第15章 轴对称 分层练习-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以轴对称概念为起点，通过分层训练系统整合性质应用、分类讨论及辅助线构造方法，形成从概念到综合应用的递进逻辑链，发展几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|16题（如第3、8题）|概念辨析、性质应用、分类讨论|轴对称概念→垂直平分线/角平分线性质→等腰三角形性质| |拔高训练|3题（如第21题）|辅助线构造、动态转化、全等证明|特殊三角形轴对称性→综合证明与计算→实际应用模型|

第15章轴对称分层练习-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础巩固 1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形三条边距离相等的点是（   ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的一个角是，则它的顶角可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 4．点关于x轴对称的点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如果点在轴上，那么点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．下列语句中，正确的是（    ） A．等腰三角形的对称轴就是底边上的中线 B．等腰三角形的中线与角平分线重合 C．等腰三角形腰上的高也是中线的三角形是等边三角形 D．角可看作是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形 8．如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（ ） A． B． C． D． 9．如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 11．若等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数是_____． 12．已知点关于x轴对称的点在第一象限，则a的取值范围是________． 13．中，，，在上取点D，使，则_____． 14．如图，平分，，，于点，，则___________． 15．如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 16．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．，则的值为_____________． 17．如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 18．如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 19．如图，在池塘两岸有四个点、、、，且它们在同一直线上（、之间不能直接测量），点、在直线异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若连接、，则与的数量关系是； (3)现测得，，求池塘两岸的宽度． 拔高训练 20．如图中，，点，，分别是，，上的点，． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长； (3)把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 21．如图①，已知是等边三角形，点E在线段上，点D在直线上，且，以为边作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图②，若点E在线段的延长线上，其它条件不变，直接写出，，之间的数量关系． 22．如图1，已知，，轴于点B，轴于点D． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点．求证：为中点； (3)如图3，为第一象限内任意一个点，为轴正半轴上一点，连接、，若，且，为中点，连接，，当点的位置发生改变时，的度数会发生改变吗？若改变，说明理由；若不变，请求出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C A B C B D C 1．B 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、它不是轴对称图形； B、它是轴对称图形； C、它不是轴对称图形； D、它不是轴对称图形． 2．B 【分析】根据角平分线上的点到该角的两边的距离相等可得到三角形三边距离相等的点为该三角形三个内角的角平分线的交点，据此可得答案． 【详解】解：∵到三角形三边距离相等的点为该三角形三个内角的角平分线的交点， ∴由作图方法可知，只有B选项中的图形满足题意． 3．C 【分析】由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】解：当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 综上，它的顶角可能是或． 4．C 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接按规律计算即可得到答案． 【详解】解：已知点坐标为， ∴点关于x轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 5．A 【分析】连接，根据直角三角形两锐角互余得，再利用线段垂直平分线的性质得，继而得到，进而可得，然后根据含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．B 【分析】先根据轴上点的纵坐标为求出的值，再确定点的坐标，最后根据对称规律求出对称点坐标即可． 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 解得， 将代入点的坐标，得，， ∴点的坐标为， ∵关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点坐标为． 7．C 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质以及对称轴的定义，结合等腰三角形的性质以及对称轴是直线的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故该选项说法不正确； B、等腰三角形底边上的中线与顶角的角平分线重合，故该选项说法不正确； C、原三角形是等腰三角形，若腰上的高同时是这条腰的中线，说明高垂直平分该腰，根据垂直平分线的性质可得底边与腰长相等，因此三角形三边相等，是等边三角形，故该选项说法正确； D、角可看作是以它的角平分线所在的直线为对称轴的轴对称图形，故该选项说法不正确； 8．B 【分析】连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴， 故选：B． 9．D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 10．C 【分析】连接，由线段的垂直平分线的性质得，转化为，当B，M，D共线时，由等腰三角形三线合一得，根据面积求出即可． 【详解】解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ， ，当B，M，D共线时等号成立， D为的中点，， ， ，面积为20， ， ， 的最小值为8． 11．或 【分析】分等腰三角形顶角为锐角和顶角为钝角两种情况讨论求解． 【详解】解：当等腰三角形的顶角为锐角时，在锐角中， ，于点，， ， 当等腰三角形的顶角为钝角时，在钝角中， ，交的延长线于点，， ， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数是或． 12． 【分析】先求出点关于x轴对称的点的坐标，再根据第一象限内点的横坐标为正，纵坐标为正，据此列不等式求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点为， ∵点关于x轴对称的点在第一象限， ∴， ∴， 即a的取值范围是． 13．/30度 【分析】先根据等腰三角形性质与三角形内角和定理求出的底角度数，通过构造等边三角形得到全等三角形，再利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质计算的度数． 【详解】解：∵， ∴． 以为边，在外侧作等边，连接． 则，． ∴． ， ． 又， ． ∴，，． ， 是等腰三角形，，． ∴． 三点共线， ． 14． 【分析】过点作，利用角平分线性质得到，再结合平行线、三角形外角性质可证为含角的直角三角形，结合求出，进而得到． 【详解】解：如图，过点作， 平分，，， ，， ， ， ， ， ， ． 15．10 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 在的垂直平分线上， ， 的周长 ． 16． 【分析】由角平分线的性质得到，再证，得，然后由等腰三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：是的角平分线，，，垂足分别是E、F， ，， 在和中， ， ， ， 又是的角平分线， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴． ∵， ∴， 即的周长为． 18．(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1)证明：， ， 在和中，， ； (2)； (3)． 【分析】（1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件通过“”证明全等； （2）根据证明，即可得到与的数量关系； （3）根据得到，根据30度角的性质作答即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图， ∵， ∴，，， ∴，， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 20．(1)证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3)这个命题不成立，理由如下： 如图，在和中，，，，无法判定和全等， ∴不能得到与相等． 【分析】（1）利用三角形角角边对应相等判定和全等，即可证得； （2）同（1）利用三角形角角边对应相等判定和全等，即可证得，再利用已知条件，，求得的长； （3）边边角相等无法判定两个三角形全等，从而无法证得与相等． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． （3）略 21．(1)证明：是等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ； (2)；理由如下： 为等边三角形， ，， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； (3) 【分析】（1）由和均为等边三角形，可得，，，两边同时减去公共角，推得，根据判定定理即可证明； （2）先借助第一问的全等结论得，再结合推导角相等，结合等边三角形的角度性质证得、，利用证明，得到，由等量代换得； （3）先同理由证，得；再结合推导对应角相等，用证，得．此时点在延长线上，，代入变形后可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ； ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即． 22．(1)证明：∵，，轴于点B，轴于点D， ∴，，， ∴； (2)证明：由①得，，，， 过点C作轴交于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为中点； (3)的度数不变，为 【分析】（1）由题意得，，，再利用“”即可证明； （2）由①得，，，，过点C作轴交于点E，则，证明，得出，即可得证； （3）延长到点H，使，连接，延长交的延长线于点，连接，先证明，得出，，再证明，得出，，求出，从而可得为等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的度数不变，为， 延长到点H，使，连接，延长交的延长线于点，连接， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $