE=AG,BE=DG, ∠BAE=∠DAG. ∠EAF=)∠BAD &∠BAE+∠DAF=∠EAF=∠BAD 2 .∠DAG+∠DAF=∠EAF, 即∠EAF=∠GAF, 又，AF=AF, ∴△AEF≌△AGF, ..EF =FG. 即FD+DG=EF ∴BE+FD=EF. B E F (2)如下图，延长CD至点H,使得DH=BE, 30/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B+∠ADF=180°， .∠B=∠ADH, 同(1)②的证明方法得△ABE≌△ADH, 同理证△AEF≌△AHF, 从而得BE+FD=EF, B E A (3)如图过点C作CM⊥BC,且CM=BD, 在△ABC中，由∠BAC=90°，AB=AC, ∠B=∠ACB=45°， ·∠B=∠ACM=45°， ∴.△ABD≌△ACM, 同(1)②的证明方法得△ADE≌△AME, .'DE =ME, BD=4B=AC-4 CM=BD- BC=AB2+AC2=2+42=42 设DE=ME=x,则CE=4V2-V2-x=3W2-x, 在Rt△ECM中，由勾股定理得， EC2+MC2=EM2 (W22+(32-x)2=x2 解得x52 3’ 31/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即DE=5V2 3· B D E M 12.(1)问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC、CD上的点， 且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系. 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△ AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是一： (2)灵活运用： 1 如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=2 ∠BAD,上述结论是否仍然成立，请说明理由： (3)探索延伸： 如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长 线上，如图3所示，且满足EF=BE+FD,请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系. C D D D B E B E 图1 图2 图3 【答案】(1)BE+FD=EF: (2)解：BE+FD=EF仍然成立，理由如下： 如图2，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 32/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， ∠B=∠ADG 又，AB=AD, ∴在△ABE与△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG ∴.△ABE≌△ADG(SAS), ∴∠BAE=∠DAG,AE=AG, 1 ,∠EAF=2∠BAD, ·∠BAB+∠DAF=∠BAD-∠EAF=2∠BAD, .∴∠DAG+∠DAF=2∠BAD, 即∠GAF-2∠BAD, ∴.∠GAF=∠EAF, 在△AEF与△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴△AEF≌△AGF(SAS), ∴EF=GF, .GF=DG+DF, ∴EF=BE+DF (3)解：∠EAF=180°-2∠DAB. 证明：如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， 33/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ADC=∠ABE, 又，AB=AD, .在△ABE与△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG .△ADG≌△ABE(SAS), ∴AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF=BE+FD ..EF=DG+FD, ∴EF=GF, 在△AEF与△AGF中， AE=AG EF=GF AF=AF .△AEP≌△AGF(SSS), ∴.∠AE=∠AG ,∠1E+∠EAG+∠GAE=360°， .∴2∠EAE+(∠GAB+∠BAE)=360°， ∴，2∠AE+(∠GAB+∠DAG)=360, 即2∠1E+∠DAB=360°， ∴∠EAF=180°-2∠DAB D B 图3 34/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D B E 图2 G E 图1 【详解】解：(1)BE+FD=EF.理由如下： ∠ADC=90, ∴.∠ADG=180°-∠ADC=90°， 又：∠B=90°， ∴.∠B=∠ADG 在△ABE与△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG ∴.△ABE≌△ADG(SAS), ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, ∠BAD=120°，∠EAF=60°， ∴.∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60, ∴，∠DAG+∠DAF=60°， 即∠GAF=60°， 35/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠GAF=∠EAF, 在△AEF与△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴.△AEF≌△AGF(SAS), ..EF-GF, .GF=DG+DF, ∴EF=BE+DF 故答案为：BE+FD=EF: (2)略 (3)略 题型四、探究角的数量关系 典例1阅读材料 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边 相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.当题目中有等腰三角形、 角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题。 E D D C 图① 图② 图③ 【问题解决】 (1)如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线，在AB上截取AE=AC, 连接DE,请写出线段AB,AC,CD之间的数量关系并说明理由： 【拓展延伸】 (2)如图②，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线.请判断线段AB,AC, 36/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD之间的数量关系并说明理由： (3)如图③，在△ABC中，∠ACB=2LB,∠ACB≠90°，当AD为∠BAC的补角的角平分线时，(2)中AB, AC,CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请直接写出线段AB，AC, CD之间的新数量关系，不必说明理由. 【答案】(1)AB=AC+CD,理由见详解 (2)AB=AC+CD,理由见详解 (3)不成立，CD=AB+AC 【详解】(1)解：AB=AC+CD,理由如下， ,AD为∠BAC的角平分线， ∴∠CAD=∠EAD, .AE=AC,AD=AD, :△MDE≌*ADC(SAS) .CD=DE,AE=AC,∠ACB=∠AED=90°， :∠ACB=2LB, .∠B=45°， ∴，△DBE为等腰直角三角形， .DE=BE, ∴.BE=DE=CD, 故AB=AE+BE=AC+CD； (2)解：AB=AC+CD,理由如下， 如图，在AB上截取AF=AC,连接DF, ,AD为∠BAC的角平分线， ∴.∠CAD=∠FAD, .AF=AC,AD=AD, 37/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ADF≌△ADC(SAS) .CD=DF,AE=AC,∠ACB=∠AFD ∠ACB=2∠B, 六∠FDB=∠AFD-∠B=,∠AFD=∠B, 2 则BF=DF=CD 故AB=AF+BF=AC+CD: (3)解：不成立，CD=AB+AC,理由如下， 如图，在BA上截取AG=AC,连接DG, G ,AD为∠BAC的角平分线， ∴.∠CAD=∠GAD, .AG=AC,AD=AD. △ADG≌AADC(SAS) .CD=DG,AG=AC,ZACD=ZAGD. ∠ACB=2∠B. ∴.∠AGD=∠ACD=180°-∠ACB=180°-2∠B. ·∠GDB=180°-∠BGD-LB=∠B, 则BG=DG=CD, 故CD=AB+AG=AB+AC 题型模版 1.特征：问题为两条或三条线段的数量关系。 2方法：构造与问题中线段相关的全等三角形，证明全等转换相等的线段得出线段和差或倍数关系。 38/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-1己知：如图，BD=BC=2AC,∠DBC=∠ACB,CD交线段AB于点E. 图① 图② 图③ (1)如图①，当∠ACB=90°时.则线段DE、CE之间的数量关系为-一一 (2)如图②，当∠ACB=120°时.试探究DE与CE之间的数量关系，并说明理由： (3)如明③，在(2)的条件下，点F是边BC的中点，连接DF,DF与AB交于点G,试探究DG与FG 之间的数量关系. 【答案】(1)DE=2CE (2) 猜想：DE=3CE D 图2 理由：过点B作BH⊥DC于H,如图2. 又：BD=BC,∠DBC=∠ACB=I20°， ∴.∠D=∠BCD=30°，DH=CH. ·.DB=2BH,∠ACE=∠ACB-∠DCB=120°-30°=90°. .BD=2AC, ..BH=AC. 在△BHE和△ACE中， ∠BHE=∠ACE=90° ∠BEH=∠AEC BH=AC 39/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.ABHE≌△ACE, .HE CE ∴DH=HC=2EC. ..DE=DH+HE=2EC+EC=3EC: (3)DG=6GF 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，∠DBC=∠ACB, .∠DBC=90° ∴.∠DBC+∠ACB=180°， .DB∥AC .ADEB∽△CEA, DEDB EC CA' BD=BC=2AC, .DE=2CE: 故答案为：DE=2CE； (2)略 (3)延长DF到点N,使得FN=DF,连接NB、NC,如图3， D 图3 N.BF=CF FN=DF ∴四边形DCNB是平行四边形， .DC∥BN,DC=BN DE 3EC 3 .ADGEANGB'BN 4EC4 DG DE 3 NGWB4· 设DG=3k,则有NG=4k,DN=7k, 40/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF=IDN=7k · ∴.GF=DF-DG 7k-3k=k 1 2 ∴.DG=6GF 15.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且AD=AE,过 点A作BE的垂线交BC于F，,过点F作CD的垂线交直线BE于点G，,交直线AC于点H. D B B 备用图 (1)请补全图形，并直接写出GE与GH的数量关系_， (2)用等式表示(1)问中线段BG、AF、FG之间的数量关系，并证明. (3)当点D、E分别在AB、AC的延长线上时，且AD=AE,直接写出线段BG、AF、FG之间的数量关 系 【答案】(1)如图：GE=GH (2) 结论：BG=AF+FG, 证明：过点B作OB L AB交FG延长线于Q点， 41/92 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B令 B0⊥AB,∠BAC=90°， 、.ACIB0, 、.∠Q=∠GHE,∠QBG=∠GEH, 由(1)得∠GEH=∠GHE, ∴.∠Q=∠QBG 、BG=QG :△ABC为等腰直角三角形， ∠ABC=∠ACB=45° ∠0BF=∠ABF=45, 由(1)得∠ABE=∠ACD」 :.∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD,即∠GBC=∠DCB, AF⊥BE,FG⊥CD .∠GBC+∠BFA=90°，∠DCB+∠CFH=90°. .∠BFA=∠CFH, 又：∠BFO=∠CFH. .∠BFQ=∠BFA, .BF=BF, ·.△BFQ≌△BFA(ASA) ..FO=AF ..OG=FQ+FG=AF+FG 42/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.BG=AF+FG (3)AF=BG+FG 【详解】(1)如图，结论：GE=GH 证明：，△ABC为等腰直角三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=90°， 在△ABE和△ACD中， AB=AC ∠BAC=∠BAC AE=AD :△ABE≌aACD(SAS), :.∠ABE=∠ACD, 又：FG⊥CD,∠BAC=90°， :∠ABE+∠AEB=90°，∠FHC+∠ACD=90°， .∠FHC=∠AEB, :∠GEH=∠AEB,∠GHE=∠FHC, .LGEH=∠GHE. ..GE=GH, (2)略 (3)结论：AF=BG+FG 证明：过点C作CQ⊥AC交FG延长线于O点， 同理(1)可得：∠H=∠E,GH=GE, 43/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H y B M D E 同理(2)可得LBAF=∠E=∠H,∠GAE=∠ABE=L0,∠ACB=∠QCB=45°， :.△ACF≌aQCF(ASA) .AF=FO.CO=AC=AB 在△ABE和△COH中， AB=CO ∠BAE=∠QCH=90° ∠H=∠E ·.△ABE≌COH(AAS) ..GO=BE. .HO-GH BE-GE,GO=BG, FO=FG+QG=FG+BG .AF=FO=FG+BG. 16.已知，如图1，在等边△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于点O,点D、E分别在边AB,BC上， 且∠DOE=60°，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系. E 图1 图2 图3 44/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)方法探索： 小敏的思路是：如图3，在AB上取一点F,使AF=BE,连接OF.先证明△BOE≌△一，从而 OE=_一；继而证明△DOE≌△_一一，从而DE=一一一；因此可判断AD、DE、BE三者之间的 数量关系是 (2)拓展运用： 如图2，点D在边AB上，点E在CB的延长线上，其它条件不变，猜想AD、DE、BE三者之间的数量关 系，并说明理由. 【答案】()AOF:OF:DOF;DF;AD=DE+BE (2) 解：猜想DE=AD+BE,理由如下： 如图所示，在BA延长线上截取AF=BE,连接OF, ,在等边△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于点O, ∴.∠OAB=∠OBC=∠OBA=30° ..OA=OB ∴、∠OAF=∠OBE=150°， 又：AF=BE, △OAF≌AOBE(SAS) .OE=OF,∠AOF=∠BOE, ,∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=120°，∠D0E=60°， .∠AOD+∠BOE=60°， .∠AOD+∠AOF=60° ∴.∠DOF=60°=∠DOE, 又.OD=OD ,△DOE≌ADOF(SAS) ∴DE=DF, DF=AF AD, .'DE AD+BE. 45/92 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 刀 【详解】(1)解：如图3，在AB上取一点F,使AF=BE,连接OF, :在等边△ABC中，∠BAC与∠ABC的角平分线交于点O, ∴.∠OAB=∠OBC=∠OBA=30°， ..OA=OB, 又：AF=BE, △OAF≌AOBE(SAS) .OE=OF,∠AOF=∠BOE, .:∠DOE=60° ∴.∠DOB+∠BOE=60° .∠DOB+∠AOF=60° ∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=120°， ∴.∠DOF=60°=∠DOE. 又：OD=OD ÷aD0E2AD0F(SAS) ∴.DE=DF, .AD=AF+DF, ∴，AD=DE+BE, 故答案为：AOF;OF:DOF,DF:AD=DE+BE: (2)略 46/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、角平分线相含辅助线问题 典例1已知：∠A0B=60°，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°） 的角尺来作∠AOB的角平分线. 图1 图2 (1)如图1，她先在边OA和OB上分别取OD=OE,再移动角尺使PD=PE;然后她就说射线OP是∠AOB 的角平分线.试根据小惠的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，OD≠OE,但仍然出现了PD=PE,此时OP是∠AOB的 角平分线吗？如果是，请说明理由 【答案】(1) 证明：如图1中， P 图1 在△OPD和aOPE中， OD=OE PD=PE OP=OP' :aOPD≌aOPE(SSS) ∠POD=∠POE, (2) 是，理由：如图2中，过点P作PH⊥OA于H,PK⊥OB于K, 47/92 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 ∠PHO=∠PKB=90°∠AOB=60° ∠HPK=120°， :∠DPE=∠HPK=120°， ·∠DPH=∠EPK, 在△DPH和△EPK中， ∠PHO=∠PKB=90° ∠DPH=∠EPK PD=PE ∴.△DPH≌AEPK(AAS) ..PH=PK, 则OP是∠AOB的角平分线 题型模版 1.特征：考查角平分线的相关知识。 2方法：利用角平分线的定义及三角形外角的性质求解。能够利用角平分线的对称性构造全等三角形是解 题的关键。 变式1-1数学活动：探究利用角平分线的对称性构造全等三角形解决问题. M A D 图1 图2 图3 (1)如图1，OP是∠MON的平分线，要求利用该图形画一对位于OP所在直线两侧的全等三角形方法如下： 在∠MON的两边上用圆规截取长度相等的两条线段OA,OB,在角平分线上任取一点C,连接AC,BC, 则△OAC≌aOBC的依据是一： 48/92 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD和CE是△ABC的角平分线，BD,CE相交于点F ①∠EFB的度数为一一°： ②求证：FE=FD; (3)如图3，在△ABC中，∠ACB≠90°，延长△ABC的边BA到点G,AD平分∠GAC交BC延长线于点D, 若AB+AC=CD,请判断∠ABC和∠ACB的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)SAS (2①60： ②证明：如图，在BC上取点G,使得BE=BG, E F T】 B 在△EBF和△GBF中， BE=BG ∠EBF=∠GBF BF=BF :△EBF≌aGBF(SAS) ∴.∠GFB=∠EFB=60°，EF=GF, .∠GFC=180°-∠GFB-∠EFB=180°-60°-60°=60°， 又：∠DFC=∠EFB=60°， .在△CGF和△CDF中， ∠DFC=∠GFC FC=FC ∠DCF=∠GCF :△CGF≌aCDF(ASA) .GF=DF :FE=FD: (3) 49/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC 2∠ACB,理由如下： 如图，在BA的延长线上取点E,使得AE=AC, G E B D 在△ACD和△AED中， AC=AE ∠CAD=∠EAD AD=AD :AACD≌AED(SAS) ∴.CD=ED,∠ACD=∠AED .AB+AC=CD,AE=AC, .AB+AC=AB+AE=BE=CD ∴.BE=DE, ∴.∠EBD=∠EDB, 设∠ACB=&,则∠ACD=∠AED=180°-a, ,∠EBD+∠EDB+∠AED=180°， ∠Ea0=∠ED8-ls0-∠4D）)-so-1s0p+a)-a-4c. ∠ABC=∠ACB 【详解】(1)解：由题意知，在aOAC和△OBC中， OA=OB ∠AOC=∠BOC OC=OC .△OAC≌aOBC(SAS) 故答案为：SAS: 50/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD和CE是△ABC的角平分线， 1 ∠FBC= )ABC=20°∠FCB=)∠ACB=40° ∴.∠EFB=∠FBC+∠FCB=20°+40°=60°， 故答案为：60： ②略 (3)略 19.己知：如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD,CE是角平分线，AD与CE相交于点F, FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N. B EM D (1)求证：F在∠ABC的角平分线上： (2)求证：FE=FD 【答案】(1) 证明：连接BF,作FG⊥AC于点G, :AD,CE是角平分线，AD与CE相交于点F,FMLAB,FN⊥BC, .FM=FG,FG=FN, :.FM=FN, ∴F在∠ABC的角平分线上： EM G (2) :∠ACB=90°，∠ABC=60° 51/92 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC=30°， :AD,CE是角平分线， 2C4D-<C4B=15,∠4cE=4cB=45, ,∠NDF=180°-∠CAD-∠ACD=75°，∠FEM=∠BAC+∠ACE=75°， ∴.∠NDF=∠MEF. FM⊥AB,FN⊥BC, ∴.∠EMF=∠DNF=90°. 由(1)知：FM=FN, ∴△FEM≌aFDN, ∴.FE=FD 20.如图1，在△ABC中，BE,CF是角平分线，BE,CF相交于点G. G B 图1 图2 (1)若∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠BGC的度数： 2求证：∠BGC=90+A, 2 (3)如图2，D,H分别是角平分线BE和边BC延长线上的点，DE=DH,CE=CH.证明：∠A=∠BDH 【答案】(1)130° 0 (3) 证明：连接CD 52/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D DE=DH,CE=CH,CD=CD, ACDE≌ACDH(SSS) .∠CED=LH, :∠CED与∠AEB是对顶角， ∴∠CED=∠AEB :BE是∠ABC的平分线， ∴.∠ABE=∠DBH, :.∠A=18O°-∠ABE-∠AEB=180°-∠DBH-∠H=∠BDH. 【详解】(1)解：：BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠ABC=40°，∠ACB=60°， &2C8E=4BC=20,∠BcF=34CB=30. .∠BGC=180°-∠CBE-∠BCF=180°-20°-30°=130°： (2)证明：：BE平分∠ABC,CF平分∠ACB, &∠CBE=ABC,∠Bcr-ACB, ∴.∠BGC=180°-∠CBE-∠BCF =-180°-1∠ABC-∠ACB 2 2 =180-2Asc+∠4C8. :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, &∠Bcc=180-2080-∠ =180°-90°+5∠A 2 1 =90°+∠A 2 53/92 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)略 题型六、含辅助线的最值问题 典例1如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM,点B,C的对应点分别为N,M, M G B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB=90°，AB=10,AC=6,求BN的长： (2)如图2，△ABC绕点A顺时针旋60°转得到△AWM,延长BC交AN于点D,连接BN并延长BN至点F, 使得FN=AD,连接DF,连接AF交MN于点H,猜想线段HN,MH,CD之间存在的数量关系，并证 明你的猜想； 3)如图3，连接BN,CM,直线CM交BN于点G,点R为BC的中点，连接RG.若∠ACB=90°， AB=10,AC=6,在旋转过程中，GR是否存在最小值？若存在，求出GR的最小值：若不存在，请说明 理由. 【答案】(1)BN的长为16： (2) HN-MH=CD,证明如下： 在NM上取点O,使NO=CD,连接FO,如图： 54/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由△ABC绕点A顺时针旋60°转得到△ANM得：AN=AB,∠BAN=60°， ∴△ABN是等边三角形， ∴.∠ANB=60°， ∴.∠FNQ=180°-∠ANB-∠ANM=180°-60°-∠ANM=120°-∠ANM, 在△ABD中，∠ADB=180°-∠BAN-∠ABC=180°-60°-∠ABC=120°-∠ABC, 由旋转性质知∠AWM=∠ABC, ∠ADB=∠FNQ, FN=AD ∴.△FNQ≌△ADC(AS) .∠FON=∠ACD,FQ=AC, 180°-∠FQN=180°-∠ACD,即∠FQH=∠ACB, 由旋转性质知∠M=∠ACB, ∴.∠FQH=∠M, .AM=AC. .FQ=AM」 :∠FHQ=∠AHM, ,∴.△FQH≌△AMH(AAS) ∴QH=MH. HN-OH=N№， .HN-MH CD: (3)在旋转过程中，GR存在最小值2. 【详解】(1)解：(：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM, .AB=AN=10, :∠ACB=90°， :∠ACN=90°， :AC=6, BC=VAB2-AC2=V102-62=8,CN=VAW2-AC2=V102-62=8.BN=BC+CW=16 55/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即BN的长为16： (2)略 (3)在旋转过程中，GR存在最小值2，理由如下： 过B作BP∥MN交MC延长线于P,连接NC,如图： M 绕点顺时针旋转得到 △ABC △ANM .AC=AM,∠ACB=∠AMN=90°，BC=MN, .∠ACM=∠AMC, 而∠BCP=180°-∠ACB-∠ACM=90°-∠ACM, ∠NMP=∠AMN-∠AMC=90°-∠AMC, ∴.∠BCP=∠NMP. :BP∥MN, .∠P=∠NMP, ∴∠P=LBCP, :BP=BC, ..BP=MN, 在△BPG和△NMG中， ∠BGP=∠NGM ∠P=∠NMG BP=MN ∴.△BPG≌ANMG(AAS) BG=NG,即G是BN中点， 点R为BC的中点， ∴.GR是△BCN的中位线， 56/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GR-NC 要使GR最小，只需NC最小， 而AN=AB=10,AC=6, .N、C、A共线，NC的最小值为AN-AC=4, :GR最小为 NC=2 题型模版 1.特征：题目问题为求最大值或求最小值。 2方法：1.定性轨迹。2.定法操作：直线轨迹想“对称”；圆轨迹想“找圆心”；带系数想“构造相似或 三角函数”。3.定等验证：求出最值点后，务必回头画图验证这个点是否在轨迹的可行范围内（比如圆弧 是否取反向)。 变式1-1.如图，射线OC平分∠AOB,CD∥OB,CE⊥OB,∠OCB=75°. M ■ EB (1)求证：OD=CD: (2)若线段CE=5,求线段CD的长： (3)已知点MN分别是OA、OB上的两个动点，且均不与点O重合，连接CM、CN和MN.若OC=8, 求△CMN的周长的最小值. 【答案】(1) 证明：：OC平分∠AOB, :∠A0C=∠BOC. .CD∥OB, .∠DCO=∠BOC, :.∠DCO=∠AOC, ∴.OD=CD: 57/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)CD=10 (3)8 【详解】(1)略 (2)解：如图，过点C作CF⊥OA D E B :OC平分∠AOB,CE⊥OB .'.CF=CE=5 :L0CE=75°， ∠B0C=15°，则∠B0A=30°. CD∥OB, .∠ADC=∠BOA=30° .CD=2CF=10: （解：如离，分别作点c关1.08的对你点、C,连接C6.分别胶0、09于点（戏 、 M D C2 CM=C,MCN=C,N∠COA=∠COA∠C,OB=∠COB △CMW CM+CN+MN=CM+C2N+MN=CC2 根据两点之间线段最短得到： 的周长最小值为 OC OC 连接、 ..OA OB CC CC2 分别垂直平分、 58/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0C=0C=0C2=8 ∠COC2=∠COA+∠COA+∠C,OB+∠COB=2(∠COA+∠COB)=2∠BOA=60° △OCC2 是等边三角形. CC2=OC=0C2=8 .aCMN的周长最小值为8. 23.在△ABC中，点D是△ABC的边BC的中点. B P 图1 图2 图3 (1)如图1，连接AD,若∠BAD=2∠CAD,过点D作DE⊥AB交AB延长线于点E,若 ∠ABC=110°，LC=25°，求∠ADE； (2)如图2，点F是线段AC上一点，连接FD并延长交AB延长线于G.若CF=AB,∠AFD=∠ABD,求证： DG=DF+BC; B)咖图3，若CP平分4CB,从、N分别是CRCB上任意一点，若9m=12,4C=4 ,直接写出 BM+MN的最小值： 【答案】(1)60° (2)见解析 (3)BM+MN=6 【详解】(1)解：：∠4BC=110,∠C=25, .∠CAB=180°-110°-25°=45°， .∠BAD=2∠CAD 59/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 ∠BAD=号×45°=30° 3 ,DE⊥AB, ∴∠AED=90°， .∠ADE=90°-30°=60° (2)证明：如图，在DG上取一点E,使得DF=DE,连接BE, ,点D是△ABC的边BC的中点， .BD=CD, 在△CDF和△BDE中， DF=DE ∠CDF=∠BDE CD=BD △CDF≌ABDE(SAS) .BE=CF,∠CFD=∠BED, .CF=AB. ∴AB=BE, :∠C+∠A+∠ABD=180°，∠G+∠A+∠AFD=180°，∠AFD=∠ABD, ∴.∠C=∠G, :∠CFD+∠AFD=I80°，∠BED+∠BEG=180°，∠CFD=∠BED, ∴.∠AFD=∠BEG, ,·∠AFD=∠ABD, ∴∠BEG=∠ABD. 在△ABC和△BEG中， 60/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=∠BEG ∠C=∠G AB=BE △ABC≌△BEG(AAS) .EG=BC. DG=DE+EG=DF+BC; (3)解：如图，过B作BG⊥AC于G,交CP于M,过M作MN⊥BC于N, ∴.∠CGM=∠CWM=90°， G M B S.ABC=12 AC=4 2×4×BG=12 1 .BG=6, ,CP平分∠ACB, ∴.∠GCM=∠NCM, ..CM=CM, △CGM≌aCNM(AAS) .GM=NM, ∴此时BM+MN=BM+MG=BG,此时值最小， :.BM+MN的最小值为6 24.如图，∠MON=60°，点A、B分别是射线OM、射线ON上的动点，连接AB,∠MAB的角平分线与 ∠NBA的角平分线交于点P. 61/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M B B N B 备用图 备用图 (1)当OA=OB时，求证：AP∥OB: (2)在点A、B运动的过程中，∠P的大小是否发生改变？若不改变，请求出∠P的度数；若改变，请说明理 由： (3)连接OP,若OA=4,C是线段OP上的动点，求AC的最小值. 【答案】(1) 证明：如图1， M A D B N 图1 :∠MON=60°，OA=OB, ∴.△AOB是等边三角形， .∠0AB=LOBA=60°， :∠BAM+∠OAB=180°， ∴.∠BAM=120°， :AP平分∠MAB, ∠BAP=5∠MMB=60e 2 .∠BAP=∠OBA=60°， 、AP∥OB: 62/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)∠P的大小不变，∠P=60° (B)AC的最小值为2， 【详解】(1)略 (2)解：如图2，∠P的大小不变，∠P=60°.理由如下： M ⊙ 图2 :∠MAB=∠MON+∠OBA,∠ABN=∠MON+∠OBA. ·∠MAB+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠OAB+∠MON, ,∠MON+∠OAB+∠ABO=180°，∠MON=60°， .∠MAB+∠ABN=180°+60°=240°， PA,PB分别平分∠MAB,∠ABN, :∠PAB+∠PBA=)(∠MAB+∠ABN)）=120 ∠P+∠PAB+∠PBA=180°， .∠P=180°-120°=60°： (3)解：如图3，过点P作PJ⊥AB于J,PK⊥OM于K,PI⊥ON于I, N 图3 :PA平分∠MAB,PJ⊥AB,PK⊥OM, .PK=PI, 63/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :PB平分∠ABN,PJ⊥AB,PI⊥ON, 2.PI=PJ, ∴.PI=PK, ∴.OP平分∠MON, ∠A0P=)∠M0N=30°， 当AC⊥OP时，AC有最小值， .0A=4, :.4C=20A=2,即4C的最小值为2. 2 同压轴桃战一文克高难压轴，突破思维上很 1.求解下列各题： G G D B B E 图1 图2 (1)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E、F分别在边BC、CD 上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,试说明： ∠BAD=2∠EAF: (2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长DC至点G,使得DG=BE,连接 AG,请探究∠BAD与∠EAF之间的数量关系，并说明理由. 64/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)证明：在△ABE和△ADG中，AB=AD,∠B=∠ADG=90°，BE=DG, :△ABE≌△ADG(SAS) .∠BAE=∠DAG,AE=AG .EF=BE+DF,DG=BE, .EF BE+DF DG+DF =GF, .AF=AF, :△AEF≌aAGF(SSS) .∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+LDAF, ∴.∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∴.∠BAD=∠BAE+∠FAD+∠EAF=2∠EAF: 2解：∠B4F=180D4B(花式不t-) 理由：∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE. 又AB=AD,DG=BE, :△ADG≌aABE(SAS) ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE .EF =BE+FD,DG=BE .EF=BE FD=DG+FD=GF, .AF=AF, :.△AEF≌△AGF(SSS) .∠FAE=∠FAG, ·∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， 2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360 :.2∠FAE+(LGAB+∠DAG)=360° 65/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∠EAF=180°-∠DAB 2 【分析】(1)证明△ABE≌aADG得到∠BAE=∠DAG,AE=AG,推出EF=GF,证明△AEF≌△AGF 得到∠EAF=∠GAF,推出∠BAE+∠FAD=∠EAF,根据角的和差即可得证： (2)证明△ADG≌△ABE得到AG=AE,∠DAG=∠BAE,推出EF=GF,证明△AEF≌△AGF得到 LFAE=∠FAG,结合∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 2.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线I经过点C,过A作AD⊥1，垂足为D,过B 作BE⊥I,垂足为E. 图1 图2 (1)求证：△ADC≌△CEB: (2)若AD=5,DE=13,求BE的长： (3)如图2，延长AD至F,连接CF,过点C作CG⊥CF,且CG=CF,连接BG交直线I于点H,若 S.CGH=12 CD=6,求4F的长. 【答案】(1)证明：直线I经过点C,AD11,垂足为D,BE⊥1，垂足为E, ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∠ACB=90°， .∴∠CAD=∠BCE=90°-∠ACD 在△ADC和△CEB中， 66/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=CB ·.△ADC≌△CEB(AAS) (2)8 (3)8 【分析】(1)由AD⊥1，BE⊥1，得∠ADC=∠CEB=90°，因为∠ACB=90°，所以 ∠CAD=∠BCE=90°-∠ACD,而AC=CB,即可根据AAS证明△ADC≌△CEB: (2)由全等三角形的性质得AD=CE=5,因为DE=13,所以CD=BE=DE-CE=8: (3)作GL⊥I于点L,则∠CLG=∠FDC=∠BEH=90°，由CG⊥CF,推导出∠LCG=∠F,而GC=CF, 可证明△CLG≌△FDC,得GL=CD=6,CL=FD,则GL=BE,再证明△GHL≌△BHE,得H=HE,由 S.CGH= ×6CH=12,求得CH=4,则CE+CL=2CH=8,即可求得4B=8: 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得△ADC≌△CEB, .AD=CE=5,CD=BE, DE=13 .CD=BE=DE-CE=13-5=8. BE的长是8 (3)解：如图2，作GL⊥I于点L,则∠CLG=∠FDC=∠BEH=90°， G 图2 .CG⊥CF .∠FCG=90° ∴.∠LCG=∠F=90°-∠FCD 67/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△CLG和△FDC中， ∠CLG=∠FDC ∠LCG=∠DFC CG=FC ∴.ACLG≌△FDC(AAS) ∴.GL=CD=6,CL=FD, .CD=BE, ∴.GL=BE, 在△GHL和△BHE中， [∠GHL=∠BHE ∠GLH=∠BEH GL=BE ∴.△GHL≌△BHE(AAS) .HL=HE, S.co=CH-GL= 2×6CH=12 .CH=4. CE=CH-HE,CL=CH+HL=CH+HE .CE+CL=CH-HE+CH+HE=2CH=8. AD=CE,FD=CL. ∴.AF=AD+FD=CE+CL=8, .线段AF的长为8 3.按要求解答问题： 68/92 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图① 图② 备用图 备用图 (1)如图O,在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠BAP=)∠BAD.请直接写出线段EF,BE:FD之间的数最关系： (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF-A4D,(☑)中的结论是否仍然威成立：请与出证明过程： 3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且 ∠BF=-)∠BAD.请直接写出线段EF,BE:FD之间的数量关系：一 【答案】(1)EF=BE+FD (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG A F G B E 图2 :∠ABC+∠D=180°∠ABG+∠ABC=I80° ∠ABG=∠D, 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF 69/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ABG≌△ADF(SAS) AG=AF,1=∠2， ∠1+∠3=∠2+∠3=)∠BAD=∠EAE ∴.∠GAE=∠EAF 又AE=AE, ,∴.△AEG≌AAEF ∴.EG=EF .∵EG=BE+BG .EF=BE+FD (B)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE 【分析】(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.证明△MABG≌△ADF(SAS).AG=AF,I=∠2，证 明△AEG≌△AEF.则EG=EF.即可得到答案； (2)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.证明△ABG≌△ADF(SAS),则AG=AF,I=∠2，证明 △AEG2△AEF,则EG=EF.即可得到答案： (3)在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG,证明△ABG≌△ADF(SAS).则∠BAG=∠DAF,AG=AF 证明△AEG≌△AEF(SAS).则EG=EF,即可得到结论. 【详解】(1)解：如图1，延长EB到G,使BG=DF,连接AG 在 中， G-- B E 图1 △ABG△ADF AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF 70/92 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABG≌△ADF(SAS) AG=AF,1=∠2， 长A+∠3=2+∠3∠BAD=∠EAB ∴.∠GAE=∠EAF 又AE=AE, .△AEG≌△AEF. ∴.EG=EF .∵EG=BE+BG :.EF BE+FD: (2)略 (3)当(1)的结论EF=BE+FD成立， 当图3中，EF=BE-FD或EF=FD-BE, 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG, E 图3 ∠B+∠ADC=180°∠ADF+∠ADC=180° ∴.∠B=∠ADF :在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF .△ABG≌△ADF(SAS) .∠BAG=∠DAF,AG=AF 71/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD .∠GAE=∠EAF AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF(SAS) ..EG=EF EG=BE-BG .EF BE-FD 同理可得：EG=EF .EG=BG-BE .EF FD-BE 4.已知，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，求证：AD=DC E 图① 图② 图③ (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E,连接 DE,请按小明的思路进行证明， (2小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长BA到E，使BE=BC,连接DE…请按小刚的思路 进行证明. (3)如图③，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，DA=DC,过点D作 DE⊥BC,垂足为点E,探究线段AB、CE、BC之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)证明：如图①，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BC于点E,连接DE, DE CD .∠DEC=∠C, :∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180° ∴.∠BED=∠A, 72/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BD平分∠ABC, ,∠ABD=∠EBD, 又BD=BD. △ABD≌△EBD(AAS) ∴AD=DE, DE DC 、AD=DC. (2)小刚的证明思路：如图②，延长BA到E,使BE=BC,连接DE, :BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD, 又：BE=BC,BD=BD △EBD≌ACBD(SAS) .DE=CD,∠E=∠C, :∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°， ∴.∠DAE=∠C, ∴∠DAE=∠E, .'DE=AD, .AD =DC (3)解：BC=AB+2CE:理由如下： 如图：作DM⊥BA于M, E DM⊥BA, .∠DMA=∠DEC=90°， :'∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAM=180°， 73/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAM=∠C, :BD平分∠ABC,DM⊥BA,DE⊥BC, .DM=DE, 在Rt△ADM和Rt△CDE中， AD=DC DM=DE, RtAADM≌RtACDE(HL) .AM=CE, 在RtBDM和Rt△BDE中， DM=DE BD=BD Rt△BDM≌Rt△BDE(HL) ∴.BM=BE, ..BC=BE+EC=BM+EC=AB+AM+CE=AB+2CE,BC=AB+2CE 5.己知：如图1，在△ABC中，两内角的平分线BDCE交于点I, 图1 (1)试探究∠BIC和∠A的数量关系，并说明理由： (2)如图2，当∠A=90°时，点F在边CA上，且CF+BE=BC,连接F, 图2 74/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：IF⊥CE: ②若AB=8,AC=15,BC=17,求AF的长. 【答案】)解：ZBC=90°+2∠A,理由如下南 ,在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点I, &∠IBC=)∠ABC,∠ICB=∠ACB ,∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A, :∠1Bc+acB-c+4c8-c+4c=90-4, .∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°， 、.LB1C=180°-(LIBC+∠ICB)=180°- 90-4=90+34, (2)①证明：如图2所示，在BC上截取BH=BE,连接IH, B H 图2 :在△ABC中，两内角的平分线BD、CE交于点L, ∴.∠IBE=∠IBH,∠ICH=∠ICF, 又BE=BH,BI=BI, △BEI≌△BHI(SAS) ∴∠BEI=∠BHI, 、.180°-∠BE1=180°-∠BHl, ∠AEC=∠IHC: ..BC=BE+CF, ∴CF=BC-BE=BC-BH, ∴.CF=CH, 75/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又CI=CI, △CIF≌aCIH(SAS) ∴∠CIF=∠CIH: ∠A=90° .∠AEC+∠ACE=90°， ∴∠IHC+∠ICH=90°， ∴.∠CIH=90°， ∴.∠CIF=90°， F⊥CE: 9 ②4 【详解】(1)略 (2)①略： ②解：如图所示，过点E作ET⊥BC于点T, A D E B 图2 ∴∠ETC=90°=∠A: ,CI平分∠ACB, ∴∠ACE=∠TCE, 又，CE=CE. △ACE≌△TCE(AAS) .EA=ET: S.ACE.=2 A.AC 2EA-AC AE S。BCE BC.ET LBE·AC BE, 76/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC AE AE 15 BC=BE,即BE=17, BE=、17 AB1 17 15+17 4 .BC=BE+CF, ..CF=BC-BE=51 49 .AF=AC-CF=9 4· 6.在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系. G A B E 图1 图2 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,根据三角形全等的条件SAS,可以得到 △ABE≌△ADG,从而根据三角形全等的性质得到∠GAD=∠BAE,由∠BAD=120°，∠EAF=60°进而得 到∠FAG=∠FAE=6O°，这样，就可以根据三角形全等的条件SAS,确定△AEF≌aAGF,则可得到BE、 EF、FD之间的数量关系是_： 【探索延伸】 (2如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点， ∠EF一兮B4D,上述结论是否仍燃成？说明理 【答案】(1)EF=DF+BE (2)上述结论仍然成立：理由如下： 如图所示，延长FD到G,使DG=BE,连接AG, 77/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G A F E ,∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180° ∴.∠B=∠ADG, 又AB=AD,BE=DG, ∴.△ABE≌△ADG(SAS) ·.∠EAB=∠GAD,AE=AG,(全等三角形的对应角、对应边相等) :∠EAF=∠BAD ∴∠EAF=∠FAG. 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF △AEF≌AAGF(SAS) ∴EF=FG=DF+DG=DF+BE, 即：EF=DF+BE,结论仍然成立. 【分析】(I)由△AEF≌aAGF,可得EF=FG,而FG=DF+DG=DF+BE,则可得EF=DF+BE: (2)延长FD到G,使DG=BE,连接AG,可证得△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF,从而得到 EF=DF+BE,结论仍然成立. 【详解】(1)解：BE、EF、FD之间的数量关系是EF=DF+BE, ,△AEF≌△AGF, .EF=FG」 .·DG=BE,FG=DF+DG, .'.EF FG=DF+DG=DF+BE: 78/92 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 7.如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90,AC=BC,E点为射线CB上一动点，作AF⊥AE且AF=AE D C 图1 图2 图3 (1)如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌aECA; (2)如图2，连接BF交AC于D点，若AD=3CD,点E为BC中点： BC 5 AD (3)如图3，当B点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若BE3,则CD=_· 【答案】(1)：AF⊥AE,FG⊥AC,∠ACB=90°， ∴.∠AGF=∠ACE=∠FAE=90°， ∴.∠AFG+∠FAG=90°，∠CAE+∠FAG=90°， ∴.∠AFG=∠CAE ∠AGF=∠ECA ∠AFG=∠CAE 在 和 中， △AGF ECA AF=AE ,∴.△AGF≌△ECA(AAS) (2)过F作FG⊥AC交AC于G,则∠AGD=90°， ∴.∠AGD=∠C=90° 79/92 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 由(1)知，△AFG≌△EAC. ..FG=BC ,∠FDG=∠BDC, :·.△FDG≌ABDC(AAS) ∴.GD=CD AD=3CD, .AD=3DG, ∴AG=2DG, ..CG=2DG. .AG-GC-AC 又AG=CE,AC=BC, CEBC 即E为BC中点. 3 3) 【分析】(1)由垂直定义可得∠AGF=∠ACE=∠FAE=90°，由余角性质得∠AFG=∠CAE.结合 AE=AF可得 AGF≌△ECA(A,A,S) (2)过F作FG⊥AC交AC于G,由(1)中三角形全等得FG=BC.结合∠FDG=∠BDC,得 aFDG≌BDC(AMS),得GD=CD:AD=3CD,结合AG=CE,AC=BC,得CE=2BC,即得E为 80/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC中点. (3)过F作FG⊥AD交AD延长线于G,由(1)(2)中的三角形全等得AG=CE,CD=DG,可得 ACAC 10 BE=CG' 能-得瓷-子海G了，用2”-胃 CDCD=3 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过F作FG1AD交AD延长线于G, ◇G C A B E 由(1)(2)知，△AGF≌aECA,△FDG≌aBDC, .AG=CE,CD=DG, .BC=AC, .'BE =CG. BC 5 :BE3? AC 5 CG3' AC AC10 CD 1CG 3, AD AC+CD13 ∴CD CD 3· 8.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D为直线AC上一动点，连接BD,在 直线CB的右上方作BE⊥BD,且BE=BD. 81/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点D在线段AC上时，过点E作EF⊥CB于点F,求证：△BCD≌△EFB； (2)如图2，当点D在线段AC的延长线上时，连接AE交CB于点M,求证：AM=ME; AD CM 3当点D在直线4C上时，连接AE交直线CB于点M,若OC=m(m≠2)，请直接写出BM的值. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 CM m CM m CM m (3)BMm+2或BMm-2或BM=m-2 【分析】(1)利用AAS即可得证： （2)过点E作EF1CB,交CB的延长线于点F,正明A6CD2,EFB(AAS）,得到BC=EF,再证明 △CMA≌△FME(AAS) ,即可得证： (3)分3种情况，进行讨论求解即可： 【详解】(1)证明：，BE⊥BD,EF⊥CB, ∴∠DBE=∠BFE=90°=∠ACB, ·.∠BEF=LCBD=90°-LCBE, 又BE=BD, △BCD≌△EFB(AAS) (2)证明：过点E作EF⊥CB,交CB的延长线于点F, D 82/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACB=90°，BE⊥BD, .∠EFB=∠DBE=∠BCD=90°， ·.LDBC=LBEF=90°-∠EBF, 又，BD=BE, △BCD≌△EFB(AAS) ∴BC=EF, .CA=CB, ∴.CA=EF, 又：∠EFB=∠ACB=90°，∠CMA=∠FME, △CMA≌△FME(AAS) ∴.AM=ME; AD (3)解：：DC =m(m≠2)」 设CD=a,则AD=ma, ①当点D在线段AC上时，如图1， B 图1 △BCD≌△EFB(AAS) 由(1)知， ∴.CA=BC=EF,BF=CD. :∠ACM=∠EFM=90,∠CMA=∠FME, △CMA≌△FME(AAS) ..CM FM, .CD=a,AD=ma, 83/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=AC=AD+CD=(m+1)a BF=CD=a ∴.CF=AD=ma, 1 .CM FM=7ma, 1 CM 2ma m 一= ∴.BM a+。mam+2: 2 ②当点D在线段AC的延长线上时，如图2， D E 图2 △BCD≌△EFB(AAS)ACMA≌△FME(AAS) 由(2)可知： .BF-CD=a,AC=BC=AD-CD=(m-1)a CM=MF ∴.CF=BC+BF=ma, 1 :CM=FM=Ima 2 :.BM=FM-BF=2ma-a, 1 CM ma 2 m .BM 1 2ma-a m-2: ③当点D在线段CA的延长线上时，作EF⊥BC交BC的延长线于点F,如图： 84/92 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D △BCD≌AEFB(AAS)ACMA≌AFME(AAS) 同法可得： :.BF=CD=a,AC=BC=CD-AD=(1-m)a CM=MF .'CF=BF-BC=ma CM=FMma CM 2ma ∴.BM 2ma+(1-m)a m-2: CM-m CM=mCM=m 综上：BMm+2或BMm-2或BM=m-2 9.己知AD‖BC,连接AB,点E在AB上（点E不与点A,点B重合），连接CE,DE. E B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠C=30°，∠D=20°，求∠DEC的度数： (2)如图2，点F是△ADE的内角平分线的交点，连接DF,EF,点G是△BCE的外角平分线的交点，连接 CG,EG 请深究F与6的数量关系， 3)如图3，若AE=BC,AD=BE,点F是CE的中点，求证：DE=2BF, 85/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)∠DEC=50° (2)∠F-∠G=90° B)延长BF至点G,使得FG=FB,如图所示： D ,点F是CE的中点， .EF=CF ,∠EFG=∠CFB,FG=FB △EFG≌△CFB(SAS) 、EG=BC,∠G=∠CBF, ..EGII BC. .AD lI BC, .AD‖EG, .'ZBEG=ZA, .AE=BC, .AE=EG, AD=BE, △ADE≌△EBG(SAS) .'DE =BG=2BF. 【分析】(1)先过点E作EF∥AD,再结合平行线的性质，得∠DEF=∠D=20°，∠CEF=∠C=30°，即 可作答： 1 (2)根据角平分线的定义，以及三角形的内角和性质得<F=90°+2<4，同理得 ∠G-080-∠8)=0-8，再结合￥行线的性质。得∠4+2B-1心：整理得<不=180-B,是 86/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 后代入∠F-∠G计算，即可作答， EFG≌ACFB(SAS (3)运用倍长中线法进行证明 ,得出EG=BC,∠G=∠CBF 再根据AE=BC AD=BE,证明 ADE≌AEBG(SAS) 即可作答 【详解】(1)解：过点E作EF∥AD,如图所示： A :AD‖BC, AD∥BC∥EF, ∴.∠DEF=∠D=20°，LCEF=∠C=30°， .∠DEC=∠DEF+∠CEF=20°+30°=50° (2)解：∠F-∠G=90°， 过程如下： ,点F是△ADE内角平分线交点， C)2ADE=∠FDE,∠AED=LFED ∴2（∠ADE+∠AED)=∠FDE+∠FED 1 :∠F+∠FDE+∠FED=180°，∠ADE+∠AED+∠A=180° 则∠F=180°- <40E+∠4ED)=18w-080-∠0=90+44 延长BC至点T,如图所示： 87/92 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点G是△BCE外角平分线交点， ∠GEc-=4Bc=0sn-∠BC.∠BcG=BcT-80-∠aCe) .∠G+∠GEC+∠ECG=180° ∠G=180°-（∠GEC+∠ECG) ∠G=180e-[080-∠BEC)+(080-∠BcE】 =180-080-∠8EC+180P-∠BCE） =180-号60-∠BBc-∠BcE) =180-（180-Bc-5BcE） =180°-180°+∠BEC+∠BCE =(∠BEC+∠BCE) 2 :∠BEC+∠BCE+∠B=1809 ∴，∠BEC+∠BCE=180°-∠B 则<G-80-∠B)=90-B AD‖BC ∴.∠A+∠B=180°， 即2<A=90°1 1 <B :∠F=90+∠A 2 2f=90+0w<0=180←B， 枚<F-∠G=080-<8)-(0-<B)=90e. (3)略 88/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.阅读以下材料，完成以下两个问题。 【阅读材料】己知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA交AE 于点F,DF=AC.求证：AE平分LBAC, 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示：②考虑倍长AE,如图(2)所示 E G G B D 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明. (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF: (3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由. 【答案】(1)方法①：证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, B E G 在△DFE和aCGE中， 「DE=CE ∠DEF=∠CEG EF=EG ∴△DFE≌aCGE(SAS) ∴.DF=CG.∠DFE=∠G 89/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DF=AC, ..CG=AC, ∴.∠CAG=∠G. DF∥AB, ∠BAE=∠DFE, ∠BAE=∠CAG, .AE平分∠BAC: 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, B D 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE ∴△ACE≌△GDE(SAS) AC=DG,∠CAE=∠G, .DF AC. :.DG=DF, ∠DFG=∠G, DF∥AB, .∠DFG=∠BAE, ∴.∠BAE=∠CAE. .AE平分∠BAC: (2如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, 90/92 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H 是 边上的中线， AD BC ∴BD=CD, 在△ACD和△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD ∴.△ACD≌△GBD(SAS) ∴.BG=AC,∠ACD=∠GBD, .BG∥AC, ∴.∠ABG+∠BAC=180°， AC=AF. :BG=AF, .·∠BAE=∠CAF=90° .∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC, :∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=18O°-∠BAC, .∠EAF=∠ABG 在△AEF和△BAG中， AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG ∴.△AEF≌△BAG(SAS) ·∠AEF=∠BAG 91/92 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AD与EF交于点H, :∠BAE=90°， .∠BAG+∠EAH=90°」 又，∠AEF=∠BAG, ∴.∠AEF+∠EAH=90°， ∴.∠AHE=90, 即AD⊥EF. (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下； 由(2)可知△ACD≌△GBD, SACD=SGBD :入c=5o+.w.Sc=Sm+Sm S△MBc=S△ABG 由(2)可知△AEF≌aBAG, S.AEF=S.ABG S.AEF=S.ABC 92/92 专题04 含辅助线的全等三角形证明 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倍长中线 题型二、截长补短 题型三、半角模型 题型四、探究角的数量关系 题型五、角平分线相关辅助线问题 题型六、含辅助线的最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 辅助线是变换的逆操作：翻折（轴对称）：遇角平分线或中垂线，沿对称轴翻折，构造全等，把边和角“掰”到一起。平移：遇平行线或相等线段，平移其中一条，构造平行四边形或“手拉手”全等。旋转：遇等边三角形、等腰直角或共顶点等线段，将某三角形绕顶点旋转，把散落边拼接成特殊图形（如手拉手、半角模型）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、倍长中线 典例1 如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 题型模版 1.特征：三角形中线性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质。 2.方法：通过中线倍长法构造全等三角形，利用等腰三角形和平行线的性质推导角与边的关系，从而证明线段倍分关系．. 变式1-1如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 3．【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： (1)如图，，，求边上的中线的取值范围．请你帮小宣解决此问题，的取值范围是 ； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【灵活运用】 (2)大为同学又遇到了新的问题．如图，是的中线，是的中线，，求证：；请你尝试帮助该同学解决问题． 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，与相交于点，，，，的面积为，则的面积是________． 4．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 题型二、截长补短 典例1 如图1，中，，点D，E分别是边，上的动点，且． (1)当点D在的垂直平分线上时，连接，． ①求证：是等腰三角形； ②求证：； (2)如图2，在（1）的条件下过点D作，垂足为F，求证：； (3)如图3，连接，，交点为G，若，直接写出四边形面积的最大值（结果用含a的式子表示）． 题型模版 1.特征：含线段的和差关系。. 2.方法：通过证明全等得到线段的等量关系，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可证明。 变式1-1已知，点D为内部一点，分别连接、，且，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于E，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点F，若，的面积为68，求的长． 7．如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 8．在中，，，是的角平分线，于E．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，点M为上一点，连接，作等边，连接，求证：； (3)如图3，点P为线段上一点，连接，作，交延长线于Q，求证：． 题型三、半角模型 典例1 综合与探究 数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． (1)如图1，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请探究线段之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整． 解：延长EB到G，使得，连接AG 在和中 ∴，∴ ∴ ∴，∴ ……    (2)班长李浩发现在如图2所示的四边形中，若，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．    (3)如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，请判断线段之间的数量关系，并说明理由．    题型模版 1.特征：给出其中一个角是另一个角的一半或2倍。 2.方法：全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等。 变式1-1已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 11．如图（1），在四边形ABCD中，，，以点A为顶点作，且，连接EF． (1)观察猜想    如图（2），当时， ①四边形ABCD是______（填特殊四边形的名称）； ②BE，DF，EF之间的数量关系为______． (2)类比探究    如图（1），线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． (3)解决问题    如图（3），在中，，，点D，E均在边BC上，且，若，求DE的长． 12．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是　 　； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，且满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．    题型四、探究角的数量关系 典例1 阅读材料 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 (1)如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； (3)如图③，在中，，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 题型模版 1.特征：问题为两条或三条线段的数量关系。 2.方法：构造与问题中线段相关的全等三角形，证明全等转换相等的线段得出线段和差或倍数关系。 变式1-1已知：如图，，，交线段于点． (1)如图，当时．则线段、之间的数量关系为______； (2)如图，当时．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如明，在（2）的条件下，点是边的中点，连接，与交于点，试探究与之间的数量关系． 15．如图，为等腰直角三角形，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且 过点A 作BE的垂线交 于 ，过点作的垂线交直线于点 ，交直线于点 ． (1)请补全图形，并直接写出与的数量关系 ． (2)用等式表示 （1） 问中线段、、之间的数量关系，并证明． (3)当点 、分别在、的延长线上时，且 直接写出线段、、之间的数量关系 16．已知，如图1，在等边中，与的角平分线交于点，点、分别在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系． (1)方法探索： 小敏的思路是：如图3，在上取一点，使，连接．先证明______，从而______；继而证明______，从而______；因此可判断、、三者之间的数量关系是______； (2)拓展运用： 如图2，点在边上，点在的延长线上，其它条件不变，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由． 题型五、角平分线相含辅助线问题 典例1 已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 题型模版 1.特征：考查角平分线的相关知识。 2.方法：利用角平分线的定义及三角形外角的性质求解。能够利用角平分线的对称性构造全等三角形是解题的关键。 变式1-1数学活动：探究利用角平分线的对称性构造全等三角形解决问题． (1)如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形.方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点C，连接，，则的依据是______； (2)如图2，在中，，，和是的角平分线，，相交于点F ①的度数为______； ②求证：； (3)如图3，在中，，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，请判断和的数量关系，并说明理由． 19．已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． (1)求证：F在的角平分线上； (2)求证：． 20．如图1，在中，，是角平分线，，相交于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，，分别是角平分线和边延长线上的点，，．证明：． 题型六、含辅助线的最值问题 典例1 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． (1)如图1，当点落在的延长线上时，且，，，求的长； (2)如图2，绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接并延长至点，使得，连接，连接交于点，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．若，，，在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：题目问题为求最大值或求最小值。 2.方法：1. 定性轨迹。2. 定法操作：直线轨迹想“对称”；圆轨迹想“找圆心”；带系数想“构造相似或三角函数”。3. 定等验证：求出最值点后，务必回头画图验证这个点是否在轨迹的可行范围内（比如圆弧是否取反向）。 变式1-1．如图，射线平分，，，． (1)求证：； (2)若线段，求线段的长； (3)已知点M、N分别是、上的两个动点，且均不与点O重合，连接、和．若，求的周长的最小值． 23．在中，点是的边的中点． (1)如图1，连接，若，过点作交延长线于点，若，求； (2)如图2，点是线段上一点，连接并延长交延长线于．若，，求证：； (3)如图3，若平分，分别是上任意一点，若，，直接写出的最小值． 24．如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． (1)当时，求证：； (2)在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变，请说明理由； (3)连接，若，是线段上的动点，求的最小值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 2．如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 3．按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 4．已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 5．已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， (1)试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 6．在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，根据三角形全等的条件，可以得到，从而根据三角形全等的性质得到，由，进而得到，这样，就可以根据三角形全等的条件，确定，则可得到、、之间的数量关系是 ． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 7．如图，等腰中，，E点为射线上一动点，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，点E为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，则＝ ． 8．如图，在等腰直角三角形中，，，点为直线上一动点，连接，在直线的右上方作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于点，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于点，若，请直接写出的值． 9．已知，连接，点在上（点不与点，点重合），连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点是的内角平分线的交点，连接，，点是的外角平分线的交点，连接，请探究与的数量关系； (3)如图3，若，点是的中点，求证：． 10．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $