第十四章 全等三角形必考八大模型专项训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以八大模型为框架，构建从基础图形识别到辅助线构造的全等三角形解题体系，分层突破中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础全等模型（共边/角、平移、旋转、对称）|26题（含中考真题）|图形特征识别、基本判定应用|基于全等判定公理，通过位置关系（共边、旋转等）构建基本模型| |培优全等模型（一线三等角、倍长中线、截长补短）|10题（含综合探究）|辅助线构造技巧（倍长、截补等）|从图形变换到动态探究，衔接中考压轴题推理方法|

全等三角形必考八大模型专项训练 ◆基础全等模型 模型一 共边（夹边）型全等 模型二 共角（夹角）型全等 模型三 平移型全等 模型四 旋转型全等 模型五 对称型全等 ◆培优全等模型 模型六 一线三等角型全等 模型七 倍长中线证全等 模型八 截长补短证全等 模型一 共边（夹边）型全等 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 2．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 3．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，，与相等吗？请在图中找出一对全等三角形，并说明理由． 4．（2026·河北邯郸·一模）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．小明用6根竹条扎制成如图所示的风筝骨架，其中． (1)求证：； (2)求竹条的长度． 5．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 6．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，于点，是上一点，连接与相交于点，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：平分． 7.（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 8．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在四边形中，连接，点是上的两点，连接，，，，． 求证： (1)； (2)． 模型二 共角（夹角）型全等 9．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点分别在线段上，．求证：． 11．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 模型三 平移型全等 12．（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）已知，如图，，，， 求证：． 13．（2026·福建福州·二模）如图，点D，A，E，B在同一直线上，，，．求证：． 14．（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 模型四 旋转型全等 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 16．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，已知，，．求证：． 17．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 18．（25-26七年级上·山东烟台·期中）和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 19．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 模型五 对称型全等 20．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点，，．求证：． 21．（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 22．（2026·福建福州·模拟预测）如图，已知：、、、四点在一条直线上，，，且．请说明． 23.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 24．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 25.（2026·江苏苏州·二模）已知：如图，，，、相交于点，过点作，交于． (1)请说明； (2)求证：平分． 26．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在四边形中，．点O是四边形内一点，且满足．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 模型六 一线三等角型全等 27．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 28．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 29．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 30．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3） 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 模型七 倍长中线证全等 31.（25-26七年级下·山东济南·期末）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接、由已知和作图能得到，所以． (1)【思考发现】如图①，的理由是 ； A．      B．     C．     D． (2)【思考发现】请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，交于F，．探究与的关系，并说明理由； (4)【深入探究】如图③，在和中，，，且，连接、，F为的中点，连接并延长交于H，，，则的面积为 ． 32．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． (1)解：延长到，使，连接。 在和中， （__________） (2)则的取值范围为__________． (3)【问题解决】 如图3，在中，是的中线，，且．求的长． 33．（2026·河南周口·二模）下面是某位同学对一道试题的部分解题过程、请你仔细阅读，并完成任务： 试题：如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围． 解：如图2，延长至点D，使得，连接， ∵为的中线，， 在和中， …… （①________），， 在中，，…… ∴的取值范围是②________． 任务： (1)在上述过程中，①处判定的依据是________（用字母表示），②处应填________； (2)如图3，在中，，M为的中点，D、E分别为、上的点，连接、、，，若，，求的长； (3)如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，然后将等腰直角绕点C逆时针转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上，旋转角小于），连接，M为的中点，连接，．若，，直接写出图5中和的面积差． 模型八 截长补短证全等 34.（25-26八年级上·安徽淮南·期中）利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍． （1）尺规作图：作的平分线． 【模型构造】 （2）填空： ①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”） 方法一：巧翻折，造全等 在上截取，连接， 则． ②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______． 方法二：构距离，造全等 过点作，垂足为点， 则． 【模型应用】 （3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点． ①请直接写出______； ②试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 35．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 36.（25-26八年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】 “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边右侧一点，，则线段之间的数量关系为__________； 【迁移应用】 （2）如图2，为等边三角形，点在边上，，且．试探究线段之间的数量关系，并说明理由； 【能力提升】 （3）如图3，在四边形中，．若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，则与的数量关系为________；若此时，则的面积为_________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $全等三角形必考八大模型专项训练 ◆基础全等模型 模型一 共边（夹边）型全等 模型二 共角（夹角）型全等 模型三 平移型全等 模型四 旋转型全等 模型五对称型全等 ◆培优全等模型 模型六 线三等角型全等 模型七 倍长中线证全等 模型八截长补短证全等 模型一 共边（夹边）型全等 1.(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC.求证：△ABC2△DCB,AB=DC. A 2.(25-26七年级下·甘肃酒泉·期末)如图，点C,D在线段BE上，且BD=EC,AB=FE,AC=FD.试 说明：∠B=∠E. 3.(25-26七年级下·全国·单元复习)如图，AB=DF,AC=DE,BE=FC,BC与FE相等吗？请在图中找 出一对全等三角形，并说明理由. 试卷第1页（共18页） 4.(2026河北邯郸·一模)风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史.小明用6根竹条扎 制成如图所示的风筝骨架，其中AB=AD=10cm,BD=BC=CD=16cm. (I)求证：△ABC2AADC; (2)求竹条AC的长度. 5.(25-26八年级上·吉林白山期末)如图，点C、B、E、F在同一条直线上，AB=DE,BF=CE,AC=DF.求 证：△ABC≌ADEF. 6.(25-26八年级下·江西景德镇·期中)如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BD⊥AC于点D,E是BC 上一点，连接AE与BD相交于点O,连接OC,DE,且OB=OC. (1)求证：AE垂直平分BC; (2)若∠OED=∠ODE,求证：CO平分∠ACB. 试卷第2页（共18页） 7.(25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测)已知AE=DF,CE=BF,AB=CD. (1)求证：△ACE≌△DBF; (2)∠ACE=35°，求∠BHC的度数. H 8.(25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，连接BD,点E,F是BD上的两点， 连接AE,CF,AB=CD,AE=CF,BF=DE. 求证： (I)△ABE≌ACDF: (2)AD=BC. D 模型二 共角（夹角）型全等 9.(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点D、E, 求证：BD=CE. A B 10.(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，点B、D分别在线段AC、EC上，∠A=∠E,AD=EB.求证： AC=EC. B D 试卷第3页（共18页） 11.(25-26七年级下·上海金山期末)如图，己知：点E、C分别在线段AB、AD上，AE=AC,∠B=∠D E B (I)求证：△ADE≌△ABC: (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是： 并给出证明. 模型三 平移型全等 12.(25-26九年级下·福建南平.阶段检测)已知，如图，AB=DE,AC=DF,BE=CF, 求证：∠A=∠D. E 13.（2026福建福州二模)如图，点D,A,E,B在同一直线上，BC=EF,AC=DF,BE=AD.求 证：BC∥EF. D 14.(2026云南昭通一模)如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，AC=DF,BC=EF,AE=BD.求 证：△ABC≌△DEF. B 试卷第4页（共18页） 模型四旋转型全等 15.(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，AB=AD,A=∠2，∠C=∠E.求证：AC=AE. E 16.(25-26八年级上陕西安康·期中)如图，己知CA=CD,∠BCE=∠ACD,BC=EC.求证：AB=DE. B 17.(26-27八年级上·全国·开学考试)如图，∠A=∠B,1=∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O. (1)若∠2=40°，求∠AEB的度数： (2)若∠EDC=∠C,求证：△AEC≌△BED. B D 18.(25-26七年级上山东烟台·期中)△ABD和△ACE都为等腰三角形，A为顶角的顶点，连接BC、DE, 则BC=DE,且∠BAD=30°，求∠CAE的度数. D 试卷第5页（共18页） 19.(25-26九年级上·陕西西安·期中)如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△AEF,点B、 C的对应点分别为点E、F,连接BE,CF,已知AB=AC,求证：BE=CF. 模型五对称型全等 20.(26-27八年级上：全国·课后作业)如图，AB与CD相交于点O,∠A=∠D,CO=BO.求证：△AOC兰△ DOB. 21.(2026云南中考真题)如图，AB=DC,AE=DE,点E是线段BC的中点.求证：△ABE≌△DCE. A D B E 22.(2026福建福州·模拟预测)如图，已知：A、F、C、D四点在一条直线上，AF=CD,BC=EF, 且AB=DE,请说明△ABC≌ADEF, 试卷第6页（共18页） 23.(25-26七年级下·全国·课后作业)如图，AC与BD相交于点O,且OA=OB,OC=OD. (1)△AOD与△BOC全等吗？请说明理由. (2)△ACD与△BDC全等吗？为什么？ 24.(25-26八年级上·福建漳州期末)如图，点D是△ABC外一点，连接AD,CD,已知∠B=45°，∠D=90°. (1)在△ABC内求作一点M,使得△AMC≌△ADC(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： (2)在(1)的条件下，求∠BAM+∠BCM的度数. 25.(2026江苏苏州二模)己知：如图，AB=DC,AC=BD,AC、BD相交于点E,过E点作EF∥BC, 交CD于F, (I)请说明△ABC≌△DCB: (2)求证：EF平分∠DEC. 试卷第7页（共18页） 26.(25-26九年级上·山东青岛阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=CD.点O是四边 形ABCD内一点，且满足∠BOD=2∠C,OA=OB=OD.求证： (1)∠BAD=∠C: (2)四边形ABCD是菱形. 模型六一线三等角型全等 27.(2026江苏无锡一模)如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点.连接DBE、 EF (1)求证：△BED≌△ECF. (2)若AB=6,AC=8,求四边形ADEF的周长. 试卷第8页（共18页） 28.(25-26七年级下·四川达州·阶段检测)“在一条直线上有三个直角顶点'的几何图形，我们一般称其为“一 线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索. B E ① ② ③ 【模型呈现】 (I)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,过点A作AD⊥DE 于点D,过点B作BE⊥DE于点E,猜想AD,BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由： (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点 A作AD⊥CE于点D,过点B作BE⊥CE于点E,AD=I2,BE=4,则DE的长为一： (3)【深入探究】如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC,AE=DE, 且点E在BC上，连接BD,试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并说明理由， 试卷第9页（共18页） 29.(25-26八年级上·湖北随州·期末)数学教材中有这样一道习题：“如图1， ∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若AD=2.5Cm,DE=1.7cm,求BE的长.” 在计算时，我们通过证明△ADC≌△CEB,得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解. D H 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (1)如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE为过点C的直线，AD⊥DE于D,BE⊥DE 于E,求证：DE=AD+BE; 【拓展应用】 (2)如图3，在RtAAOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰RtAOBC, 连DC交OB延长线于点E,猜想AO与BE的数量关系，并说明理由： 【知识迁移】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以△ABC的AB,AC边向外 作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于点H, 若AH=5,AG=12,直接写出△DAE的面积. 试卷第10页（共18页） 30.(25-26八年级上·内蒙古通辽期中)【基础回顾】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线l经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂 足分别为D,E,求证：△ABD≌△CAE; B A B GC 图1 图2 图3 【变式探究】 (2)如图2，在AABC中，AB=AC,直线l经过点A,点D,E分别在直线I上，如果∠CEA=∠ADB=∠BAC, 求证：ED=BD+CE: 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB,AC为一 边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高.延长GA 交DE于点H,设△ADH的面积为S,△AEH的面积为S,猜想S,S2大小关系，并说明理由 试卷第11页（共18页） 模型七倍长中线证全等 31.(25-26七年级下·山东济南·期末)【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，AD 是BC边上的中线，AB=5,AD=3,若AC边的长度为奇数，求AC的长.小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使AD=DE,连接BE、由已知和作图能得到△EDB≌△ADC, 所以AC=BE. B D E 图① 图② 图③ (1)【思考发现】如图①，△EDB2△ADC的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA (2)【思考发现】请根据小明的方法思考，直接写出AC的长可能为（写一个值即可）： 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分 散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中. (3)如图②，AD是△ABC的中线，BG交AC于G,交AD于F,AC=BF.探究∠AFG与∠GAF的关系， 并说明理由： (4)【深入探究】如图③，在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,且∠ACB=∠DCE=90,连接AD、 BE,F为AD的中点，连接FC并延长交BE于H,CF=4,CH=2,则△BCE的面积为_ 试卷第12页（共18页) 32.(25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测)【教材呈现】如图1，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的 中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1， 在△ABC中，AB=8,AC=6,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. D 图1 图2 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到E,使DE=AD, 请完成证明“△ADC≌△EDB”的推理过程， (I)解：延长AD到E,使DE=AD,连接BE。 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB( CD=BD(中点定义) :.△ADC≌△EDB( (2)则AD的取值范围为 (3)【问题解决】 如图3，在△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是△ABC的中线，CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°，求AE的 长 B D 图3 试卷第13页（共18页） 33.(2026河南周口·二模)下面是某位同学对一道试题的部分解题过程、请你仔细阅读，并完成任务： 试题：如图1，在△ABC中，CM为△ABC的中线，若AC=2,BC=4,求CM的取值范围. 解：如图2，延长CM至点D,使得MD=CM,连接BD, M 图1 M B:CM为△ABC的中线，.AM=BM, 图2 在△ACM和△BDM中， .·△ACM≌△BDM(① ),.BD=AC=2, 在ABCD中，BC-BD<CD<BC+BD,. ∴.CM的取值范围是② 任务： D M 图3 图4 图5 (1)在上述过程中，①处判定的依据是 (用字母表示)，②处应填 (2)如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，D、E分别为AC、BC上的点，连接MD、ME、 DE,∠DMB=90°，若BE=1,AD=2,求DE的长； (3)如图4，C为线段AB上一点，AC>BC,分别以AC、BC为斜边向上作等腰直角△ACD和等腰直角△CBE, 然后将等腰直角△CBE绕点C逆时针转至图5的位置(A,C,B不在同一条直线上，旋转角小于45°)， 连接AB,M为AB的中点，连接DM,EM,若AD=5,EB=3,直接写出图5中△DAM和△EBM的 面积差. 试卷第14页（共18页) 模型八截长补短证全等 34.(25-26八年级上·安徽准南·期中)利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍. (1)尺规作图：作∠AOB的平分线OC. 0 B 【模型构造】 (2)填空： ①如图.在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，则∠B∠C.(填“>”、“=”或<) D 方法一：巧翻折，造全等 在AC上截取AE=AB,连接DE, 则△ABD=△AED(SAS). ②如图，在四边形ABCD中，ABIICD,∠B=90°，∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交BC于点E,若 BC=l2cm,则点E到AD的距离是cm. D B 方法二：构距离，造全等 过点E作EF⊥AD,垂足为点F, 则△ABE=△AFE(AAS). 试卷第15页（共18页） 【模型应用】 (3)如图，在△ABC中，∠A=60°，BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P, ①请直接写出∠BPC=: ②试猜想PE与PF之间的数量关系，并说明理由. E 试卷第16页（共18页） 35.(26-27八年级上·全国·开学考试)如图，点D是△ABC外一点，连接AD,CD,过点C作CB⊥AB, 垂足为E.AD=7,CE=4,AB=13,△ADC的面积为14. D (I)求证：AC是∠BAD的平分线： (2)若AB-AD=2BE,求证：CD=BC. 试卷第17页（共18页） 36.(25-26八年级上：陕西西安·期末)【阅读理解】 “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运 用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题 (1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AC右侧一点，∠ADC=120°，则线段BDAD、CD之间的 数量关系为 【迁移应用】 (2)如图2，△ABC为等边三角形，点D在边AC上，AE∥BC,且∠BDE=60°.试探究线段AB、AE、AD 之间的数量关系，并说明理由： 【能力提升】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD=DC.若点E在BA的延长线上，点F在BC 的延长线上，满足EF=AE+CF,则∠EDF与∠ADC的数量关系为；若此时 ∠ABC=∠DEF=30°，ED=6,则△EDF的面积为 B 图1 图2 图3 试卷第18页（共18页） 全等三角形必考八大模型专项训练 ◆基础全等模型 模型一 共边（夹边）型全等 模型二 共角（夹角）型全等 模型三 平移型全等 模型四 旋转型全等 模型五 对称型全等 ◆培优全等模型 模型六 一线三等角型全等 模型七 倍长中线证全等 模型八 截长补短证全等 模型一 共边（夹边）型全等 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】利用“”证明，再利用全等三角形的性质证明出结论． 2．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【答案】解：∵， ， ， ，， ， ． 3．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，，与相等吗？请在图中找出一对全等三角形，并说明理由． 【答案】与相等，，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 4．（2026·河北邯郸·一模）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．小明用6根竹条扎制成如图所示的风筝骨架，其中． (1)求证：； (2)求竹条的长度． 【答案】(1) 证明：在与中， ， ∴； (2) 【分析】（1）利用“”证明全等即可； （2）先判定垂直平分，得出，，再利用勾股定理得出和，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴垂直平分， ∴，， ∴，， ∴． 5．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 6．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，于点，是上一点，连接与相交于点，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：平分． 【答案】(1) 证明：， ． 在和中， ∴, 垂直平分； (2) ， ． 又，， 即，， 平分． 【分析】（1）证明，即可知，根据等腰三角形三线合一即可求解； （2）根据角平分线的性质即可求解． 7.（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在四边形中，连接，点是上的两点，连接，，，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【分析】（1）由，可得到，再利用证明全等即可； （2）由（1）可得，得到，证出后，可推出四边形为平行四边形，即可求解． 模型二 共角（夹角）型全等 9．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足分别为点，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【分析】证明， 即可得证． 【详解】略 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点分别在线段上，．求证：． 【答案】在和中：，，， ∴． ∴． 【分析】因为已知，，且是两个三角形的公共角，所以可通过判定定理证明，那么对应边和相等． 【详解】略． 11．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 模型三 平移型全等 12．（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 13．（2026·福建福州·二模）如图，点D，A，E，B在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据等式的性质得出，利用证明与全等，进而解答即可． 【详解】略 14．（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 解：， ， 即． 在和中， ， ． 【分析】根据“”直接证明全等即可． 模型四 旋转型全等 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【答案】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】利用已知条件证明，根据全等三角形对应边相等即可得证． 【详解】略 16．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ∴，即， 在和中， ， ， ． 【分析】通过证明三角形全等来推导对应边相等来证明． 【详解】略． 17．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 18．（25-26七年级上·山东烟台·期中）和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 【答案】 【分析】先由等腰三角形性质，得，，再结合，证，接着由全等得，同减，推出，最后代入，得． 【详解】解：∵和都为等腰三角形，为顶角的顶点， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题利用共顶点等腰三角形的边相等，通过全等实现角的全等转化，关键是证，得到． 19．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到，点、的对应点分别为点、，连接，，已知，求证：． 【答案】证明：由旋转的性质可得，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由旋转的性质可得，，，，结合容易证明，因此． 模型五 对称型全等 20．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴． 【分析】结合已知条件与对顶角相等，使用“角角边”的判定定理证明全等即可． 【详解】略 21．（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用判定方法“”证明即可． 22．（2026·福建福州·模拟预测）如图，已知：、、、四点在一条直线上，，，且．请说明． 【答案】见解析 【分析】由可得，再根据判定全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴ 23.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 【答案】(1)解：，理由如下， 在和中， ， ∴； (2)解：，理由如下， 由得， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】通过“”即可证明； 由得，所以，又，，所以，即，然后通过“”即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 24．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，点D是外一点，连接，已知，． (1)在内求作一点M，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1) 解：如图，点M即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图： （1）以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． ． ， ． ． 25.（2026·江苏苏州·二模）已知：如图，，，、相交于点，过点作，交于． (1)请说明； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在和中，，，，故； （2）由（1）得，故，故，故，又，故，，故，从而平分． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明：由（1）得， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 平分． 26．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在四边形中，．点O是四边形内一点，且满足．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：如图1，延长至E， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 即， 又∵， ∴； (2) 如图2，连接， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 即， 由（1）可知，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【分析】本题主要考查等边对等角，三角形外角的性质，菱形的判定，掌握以上知识是关键． （1）根据等边对等角，三角形外角的性质得到，结合图形，计算角的和差即可求解； （2）根据题意证明，，得到，结合（1），根据两组对角相等的四边形是平行四边形，最后结合；菱形的判定方法即可求解，． 【详解】（1）略 （2）略 模型六 一线三等角型全等 27．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1) 证明：点、、分别是、、的中点， ，，，、是的中位线， ，， ，， ． (2) 【分析】（1）根据线段的中点以及三角形中位线定理，得出，，，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，，将四边形的周长转化为，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，，， ，， 四边形的周长． 28．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； (2)8 (3)，理由如下： 如图3，过点D作于点F， ，， ∴同理得：， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【分析】（1）先利用同角的余角相等，证明，结合、，用判定，根据全等三角形对应边相等，将拆分为，替换为得到数量关系； （2）同样先证明，得到对应边，，由图中线段位置关系，用计算的长度； （3）过点作交的延长线于点，构造一线三垂直模型，证明，得到对应边相等关系，推导，得到，结合，计算的度数，判断与的位置关系． 【详解】（1）略； （2）如图2所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ，， ； （3）略． 29．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 30．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴∠EAB=∠ADB+∠DBA， ∴∠EAC+∠BAC=∠ADB+∠DBA ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明： ． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】略 模型七 倍长中线证全等 31.（25-26七年级下·山东济南·期末）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接、由已知和作图能得到，所以． (1)【思考发现】如图①，的理由是 ； A．      B．     C．     D． (2)【思考发现】请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，交于F，．探究与的关系，并说明理由； (4)【深入探究】如图③，在和中，，，且，连接、，F为的中点，连接并延长交于H，，，则的面积为 ． 【答案】(1)B； (2)或或或； (3)解：，理由如下： 延长至点使，连接，如图， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； (4)8 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点使，连接，同理可证明，再证明，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， ， 在中， ∴， 边的长度为奇数，且， 的长可能为或或或； （3）略 （4）解：延长至点使，连接，如图， 则有， 是边上的中点， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， ，，， ，， 即， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，即， ． 32．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． (1)解：延长到，使，连接。 在和中， （__________） (2)则的取值范围为__________． (3)【问题解决】 如图3，在中，是的中线，，且．求的长． 【答案】(1)对顶角相等，； (2) (3) 【分析】（1）根据对顶角相等以及边角边的判定定理进行填空，即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得，结合三角形的三边关系，即可求解． （3）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 在中，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴垂直平分， ∴． 33．（2026·河南周口·二模）下面是某位同学对一道试题的部分解题过程、请你仔细阅读，并完成任务： 试题：如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围． 解：如图2，延长至点D，使得，连接， ∵为的中线，， 在和中， …… （①________），， 在中，，…… ∴的取值范围是②________． 任务： (1)在上述过程中，①处判定的依据是________（用字母表示），②处应填________； (2)如图3，在中，，M为的中点，D、E分别为、上的点，连接、、，，若，，求的长； (3)如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，然后将等腰直角绕点C逆时针转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上，旋转角小于），连接，M为的中点，连接，．若，，直接写出图5中和的面积差． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， （2）延长至点，使得，由得出，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， （3）延长至点，使得，由，可得，导角得，由，可得，作，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 【详解】（1）解：如图2，延长至点D，使得，连接， ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，， 即：， ， ， ， 故答案为：，， （2）解：延长至点，使得，连接， ∵M为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∵， 垂直平分， ； （3）解：∵等腰直角和等腰直角，     ， 如图，延长至点，使得，连接， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 分别过作为垂足， ， ， ∴设， ∵， ， 解得， ． 模型八 截长补短证全等 34.（25-26八年级上·安徽淮南·期中）利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍． （1）尺规作图：作的平分线． 【模型构造】 （2）填空： ①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”） 方法一：巧翻折，造全等 在上截取，连接， 则． ②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______． 方法二：构距离，造全等 过点作，垂足为点， 则． 【模型应用】 （3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点． ①请直接写出______； ②试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）如图所示 （2）①；②6；（3）①120°； ②，理由如下： 在上截取，连接，则， ∴，， 由①知：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ． 【分析】（1）直接利用角平分线的作法作图即可； （2）①根据三角形的性质：大边对大角即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得BE=EF=EC,即E为BC的中点，进而求得EF的长即可； （3）①利用角平分线的定义和三角形内角和即可解答； ②在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1） 略 （2）①∵ ∴大于； 故答案为； ②如图：过点作，垂足为点， ∵和的平分线，交于点 ∴BE=EF=EC,即BE=BC=6 ∴EF=6,即点到的距离是6 故答案为6； （3）①∵∠A=60° ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120° ∵，是的两条角平分线，且，交于点． ∴∠CBE+∠BCF==60° ∴180°-∠CBE+∠BCF=120°； ② 略 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、性质定理以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 35．（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 36.（25-26八年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】 “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边右侧一点，，则线段之间的数量关系为__________； 【迁移应用】 （2）如图2，为等边三角形，点在边上，，且．试探究线段之间的数量关系，并说明理由； 【能力提升】 （3）如图3，在四边形中，．若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，则与的数量关系为________；若此时，则的面积为_________． 【答案】（1） （2）．理由： 如图，在上取点F，使，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）， 【分析】（1）延长到点E，使，连接，可得是等边三角形，得，证明，得，即得； （2）在上取点F，使，连接，证明是等边三角形，得，证明，，，得，，可得； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，证明，得，可得，得，根据，即得.当时，连接，过点D作于点H，于点I，于点J，证明，得，得平分，根据平分，得点D在的平分线上，得，，可得，，，得，即得． 【详解】解：（1）如图，延长到点E，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）．证明： 如图，在延长线上取一点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 连接，过点D作于点H，于点I，于点J， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴平分， ∴点D在的平分线上， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段的截长补短综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $