5.5 三元一次方程组 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、方法应用、综合拓展三层设计，覆盖三元一次方程组的定义、解法及应用，梯度合理，助力新授课知识内化与思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三元一次方程组定义、基本消元法|以单选、填空为主，如定义辨析（第1题）、直接消元（第2题），强化抽象能力| |中档|解法优化、简单应用|结合实际情境，如天平平衡（第5题）、购物问题（第6题），培养运算能力与模型意识| |综合|复杂应用、数学文化|融入古代数学（第8题）、方案设计（第16题），提升推理能力与应用意识|

5.5 三元一次方程组 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 3．已知方程组，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③ 5．如图，有A，B，C三种砝码，按如图方式放在天平两边的托盘上，天平都能平衡，则一个B砝码和一个C砝码的质量比为（     ） A． B． C． D． 6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（    ）元 A．33 B．34 C．35 D．36 7．利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm 8．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 二、填空题 9．已知，则的值为________． 10．含有________个未知数，并且所含未知数的项的次数都是________，这样的方程叫做三元一次方程．例如：x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20 11．如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 12．若三元一次方程，当，时，，则的值为________． 13．某项工程进行招标，甲、乙两工程队承包 天完成需人民币1800元，乙、丙两工程队承包 天完成需人民币1500元，甲、丙两工程队承包 天完成需人民币1600元，现要求由某队单独承包且在一星期内完成，所需费用最省，则被招标的应是______工程队． 三、解答题 14．解方程组 (1) (2) 15．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 16．一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，要求三种车同时参与运货，请求出几种车型的辆数，并判断哪种方案运费最省． 17．【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足……①，……②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？ (3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 18．阅读材料，善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下， 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组； （2）已知x、y、z，满足 试求z的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A B B D A 1．【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】根据三元一次方程组的定义（方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是三元一次方程组，则此项符合题意； B、方程组中含有4个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； C、方程组中含有2个未知数，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； D、方程组的每个方程中含未知数的项的次数不都是1，不是三元一次方程组，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，熟记三元一次方程组的概念是解题关键． 2．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】解三元一次方程组时，优先消去系数最简单、最易消去的未知数，观察方程组中各未知数的系数，y的系数更便于直接消元，能让计算更简便． 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 3．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】把三个方程相加即可得到的值． 【详解】解：， ①＋②＋③，得： ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键． 4．【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】观察发现，第三个方程不含z，故前两个方程相加小区z，可将三元方程转化为二元一次方程组来求解． 【详解】解：解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为①②． 故选：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法． 5．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c，根据天平列出等式求解即可． 【详解】解：设A，B，C三种砝码的质量分别为a，b，c， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∴一个B砝码和一个C砝码的质量比为． 6．【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值． 【详解】解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元． 列方程组得：， ①②得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解． 7．【答案】D 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解． 【详解】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm， 由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80， 由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=72， 两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152， 解得：h=76cm． 故选 D． 【点睛】此题主要考查了方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力．关键是看懂图的意思，找出图中所表示的等量关系． 8．【答案】A 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可 【详解】解： 由，得， 由，得， 由，得， ∴， 由，得， 由，得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应． 9．【答案】1 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解． 【详解】解： 得 ∴ 故答案为：． 10．【答案】 三 1 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【解析】略 11．【答案】1 【知识点】三元一次方程组的应用、正方体相对两面上的字 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字．根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 12．【答案】1 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程，一元一次方程的应用，关键是能得出关于的一元一次方程．把，，代入三元一次方程得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】把，，，代入三元一次方程得： ， 解得：， 故答案为． 13．【答案】乙 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．依据题意，应先根据工作量的等量关系求得三队单独完成这项工程需要的天数，继而求出甲、乙、丙三队的工作效率，再根据费用求得三队一天的工作报酬，最后算得总费用，比较即可． 【详解】解：由题意，设甲、乙、丙的工作效率为x、y、z， ∴．∴． 又甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元， 则． ∴． ∴由甲队单独承包，费用是（元）． 由乙队单独承包，费用是（元）． 而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少． 故答案为：乙． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组． （1）先将第二个方程去分母简化，然后使用加减消元法求解； （2）通过加减消元先求出，得到关于和的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 将第二个方程乘以2，得 ，即 方程组化为 用第一个方程减去第二个方程，得 ，解得 将 代入 ，得 ，解得 ∴原方程组的解为 （2）解： ①+②，得 将④代入③，得 ，解得 将 代入①，得 将 代入②，得 ⑥-⑤，得 将 代入⑤，得 ∴原方程组的解为 15．【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握利用整体思想求解方程是解题的关键；根据题意可把整体代入求解z，然后再求解方程组即可． 【详解】解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 16．【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)①甲9辆，乙6辆，丙3辆；②甲10辆，乙2辆，丙6辆；方案②最省 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用： （1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案．分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）解：设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是正整数，且三种车共18辆要求同时参与 ∴x与y都不能大于16， 解得或． ∴共有两种方案：①甲车9辆，乙车6辆，丙车3辆；②甲车10辆，乙车2辆，丙车6辆； 两种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）； ∵， ∴方案②最省． 17．【答案】(1) (2)购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元． (3)2 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的应用 【分析】（1）分别①-②，①+②即可求得； （2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，根据题意得三元一次方程组，①×2-②求得x+y+z=6，即可解决问题． （3）根据“3*5=16，4*8=30”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，利用2×①-②即可求出结论． 【详解】（1）解：， ①-②得x-y=-1， ①+②得3x+3y=15， ∴x+y=5， 故答案为：-1，5； （2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元， 根据题意，得：， ①×2-②，得：x+y+z=6， ∴2x+2y+2z=2×6=12， 答：购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元． （3）依题意得： ， 由2×①-②可得2a+2b+c=2， 即2*2=2a+2b+c=2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18．【答案】（1）；（2）z=2 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）将②变形后，把①代入解答即可； （2）将原方程变形后利用加减消元解答即可． 【详解】解：（1）， 将②变形得3(2x-3y)+4y=11 ④， 将①代入④得 3×7+4y=11， ∴y=−， 把y=−代入①得x＝−， ∴方程组的解为； （2）， 由①得3(x+4y)-2z=47 ③， 由②得2(x+4y)+z=36 ④， ③×2-④×3得 -7z-14， ∴z=2． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $