精品解析：四川绵阳市北川羌族自治县桂溪初级中学等三校 2026-2027学年九年级上学期开学联考数学试题

2026-2027学年九年级上学期开学考试 数 学 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. ÷ B. ÷= C. ÷ D. 2÷=1 3. 如图，中，点D，E分别是，的中点，若的周长是4，则的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 4. 如图，直线和直线相交于，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知正方形和直角三角形，，，连接，．若绕点A旋转，当最大时，的面积是（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 6. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若菱形的对角线长度分别为和，则它的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，对角线，交于点O，E是边上一个动点，连接并延长，交于点 F，连接，，则下列结论中错误的是（ ） A. 四边形 一定是平行四边形 B. 一定存在一点 E，使得四边形是菱形 C. 不论取何值，一定存在一点E，使得四边形是矩形 D. 当，且时，一定存在一点E，使得四边形是正方形 8. 如图，正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为18．那么代数式的结果为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，，则的长为（ ） A. B. 15 C. D. 10. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口后分别位于点Q，R处，且相距．如果“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号航行的方向是（ ） A. 西北方向 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏西 12. 如图1，点M为边上的点，点M沿着的路径运动，设点M运动的路径长为x，的面积为y，如图2是点M运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 计算：______． 14. 在平面直角坐标系中，点（1，2）到原点的距离是______． 15. 某中学深入推进教育评价改革，学生一学年的操行评定采用“过程性评价+终结性评价”模式，最终成绩以德、智、体、美、劳五个维度的量化得分，按的比例加权计算确定（各维度满分均为10分）．一学年来，小李同学在这五个方面的最终成绩分别为10分，9分，8分，9分，9分，则小李同学在这一学年的操行评定最终成绩为______分． 16. 某电视台要招聘一名主持人，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下： 测试项目 口才能力 主持能力 情绪和应变能力 测试成绩（分） 如果将口才能力、主持能力和情绪和应变能力的成绩按的比例确定每个人的最终成绩，则该应聘者的最终成绩是___________分． 17. 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（即车尾与倒车镜的距离与车长之比为），如果车头与倒车镜的水平距离为2米（如图），则该车车身总长为 ___________________米． 18. 已知：如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，则结论正确的是___________． 三．解答题（共46分） 19. 计算：． 20. 如图，在中，对角线，交于点O，，，垂足分别为点E，F． （1）求证：； （2）若点E为的中点，，的周长是12，求的长． 21. 某游泳馆给出如下三种年卡套餐的收费标准： 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 不限次 设年游泳次数为次，套餐，，的游泳费用（单位：元）分别为，，． （1）求出套餐的游泳费用的函数解析式； （2）当年游泳次数大于次时，在，两个年卡套餐中怎样选择能节省游泳费用？ （3）年游泳次数超过 次时，选择套餐最划算． 22. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．将该“函数求值机”得到的几组与的对应值记录在下面表格中． 输入 … … 输出 … … （1） ； （2）表格中有一个的值记录错误，排除后，利用正确的数据求出与的值； （3）当输出的值为时，求输入的的值． 23. 某校为了解该校七年级和八年级学生的数学学习情况，从这两个年级的学生中，各随机抽取了60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制，且成绩均为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级数学成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）； b．七年级学生数学成绩在这一组是： 70，71，71，72，76，76，77，78，78，78，79，79，79，79 c．七年级，八年级学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）在此次测试中，某七年级学生A的数学成绩为76分，某八年级学生B的数学成绩为71分，学生成绩排名更靠前的是________（填“A”或“B”），理由是_________________________________________； （3）若该校七年级有1200名学生，八年级有600名学生，假设该年级七、八年级学生全部参加此次测试，估计该校七年级和八年级学生中数学成绩超过70分的总人数． 24. 结合图形，证明以下结论： （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期开学考试 数 学 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴的取值范围是． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. ÷ B. ÷= C. ÷ D. 2÷=1 【答案】D 【解析】 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 3. 如图，中，点D，E分别是，的中点，若的周长是4，则的周长是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和中位线定理可知，，，再结合的周长是4即可得解． 【详解】解：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，，， ∴， 又∵的周长是4，即， ∴的周长． 4. 如图，直线和直线相交于，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先把点的坐标代入，即可求得点的坐标，再根据两函数的图象即可求得． 【详解】解：把点的坐标代入，得， 解得：， 故点的坐标为， 故由两函数图象可得关于的不等式的解集为． 5. 如图，已知正方形和直角三角形，，，连接，．若绕点A旋转，当最大时，的面积是（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】作于H，由题意知绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当为此圆的切线时，最大，即，利用勾股定理计算出，接着证明得到，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：作于H，如图， ∵， ∴当绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上， ∴当为此圆的切线时，最大，即， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、圆的性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 6. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若菱形的对角线长度分别为和，则它的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，计算菱形的边长即可． 【详解】∵菱形的两条对角线长分别为和， ∴菱形的边长为． 故选C． 7. 在平行四边形中，，对角线，交于点O，E是边上一个动点，连接并延长，交于点 F，连接，，则下列结论中错误的是（ ） A. 四边形 一定是平行四边形 B. 一定存在一点 E，使得四边形是菱形 C. 不论取何值，一定存在一点E，使得四边形是矩形 D. 当，且时，一定存在一点E，使得四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形性质逐一验证各选项，即可得到错误结论． 【详解】解：∵平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形一定是平行四边形，故A正确，不符合题意； 要使平行四边形为菱形，只需，过O作的垂线，与必有交点E，故一定存在这样的点E，故B正确，不符合题意； 要使平行四边形为矩形，只需，以为直径作圆，圆与边不一定有异于A的交点E，故不一定存在这样的点E，故C错误，符合题意； 若四边形为正方形，需同时满足且，当，时，一定能满足的条件，因此一定存在这样的点E，故D正确，不符合题意． 8. 如图，正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为18．那么代数式的结果为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，正方形的面积公式等知识，先根据正方形的面积求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为，面积为8， ∴， ∵正方形的边长为，面积为18， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，，则的长为（ ） A. B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用菱形推得邻角，结合设，则，进而菱形边长；由折叠性质得；作辅助线延长线于F构造含角的，应用角所对直角边性质得；在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点，则， ， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， 在菱形中，， ，  ， 由翻折可知：， 在中，，， ， 解得（不符合题意，舍去）  . 10. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 11. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口后分别位于点Q，R处，且相距．如果“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号航行的方向是（ ） A. 西北方向 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏西 【答案】C 【解析】 【分析】根据路程=速度时间求出的长，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据方位角的定义求解 【详解】解：由题意得：，， ， ，， ， 是直角三角形，且， “远航”号沿北偏东方向航行， ， ， “海天”号航行的方向是北偏西． 12. 如图1，点M为边上的点，点M沿着的路径运动，设点M运动的路径长为x，的面积为y，如图2是点M运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点M运动，可得，，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：设与间的距离是d， 由图象可得，， 当点M在上时，， ∴， 解得． 二．填空题（每小题3分，共18分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 在平面直角坐标系中，点（1，2）到原点的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标，直接利用勾股定理可求解点到原点的距离． 【详解】解：∵点的坐标是（1，2）， ∴点到原点的距离是：=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，点的坐标，正确理解点的坐标性质是解题关键． 15. 某中学深入推进教育评价改革，学生一学年的操行评定采用“过程性评价+终结性评价”模式，最终成绩以德、智、体、美、劳五个维度的量化得分，按的比例加权计算确定（各维度满分均为10分）．一学年来，小李同学在这五个方面的最终成绩分别为10分，9分，8分，9分，9分，则小李同学在这一学年的操行评定最终成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据五个维度的权重比，结合小李各维度得分，利用加权平均数公式计算即可得到最终成绩． 【详解】解：由题意得，权重和为，根据加权平均数公式可得最终成绩为： ． 16. 某电视台要招聘一名主持人，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下： 测试项目 口才能力 主持能力 情绪和应变能力 测试成绩（分） 如果将口才能力、主持能力和情绪和应变能力的成绩按的比例确定每个人的最终成绩，则该应聘者的最终成绩是___________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数的运算是解题的关键，根据题意，则该应聘者的最终成绩是，即可． 【详解】解：该应聘者的最终成绩是， 故答案为：． 17. 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（即车尾与倒车镜的距离与车长之比为），如果车头与倒车镜的水平距离为2米（如图），则该车车身总长为 ___________________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解分式方程，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设该车车身总长为x米， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴该车车身总长为：米， 故答案为：． 18. 已知：如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，则结论正确的是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；根据全等三角形的性质可得，设交于点，根据可得，则，由此即可判断②正确；根据等腰三角形的性质可得，再根据角的和差、等量代换即可判断③正确；根据勾股定理可得，，再根据可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； 如图，设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； ∵，， ∴， ∴，则结论③正确； ∵，，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三．解答题（共46分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 20. 如图，在中，对角线，交于点O，，，垂足分别为点E，F． （1）求证：； （2）若点E为的中点，，的周长是12，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明，可知； （2）根据线段中点的定义结合已知条件得到，由勾股定理得到，可知，根据平行四边形的性质作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵点E为的中点， ∴， ∵，的周长是12， ∴， 设， ∴， 由勾股定理得到：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 21. 某游泳馆给出如下三种年卡套餐的收费标准： 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 不限次 设年游泳次数为次，套餐，，的游泳费用（单位：元）分别为，，． （1）求出套餐的游泳费用的函数解析式； （2）当年游泳次数大于次时，在，两个年卡套餐中怎样选择能节省游泳费用？ （3）年游泳次数超过 次时，选择套餐最划算． 【答案】（1） （2）当时，选套餐省钱；当时，、费用一样；当时，选套餐省钱 （3） 【解析】 【分析】（1）根据种年卡套餐的收费方式列函数关系式即可； （2）利用，种年卡套餐的收费方式得出解析式，再分类讨论即可； （3）由题意得，分别令，，求出的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，当时，只收年卡费， ； 当时，超出部分每次元， ； 综上，； 【小问2详解】 解：当时，套餐的表达式为， 当时，套餐的表达式为， 又令， ，则； 当时，，选套餐省钱； 当时，、费用一样； 当时，，选套餐省钱； 当时，，，恒有，选套餐省钱； 综上，当时，选套餐省钱；当时，、费用一样；当时，选套餐省钱； 【小问3详解】 解：由题意得，， 令， ， 则； 令， ， 则， 由（2）得当时，， 可得超过次时，选套餐最划算． 22. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．将该“函数求值机”得到的几组与的对应值记录在下面表格中． 输入 … … 输出 … … （1） ； （2）表格中有一个的值记录错误，排除后，利用正确的数据求出与的值； （3）当输出的值为时，求输入的的值． 【答案】（1）8 （2）的值为，的值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． （1）将代入，求出答案即可； （2）将，代入得二元一次方程组，解方程组得出答案； （3）将分别代入两个关系式，再求解判断即可． 【小问1详解】 解：由时，，可得 当时，； 【小问2详解】 解：观察表格可知，输入时，的值是错误的， 把，和，代入得： ， 解得， ∴的值为，的值为； 【小问3详解】 解：在中，令得： ， 解得（不满足，舍去）， 在中，令得： ， 解得； ∴输入的的值是． 23. 某校为了解该校七年级和八年级学生的数学学习情况，从这两个年级的学生中，各随机抽取了60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制，且成绩均为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级数学成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）； b．七年级学生数学成绩在这一组是： 70，71，71，72，76，76，77，78，78，78，79，79，79，79 c．七年级，八年级学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）在此次测试中，某七年级学生A的数学成绩为76分，某八年级学生B的数学成绩为71分，学生成绩排名更靠前的是________（填“A”或“B”），理由是_________________________________________； （3）若该校七年级有1200名学生，八年级有600名学生，假设该年级七、八年级学生全部参加此次测试，估计该校七年级和八年级学生中数学成绩超过70分的总人数． 【答案】（1） （2）学生成绩排名更靠前的是B，理由如下： ∵在此次测试中，某七年级学生A的数学成绩为76分，中位数为分， ∴七年级有一半及以上的学生的数学成绩比学生A高， ∵某八年级学生B的数学成绩为71分，中位数为分， ∴八年级有一半及以上的学生的数学成绩比学生B低， ∴学生成绩排名更靠前的是B； （3）1100 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义进行求解即可； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）分别求出抽取的60人中，七年级、八年级成绩超过70分的人数占比，再求出总人数即可． 【小问1详解】 解：∵，七年级抽取学生人数为60名， ∴第30，31名学生的数学成绩在，且分别为78，79， ∴（分）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级： 抽取的60人中，成绩超过70分的人数为（人），占比为． 七年级共有1200人，因此超过70分的人数约为（人）． 八年级： 八年级的中位数是，说明成绩高于分的人数占一半，即60名样本中，超过70分的人数约为30人，占比为， 八年级共有600人，因此超过70分的人数约为（人）． ∴总人数为（人）． 24. 结合图形，证明以下结论： （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， . 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明． （2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $