培优专练+三年真题26双曲线、抛物线-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦双曲线与抛物线高考核心考点，涵盖定义理解、标准方程求法、焦点焦距、渐近线、离心率等9大考点，按知识逻辑分层构建体系。通过考点梳理明确考查要求，方法指导提炼解题策略，真题训练（含三年高考真题与培优专练）强化应用，助力学生系统突破难点。 资料以“问题解决”为导向，如在焦点三角形问题中，引导学生用数学思维分析定义与几何关系，结合余弦定理推导面积公式，培养推理能力。设置基础到综合的分层练习，配合真题变式训练，帮助学生用数学语言规范表达，高效提升应考能力，为教师精准把控复习节奏提供实用参考。

培优专练+三年真题26双曲线、抛物线 【考点一】双曲线、抛物线定义的理解 【考点六】已知方程求双曲线的渐近线 【考点二】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【考点七】根据双曲线的渐近线求标准方程 【考点三】双曲线、抛物线标准方程的求法 【考点八】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【考点四】双曲线的焦点与焦距、范围、对称性 【考点九】抛物线的范围、对称性 【考点五】双曲线的顶点、实轴、虚轴 【题型一】双曲线、抛物线定义的理解 1．（2025·四川·二模）双曲线 两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（    ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 2．（2026·河北·二模）已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·辽宁鞍山·二模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 4．（2025·四川宜宾·三模）复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．圆 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线 5．（2026·天津·一模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于两点.若，则圆的半径为__________. 6．（2025·湖南郴州·三模）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________． 【题型二】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 1．（2025·广东·一模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 3.（2025·四川成都·三模）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______. 4．（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则______. 【题型三】双曲线、抛物线标准方程的求法 1．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（）的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·吉林白山·一模）双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______． 5.（2025·河北沧州·模拟预测）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，其上一点满足. (1)求E的方程. (2)记E的右顶点为B，射线BA上两点P，Q满足. （ⅰ）若点P的横坐标为m，求点Q的坐标（用m表示）； （ⅱ）已知，，若的面积为，求. 【题型四】双曲线的焦点与焦距、范围、对称性 1．（2026·北京通州·一模）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西运城·二模）双曲线的焦距为（   ） A． B． C．6 D． 3．（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川攀枝花·一模）若双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．（2026·广西南宁·一模）已知点是双曲线C： 的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（   ） A．12 B．8 C．6 D．9 【题型五】双曲线的顶点、实轴、虚轴 1．（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．（2026·陕西榆林·二模）已知双曲线的虚轴长为，离心率为2，则该双曲线的实轴长为（    ） A．5 B．10 C． D．20 3．（2025·甘肃白银·三模）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为______． 【题型六】已知方程求双曲线的渐近线 1.（2026·河南商丘·模拟预测）若双曲线：（，）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段的垂直平分线，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·广东广州·二模）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________. 4.（多选）（2026·山东滨州·二模）已知曲线，其中，则下列结论正确的是（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是一条直线 C．若，则C是椭圆，其离心率为 D．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 【题型七】根据双曲线的渐近线求标准方程 1.（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁大连·一模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（2026·安徽马鞍山·一模）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则（    ） A．的焦距为 B．的方程为 C．的焦点到渐近线的距离为2 D． 与直线仅一个公共点 4.（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【题型八】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 1.（2026·海南海口·模拟预测）已知双曲线C：，在双曲线C左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线C的离心率e的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 2.（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 3.（多选）（2025·重庆·三模）已知双曲线C：，则其离心率可能为（ ） A．2 B． C． D． 4.（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，为双曲线：（，）上的两点. (1)求的离心率； (2)过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 【题型九】抛物线的范围、对称性 1.（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 2．（2026·广东·一模）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 3．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 4．（2025·湖南长沙·一模）已知动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为抛物线上一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________. 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 5．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 7．（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 四、解答题 10．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题26双曲线、抛物线 【考点一】双曲线、抛物线定义的理解 【考点六】已知方程求双曲线的渐近线 【考点二】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【考点七】根据双曲线的渐近线求标准方程 【考点三】双曲线、抛物线标准方程的求法 【考点八】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【考点四】双曲线的焦点与焦距、范围、对称性 【考点九】抛物线的范围、对称性 【考点五】双曲线的顶点、实轴、虚轴 【题型一】双曲线、抛物线定义的理解 1．（2025·四川·二模）双曲线 两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（    ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【分析】由双曲线的定义和性质可得； 【详解】由题意可得，即， 又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以. 故选：C 2．（2026·河北·二模）已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设准线l与x轴交于点G，过B作,垂足为.求得确定是等边三角形，再利用抛物线的定义求得进而求得即可得的值. 【详解】设准线l与x轴交于点G，过B作,垂足为.则 因为所以 因为, 根据抛物线的定义，知，，所以是等边三角形， 所以，解得 所以，, 所以，即 3．（2026·辽宁鞍山·二模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义有， 又，得，设准线与轴的交点为，则有， 所以，又，故. 4．（2025·四川宜宾·三模）复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．圆 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，可将条件转化为，再结合双曲线的定义即可判断. 【详解】设， 根据复数的几何意义知，表示复平面内点与点的距离， 表示复平面内点与点的距离， 则， 则由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的左支， 故复平面内对应的点的轨迹为双曲线的一支. 故选：B 5．（2026·天津·一模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于两点.若，则圆的半径为__________. 【答案】 【分析】设出点坐标，利用勾股定理解得坐标，求出圆半径. 【详解】由可知，. 设，则由抛物线定义可得，即圆半径为， 而点到轴距离为，，则由勾股定理可得， 解得，所以圆半径为. 6．（2025·湖南郴州·三模）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________． 【答案】/ 【分析】通过已知点所在象限和，利用直线斜率求出三角函数值，再借助正弦定理得到线段比例关系，结合三角形面积求出线段长度，最后根据双曲线定义求出的值． 【详解】由题可知，点P在第四象限，． 设．由，求得． 因为，所以，求得，即． 由正弦定理可得． 设，得．由， 得，则，， 又，解得． 故答案为：. 【题型二】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 1．（2025·广东·一模）如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义，可得，，由三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】在双曲线中：，所以， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即 又， ， 的面积为． 故选：C． 2．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 3.（2025·四川成都·三模）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______. 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得， 由，，解得或， 当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求， 因此，，为直角三角形， 所以的面积是. 故答案为：6 4．（2025·广东·一模）双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则______. 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求得，再利用余弦定理求解. 【详解】因为点在双曲线右支上，且， 则，又， 在中，由余弦定理可得，， 所以. 故答案为：.    【题型三】双曲线、抛物线标准方程的求法 1．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 2．（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（）的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义及列式可求得，后，得即可求得圆的标准方程. 【详解】过点作垂直于直线，垂足为， 则，， 因为，所以，得． 因为是抛物线上一点， 所以，得，， 则|，， 因为圆与直线相切，故圆的半径为， 故圆的标准方程为． 故选：A. 4.（2026·吉林白山·一模）双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为_______． 【答案】 【分析】由双曲线和抛物线的几何性质，结合题意，得到方程，求得的值，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 又由抛物线的准线的方程为， 因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 5.（2025·河北沧州·模拟预测）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，其上一点满足. (1)求E的方程. (2)记E的右顶点为B，射线BA上两点P，Q满足. （ⅰ）若点P的横坐标为m，求点Q的坐标（用m表示）； （ⅱ）已知，，若的面积为，求. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ii） 【分析】（1）根据双曲线定义得出，再把点代入双曲线计算得出即可求解； （2）（ⅰ）先设直线方程进而设点，再根据，计算求参； （ⅱ）应用正弦定理结合两点间距离公式计算得出正弦比. 【详解】（1）因为，故， 将代入，可得，解得， 故E的方程为. （2）（ⅰ）因为，而，故直线AB的斜率， 于是直线AB的方程为， 故.设点Q的横坐标为n，则，其中 于是， 故，于是点Q的坐标为， （ⅱ）记E的半焦距为c，则，故，. 于是， 故的面积为，解得，故， 于是，，，， 在中，由正弦定理可知， 在中，由正弦定理可知， 又， 两式作比，可得， 于是. 【题型四】双曲线的焦点与焦距、范围、对称性 1．（2026·北京通州·一模）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及标准方程求解即可. 【详解】根据双曲线的定义可得，，，且焦点在轴上， 方程可化为. 此时，，则， 所以该双曲线的焦点为. 2．（2026·山西运城·二模）双曲线的焦距为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【详解】双曲线的焦距为． 3．（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 4．（2026·四川攀枝花·一模）若双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求出双曲线的一条渐近线方程，再结合题意得到，进而求出，最后求解焦距即可. 【详解】由题意得双曲线的一条渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线平行于直线，可得， 由题意得，则，即， 可得双曲线C的焦距为，故D正确. 故选：D 5．（2026·广西南宁·一模）已知点是双曲线C： 的左焦点，过原点的直线与交于(在左支上且异于左顶点）两点，延长与交于点．若，且，则（   ） A．12 B．8 C．6 D．9 【答案】C 【分析】取双曲线的右焦点为利用双曲线的对称性可知四边形为矩形，设，再结合双曲线定义分别在和中利用勾股定理解得且，所以可知. 【详解】取双曲线的右焦点为，连接，如下图所示： 因为直线过原点，结合双曲线的对称性可知两点关于原点对称，且关于原点对称； 即四边形为平行四边形； 又，所以，因此四边形的对角线相等，即；所以四边形为矩形； 可知； 设，由可得，因此； 结合双曲线定义可得； 在中，由勾股定理可得，即； 解得； 又在中，由勾股定理可得，即； 可得，解得； 因此. 故选：C 【题型五】双曲线的顶点、实轴、虚轴 1．（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【分析】通过设等轴双曲线的通用方程，代入已知点求出参数，转化为标准方程后计算实轴长. 【详解】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为， 将点代入方程，得， 可得， 因此，双曲线的标准方程为， 可得，即， 因此，实轴长. 2．（2026·陕西榆林·二模）已知双曲线的虚轴长为，离心率为2，则该双曲线的实轴长为（    ） A．5 B．10 C． D．20 【答案】B 【分析】根据双曲线的离心率和求双曲线的实轴长， 【详解】因为双曲线的虚轴长，离心率为2，所以， 由，得，所以， 即双曲线的实轴长． 故选：B． 3．（2025·甘肃白银·三模）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据虚轴的定义，即可求解. 【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为. 故选：C 4．（2025·全国·模拟预测）已知双曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，且，则P到x轴的距离为______． 【答案】3 【分析】根据双曲线C的，得左、右顶点、的坐标，设点P的坐标，列方程组求解即可. 【详解】由双曲线C的方程：，得，所以. 设点，则，化简得：， 即，解得：（增根已舍去），所以. 所以P到x轴的距离为. 故答案为：.    【题型六】已知方程求双曲线的渐近线 1.（2026·河南商丘·模拟预测）若双曲线：（，）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，则， 即，即，解得， 故所求渐近线方程为． 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，另一条渐近线恰好是线段的垂直平分线，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意及双曲线的性质，可得渐近线的倾斜角为，代入方程，即可得答案. 【详解】设双曲线的左焦点为，原点为，线段与的另一条渐近线交于点， 则由题意可得 所以， 所以双曲线的渐近线的斜率为， 则双曲线的渐近线方程为.    故选：B. 3.（2026·广东广州·二模）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________. 【答案】 【详解】由双曲线方程为，知：双曲线的实轴长为，虚轴长为， 由题意得：，解得， 双曲线的渐近线方程为， 因此，的渐近线为. 4.（多选）（2026·山东滨州·二模）已知曲线，其中，则下列结论正确的是（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是一条直线 C．若，则C是椭圆，其离心率为 D．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 【答案】AC 【详解】A选项，时，，则C是单位圆，A正确； B选项，若，，即，则C是两条直线，B错误； C选项，若，，则C是椭圆，其中，，， 其离心率为，C正确； D选项，，，则C是双曲线，，， 渐近线方程为，D错误. 【题型七】根据双曲线的渐近线求标准方程 1.（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为． 2．（2026·辽宁大连·一模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的渐近线为，所以设双曲线方程为， 又双曲线经过点，所以，解得， 所以双曲线方程为，化为标准方程为. 3.（多选）（2026·安徽马鞍山·一模）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则（    ） A．的焦距为 B．的方程为 C．的焦点到渐近线的距离为2 D． 与直线仅一个公共点 【答案】CD 【分析】根据题意不确定双曲线焦点位置，可判断AB错误；根据双曲线的性质，可判断CD. 【详解】依题意，，即， 若双曲线焦点在轴上，则由，解得， 所以，所以焦距为， 若焦点在轴上，则，解得，所以， 所以焦距为，故A错误； 由A选项分析可知，双曲线的焦点位置不确定，方程有两个，故B错误； 若双曲线焦点在轴上，由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线， 则焦点到渐近线的距离， 同理双曲线焦点在轴上，可得，故C正确； 因为与双曲线的一条渐近线平行，故与直线仅一个公共点，所以D正确， 故选：CD 4.（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. 【题型八】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 1.（2026·海南海口·模拟预测）已知双曲线C：，在双曲线C左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线C的离心率e的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】由向量的数量积确定，进而得到渐近线的倾斜角不大于，即可求解. 【详解】任取双曲线C左支上两个不同的点都有， . 即， 即对左支上任取两个不同的点， 所以渐近线的倾斜角不大于，即 所以双曲线C的离心率. 即双曲线的离心率的最大值为. 2.（2026·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为_____． 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，然后利用双曲线的定义得到，利用直角三角形和面积公式列出关于的两个方程，求解出，进而求出离心率. 【详解】双曲线的左右焦点分别为，， 直线与双曲线的右支交于点且，的中点为，且 ， 的中点记为，的中点记为， 则，， ，则，，即，整理得①. 又，即，整理得②. 联立，解得或（舍）. 则双曲线的离心率为. 3.（多选）（2025·重庆·三模）已知双曲线C：，则其离心率可能为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】BD 【分析】分类讨论的符号，利用离心率的定义求解. 【详解】解：当时，原方程化为， 此时，，， 由，可得； 当时，原方程化为， 此时，，， ，可得 其离心率可能为或 故选：BD 4.（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，为双曲线：（，）上的两点. (1)求的离心率； (2)过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入双曲线方程可得，再代入可得，最后利用离心率公式即可求得； （2）先求出和直线的方程，再利用三角形面积公式得到点到直线的距离，联立点到直线的距离公式和双曲线方程，求出符合下支条件的点，最后即可求得直线的方程. 【详解】（1）将代入的方程，得. 将代入的方程，得，即 故离心率为. （2）由题意知，直线的方程为. 设点到直线的距离为，则，即， 由点到直线的距离公式得，所以. 又点在的下支上，由（1）知，且. 由，解得或， 由，得，解得，舍去. 所以点的坐标为或， 当时，直线的斜率为，所以方程为：； 当时，直线的斜率为，所以方程为：，即， 所以直线的方程为或. 【题型九】抛物线的范围、对称性 1.（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 2．（2026·广东·一模）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】先设正三角形的边长为，根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为， 又另外两个顶点在抛物线上， 所以，得， 所以这个正三角形的边长为6. 3．（2025·上海浦东新·二模）设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 4．（2025·湖南长沙·一模）已知动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为抛物线上一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设线段的中点为，设，则点在圆，根据，进而计算可求得的取值范围. 【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上， 设，则点在圆上，即圆， 圆心为，半径为， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 设，则， 设，则， 注意到，故，即，当且仅当时等号成立， 故.因此的取值范围是. 故答案为：. 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 3．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 4．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 5．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 二、多选题 6．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 7．（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 8．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以 ， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 【答案】 【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定、，再利用双曲线中的关系求出，最后根据离心率定义计算结果. 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 四、解答题 10．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $