第二十六章二次函数章末综合训练2026年暑假预习人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数概念-性质-应用全链条，通过基础辨析与综合建模训练，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|选择1-4、填空13-16|概念判断、图像开口/对称轴/顶点辨析|从定义生成到性质推导，构建二次函数核心要素认知| |图像变换与综合辨析|选择5-8、填空17-18|平移变换、多函数图像综合、最值计算|性质应用拓展，衔接几何直观与空间观念| |实际应用与建模|选择9-12、解答19-25|面积/利润最值、运动轨迹、跨学科问题|从数学模型到现实问题解决，强化应用意识与数据观念|

第二十六章 二次函数章末综合训练 一、选择题 1.下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.对于抛物线，下列说法正确的是（      ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3.将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 4.将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 5.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 6.已知，，是抛物线上的点，则(     ) A. B. C. D. 7.已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 8.某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 9.长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 10.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 11.已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 12.如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 二、填空题 13.向空中发射一枚信号弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为若此信号弹在第秒与第秒时的高度相等，则在          秒时信号弹所在高度最高． 14.已知二次函数，当时，的值随值的增大而增大，则实数的取值范围是          ． 15.将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 16.若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在第 象限. 17.如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是 ．  18. 如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为 ．   三、解答题 19.已知二次函数． 求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象． 根据图象，直接写出： 当函数值为正数时，自变量的取值范围． 当时，函数值的取值范围． 20.已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 21.开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 22.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 24.2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 25.如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2) 若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 第二十六章 二次函数章末综合训练答案 1、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A A D D C C C B C B 二、填空题 13. 11 14.   15. 16. 四 17. 18. 80 三、解答题 19.解：， 顶点坐标为图像如图． 当时，函数值为正数． 当时，函数值的取值范围为 20.（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 21.（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 22.（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 23. （1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． （2） 解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． （3） 解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 24. （1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2） 解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 25.（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $