期末重难点检测卷（培优卷）（考试范围：19～24章 ）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

**基本信息** 聚焦八年级下册核心知识，通过铝合金散热片比热容分析、西峡猕猴桃质量检测等跨学科情境及矩形折叠、路灯维修梯子方案等实践问题，考查几何直观、数据意识与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、函数概念、多边形内角和|结合数轴与函数图像，考查抽象能力| |填空题|6/18|函数表达式、菱形判定、规律探究|第15题圆环长度规律，体现数学建模| |解答题|9/72|勾股定理、统计分析、四边形综合|第24题路灯维修梯子方案，融合几何推理与实际应用；第23题矩形折叠，发展空间观念|

期末重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：19 ~ 24章（八年级下册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西·期末）如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东江门·一模）如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·云南昆明·二模）某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（　　） A．投篮命中数量的平均数是4.8 B．样本为20名学生 C．投篮命中数量的中位数是3 D．投篮命中数量的众数是4 6．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： 对以上方案的判断，你认为正确的是：（    ） A．甲方案可行，乙方案不可行 B．甲方案不可行，乙方案可行 C．甲乙两方案均可行 D．甲乙两方案均不可行 9．（2026·河南驻马店·二模）金属铝因其较大的比热容常被用作散热片材料，如计算机的中央处理器（CPU），工作时发热显著，常采用铝合金散热片与风扇组合冷却，以有效散发计算机运行过程中产生的热量．物理研究表明，物质的比热容会随温度的变化而变化，如图1为金属铝的比热容随温度变化的函数图象，如图2为信息窗，下列判断正确的是（   ） A．铝的比热容随温度的升高而减小 B．铝的比热容在范围内比在范围内随温度变化得慢 C．一定质量的铝吸收相同的热量，的铝比的铝的温度变化大 D．一定质量的铝从升高至吸收的热量比从升高至吸收的热量多 10．（2026·河南驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；……；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若，用含的式子表示为___________． 12．（25-26八年级下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，那么__________． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 14．（2026·河南周口·模拟预测）西峡猕猴桃是南阳市西峡县的国家地理标志产品，因地处温带与亚热带交界区，其果实口感细腻、维生素C含量高．某外贸公司从甲、乙两个猕猴桃农家各随机抽取个进行检测，平均质量都是克个，公司工作人员根据检测情况制成了下面的散点图，你认为外贸公司会选择______农家．（填“甲”或“乙”）． 15．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 16．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，直线，直线分别与轴交于点与点则不等式组的解集为______． 三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17．（25-26八年级下·山东济宁·期中）计算： (1)； (2)． 18．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若与成正比例，且时，，求与之间的函数表达式． 19．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在中，，、、的对边分别是a，b，c． (1)已知，，求b； (2)已知，，求c． 20．（2026·江苏南京·一模）小丽驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示． (1)汽车行驶__________后停车充电； (2)求线段所表示的与之间的函数表达式； (3)汽车在充电前、充电后的两段行驶过程中，剩余电量不超过的总时长为__________． 21．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线：相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)直接写出方程组的解． 22．（2026·江苏南京·一模）某片区共投放A、B两种品牌的共享充电宝，投放数量的折线统计图如图所示． (1)求该片区A品牌充电宝投放数量的中位数； (2)设该片区A品牌充电宝投放数量的方差为，B品牌充电宝投放数量的方差为，则__________；（填“>”“=”或“<”） (3)下列结论中，所有正确结论的序号是__________． ①从2020到2025年，该片区的充电宝投放总量逐年增加； ②从2020到2025年，该片区品牌充电宝投放量占总投放量的比重逐年下降； ③从2020到2025年，该片区品牌充电宝投放量年增长率最高的一年是2023年． 23．（25-26八年级下·福建莆田·期中）实践探究：矩形的折叠 【实践操作】 如图所示，将该矩形沿某条线折叠，使点C与点A重合，折痕为（点E在上，点F在上） 【问题探究】 (1)连接、，猜想此时四边形的形状，并证明结论 (2)若，，求折痕的长度． 24．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 25．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，已知为等腰直角三角形，点、分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)求关于的函数关系式，并标明自变量的取值范围； (2)若的面积记为，试求关于的函数关系式； (3)如果的面积等于，请直接写出点的坐标和的形状． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：19 ~ 24章（八年级下册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是三次根式，不是二次根式，故A不符合题意； B．是二次根式，被开方数3不含分母，也不含能开得尽方的因数，故B符合题意； C．的被开方数含有分母，故C不符合题意； D．，被开方数含有分母，故D不符合题意． 2．（25-26八年级下·山西·期末）如图，数轴上的点A所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 3．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，据此进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项C中对于的每一个值，有两个值与其对应，不符合函数的定义，不是函数，其余选项中，对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，是函数. 4．（2026·广东江门·一模）如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形内角和公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ∴． 故选：A． 5．（2026·云南昆明·二模）某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（　　） A．投篮命中数量的平均数是4.8 B．样本为20名学生 C．投篮命中数量的中位数是3 D．投篮命中数量的众数是4 【答案】D 【分析】根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可． 【详解】解：A．投篮命中数量的平均数是，选项说法错误，不符合题意； B．样本为20名学生的定点投篮命中数量，选项说法错误，不符合题意； C．共20个数据，中位数为4，选项说法错误，不符合题意； D．投篮命中数量的众数是4，选项说法正确，符合题意． 6．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象找出的图象在的图象上方时，对应的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴由图象可得，当时，， 即不等式的解集为． 7．（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 8．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取，的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： 对以上方案的判断，你认为正确的是：（    ） A．甲方案可行，乙方案不可行 B．甲方案不可行，乙方案可行 C．甲乙两方案均可行 D．甲乙两方案均不可行 【答案】C 【分析】甲方案，由平行四边形的性质得，，则，由，、分别是、的中点，得，可证明，得，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：甲方案：四边形是平行四边形， ，， ， 是对角线的中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形；故甲方案正确； 乙方案：于点，于点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形，故乙方案正确； 综上所述，甲乙两方案均可行． 9．（2026·河南驻马店·二模）金属铝因其较大的比热容常被用作散热片材料，如计算机的中央处理器（CPU），工作时发热显著，常采用铝合金散热片与风扇组合冷却，以有效散发计算机运行过程中产生的热量．物理研究表明，物质的比热容会随温度的变化而变化，如图1为金属铝的比热容随温度变化的函数图象，如图2为信息窗，下列判断正确的是（   ） A．铝的比热容随温度的升高而减小 B．铝的比热容在范围内比在范围内随温度变化得慢 C．一定质量的铝吸收相同的热量，的铝比的铝的温度变化大 D．一定质量的铝从升高至吸收的热量比从升高至吸收的热量多 【答案】C 【详解】解：A．由图象可知，铝的比热容随温度的升高而增大，故选项A说法错误； B．由图象可知，铝的比热容在范围内的图象比在范围内的图象更陡，变化更快，故选项B说法错误； C．由图象可知，铝在时的比热容小于在时的比热容，质量和吸收的热量相同时，根据可知，的铝比的铝的温度变化大，故选项C说法正确； D．铝在范围内的比热容比在范围内的比热容小，根据可知，升高相同的温度，比热容越大，吸收的热量越多，故一定质量的铝从升高至吸收的热量比从升高至吸收的热量少，故选项D说法错误． 10．（2026·河南驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；过点作x轴的垂线，交直线于点，以为边向右作正方形；……；按这样的规律进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意及一次函数的表达式及点，求出x轴上线段对应的规律为，及对应正方形的边长对应的规律，总结规律便可求出点的坐标，即可得出当时，点的坐标． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线，交直线于点， ∴，点， ∵以为边向右作正方形， ∴， ∴，点， 把点代入，直线的表达式，得， ∵以为边向右作正方形， ∴，点， ∴，，点， 把点代入，直线的表达式，得， ∵以为边向右作正方形， ∴，点， ∴，，点． ∵，，，， ∴； ∵，，，， ∴． ∴点的坐标为． ∴点的坐标为． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若，用含的式子表示为___________． 【答案】 【详解】解：． 12．（25-26八年级下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，那么__________． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【答案】② 【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 选②， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 14．（2026·河南周口·模拟预测）西峡猕猴桃是南阳市西峡县的国家地理标志产品，因地处温带与亚热带交界区，其果实口感细腻、维生素C含量高．某外贸公司从甲、乙两个猕猴桃农家各随机抽取个进行检测，平均质量都是克个，公司工作人员根据检测情况制成了下面的散点图，你认为外贸公司会选择______农家．（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】根据散点图可以看出，甲农家的猕猴桃质量更集中，波动更小，说明甲的猕猴桃质量更稳定． 【详解】解：已知甲乙猕猴桃的平均质量都是克个，根据散点图可以看出，甲农家的猕猴桃质量更集中，波动更小，说明甲的猕猴桃质量更稳定， 因此外贸公司会选择甲农家． 15．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】先分析单个圆环、两个圆环扣在一起时的长度，找出每增加一个圆环长度的变化规律，再据此列出个圆环扣紧时总长度与的关系式． 【详解】解：∵单个圆环的外圆直径为，环宽为， ∴每增加一个圆环，长度增加， ∵个圆环扣在一起时，第一个圆环长度为，后面还有个圆环， ∴总长度， ∵， ∴． 16．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，直线，直线分别与轴交于点与点则不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】根据函数图象即可解答． 【详解】解：观察函数图象得到不等式的解集为， 不等式的解集为； 所以不等式组的解集为． 三、解答题（9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17．（25-26八年级下·山东济宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)5 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，然后计算加减法即可； （2）先利用完全平方公式计算乘法、化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若与成正比例，且时，，求与之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义及一次函数表达式的求解，解题的关键是根据“与成正比例”的关系设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出比例系数．根据正比例函数的定义，设，将、代入解析式，求出比例系数的值；最后将解析式整理为与的一次函数形式． 【详解】解：∵ 与成正比例， ∴ 设（为常数，且）． 将，代入上式，得， 即， 解得． 将代入，得． ∴与之间的函数表达式为． 19．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在中，，、、的对边分别是a，b，c． (1)已知，，求b； (2)已知，，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键， （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 20．（2026·江苏南京·一模）小丽驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示． (1)汽车行驶__________后停车充电； (2)求线段所表示的与之间的函数表达式； (3)汽车在充电前、充电后的两段行驶过程中，剩余电量不超过的总时长为__________． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度可得答案； （2）求出行驶过程中，每千米的耗电量，再用结束充电时的电量减去充电后行驶过程中消耗的电量即可得到答案； （3）求出充电前，电量恰好为的时间，进而可求出充电前剩余电量不超过的时长；再求出充电后电量恰好为的时间，以及行驶的时间，进而求出充电后剩余电量不超过的时长，据此可得答案． 【详解】（1）解：， ∴汽车行驶后停车充电； （2）解：由题意得，行驶过程中，每千米的耗电量为， ∴线段所表示的与之间的函数表达式为 （3）解：， ∴汽车在充电前，剩余电量不超过的时长为， 在中， 当时，，解得， ，， ， ∴汽车在充电后，剩余电量不超过的时长为， ， ∴汽车在充电前、充电后的两段行驶过程中，剩余电量不超过的总时长为． 21．（25-26八年级下·山东泰安·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线：相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)直接写出方程组的解． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）令可得坐标，把点代入直线可得点，然后利用待定系数法得出函数解析式即可； （2）根据题意及图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由直线得，当时， 解得， ， 将点代入直线中得，即， ， 把代入直线得，解得， 直线的解析式为； （2）解：由已知可知方程组的解为直线与直线：交点M的横纵坐标、纵坐标， 故方程组的解为． 22．（2026·江苏南京·一模）某片区共投放A、B两种品牌的共享充电宝，投放数量的折线统计图如图所示． (1)求该片区A品牌充电宝投放数量的中位数； (2)设该片区A品牌充电宝投放数量的方差为，B品牌充电宝投放数量的方差为，则__________；（填“>”“=”或“<”） (3)下列结论中，所有正确结论的序号是__________． ①从2020到2025年，该片区的充电宝投放总量逐年增加； ②从2020到2025年，该片区品牌充电宝投放量占总投放量的比重逐年下降； ③从2020到2025年，该片区品牌充电宝投放量年增长率最高的一年是2023年． 【答案】(1)615 (2) (3)①② 【分析】（1）根据折线统计图和中位数的定义求解即可； （2）根据方差反映数据的波动大小求解即可； （3）分别计算每个选项的投放总量，总投放量的比重，投放量年增长率，再比较即可． 【详解】（1）解：由折线统计图中的数据可得，A品牌充电宝投放数量的中位数为； （2）解：由折线统计图可得，A品牌充电宝投放数量的波动小，B品牌充电宝投放数量的波动大， 故； （3）解：①从2020到2025年，该片区的充电宝投放总量计算分别为， 故该片区的充电宝投放总量逐年增加，故①正确； ②从2020到2025年，该片区品牌充电宝投放量占总投放量的比重分别为，，，，，，故比重逐年下降，故②正确； ③从2020到2025年，该片区B品牌充电宝投放量年增长率分别为：，，，，，故增长率最高的是2021年，故③错误． 23．（25-26八年级下·福建莆田·期中）实践探究：矩形的折叠 【实践操作】 如图所示，将该矩形沿某条线折叠，使点C与点A重合，折痕为（点E在上，点F在上） 【问题探究】 (1)连接、，猜想此时四边形的形状，并证明结论 (2)若，，求折痕的长度． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) 【分析】（1）由折叠知，，，，可证明，即可证明； （2）由勾股定理求出，，再运用菱形面积即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明：由折叠知，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）可知，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 24．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长． 【详解】（1）解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ． 是直角三角形． ， 即灯杆与地面垂直； （2）解：由题意得（）． ∵， ∴在中，（）， （）． 答：的长为． 25．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，已知为等腰直角三角形，点、分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)求关于的函数关系式，并标明自变量的取值范围； (2)若的面积记为，试求关于的函数关系式； (3)如果的面积等于，请直接写出点的坐标和的形状． 【答案】(1) (2) (3)，等腰直角三角形 【分析】（1）通过两点坐标求出直线的解析式，得到与的关系； （2）以为底、的纵坐标为高，列面积公式得到与的关系； （3）代入面积值求出和点的坐标，再用勾股定理的逆定理判断三角形形状． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将点，代入， 可得， 解得， 故关于的函数关系式为． （2）解：设点的坐标为， ， ． （3）解：的面积等于， 则， 解得，则点的坐标为， 可得，， ， 由，可得， 故是等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $