培优专练+三年真题27 圆锥曲线大题-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线大题，覆盖求曲线方程与离心率、直线与圆锥曲线位置关系等八大核心题型，按基础到综合的逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用分层设计，融合培优专练与三年真题，注重培养学生数学思维与运算能力，如通过题型分类突破引导学生掌握通性通法，在有限时间内提升解题效率。助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力，是高考复习的实用教学资源。

培优专练+三年真题27 圆锥曲线大题 【题型一】 求曲线方程与离心率 【题型五】 定点与定直线问题 【题型二】 直线与圆锥曲线的位置关系 【题型六】 定值问题 【题型三】 弦长与中点弦问题 【题型七】 最值与取值范围问题 【题型四】 面积与面积最值问题 【题型八】 轨迹方程与存在性问题 【题型一】 求曲线方程与离心率 1．（2026·湖南长沙·三模）若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， (1)求双曲线标准方程 (2)点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，为双曲线：（，）上的两点. (1)求的离心率； (2)过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 3．（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 4．（2026·北京大兴·三模）已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的两个端点为顶点构成的四边形的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆相切于点，且直线斜率大于0，过线段PQ的中点作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，记的面积分别为，比较与的大小关系，并说明理由. 5．（2026·天津河西·三模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B（O为坐标原点）．点在椭圆C上，椭圆的离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点M的直线l交椭圆C于另一点N，且的面积为，求直线l的斜率． 6．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知椭圆，双曲线分别为的离心率，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的上顶点为，经过上焦点的直线与的上支相交于两点，直线分别与轴相交于两点，求的最小值． 7．（2026·安徽合肥·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上存在一点，满足，求点到双曲线的两条渐近线的距离之和． 【题型二】 直线与圆锥曲线的位置关系 8．（2026·广西崇左·一模）已知双曲线（，）的左顶点为，离心率为. (1)求C的方程； (2)过点A作直线l（斜率不为0）与C交于另一点B，过点B作l的垂线与x轴交于点D，若，求l的方程. 9．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 10．（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则. (1)求的标准方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程． 11．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：，点，其中.过点作椭圆的两条切线，切点分别为，. (1)求直线的方程，并用表示； (2)若，求点的坐标及两条切线的方程. 12．（2026·四川绵阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知曲线，点在曲线上，直线. (1)判断曲线与直线的位置关系，并证明； (2)当时，直线与直线，分别交于，两点.设与的面积分别为，，比较与的大小. 13．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左焦点为，右顶点为，短轴长为8. (1)求的方程； (2)已知点在直线上且直线的斜率为，过点的直线与椭圆相切于点（异于点）. （i）求直线的方程； （ii）求证：. 14．（2026·江苏无锡·三模）已知双曲线过点，且焦距为10. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点为直线上一点， ①若直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； ②若在线段上，直线交双曲线于两点.证明：. 【题型三】 弦长与中点弦问题 15．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆.点在椭圆外.从点作椭圆的两条切线，切点分别为. (1)求椭圆的离心率； (2)证明：直线垂直于，并求直线的方程； (3)若，求与. 16．（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）已知一个圆柱的上下底面都为椭圆，且其母线与底面垂直，若该圆柱的母线长的立方为27，过点在该圆柱下底面建立一个适当的平面直角坐标系，得到椭圆的离心率为0.5，焦点位于轴上，且其短轴长的平方为12 (1)求出椭圆的长轴的长； (2)若点为该圆柱中椭圆上面的任意一点，且为中点，是以点为中点的一条弦，且直线的方程为：. （i）探究与所满足的等式关系； （ⅱ）设点到平面的距离长度为，试求出的最小值. 17．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知双曲线的离心率为，虚轴长为2． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与y轴交于点，与双曲线C交于A，B两点，若. （i）求t的所有可能值； （ii）固定，其中t取（i）中所有可能值的最大值，，设为平面中不在y轴上的动点，使得的平分线过定点.若Q为双曲线C上任意一点，求的最小值． 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，F是抛物线的焦点，M是抛物线C上的一点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过焦点F作直线交抛物线C于A，B两点，直线AO（O为C的顶点）交C的准线l于点P，求证：； (3)在（2）的前提下，求的最小值． 【题型四】 面积与面积最值问题 19．（2026·陕西·三模）已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系 中，以椭圆 （ ）与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 ， ，点 在第三象限且在椭圆 上.直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . ①是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②求四边形 面积的最大值. 21．（2026·云南玉溪·模拟预测）在平面直角坐标系中，位于轴右侧的动点到点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知不重合的两点，均在上， ①若线段的中点在直线上，且，求直线的方程； ②若直线与轴正半轴相交，且与圆相切，求面积的最小值． 【题型五】 定点与定直线问题 22．（2026·山东威海·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心和顶点重合），过点作轴的垂线交椭圆于，两点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点． ①求面积的最大值； ②直线是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由． 23．（2026·山东青岛·模拟预测）已知椭圆：的上顶点为，离心率为．过点的直线与交于点，点在第一象限，过点的直线与交于点．设点，直线和直线关于直线对称，直线与直线交于点． (1)求的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设，是椭圆上的两点，在（2）的条件下，若直线的斜率为直线的斜率的2倍，求证：直线过定点． 24．（2026·江西宜春·模拟预测）已知点，分别是椭圆的左、右顶点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若点是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心恒在定直线上． 25．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． (1)求的方程； (2)求直线与的斜率之积； (3)设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 26．（2026·广东中山·三模）双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （附：双曲线以点为切点的切线方程为） (1)求双曲线的标准方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上． 27．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 28．（2026·西藏林芝·二模）设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点． (1)求抛物线的方程； (2)当最小时，求直线的方程； (3)设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 29．（2026·河南安阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是上的动点且异于坐标原点.当时，. (1)求的方程. (2)若，且上存在异于的两点，使得是等边三角形.设的中心的轨迹为曲线. （i）求的方程； （ii）点在的准线上运动，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【题型六】 定值问题 30．（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 31．（2026·天津武清·模拟预测）已知椭圆：（）的离心率为，，，分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于，的一个动点，面积的最大值为． (1)求的方程； (2)过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 32．（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 33．（2026·山东·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为 上一点，当 轴时， . (1)求 的方程: (2)当 在 上运动时，直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值，求 的值. 34．（2026·四川成都·三模）已知椭圆：，离心率为，圆：． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是曲线的两个公共顶点，过点作一直线与曲线交于两点（在的上方）．过作与轴平行的直线与圆在轴上方交于点． ①证明； ②若直线，交于，求证：为定值． 35．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 【题型七】 最值与取值范围问题 36．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 37．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左右顶点分别为，，且，点在第二象限. (1)求椭圆的方程； (2)当在上时，直线与圆交于点，（点在第一象限），求与的面积之比的取值范围； (3)当时，过点的直线交于点，（点在第二象限，点的纵坐标小于0），直线与交于点，求直线与直线斜率之差的最小值. 38．（2026·安徽宿州·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点. (1)当椭圆的长轴长最小时，求椭圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方）.将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直. ①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线与平面所成角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值. 39．（2026·云南·三模）在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)当在圆上运动时，求点的轨迹方程； (2)过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为. （i）直线与轴的交点为，求点的坐标； （ii）求的取值范围. 40．（2026·江苏南京·模拟预测）双曲线的左右顶点为，其渐近线上有一点，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交于点，点在第一象限． （i）若的面积为14，求直线方程； （ii）若为钝角，过作的垂线，垂足为，求的最大值． 41．（2026·山东日照·三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线C：（）的左，右焦点为，，直线l交C于A，B两点，点在C上．且当为等腰三角形时，． (1)求C的方程； (2)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点Q即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． ①当M为C的右顶点时，若，求l与x轴的交点的坐标； ②当l过点时，记的费马点为P，，，的面积分别为，，，求的最小值． 42．（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若离心率时，求的值； (2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标； (3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围． 43．（2026·湖北武汉·三模）已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 44．（2026·广东江门·二模）已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 【题型八】 轨迹方程与存在性问题 45．（2026·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点与的距离和到：的距离之比是2，点构成的轨迹为． (1)求的方程； (2)设点在直线上，过的两条直线和与轨迹都只有一个交点，分别为与，是否存在点使得．若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 46．（2026·山西忻州·模拟预测）已知圆，动点不在圆内且不在轴下方，到圆上的点的最短距离等于到轴的距离. (1)求点的轨迹的方程； (2)直线与圆交于两点，，与曲线交于两点，，且点在，之间，是否存在使，，成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 47．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过且斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，点关于轴的对称点为. (1)证明：直线恒过定点； (2)过点作轴的垂线，交直线于点，直线与的另一个交点记为. （i）若直线的斜率为，证明； （ii）是否存在圆，使得点，，，在该圆上，若存在，求圆心的轨迹方程，若不存在，请说明理由. 48．（2026·云南保山·二模）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，设动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出相应直线的方程；若不存在，请说明理由. 49．（2026·重庆·模拟预测）已知点在圆上运动，过点作轴的垂线，垂足为，点满足条件. (1)求点的轨迹的方程； (2)在点的轨迹上存在两点、，使得以为直径的圆恰与交于点，过点作直线的垂线，垂足为. （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在点左侧时，若是上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，始终与该圆相切.若存在，求；若不存在，说明理由. 50．（2026·河南商丘·模拟预测）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量，叫作把点 绕点逆时针方向旋转 角得到点. (1)将曲线（）绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，求实数的取值范围. (2)已知曲线 ：. （ⅰ）求证：曲线 关于直线对称. （ⅱ）已知直线：，探究：是否存在，，使得直线在曲线 的上方，若存在，分别写出，满足的条件；若不存在，请说明理由. 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 2．（2026·天津·高考真题）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 3．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 6．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 7．（2026·北京·高考真题）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，．点关于直线的对称点为，直线与直线交于点．设与的面积分别为与． (1)求椭圆的方程； (2)若，求的值． 8．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 10．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 11．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 12．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． (1)求所在椭圆的离心率； (2)若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； (3)是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 13．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 15．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 培优专练+三年真题27圆锥曲线大题 【题型一】求曲线方程与离心率 【题型五】定点与定直线问题 【题型二】直线与圆锥曲线的位置关系 【题型六】定值问题 【题型三】弦长与中点弦问题 【题型七】最值与取值范围问题 【题型四】面积与面积最值问题 【题型八】轨迹方程与存在性问题 培优专练 【题型一】求曲线方程与离心率 x y 1.(2026湖南长沙三模)若双曲线标准方程为。京=1的离心率为2：且过点(5，v6), (1)求双曲线标准方程 (2)点P为双曲线右支上第一象限的点，PF,1轴，点A为双曲线左顶点，F,B为左右焦点，求直线AP方程 【详解】(4少因为离心率e=台-2，故e=2a 因为c2=a2+b2,得(2a)2=a2+b2,即4a2=a2+b2,所以b2=3a2, 双曲线过点(5,6)，将其代入方程'--1， a2 b2 36 因为6=3a2,所以示30=l,解得d=1则b2=3a2=3 因此，双曲线的标准方程为-号=1 3 (2)由PE1x轴，可知P的横坐标为2， 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 代入双曲线方程2 31,得y=9 因为P在第一象限，故y=3,即P(2,3), 直线4p的斜率6==，3-0 -x2-(1 所以直线AP的方程为y-0=1(x+),即y=x+1. y2 x2 2.(2026海南省直锆县级单位模拟预测)已知A0,3):B(4,5)为双曲线C:云左1（a>06>0)上的两点 (1)求C的离心率： (2)过点B的直线与C的下支交于点P,若△ABP的面积为12，求的方程. 【详解】(1)将(0,3)代入C的方程，得a=3. 将传5)代入C的方陛，得否拾-1,6-3 故离心率为e-匠+在v2 a (2)由题意知4B到=V4+(5-3}=2W5,直线4B的方程为x-2y+6=0 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 设点P,到线46的距离为则S心40d=12,即d-号、 由点到直线的距离公式得-2+6_2 5 =5,所以xp-2y+6=士12 又点P在C的下支上，由(1)知-号=9，且y<0, xp-2yp+6=12 xp=0[xp=-4 由-=9解料=-3 yp=-5' xp-2yp+6=-12 由y2-x2=9 ，得 ，2-24，+11=0解得y,=12±53>0：舍去 所以点P的坐标为(0，-3)或(-4，-5)， 当P0-3到时，直线的率为=5。》-2，所以方程为：y-2-3: 4-0 当P(4)时，直线，价斜率为--，所以方程为：)-5=-.即 4, 5 所以直线，的方程为y=2x-3或y=4x。 4 3。(2026四川广安候拟预)已知精圆C:号+y=1a>)的右焦点为：畅圆C上的点到P的距离爱大值为 2+V3 (1)求a和C的离心率： (②过点P2)的直线，交c于A'g两点，若p为4B的中点，求，的方程 【详解】(1)由题意可知，b=l,a2=1+c2,a+c=2+V5,得a=2,c=V5, 3 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 则c的离心率为。2 2)由)知，C:4+ 若直线斜率为0或不存在，则线段AB的中点应在坐标轴上， 故设1：y=k-+2k≠0，A5,)B5,)》 联立 *2,得 x2+4y2=4 (4K2+1x2+k(4-8k)x+4k2-4k-3=0 则x+x2= k48)=2,得k= 4k2+1 2 故1的方程为)=2+1 B 3 4(2026北京大兴三模)已知椭圆℃：怎+(a>b>0)的离心率为，，以椭圆两个焦点与短轴的两个端点为 点构成的四边形的面积为4V3 (1)求椭圆C的标准方程； (2②)过点P0,2)作直线I与椭圆C相切于点Q,且直线！斜率大于0，过线段P的中点R作直线交椭圆于A,B两点 (点A,B不在y轴上)，连结PA,PB,分别与椭圆交于点M,N,记△PQ,ANPO的面积分别为S,S2,比较S与S2 的大小关系，并说明理由 4 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 c 3 1 【详解】(1)由题意可知 2c×2b=45,解得 a2=b2+c2 a=2√2 b=√2 x2,y2 故桃圆c的标准方程为8+与1： (2)S=S;理由如下： 设切线PO的方程为y=cr+2(k>0). A(x,y),B(x,2),M(x3,3),N(x4y4), y=c+2 由女+上=1消去y得 ①， 82 1+4k2)x2+16ax+8=0 、R A B 则△=16k)2-32(1+4k2)=32(4k2-1)=0, 解得k=我合去)，将长=代入0有。 。1 x2+4x+4=0:解得xg=-2,则g=2。+2=1, 所以@2又为P0中点，则R1》: 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 因为P以PB斜率都存在，不妨设，=k=乃-2 ，62 X2 [y=kx+2 则的方程为 ，联立x2y2 PA y=x+282/ (（1+4k)x2+16kx+8=0 8 8x x3= 8,所以x(+4) 1+4当-2 x2+4y2-16y,+16 得xX1+4歌 x 8x1 8-16y+163-2y1” 则%=26+2是2，月腰人品2 -3-2y1 -2+2-2+2 则kw=片--3-2923-2y4+2 2-y1 3-x4 3(G-x)+2(x4-2)' 3-2y3-2y2 3 .3 又R山.B三点共线.期=即子-子 即得引+)=(G+⅓引。 化简得5-为5-)+-）， 2-出 2-乃=1 所以 306-)236-x)*6-】 2(y2-片)2， 所以kw-2k0,所以MN/PO:则M,N到直线PO的距离相等，设为d 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 则S.MPQ= POd=Swe,所以3=s x2y2 5.(2026天津河西三模)已知椭圆C:京+疗1（a>b>0）的右顶点为4，上顶点为B(O为坐标原点).点 M)在椭圆C上，椭圆的离心率为分 (1)求椭圆C的标准方程： 3 (②)若过点M的直线I交椭圆C于另一点N,且△MON的面积为2，求直线I的斜率. 【详解】（山由椭圆离心率e=二=} a2,得c=2、 结合2+c2”可得=a-c2=a2-2=a3 9 x2 2 12 路点的坐标代人椭圆方程。十3得。十4，解得 M1, g2 4，则， 2 a2=4b2=3 2=1 故椭圆C的标准方程为4+3 (2②①当直线，的斜率存在时，设斜半为k:则直线，的方程为y=(:-)。 即a-y+ 一k=0,如图 7 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A末 与所面方程号+写1底文。消去，并整州+)+侵小+--12-0 己知是该方程的一个根，由韦达定理得。 x42-124233 x=1 3+4k2 3+4k2 划州--+w多=-刂+(-=+ - 设到直线的距离为，则4=2 d V1+k2 则 △MON 银为sma亏+F,-收-。 36-到 3+4k2 3+4k2 2 整理得4状-4-3-6+4状，即6+钻-3)=0-解得大=0-我： ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1, 根辆的对称性可得-》比时AMOy的面积S-×3x1-满足条件 8 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 3 、1 综上，直线，的斜率为20,2或不存在。 6(206宁复银川模银预测》已知释圆C号+若=0<6同).双陆线G若-号l6,6分别为C.C的离心 2v6 率，且ee2= 3· (1)求双曲线C2的标准方程： (2)若双曲线C的上顶点为A,经过C,上焦点F的直线I与C?的上支相交于M,N两点，直线AM,AN分别与x轴相交 S心的最小值. 于P,Q两点，求Se 6 3 【详解】(1)由题可知，= 3b2 3b22√6 e%=1+ 23 1=233….b1+862-9=0. 解得b2=1或b2=-9(舍)， ÷双曲线c的标准方程为y- 31 (2)由题可知，直线I斜率存在，设直线l的方程为y=+2,设M(:,y),N(:,乃2). y=x+2 由 一子=消去，得 y(32-1)x2+12r+9=0 3k2-1≠0 a-36收小0由市选宽用+52”00s 3 儿直线价方为号1，◆，0用5高石高 9 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 -X2 同理，得gkx,+1 S4= X1-2 S。APe 40ls,- xp-xo x-x2 (x+1)(x2+1 =k2x+(+x)+= 9k2 12k2 1 3-3k+ 3k2-1 0s<写-1≤3-1<0， 当32-1=-1即k=0时，3k2-可取最小值为1， S△AMN Sa0的最小值为1 YA M 7.(2026安徽合肥二模)已知双曲线C: x2 y2 2W5 。下=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,月：离心率为，且点 在双曲线。上. (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线上存在一点A,满足AF·A=3,求点A到双曲线的两条渐近线的距离之和. 10 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【详解1（山因为双曲线的离心率为25，且点2号 3 在双曲线。上， 3 c-25 a 3 5 12 a2=3 22 3 所以 a =1→b2=1， c2=a2+b2 c2=4 所以双曲线c的方程为；y=1 (2)由(1)可知a=V3,b=1,c=2, 所以双曲线的渐近线方程为y=±5，即x-V5y=0和x+√5y=0 双曲线的左右焦点坐标分别为F(-2,0),F(2,0), 设4小少兰-6= 因为AF·AF=3, 所以(-2-x,-)(2-x,-y)=3→（-2-x)(2-)+(-)=3, x+y=7 ∫x6=6 于是有 -=16=1' → x+=7 3 由双曲线的对称性，不妨取A(V6,)。 11 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 6- N6+ 6-56+5=6 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之和为 2 2 A +(V+ 【题型二】直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 0 8.(2026广西崇左一模)已知双曲线C: 京=1（a>0'b>0)的左顶点为A(-3,0):离心率为3 (1)求C的方程： (②过点A作直线1（斜率不为0）与C交于另一点B,过点B作1的垂线与x轴交于点D,若M0=3,求I的方程 【详解】山软题意，a=3由e=日-0 a3,得c=0,则62=c2-a2=1 所以C的方程为gy广=1， (2)由直线1的斜率不为0，设1的方程为x=my-3, x=my-3 由1 消去得 ，解得或 92=1 6m x(m2-9)y2-6my=0 y=0y= m2-9 m-9横坐标=m6m。-3-3m2+27 6m 则点g的纵坐标 m2-9 m2-9, m2-9-m(x-3m2+27 过点B且与I垂直的直线方程为y-6m。 m2-9）, 3m2+33 令y=0,得点D的横坐标o= T,40+,即 m2-9F2 m-92时，9m2+39=0该方程无解：当6+6.-3 ,6m2+63 m-9=2时，解得m=±1 12 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 所以直线1的方程为x-y+3=0或x+y+3=0 B 9(2026河南模拟预测)已知双曲线C:兰-广 C:。尔=1a>0,b>0)的左焦点为F,右顶点为4'渐近线方程为y=士V5x, 点P(L,)在直线x=a上 (1)求C的方程： (2)过点P的直线与C相切于点B(异于点A),证明：∠AFP=∠PFB 【详解】(1)因为点P(L,)在直线x=a上，所以a=1 因为C的新近我方程为，=5x,所以名=5，放65 商c的方程为r苦-1 (2)证明如下： 设F(-c,0(c>0),由c2=a2+b,得c=V12+(N3)2=2,则F(-2,0), 易知直线PB的斜率存在（另一条过点P的切线为x=1), 设其方程为y-1=k(x-1),即y=-k+1. [y=kx-k+1 由-号1蒲夫， y(3-k2）x2+2k(k-1)x-k2+2k-4=0 因为直线PB与C相切， 13 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 所以3-k20,且△=[2k(k-]-46-2)k2+2k-4)=0,得k=2 所以直线PB的方程为y=2x-1, 方程x2-4x+4=0的根为2，所以B(2,3), 所以直线BF的方程为3x-4y+6=0 又因为点到直线的距离dx1-4x1+6↓等于点到轴的距离 P BF V32+(-4)2 又点P在∠AFB内部，所以∠AFP=∠PFB. 10.(2026f东深期换拟预测)已如双由我C:苦茶-口>06>0的左、者焦点分别为人、后，左，有顶点分 别为A、A,若过点E作x轴的垂线交双曲线于点M,N,则MN=L. (1)求C的标准方程： (2)已知直线：y=x+t与双曲线C交于A,B两点，若以AB为直径的圆过点A,求直线I的方程. c2 y2 a2+b2y24+b2y2 【详解】山)由题可知5(6,0)，则4方=1，即4-万=4方=1， 安，wy-2写6=1 解得少= 14 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 所以双曲线C: 4y=1 （②由直线：y=K+(与双油线C:-y广=1联立方程组消)可得： 3x2+8r+42+4=0,又直线：y=x+t与双曲线C交于A,B两点， 所以△=(8-4×3×(4+4)>0，即r2>3, 设，8)小则+名=多5=4 3 B 因为以AB为直径的圆过点A,所以AA,上BA, 9始 4t2+4, 8t + 3 3 *12 4t2+4-82+324-t2 412+4 8t) 4t2+4+16t+124t2+16t+16 -1, 3 3*4 2 化简得：4+161+16=-(4-2）→32+161+20=0， 解得12政=号。那满足>3 15 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 10 所以直线，的方程为y=x-2或y=x一3 x IⅡ.(2026山西忻州模拟预测)已知椭圆c:千+y=l,点P化，0)其中1>2过点p作椭圆c的两条切线，切点 分别为A,B. (I)求直线AB的方程，并用1表示AB: 3V3 (2)若SPAB= 2， 求点p的坐标及两条切线的方程， x 【详解】()设过点P化，0)的切线方程为x=m+:与椭圆方程4+广=1联立， 得(my+)}2+4y2=4①，整理为(m2+4)y2+2my+2-4=0, 其中△=4mt-4(m2+4)(-4)=0,得m2=2-4, 代回①得ry+2m0+m2=0,即(0+m}=0,得y=-% t, x=my+t=- -m_4 t 4) 因此两个切点，的横坐标均为4，故切点弦的方程为x=4,又切点在椭圆上，所以 -+y2=1 AB t AB t 即号+y2=1.故y= 西点Pe0到i8销面离为手，4所成w网(-。 4 16 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 由题意-4妒35 2 当，-4,06_1224536 1616162 一为正数，且是增函数，所以 2-41 仁-(补华闲港，所以解香 故P(4,0)当：=4时，切点横坐标为，=1：代入椭圆方程得4+=1， 所以，=±5 3 当切点为 2 时，切线方程为上+5 42 y=1,即x+25y=4 当切点为 时， 切线方程为-3 42y=1, 即x-2V3y=4. B 12.(2026四川绵阳模拟预测)在平面直角坐标系xO中，己知曲线E:x2+my2=m(m≠0)，点M(,)(x≠0) 17 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 在曲线E上，直线：xox+myoy-m=0. (1)判断曲线E与直线的位置关系，并证明； (2)当m=2时，直线I与直线y=V2,y=-V2分别交于A,B两点设△OAM与△0BM的面积分别为S,S2,比较 S OA 与08的大小 【详解】()相切，证明如下： x2+my2 =m 联立 ,x+my-m=0可得(G+my)y产2-2myy+m-=0: 因为x6+m%=m(m≠0），于是my2-2myy+m听=0. 所以△=4m2y-4m26=0. 可知直线！与曲线E相切： (2)解法一： 设A(,乃)，B(x),如下图： V M B -√2 SOA 易知，当x=x,时，由对称性可知，S,OB S AM 出-a=- 当5≠时，不妨设x<6<x”易知了，BM丙一。- 18 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 联立V +2%y-2=0:解得5=2-22 ,y=V2: 联立少 x+2%y-2=0:解得5=2+22 x’为=-2 S=-龙= 所以s x0-x2 2-2-52-25-52-2-3 _2+226x6-2V2y-2-2-2W2%√2+% Xo 2-2√2y0 八2 +2 OA Xo 2-22)+2x 2-4W2+4-2-4 OB 2 2+2W2 V2+4W2y+4V2+ +2 2+22)+2x S-04 故s,OB S OA 综上S,OB例 解法二： 不妨设A(6,),B(:,). OA 易知，当x=x,时，由对称性可知， S=} S,OB 当≠2时，不妨设<<x。 联立V2 3t+2%-2=0:解得=2-22 ’y=V2 19 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 联立V5 x+2少-2=0：解得5=2+222 x0，为=-V2 若=0·则%=2 2，x0=±1x2=±4， 由对性，不气1·与=4则0月)列如】 22 an∠BOM=2.45=2,所以 tan∠AOM=√2 1-2V2 24 ∠AOM=∠BOM 同理，当x2=0时，∠AOM=∠BOM. 0要2是安080 为2+2V2%V2+2% 又昏+店1，所心+2以-2， 所以tan∠AOM= k,-k=2-2%=-+2%-2=2-2%-2 1+kou'kou 1+%x (-V2) (4-2)x √2-2% tan∠BOM kow-ko= 2 场+2听+2y-2+2。=V2 1+kow~kos1+h× x+V2)(%+2) V2+2%0 则tan∠AOM=tan∠BOM,即∠AOM=∠BOM, S-OAoM小sin∠AoM OA 所以S,OB OM sin∠BOM OB 20 ⊙ 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 s-04 综上：S2OB 1。(2026内蒙古呼伦贝尔模拟预测)已知椭网C:兰+广 +F=1(a>b>0)的离心率为亏，左焦点为F,右项点为4 短轴长为8. (1)求C的方程： (2)已知点P在直线x=a上且直线PF的斜率为4，过点p的直线与椭圆相切于点B(异于点A)· (i)求直线AB的方程； (i)求证：∠AFP=∠BFP. 3 【详解】(1)由已知椭圆短轴长为8，椭圆离心率为5： B 2b=8 则 c-3 a 5 ，解得 b2+c2=a2 a=5 1b=4 x2,y2 所以椭圆方程为25+161 21 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (2)i由(1)知F(-3,0),设P(5,%), 6w0周音-%=2s2刘 设过点P与椭圆相切于点B(异于点A)的切线方程为y-2=k(x-5), x2,y2 代入25+16L,并整理得(16+252)2+50k(2-56)x+25(2-5-400=0 由直线与椭圆相切，△=[50(2-5k)-46+25)儿25(2-5k}-40]=0, 化资得=子 3 故切线方程为y=~5x+5. 联立圆方程，解得切点为3） 又因为4(5,0)，所以直线AB的方程为8x+5y-40=0. ()证明：方法一：（二倍角正切公式法） 1 由题意可知tan∠AFP=km=4 1 _2tan∠AFP 2× 4、8 tan224FP-1-taRZAFP-1-115 16 8 又tan∠AFB=kra=15 故tan∠AFB=tan2∠AFP,故∠AFB=2∠AFP, 22 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 所以∠AFP=∠BFP 方法二：（向量夹角公式法） FaA=(8,0), cOS∠AFP= FA.FP 644 FAFp列 8687, 272 coS∠BFP= FB.FP 5 4 闻丽 x217V17: 故coS∠AFP=CoS∠BFP, 所以∠AFP=∠BFP 14。(2026江苏无锡三模)已知双曲线C:二-广 aF-1(a>0,b>0)过点442,3》且焦距为10， (I)求双曲线C的标准方程： (2)已知点B(4√2，-3)，D(2V2,0),E为直线AB上一点， ①若直线DE与双曲线C恰有一个公共点，求直线DE的方程： S.AGDS.AMD ②若E在线段AB上，直线DE交双曲线c于G,H两点：证明：ScE S.BHE 329 【详解】(1)依题意，汽示-1,2a+6=10,解得a=46=3” x2 y 所以双曲线c的标准方程为16)=1 23 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (2②)0设E42,)则直线DE的方程为'2N5x-22), t y=- (x-2√2) 22 由 x2 y2 得 (1691 (9-22)x2+8V212x-16t2-144=0 当)-2=0即1=432 时，直线DE与双曲线c相交，恰有一个公共点，符合题意， 直线D8方程为y=±c-22, 当)-2≠0即1± 2时，△=1284-49-2r2-1612-144)=576(9-2=0 即1=3，直线DE与双曲线C相切，恰有一个公共点，符合题意。 直线DB方程为y=士3 4-22). 所以直线D2方程为y=士3x-2N成-±-2N5 ②油x=5为号号=1，解得，=3自54w20在线度B上有1k3 由直线DE交双曲线C于G,H两点，设G(x,y),H(x2,2), 0得，-20即1￥t3 8√22 ，+x 16t2+144 212-9,七为3= 2t2-9, 而GD=(22-x,-y,HE=(4V2-x2,t-),GE=(42-x,t-y,Di=(:2-2√2，)， GD.HE-GE·Di=(22-x4v2-)-y-2)-(4V2-x)x2-22)--y)y2 24 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 =2x5+2-62(x+)-10y+)+32=(2+46 3N52+6N2G+x+4+32=40+8C+9_4r3r+29+42+32=0, 212-9 2t2-9 GDIGE 即GD.E=G屁.D丽：因此GDHEcos0=GED7cos0,即HDHE SAGD SSGE S.AGD=S.AHD 则S.AHD SBHE 所以S。BGE S.BHE VA 【题型三】弦长与中点弦问题 巧，2026山西忻州模拟预测)已知椭圆E+y点G0.0>在椭圆外从点G作精圆F的两条切线，功点 分别为A,B (1)求椭圆E的离心率： (2)证明：直线AB垂直于OG,并求直线AB的方程： 3V3 (3)若SAGs=2， 求，与AB: 【详解（山白情圆E:子+y=1,所以。=2”6= 所以c=Va2-=V3,因此离心率为e=a 25 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 (2设切点为A(:,y),B(:,2),因为切线的斜率存在， 设过点GO,)的切线方程为y=+4,代入椭圆E:4+少=1， 得任小+2+f-1=0,因为直线与精酒相切： 所以4=(2如-4}+e-)=0, 即4-4-7-=0，化简得：= 4 -2t 元二次方程根的性质，切点的横坐标2+k2】 1 4 4++ 一十 44 -4k 再将x= 代入切线方程y=x+t: 因此切点么公的铁坐标均为直线B的方程为y 所以直线AB垂直于OG G B 26 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 1 -4k (3)由(2)分析知直线4B的方程为y=,切点4，B的纵坐标为x= 号物，所，2之=32 因此A=k,-x=4P 又由c(@)到直线4B的距离d--1 所-》-w-》-2明 白意2-35，-feye-或- 2 2 u-旷-0r,r-r+3-1-0,即16d-75w48-16-0 16 所以(u-4)162-1lu+4)=0,因为方程16d2-1lu+4=0无实数根， 所以方程u-)=3 4“有唯一实根u=4 因为>1所以，==2此时h=4.=2V5 2 故当Sa6n 3v5 2时，1=2'AB=25 16.(25-26高三下·江苏南京阶段检测)已知一个圆柱00的上下底面都为椭圆，且其母线与底面垂直，若该圆柱的 母线长的立方为27，过点0在该圆柱下底面建立一个适当的平面直角坐标系，得到椭圆O的离心率为05，焦点位于 x轴上，且其短轴长的平方为12 27 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (1)求出椭圆O的长轴的长： (2②)若Q点为该圆柱中椭圆O上面的任意一点，且$为O中点，MN是以点S为中点的一条弦，且直线MN的方程为： y=ax+b (i)探究a与b所满足的等式关系： (ii)设点O到平面MN0的距离长度为h,试求出h的最小值， 【详解】（4山(2=12=b-v5e==)-5 =。2→。2，所以a=2'所以椭圆0的长轴的长为4 ①由少知椭圆的方程为+1，设M6N6,)Q5了 (2) y=ax+b 所以 ,联立女+上=1得 x+x2=x0+y2=y 43 (3+4a2)x2+8abx+4b2-12=0 8ab 得+5=3+4如△=484a-b+3), 所以片+乃=a(G+x)+2h=,6品 Γ3+4a2, 所以x=-、8ab 64a2b236b2 3如63如，将点0代入方程得8+B1 化简得16a2b+12b2=(3+4a2)2,由于3+4a2>0, 得4b2=3+4a2. (i)过O作OH⊥MN于点H,连接OH,作OP⊥OH于点P 由OO1平面MNO,又MNc平面MNO,.OO⊥MN, 28 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 又：OH⊥MW,OH∩O0=0,.MN⊥平面H00, 又：OPc平面HOO,MN⊥OP MN⊥OP,OH⊥OP,OH∩MN=H, 又：O,H,MNc平面MNO,OP⊥平面MNO,则1OP卡h. 3d 3 h= 设 根据等面积法，”V9+d严 OH=d 所以当d取到最小值时，h也取到最小值 在椭圆平面内，d=b创 +a,由0得：4b=3+4≥3” b 3313 则 2,所以 93+11B 4b2 x2 y2 5 17.(（2026重庆北碚模拟预测)已知双曲线C:。行=1a>0,6>0)的离心率为2, 虚轴长为2. (1)求C的方程： (2)过点(4,0)的直线1与y轴交于点N(0,),与双曲线C交于A,B两点，若AB=2V31. (i)求t的所有可能值： 29 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (i)固定N(0,),其中t取(i)中所有可能值的最大值，M(0,),设P(m,m)为平面中不在y轴上的动点，使得 ∠MPN的平分线过定点K(O,4-V3)若O为双曲线C上任意一点，求PI的最小值. 2b=2, 【详解】(1)依题意可得 b2 -5 +。 2 解得ld=4:放c的方程为号--1， (2)(①)设过点(4,0)的直线为x=Py+4(m≠0)，与双曲线联立得(p2-4)y+8p四+12=0，由已知直线与双曲线 有两个交点，所以p2-4≠0， p2-4,12 设48数坐标为w%4=64p-4p-4=16p+192>0:则X+5=24 p2-4 弦长1AB=1+py-=2W1,即V+pV以+}-4=2i, 整理得41+p2)(p2+12)=31(p2-4)2. 令=解得9或智放P-±号或p=±己可，直线与y翰胶有N0满足1=手所 1=3或1=±2y27 2,所以1的所有可能值3±2 7 (西取最大值1=3，则N0,3),已知M(0,1),K(0,4-V5),(x≠0)，Pmm 直线PM的斜率(=” m,所以直线PM的方程为y-1=kx, x-y+1=0,所以点到的距离为4= ,1-(4-5)+13-5 即 K PM +1+1 30 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 直线pN的斜率无=”m3,方程为kx-y+3=0·所以点k到pN的距离为4 1-(4-5)+3引5-1 PN m K PN V房+1V好+ 3-5_3-1 由角平分线性质，d=4,:即房+房+，化简得3（公+1）=+1. 商山与2代入-1， m 整理得m2+(n-4)2=3. 因此，点P的轨迹是以(0,4)为圆心、半径为V3的圆， 设点Q(x,%),圆心到2的距离为d, 所以4=6+0，-4=5-8%+20=5专+9 5, 当=号时，d4 84_2105 5故43=圆上的点p到最小距离为dr205-B,所以0 5 ,2w105-5. 最小值为5 4 D 18.(2026陕西榆林模拟预测)如图，F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，M是抛物线C上的一点，且 ∠xFM=60°，FM=2. 31 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 (1)求抛物线C的标准方程： (2)过焦点F作直线交抛物线C于A,B两点，直线AO(O为C的顶点)交C的准线I于点卫，求证：BP⊥I; (3)在(2)的前提下，求PO外PA的最小值. 【详解】(4法：因为∠FM=60rFM=2,所以=号+1， 所以(？+1小+号=2，所以p=1,所以抛物线C的方程为>=2x 法三：因为∠FM=60:FM=2,所以M(+15 所以(5可=2p号+刊，所以p=1 所以抛物线C的方程为y2=2x, (2)法一： B 32 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 抛物线C的焦点为F 准线：x= 1 设直线AB方程为x=my+ x=my+ 1,联立 2,得 2 y2=2x y2-2my-1=0 设A(,乃)，B(,),所以yy=-1, 又=号所议白线40的方程为只，代入线：-专·将分》 2 kP=二业=0 因为 =所以小所气 所以 P⊥I 法二： 地物线C:y广=2x的焦点为(20，准线1：x=-子，顶点O00 设三小，因为直战过传G y 22225-片=-为-y)0+=0因为，所以 所以足1竖1，即 ,·即 +y2 y=-11 2 又直线40的方程为y= .代入线安物分》 y 33 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 因为=1所以P2 所以直线BP的方程为y=,与准线：x=一2垂直，即BP1: 法：令=心0则=圆传小》 所o》A-G++ 因为O、P、A在一条直线上，所以PO与PA同向共线， 44o网-行-引北2写于+-号告，5等 所以PO:PA的最小值为4 法二：设A 小则》似o-A-后 因为O、P、A在一条直线上，所以PO与PA同向共线， m以m4-而m-传++月-4-+9 42 42 =r,则P0P4:W+-4}00= Γ42： 令'()=0，得1=2，当0<t<2时，f()单调递减，当t>2时，f()单调递增， 9 期f0m=12=是，即P0P的最小值为} 34 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【题型四】面积与面积最值问题 19.(2026陕西三模)已知圆M:(x+1)+y=16,点V(1,0),P是圆M上一个动点，线段NP的垂直平分线与线 段MP相交于点Q,记点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)过点N作直线I交曲线C于A,B两点，若x轴上一点T(亿，O)满足∠ATN=∠BTN. (i)求实数t的值： AT 3 (i)若B75,求 ,n的面积. △TAB1 【详解】(1)连接ON,由题意知lQN=QP, ON+OM=OP+OM=MP=4>MNI=2. 所以动点9的轨迹是以M(-1,0),N(1,0)为焦点的椭圆，2a=4,c=1. 所以。=2”-2.3所以自线c的方程为号+号-1 (2)(i)设直线AB的方程为x=my+1,A(:,),B(x2,2), 35 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 x=y+1 联立2+=1·事 整理得 3m2+4)y2+6my-9=0 6m 9 则y+为=3m2+4:%=3m2+4 设直线4与B7的斜率分别为：飞：则=”，与=之 x-t' 3-t, 因为∠ATN=∠BTN,所以直线AT与BT的倾斜角互补，即k+k,=0, 则k+6=产+之=4四+-++1-00 x-t x2-t (x-t)(x2-t) 所以2my2+(1-t(y+2)=0,所以6m(4-)=0, 又m为任意实数，所以t=4. 当直线AB的斜率为0时，∠ATN=∠BTN=0,符合题意. 综上所述，t=4. AN_AI_以=3 (i)因为AN=∠BTN:所以N为∠ATB的角平分线，所以BNB7闪5 3 因为5=3m+4<0,所以y=-亏， 36 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 4 6m 9g=2=4x59 由y+⅓=3nm+44=3m+4 ”(3m+425*3*3m2+4,解得m=±5 不妨设5>0：则5=3 5’2=-V5 HB的属积8=6-为)-x38￥5-2, 所以 5 5 20,2026陕西西安模拟在平直角坐标系0中，以椭园C:+片℃。>6>0）与坐标轴的交点 5 为顶点的四边形的周长为45，离心率为2 (1)求椭圆C的方程； (2②)设A(4,0),B(O,2),点P在第三象限且在椭圆C上直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交 于点N. ①是否存在点P,使得MN II AB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由： ②求四边形ABNM面积的最大值， 4va2+b2=45 c 3 【详解】(1)由已知得e=二 a 2 b2=a2-c2 所以a=2,c=V3,b=1 所以椭圆方程为4+广=1. (2)①设P(x,%),其中<0，%<0，则x2+4y,2=4. 37 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 又因为A0:所以直线4y产4-) x=0'所以M0,4 令 同小 若MNIIAB,则k=kAB, 0+4 x-4_2-0 所以-2x-00-4 %-2 化简可得：4(%-2)=(-4) 与手+方1联之， 化简得：4哈-8+4+4y-3=0, 2+502,-5g-2+引=0， 因为点P在第三象限，所以<0，x。<0, 所以%=反 2，x0=-V2 所以有在点p:使得MNB即点p坐标为-反-马) 图所以国边形y的数--42名 =2×+4+4-8x,-16+16 xy-2x0-4y+8 38 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 =8×n%-2)-4y+5 xy0-2x-4y+8 24 =8- x-2x0-4y,+8 3π 令x=2cos0,yo=sin0,0∈元， 2 所以S=8- 12 sin0cos0-2(sin0+cos0)+4' 令n8+o0=4:e[反，-，mcs0.,故s=80 24 t-2)2+3: 故当，-5时，m0os0-ism0+星}5，即0-时， 包即气=-反人号时，周边形y的面积取录大点为6 176+96v2 B 21.(2026云南玉溪模拟预测)在平面直角坐标系x0y中，位于y轴右侧的动点P到点(1,0)的距离比它到y轴的距 离大1，记点P的轨迹为C (1)求C的方程： (2)已知不重合的两点A,B均在C上， 39 ( 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 5 ①若线段4B的中点在直线x=2上，且AB=V3,求直线AB的方程： ②若直线AB与x轴正半轴相交，且与圆D:(x-1)2+y2=1相切，求△OAB面积的最小值. 【详解】(1)设P(x,y),x>0. 因为位于y轴右侧的动点P到1,0)的距离比它到y轴的距离大1， 所以动点P到1,0)的距离与它到直线1：x=-1的距离相等. 由抛物线的定义知动点P的轨迹是以1,0)为焦点，1：x=-1为准线的抛物线（不包含原点），其方程应为 y2=2px(p>0)的形式， 而号=1，所以p=2,2p=4: 所以点P的轨迹C的方程为：y=4x(x>0) (2)①若直线4B的斜率不存在时，因为线段AB的中点在直线x=2上， y2=4x 所以AB:x= 5,联立 5 X= 2 2 解得么B坐标分别为[3而)( 所以4B=2√0，不合题意； 若直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=x+b, 设A(x,),B(x2,y2), y=kx+b 联立y2=4x,化为k2x2-(2b-4)x+b2=0 40 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 △=(2b-4)2-4K2b2>0,解得b<1. 所以x+x=4-2地 b2 因为若线段AB的中点在直线x=2上，且|AB=V3, 4-2kb 5 可得 k2 2 k= 3 所以 4或了 3 4 b= b=- 3 3 所以直线AB的方程为：2x-3y+4=0或2x+3y+4=0, ②设直线AB:x=my+n,A(:,乃)，B(x,乃)， x=my+n 联立 y2=4x →y2-4my-4n=0, △=16m2+16n>0, y+y=4m,y2=-4n, 图为直线B与盟D相：即代，所秘 直线AB与x轴的交点为(n,0), 则A04B的面积S,os=2n×y- 双 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 =2n×V6m2+16m=2n×i6(n-2)+16m=2W2×,n-l)n, 设fa)=-,ne2,o故fo)=3n-2n=3动n引>0， 即f(n)在[2，+∞)上单调递增， 所以f(n)在n=2处取得最小值，即f(n)m=f(2)=4, 故△OAB面积的最小值为4V2 (A) (B) 【题型五】定点与定直线问题 3 (2026山东威海模拟预测)已知椭圆c:之+京=1(a>0.b>0)的离心率为2，且过点(2,0 (1)求椭圆C的标准方程： (2)己知点A(0,2),点B是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心0和顶点重合），过点B作x轴的垂线交椭圆于P, 两点，直线AP与椭圆C交于另一点M,直线40与椭圆C交于另一点V. ①求aOPM面积的最大值； ②直线MW是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由. 4 【详解】(1)因为椭圆过点(2,0)，所以京=1，即。=4 42 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 因为椭圆c的离心率为2，所以4c2=3a2c2=3 因为a2=b2+c2,所以解得b2=1, +2 故椭圆方程C为4+少=1， (2)①设lpw:y=+2,P(y),M(x,y2), B x2 +y2=1 联立 4 ，整理得 y=c+2 4k2+1)x2+16x+12=0 由△=164k2-3)小0，得2>2 4 由韦达定理可得，占+6=-16 4k2+xx2=4k2+) 所以PM=+x-=+VG+x)}-4x =+ -162 4k2+1 4k2+1’ 2 设原点o到直线pW距离为，：则d=十， 43 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 所以Samw=PMd 4V4k2-3 4k2+1 4t 4 令 ,当且仅当时，等号成立， V4k2-3=t>0 ,则 . t t=2 故aOPM面积的最大值为1. 所以2+2， ②p-当-2 x2 +y2=1 联立 -2x+2可14022,16-242-0 4 12 XMX=- 所以 1+ 4y-2，解得w所以M3x4 5-4y’5-4 同理可得N 3x4+5y 5+4y’5+4y 4-5y4+5y 所以：y 4-5y=5-4y5+4y 3x1 5-4y3x-3x（ Γ5-4y1 整理可得y=3x+” 5-4y5+4y y=4x 4 所以直线过定点，定点为Q》。 44 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 B x2,y2 √6 23。(202s山东青岛模拟预测)已知椭圆C京+方-1>6>0)的上顶点为40,2)离心率为写.过点的直 线与C交于P点，P点在第一象限，过点P的直线与C交于B点.设点P(m,m),直线PA和直线PB关于直线y=n对 称，直线y=n与直线AB交于Q点. (1)求C的方程： (2②)若S△P0=2S△PaQ,求点P的坐标； (3)设M,N是椭圆C上的两点，在(2)的条件下，若直线PN的斜率为直线BM的斜率的2倍，求证：直线MN过 定点 【详解】(1)由题意b=2,e-c-6 a3 又a2=b2+c2,代入解得：a2=12, x2.y2 故椭圆方程为：12+4 =1 (2) A 45 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 法、因为直线p1和直线PB关于直线)=用对称，且直线p4的斜率为如=”己，所以，如=“行 n-2 m 设直线Pg:y-n=k(x-m),k=-”-2 m y-n=k(x-m) 整理得（1+3张2)x2-6k(km-n)x+3(km-n)2-12=0, 因为n+312化的2+24）+120-20-0+12-2n=0. 由韦达定理得，mxg=-mn,m+xg=(1-n)m, 所以与代入直线pg少n=”行产-.相%=-2 m 所以B(-mm,n2-2）. 因为点Q是直线y=n与直线AB的交点，且直线PA和直线PB关于直线y=n对称， 所以点Q到直线PA和直线PB的距离相等， 所以 PB (m+mn)}+(n2-n-2）月 PA Vm2+(n-2 Vm2(1+n2+(n-22(n+1 Vn+)'(m2+n2-4n+4) =n+1 Vm2+(n-2) Vm2+(n-2) n>0 46 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 S2=2,解得n=' 由SDPA0 又点Po在精通，所侣好1， 解得m2=9,又m>0,所以m=3, 即点P的坐标是(3，). y=r+2 法二、设： 联立得 +上-1整理得 AB y=kx+2 12+4 1+3k2)x+12x=0 12k 6k2-2 由韦达定理得，=1+3X，g=-1+32, 因为直线PA和直线PB关于直线y=n对称，所以kpA+kpe=0, 即2 6k2-2 2+搭-0，整理 m m+ 1+3k2 3mnk2+(6n-12)k+mn-2m=0 解得k= 3n 所以，B:=+2, 3n x+2 y=3 联立椭圆方程得 +y2 =1 124 1+ m2 整理得 3 2+4”x=0,即4 r+4”=0, n 47 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 由韦达定理得0+x8=-mn,所以xg=-mn, 代入设直线AB:y=:+2,得yg=n2-2,所以，B(-mm,n2-2） 因为P到AQ,BQ的距离即为P到直线AB的距离， 所以e= lB0 n2-n-2 =n+L,n>0. 40 n-2 SAPe=2,解得n 由SPA0 =1 又点P版列在横题上，所以答1. 解得m2=9,又m>0,所以m=3 即点P的坐标是(3，)， 3)设M(,),N(,2),MN:y=c+m, y=kx+m 联立得 父+少-1整理得 124 +3k2）x+6kmr+3m2-12=0' 6km 3m2-12 由韦达定理得x+x2= 1+3,=1+3, 由(2)知P(3,),B(-3,-1), 124 则3正所以￡-9+10 12+41 124 48 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 +1y-11 变形得宝十号号所以mw=号 因为w=2k所以w=子 所度对e》+@-6-m7-D. 代入韦达定理，整理得9k2+3m2-2km-2m-1=0, 即(m+3k-1)(3m+3k+1)=0. 所以m=-3+1或m=大 3, 当m=-3k+1时，直线MN:y=x-3k+1,过定点(3,1)（舍去）： 当m=-一3时，直线0w:y=-k写过定点 所以，直线w过定点- 24,（2026江西宜春模拟候测)已知点4，么分别是能圆C:二+广 :。+存=l(a>b>0)的左、右顶点，44=4且c的离 1 心率为2· (1)求C的方程： (2)若点P是C上与A,A不重合的点，直线AP,A,P与直线x=4分别交于点G,H,求GH的最小值： (3)若不过点A且斜率为2的直线与C交于M,N两点，证明：△A,MN的外心恒在定直线上. 【详解】(1因为44=2a=4,所以a=2, 49 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 因为c的离心率为，所以口-及-4-办】 22,解得62=3” x y 所以c的方程为4+3=1， (2) 设直线AP的方程为y=k(x+2),令x=4,得G(4,6k), 设点P(,)其中2则后=3-3污 则=九23 2青 所以=衣， 所以直线的方程为y:-2)。 所似4)： G-4-（6+020=6, 3 当且仅当=)时等号成立. 50 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故GH的最小值是6. (3) M N 证明：设M,）Nk,),直线MN的方程为y=+mm≠)。 1 y=-x+m 2 联立 43 x2+mx+m2-3=0 所以△=12-3m2>0,-2<m<2,且x+x2=-m,xx2=m2-3, 3 y+%=26+x)+2m=2m, 西-经+m沿+小5+受+)m--到 4 设△4MN的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 把点4(-2,0)代入圆的方程得F=2D-4, 因为点M,N在圆上，所以X++Dx+E+2D-4=0①，x号+片+Dx,+E,+2D-4=0②， ①+②得（x+x)+(+)+D(x+x)+E(y+2)+4D-8=0, 51 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 其中x+x=(:+x2)}-2xx2=(←m}-2(m2-3)=-m2+6, 听+月0+w-5-居+2 2 4 所以-m+6+3+2mD+3E+4D-8=0. 4 2 即(m-4)D-3E=-m_1 2 42’ ①-②得(G-x)+(-)+D(x-x)+E(-2)=0, -丛-1 易得x-x,≠0，且无-52： 上式两边同时除以5-天得写+名++为)+D+E=0, 整理得m+和+D+5=0,即m40+2E 代入a-0受=牙得E=0-2D好20- 42 所以5=2D分或E-2D 当E22D破。m:40+2E=1·不满足题意 所以E=2D- ,即-4D+2E+1=0' .（D_E 即点2,2正在定直线8x-4y+1=0上， 52 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 所以△AMN的外心恒在定直线8x-4y+1=0上. 25。（2026陕西西安模拟预测)已知点48,0)，B0）,双曲线的方程C:兰-广 aF=1a>0,b>0)经过点4”且c的 一条渐近线与直线AB平行，P为C上异于顶点的任意一点，A为C的左顶点. (1)求C的方程 (2)求直线AP与AP的斜率之积： (3)设Q为C上异于项点和点P的任意一点，且直线A,P的斜率是直线AQ的斜率的3倍，证明：直线PQ恒过定点， 【详解】(1)由C经过点A(3,0),得a=3. 由知033，又因为双曲线C:-片 1-01 :京尔=1a>0,b>0)一条渐近线与直线4B平行。 所以名有则6=1政C的方程为号少=1 (2设P,5则号-1，即-手-1， 9 5+3,s 因为4p= x-3, 所以kkp=片，片=片=9 -1-9= +34-3-9-99X2-9)91 53 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 故直线AP与4P的斜率之积为g ③证明：（方法-）自（②知，ek如）因为水=头e所以ok习 设直线P阳的方程为=m十A:代入号产=1， 得（m2-9）y2+2my+n2-9=0, 则m2-9≠0且△=36(m2+2-9）>0,即m2≠9且m2+n2>9. V 设Q()（*3且5≠5)，则+为=2。 m-9:y n2-9 m2-9 因为0kMp=乃、X上 yiy2 1 x-3x2-3(6-3)(-3)27' 再将x=my+n,=my,+n代入得：得(my+n-3(m%+n-3)=27yy2, 即(m2-27)y2+m(n-3)(y+y2)+(n-3)}2=0, 所ue-后号ae-3到+-驴-0 因为直线P0不过点A6,0):所以n3所以(m-27)t -+m Jm2-9 -2mm+n-3=0, m2-91 54 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 3 (m2-27)n+3)-2mn+(n-3(m2-9）=0,化简整理得-36m-54=0,解得n=-2, 所以直袋r0的方程为r=心多，放直线0恒过定（号0】 (方法二)设直线P0的方程为x=+n:代入号-广-1， 得（m2-9）y2+2my+n2-9=0. 则m2-9≠0且△=36(m2+n2-9）>0,即m2≠9且m2+n>9. m295=n9 设(5，)（x≠士3且5≠x),则y+片=-2m m2-91 y=3y2 。3y2 因为k4p=3k0’所以x+3,-3,即my+n+3m,+n-3 整理得-2myy2+(n-3)y-3(n+3)y2=0, n2-9 ,所以=9 片+22n，得yy2=”-2(+2) mn≠0 m2-9 -2mn 所以-2m9（y+)+(a-3)y-30a+3)y=0, -2mn (n2-9)(y+)+n(n-3)y-3n(n+3)y=0,整理得(2m2-3n-9)y=(2m2+9n+9), 2n2-3n-9=0 因为等式2r-3n-4-(2r+9咖+9列，恒成立，所以27+9n49-0:解得m=多 2 所以直线p0的方程为x=心子，做直线P0直过定点(0】 55 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉司 26.（2026「东中山三模)双曲线：三-是 。F=1(a>0,b>0)的一个顶点在直线4y=x+1上，且其离心率为V5. x2 y2 m n (附：双曲线。云以点(m,n)为切点的切线方程为京一京y=1) (1)求双曲线E的标准方程； (②)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该 公共点为切线的切点，已知点T在直线上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P 和M. ()设点T的横坐标为t,求t的取值范围； (ii)设直线TP和直线TM分别与直线x=-1交于点Q和点N,证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上. 【详解】(1)直线1方程中，令y=0,则x=-1, 则直线与x轴交于(-10)所以。=1离心率=5， 所以c=V5,故b2=c2-a2=4. 所以双独线E的标准方起为一子 (2)()经检验，当一条切线斜率不存在时， 若T(山，2)，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为y-2=k(x-), 联立双曲线方程得(2-4)x2-2k(k-2)x+(k-2)}+4=0, 则△=42(k-2)-4(k2-4)(k-2+4=0, 解得k=2,而双曲线渐近线方程为y=2x,则此时不符合题意， 56 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 当T(-1,0)时，此时只有一条切线，显然不合题意， 则两条切线斜率均存在，设切线斜率为k,切线方程为y=k(x-)+(+), 与双曲线方程联立得：(（K2-4)x2-2k(t-1-)x+(:-1-1+4=0, 令△=4k2(t-t-1-4(k2-4)(t-t-1+4=0. 整理得：(M-1--2+4=0,由于k2所以≠-3且1≠ 上式整理得：(2-1)k2-21(t+1)k+2+21+5=0 由题意，k有两个相异实根，所以t-1≠0， 且△2=42(t+1)-4-1)(2+2t+5)>0. 整理得：4+1(-31+5)>0，解得：-1<1< 3· 综上所述，的取值花围是（-1引（小引 (ii)设M(x,),P(x2,y2). 直线M和pr方程分别为x-子y=1和xx-冬=1， 4 y-2 4(x-x2) 联立得点T x2月-x2x2y-xy2 又点T在直线上，代入整理得：x-=4(,-)-(以-).① 57 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考期中期脉 在直统方程，令则： ”y 4(x+1) 2+ =+4(G+1) x2+1 (x2+1)y 故直线N方程为化-产与 (x2+1)以 +4(6+D(x-x)+%=x+1. 设直线pN与直线，交点为4联立两直线方程：+》 解得：x,=色-++46+1)5 y2+4(x+1)-（x2+1)y· 设直线M0与直线I交点为B, 月限可：2长 由①式，计算x,x8的分子之差有(：-+1)以+4(x+)x(:-y+1)乃2-4(x2+1)x =xy-y2-[4(:-x)-(y-2]=0, 计算xgx的分母之差有+4(：+)-(G+1)乃2-[y+4(x+)-(3+)] =xy-x2[4(x-x)-(y-2)]=0. 则可得x4和xB表达式的分子分母分别相等. 故A,B两点重合，所以直线PN与MO的交点在定直线：y=x+1上. 58 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 A(B) 27(2026黑龙江哈尔派室模已知1分别是双曲线。：->0,6>0)的左、右项点， 是双 自线C上的一点，HBP- (1)求双曲线C的方程： (2)已知过点(4,0)的直线1：x=my+4,交双曲线C的左、右两支于D,E两点（异于A,B)· (i)求m的取值范围： (ⅱ)设直线AD与直线BE交于点Q,求证：点Q在定直线上. 【详解】(1) 0 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 3 a=2a=4 x2 y2 若a=4:则双曲线c的方程为16左=16>0)， 因为P3,是上一点，所以 52 ，2 22-1解得6=- 20,不满足题意： C 16b2 7 x2 y2 若。=2则双曲线c的方程为4=16>0)， 5 因为p3.5是上一点，所以3 2)C 2-1解得。，满足题意： 4b2 b2=1 +2 所以双曲线c的方程为4广=1： (2) y外 D E B (1)由题意知，直线1的方程为x=my+4,设D(x,y),E(2,2), x2 -y2=1 联立 4 ，化简得 x=y+4 m2-4)y2+8my+12=0 60 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 因为直线1与双曲线左右两支相交，所以少2>0， m2-4≠0 所以(8m)-48(m2-4)>0,解得 或 12 (m24>0 m<-2m>2 所以m的取值范围为(-0，-2)U(2,+∞)： (i山证明：方+为=二8m m一4则5=30山+5) m2-4,h5s -2m 直线AD的方程为+2+2D,直线BE的方程为y产2-2@， 联立08得中2+2列=产2-2，所以中4+2+2列中4-2-2). 化简得(3，-)x=2my+2y+6y, 所以x=2myy+2y+6丛= 2m3）+2%+63-L-1 -2m 3y2-y 3y2-y 3y2-y 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线x=1上 28.(2026西藏林芝·二模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(xo,%)是C上一点且PF=+1,过 抛物线C的焦点F作直线I,且直线I与抛物线C相交于A,B两点， (1)求抛物线C的方程： (②)当AF+4BF最小时，求直线I的方程： (3)设O为原点，直线x=1分别交直线OA,OB于点M和N,求证：以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点， 61 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【详解】山)由抛物线的定义可得+号=+山，解符-2 所以抛物线C的方程为y2=4x (2)由(1)可知抛物线C的焦点F(,0), 设直线l的方程为x=my+1,A(:,y),B(,2） x=my+1 联立直线，与抛物线c的方程y=4x: 可得y2-4my-4=0. 所以y+y2=4m,y=-4 根据抛物线的定义，AF=x+1,BF=x2+1, 又因为x=兰名=车所以h年+18=年+1 4 r+4a=年+14年-++5 （4 4 根据基本不等式可得4+22 区xg=2x-w=4, 2 =巧时等号成立 当且仅当4 所4+4824+59，当日仅当4重一4时等号成立 联立 4 解得乃=-22 2或乃=22 yy=-4 (h=V2 y=-V2 62 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 当y=-22,为=5时，m=当+业=-2 44日 当y=22,为=-2时，m=当+丛=万 44 所以直线，的方程为x= 4y+l,即y=22(x-) ()已知4长，)86，）上则直线O4的方程为-片，直线0B的方程为-片x 令-1可得如引名 根据圆的性质，若点D(x,O)在以MN为直径的圆上，则DM.DN=0. m-m〔-}所-+兴=0 又因为5=芬草，所以名=他 16 代入上式可得1-x尸+16=0 》2 由(2)可知=-4，代入上式可得(1-x-4=0,即(1-x)=4, 解得=-1或，=3， 所以以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点（-1,0)和(3,0) 63 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 29.(2026:河南安阳模拟预测)已知抛物线E:x2=2p(p>0)的焦点为F,点P(,%)是E上的动点且异于坐标原 点当，=1时，1PF=8的 36 (1)求E的方程. (2)若p>1,且E上存在异于P的两点Q,R,使得△POR是等边三角形.设△PQR的中心的轨迹为曲线C. (i)求C的方程； (i)点H在E的准线上运动，过点H作E的两条切线，切点分别为AB,过点A作C的两条切线，切点分别为M,N, 过点B作C的两条切线，切点分别为S,T,求证：直线MN与ST的交点在一条定直线上 【详解】(1)抛物线E:x=2pp>0的焦点为F0,,由当x=1时，得%=2p 由P0FF%+号力号器 >一十=万、角军得寻D一或卫一。、 所以抛物线6的方程为X=9)或广-号 (2)(i)由(1)得抛物线E的方程为x2=9y,设P(9a,9a),Q(9b,9b2),R(9c,9c2), x=3a+3b+3c 设正APOR的中心坐标为(x,)则y=3a2+3站+3c2,由PRHORI: 64 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 得(c-a)2+(c2-a2)}=(c-b)+(c2-b2)2,整理得(a+b)2c2-a2-b2)+(2c-a-b)=0, 同理b+c2a2-b2-c2)+(2a-b-c)=0,两式相减得3(a+b+c)2-(a2+b2+c2)+6=0, 则3（宁2-号+6=0，整理得2=y-18,所以曲线c的方程为x2=y-18 3 (国由（山得抛物线E的准线方程为y=景设H,骨， 由y=写关，求导得y-弓，设5，小则=9g,=9 2 2 2 则抛物线E在A,B处的切线方程分别为'-y=)(x-xy-乃)x-), [29 整理 2 ,而点在两条切线上，则 2 9 g-y=gxx-y=y 夕 9x4+4 显然点以风)前壁标洗定方程)亏+子因能直或1B方程为-号如号 4 由y=x2-18,求导得y=2x,设M(cNc4y),则=⅓-18，x=y4-18, 抛物线C在M,N处的切线方程分别为y-=2x(x-x,y-y4=2x,(x-x,), =2x-y3+36 整理得y=2x,x-为+36，y=2x,x-以+36，由点4在两条切线上，得=2x-+36: 因此直线MN的方程为y=2xx-+36,同理直线ST的方程为y=2x2x-y2+36, 4+36=135 联立解得直线与直线7的交点横坐标x2x之)9，纵坐标y=2x)片+36=一93。 4 65 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 135 所以直线MN与ST的交点在一条定直线y=4上 OH 【题型六】定值问题 30.(2026山东枣庄·三模)已知双曲线C: x2y2 厅=1(a>0,b>0)的实轴长为、2，且经过点（)） (I)求C1的渐近线方程： (2)设曲线C,:mx2+y=1(m>0),点M,N分别是C,C,上的动点，且满足OM.ON=0,若原点O到直线MN的距 离为定值，求m的值 2a=√2 2 a= 【详解】(1)根据题意， 解得 2, b=1 则9：-y2-1 2 b 所以双曲线C的渐近线方程为y=±二x=士2x: a (2)设点O到直线MN的距离为d, 66 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 当直线ON1x轴时，oM=oM=竖M=5。 根据等面积法得Saw-OMoN-MN,d,解得d=5 当直线ON与x轴不垂直时，设直线ON的方程为y=a(显然k≠0)， y=kx m+呢 则直线oW的方程为y=之，由y=得云= m+k2, 所以ON=1+3 m+2①， 1 y=- k 同理，由一21可求得 ②， OMP=1+k2 2k2-1 根据等面积法得Sa-oMoN-Md,即OMf-lONP-wN4, 即4=ooY_oN2 11 OM+ON,即示OM+ON@ 12k2-1,m+k23k2-1+m 将①②代入③得产=1+k2+1+k=1+2, 67 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 又点O到直线MN的距离为定值， 3-1+m 所以=1，解得m=4, m=4时，京3，即d= 1 3 综上所述，m=4时，点O到直线MN的距离为定值. x2,y2 31.(2026天津武清·模拟预测)己知椭圆c:京+厅=1（4>b>0)的离心率为分，A'B'0分别为椭圆c的 左，右顶点和坐标原点，点P为椭圆C上异于A,B的一个动点，△PAB面积的最大值为25， (1)求C的方程： (2)过椭圆C的右焦点F的直线I与C交于D,E两点，记△ODE的面积为S,过线段DE的中点G作直线x=4的垂线， 垂足为N,设直线DN'EN的斜率分别为k’,求证：k-内为定值. 【详解】(1)因为当P与椭圆短轴顶点重合时，△PAB的面积最大， 此时最大值为2(2ab=ab, 所以ab=23, 因为椭圆的离心率为即 a 2, 所以a=2c, 又因为b2=a2-c2=3c2, 所以b=V3c, 所以ab=2V3c2=2√5， 68 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 所以c2=1, 所以a2=4c2=4,b2=3c2=3. 所以C的方程：4+3 (2)证明：由(1)可知F(山，0)， 设直线：x=y+1, x=my+1 由3x2+4y2=12 得(3m2+4)y2+6my-9=0, △=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0 设D(x,y),E(x2,2), 6m 9 则y+5=3m+44=3m+4<0, 不妨设乃>0y2<0, 则s=oFHx+oFH⅓卡0，-， 8 又因为x+x2=my+1+my2+1=m(y+y2)+2= 3m2+4’ 4-3m 所以线段DE的中点G(3m+4'3m+, -3m_) 所以N4,3m产+4· 69 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 -3m -37m 所以k= 1-3m2+4- y3m2+4 x-4 my-3 -3m -3m -3m2+4_43m2+4, k2= x2-4 my2-3 -3m -3m 所以k-= y3m2+4_ 2-3m2+4 my-3 my2-3 -3mXmy2-3)-0,3m2+4 -3m 3m2+4 my-3) (my-3)(my2-3) G m2yy2-3m(y+y2)+9 3m2 (y2-y) 3 3m2+4 36(m2+1) 3m2+4 =30y-), S 2(4-)3 所以k一k 30-h) 2’ S 所以k-匀为定值 70 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 x2 y2 32.(2026安徽阜阳二模)己知双曲线C:。茶=1(a>0,6>0)的焦距为8，点（(4-4)在双曲线C的一条渐近线 上过双曲线C的左焦点F作直线I交双曲线C的左支于A,B两点 (1)求双曲线C的方程： (②)已知点P(4,2),直线4P交直线x=-2于点Q,设直线0A,QB的斜率分别为k,k,求证：k-k为定值 【详解】(1)由题意知2c=8,则c=4,所以a2+b2=16, F B 因为点(4，-4)在双曲线C的一条渐近线上， 所以点44在双曲线C的新近线=-合上，所以。=b, 综上可得a2=b2=8, 数双线c的方为专苦山 1 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (2)由(1)知双曲线C的左焦点为F(4,0), 由题意设直线l的方程为x=my-4(m≠0)， 由直线AP:y-2=k(x+4),得(-2,2+2k), 爱4小周头4 x+4y, 所以k-k=当-2_当-2-26 my my2-2 _（y-2)(my-2）-my(-2-2k）_-2m%2-2y+4+2my+2mky my(1y2-2) m1y(my2-2) x2-y2=8 由x=my-4得(m2-1)y2-8mv+8=0,其中0<m<1 8m 8 则A=32m+32>0:乃+⅓=m一：4=m与所以y+为=m2 因为4=上2 my，所以mky=y-2, 所以k-k,=-2m-2%+4+2m+2mk=2m0y-2) my(my2-2） my (my2-2) 204-2).204-⅓)-20y-4-2 myiy2-2y +y2-2y y2-y 即k-k,为定值 33.(2026山东模拟预测)已知抛物线E:y=2x(p>0)的焦点为F,点D(2p,0)，P为E上一点，当 PD⊥x轴时，PF=5. 72 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (1)求E的方程： (2)当P在E上运动时，直线x=m被以PD为直径的圆所截得的弦长为定值，求m的值. 【详解】(1)当PD1x轴时，y=2p×2p=(2P)',所以y=士2p, 所以P点坐标为(2p,2p）, 因为P-2p+号号=5，所以p=2 22 所以E的方程为y=4x； (2)设P(4,4),而D(4,0),则以PD为直径的圆的圆心为O(2+21,2）, 设圆心O到直线x=m的距离为d,圆O的半径为R, 则d2=(2+22-m, R-Po-4-4+(]=4[e-+r] 设直线x=m被以PD为直径的圆所截得的弦长为'， 则若--=4-+r]+-m时=w-12r+m-m) 因为当P在E上运动时，直线x=m被以PD为直径的圆所截得的弦长为定值， 12 所以 4m-12=0,得m=3,此时4=12-9=3即1=25， 即此时弦长为定值2V3. 73 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 3 4(2025四川成都宫已知圆C:￥+0<b<2,离心率为，圆C:+y=4 D (1)求椭圆C的方程； Q收图所示，AB足曲线C.C,的两个公共顶点，过点号0作一直线卢碳C交于CD两点〈D在C的上方》. 过D作与y轴平行的直线与圆C在x轴上方交于点D', ①证明AD'I/BC: ②若直线AC,BD'交于H,求证：OE·OH为定值. 【详解))由题意知a=22=3 =a=2,则c=3, 所以b2=a2-c2=4-3=1, 所以椭圆C的方程为4+少=1. 74 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 2 (②①直线，的斜率不为0，设的方程为x=少+3，C(:,y),D(x,) 2 x=ty+ 联立 x2 ,得 4+y=19+4y+120-32=0 4t 32 △=1442+36+4x32>0:则%+%=3C+4,= 9(t+4) 由D在椭圆上，D在圆上，易知D'(x,2y), 则AD=(+2,2y),BC=(:-2,y), 因为5=+号，名=+号 所以2-2g6+2)-2所+号-2*号+2小-+)。 32 则ADI∥BC,从而AD'IBC. ②直线1C的方程为++2》，直我60的方程为y=-2刃. 则功2-。 岩器 2+号+2 2 2+16 +2 4 93 75 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 8(0y+y2) 由①中韦达定理可知少y2= 3 6 2yy2+ 3y23（4+h)+16 16.3 代入可得 3 4 +) 8 4,8 2=4, y-3y 3当 3)2 1+2=4,可解得=了 10 即x4-2 由题惠，可设n号，则o丽-侣m): 又0E-（号0从面0正.0O丽-9，所以7E.O丽为定位9。 35.(2026:上海浦东新·三模)已知抛物线「：y=4x与斜率为1的直线相交于A,B两点.F是「的焦点.C是「上 异于A,B的一点. (1)证明：FA≠FB: (②)若C是「的顶点且CA1CB,求直线l的方程； (3)设AB=4V2且AABC的外接圆与T有异于A,B,C的公共点D.证明：直线CD斜率为定值，并求出此定值. 【详解】(1)如图，作出符合题意的图形， B 76 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考期中期脉一 由题意得「：y2=4x,F(1,0).设：y=x+b」 联立化简得x2+(2b-4)x+b=0,而判别式△=(2b-4)2-4b2>0. 解得b<1,由焦半径公式得FA=x+1,FB=x3+1 若FA=FB,则x=,则△=0， 即(2b-4)2-4b2=0,解得b=1,与b<1矛盾，故F4≠FB. (2)由题意得C为顶点(0,0)，若CA⊥CB,得到CACB=+yy2=0 而y=+b,可得xx2+(:+b)x2+b)=2xx2+b(x+x)+b2=0, 由韦达定理得x+x=4-2b,,=b,则2b2+b(4-2b)+b2=0, 解得b=0或b=-4,当b=0时，1：y=x,此时不符合题意，舍去， 当b=-4时，1：y=x-4,满足所有条件，故1：y=x-4. (3)对于一元四次方程ax4+bx3+cx2+dk+e=0, 设四个根为x,2,,x4,则方程为(x-x-x2)x-x)x-x4)=0, ax*+bx'+cx2+dx+e=a(x-x)(x-x2)(x-x3)(x-x), 化简得ar-aG+x+x+x)x3+cr2+d+e=0, b 可得+名+无+x,=一日，则韦达定理得证， 如图，作出符合题意的图形， 77 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 由题意得|4B=4√2，则由弦长公式得V2×√6-16=4V2, y=x 解得b=0故1：y=x,联立y=4x,解得x=0或x=4 则A(0,0),B(4,4),令y=2t,则x=t2,即点(t,21)在T上. 对于点A,有24=0，即4=0：对于点B,有212=4，即52=2. 设C(G,21,),DG,2,),将△ABC的外接圆方程可设为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将x=,y=2t代入，可得()？+(2)2+D1+E21+F=0, 化简得+(D+4)2+2E1+F=0 此四次方程的四个根恰为外接圆与厂的四个交点的参数4，，，4. 由韦达定理得+5，+6+4=0，则0+2+6+1，=0.得到4=-4-2， 由意意得直线c0的斜率为24凸=，20)。2 t-号(t4-53)t4+1)t4+t’ 八 代入1，+5=(5-2)+5=-2，得km=2 此值与无关，故直线CD的斜率为定值-1. 78 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 【题型七】最值与取值范围问题 36.(2026辽宁沈阳模拟预测)已知点P在圆O:x+y=4上，作PD垂直于y轴，垂足为D,点M为PD中点. (I)求动点M的轨迹E的方程： (2)直线：y=c+m与y轴交于点Q,与E交于A、B两个相异点，且A0=30B,求m的取值范围. 【详解】(1)由题意，设点P(x,%)、M(x),则D(0), x= 因为点为线段 的中点，则2，即=2x M PD y=Yo (%=y 因为点P在圆0：x2+y2=4上，所以x6+6=4,即(2x)2+y2=4, 因此，点M的软迹6的方程为+号1， y D M (2)由已知可得Q(0,m),设点A(x,c,+m）、B(x2,c2+m). y=kx+m 联立 4x2+y2=4得(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0 由已知可得△=4k2m2-4(k2+4m2-4)>0,得k2+4-m2>0, 2km m2-4 由韦达定理可得x+x=2+4,X=k2+4 79 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 因为A0=30B,即（←x,-)=35,),则-x=3x2,即x=-3x2, 12km2+4m-=0. 所以3(x+x}+4x5=0,所以2+4+2+4 即k2m2+m2-k2-4=0, 当m2=1时，k2m2+m2-k2-4=0不成立， 所以K2=4-m2 m2-1 久+4-m>0相哥4-心0， m2-1 解得1<m2<4,因此，m的取值范围是（山，2）U(-2,-1)」 B 7.(2026浙江模拟预)卫知猫圆E。+(Q>6>0)的离心率为，右焦点为F左石顶点分别为4 且AB=4,点P(m,n)在第二象限 (1)求椭圆E的方程； ☒当p在E时，直线：=与周P-k-+-=交直M,N(点N在第象限)，求APON △POF的面积之比的取值范围： (3)当m=-Q时，过点P的直线交E于点C,D(点C在第二象限，点D的纵坐标小于O),直线OP与BC交于点T, 求直线AT与直线AD斜率之差的最小值. 80 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 a=2 【详解】(1)由题意，得 a2,即b=v5 2a=4c=1 x2.y2 椭圆的方程为4+了1： (②)由已知可知m0,0,直线PFy=m产（-) 设直线PF与直线I的交点为N, =- 由 少3m得 4n2 -3mn, 4n 4n+3m(m-)’4r+3m(m-可) 将4=2-3m代入得，2%=四 4n2 4(1-m) -4n 因为%-m=34-,%-=4-m 16m2-2m+1+12-3m2 4 44-m)2 =4=a2, (4-m)月 (4-m)月 (4-m)2 即N在⊙P上，又N、N均在第一象限，所以N=N→P、N、F三点共线， 设面化-令 因为PN、F三点共线， S.PON PN 2 2 4 所以SPor PF V(m-l)}+n2 Vm-1y+12-3m4-m, 4 81 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 因为m20:所以-得剖 P M (3)延长AT与椭圆交于点R, 设P(-2,n),C(x,),D(x), 白解圆中心对称性可知，直线D0与稀圆另一-交点R(仁5，为）》则K:产2 联立直线y产2-2与P0:y= 2x,解得= 4y2 2y2+n(3-2) n 4y2 -n 2y2+n(x2-2） -41y2 -4y2=2 女+2x7+2 2 42 2[4y-2(2y+n(-24n(3-2)3-2, 2y2+n(x2-2) 即KR4=KH,所以R在直线AT上，即R=R, 所以D,O,R三点共线， 由椭圆第三定义知KmKo=-? 4 从而Kn-K0=K+≥之5， KAT 82 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 当且仅当K4r=2取等号， 所以直线AT与直线AD斜率之差的最小值为V3】 R B 38.(2026安徽宿州模拟预测)已知点P在直线1：y=-2x+3上移动，椭圆C以F(-1,0)和E(,0)为焦点且经过点 P F F 折叠前 折叠后 (1)当椭圆C的长轴长最小时，求椭圆C的标准方程： (2)在(1)的条件下，直线y=x+m与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方），将平面Oy沿x 轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AFF)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面B'FE)垂直 ①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线A与平面AB所成角的正弦值； ②求三棱锥A'-BFF体积的最大值， 【详解】(1)设F(-1,0)关于1：y=-2x+3对称的点M(m,m), 则由垂直关系和和M中点在直线I上，可得 83 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 n (-2)=-1 m+1 -2.0，+3解得m=3 +3 21 n=2 2a=PF+PF=PM+PF≥ME=2√2（当且仅当M,P,F三点共线时等号成立）. x ÷椭圆的标准方程为2+少=1 (2)翻折后，如图： FO F2 折叠后 ①当B为椭圆的下顶点时，由题意知B(0,-),直线：y=x-1, 4 X= y=x-1 3 联立方程组可得 x2 ,解得1或∫x=0心 2 +y2=1 令原来'轴负半轴所在直线为z轴， 则传 B(0,0,1),F(-1,0,0)F(L,0,0) 84 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 预(3阳（子丽（分 设i=(a,b,c)为平面AB'F的一个法向量， AB元=-4。-1， -a--b+c=0 3 3 则 11 A'Fn=- b=0 3 a=1 令，所以b=1,即 a=1 c=1元=1，-1,1) 设直线A'F与平面A'B'E的夹角为O, 则sin6=cos 4F,= A'F方 =i50V6 25- 5 ×V2+(-12+1 x2 +y2=1 ②联立方程组 2 ，整理得 y=x+m 3x2+4mx+2m2-2=0 △=(4m)}-4×3×(2m2-2）=24-8m2>0,.-5<m<√5， 设4小B)小则+名=智=2m2 3 33+m2-m-2 y=(G+m)+m)）=+m6+5)+m2=2m-2_4m+ 3， 由y<0可得-V2<m<√2，A(G,,0),B'(x,0,-h), 85 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 n53号×2x()-半-2m 39 所以当网=0时。千-5F5的体积最大，此时%号 39.(2026云南三模)在平面直角坐标系中，4(-1,0)，4，(1,0)，以4为圆心作半径为4的圆，M是圆上任意一点， 线段MA的垂直平分线与半径MA交于点C (1)当M在圆上运动时，求点C的轨迹方程： (2②)过4的直线I交曲线C交于D,E两点，点D关于x轴的对称点为D, ()直线D'E与x轴的交点为P,求点P的坐标： PDP+PE (i)求 DEP 一的取值范围 【详解】(1)因为M是圆A上任意一点，点C为线段MA的垂直平分线与半径M4的交点， 则MC=C4,故CA+CA=CA+MC=4M=4, 又因为44，|=2，则C4+CA,=4>44 所以C的轨迹是以A,A为两焦点，长轴长为4的椭圆， 即a=2,c=l,b=V5, x2,y2 故c的轨迹方程为4+3=1 (2)()由已知直线1与直线AA不重合， 设过4，(，0)的直线DE方程为x=my+1,D(,),E(,2),D(,-), 86 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 联立43，化简得 x=my+1 3m2+4）y2+6my-9=0 6m 9 显然A>0:且4+为=3m+44=3m+4: 又因为e=占+上 名龙，则直线的方程为+=（x一x),令v0,得x=十业 X2-X yi+y, 将=y+l,=m+1代入上式， 9 得x=(my2+1)+(my+1)y22myy2+y+y2二3m+4+1=4 y+y2 y+y2 6m 3m2+4 所以点P的坐标为(4,0) -12(m2+1) 由①得1D=+m,+-4=3m+4 1PDP=(x-4)2+=(my-3)}2+y=(m2+1-6my+9, 同理得，1PE=(m2+1)y2-6my,+9, 则PDP+PE=(m2+1)(+)-6m(y+)+18 =(m2+1)儿y+y}-2y]-6m(y+y)+18 6m 9 将+h=3m+4=3m+4代入 化简得，PD+1PE-18(20m+41m2+20) (3m2+42 87 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 18(20m4+41m2+20) PDP+PEP (3m2+4 (4m2+5)(5m2+4） 故 IDEP 144(m2+1 8(m2+1)2 (3m2+4)2 令1=m2+1(t≥)，则m2=t-1, oEr.a-.090+是 IDEP 82 由21则0<1， PDP+PEP 当1_1时， 81 PDP+PEP DEP 当1=1时， 5 2 1 2 max PD+PEP [581 所以 IDER 的取值范围为232] 10,(2026江苏南京模拟预测)双曲线C:兰-广 :云厅=1的左右顶点为4,4，其渐近线上有一点B(-4,4),且B41x 轴， (1)求双曲线C的方程： (2)过A,点作直线I交C于P点，P点在第一象限. ()若△4，BP的面积为14，求直线I方程； 88 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉一 (i)若∠A,PB为钝角，过B作I的垂线，垂足为H,求PHPA的最大值. 【详解】（山）双曲线c的渐近线上有一点B-4,4,所以其渐近线方程为y=-X,、1,即。b a 又B41x轴，4(4,0)，即a=4. x2 y2 1 :双曲线c的方程为i6i6 (2)(i0由(1)可得，A,(4,0),B(-4,4),4,B到=V-4-4)2+(4-02=4V5 直线A,B的方程为x+2y-4=0 皮P4Xg>0活活=-D 点p到直线4B的距离d=5+2”-4_出+2-4 V1+22 5 8e-5,5g414,聚理05+2-=7+2-1② V5 联立①②，解得x=5,=3,故点P(5,3) 直线1的方程为y=3x-12 89 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (ii)P4=(4-x,-y),PB=(-4-x,4-y) :∠4PB为钝角，·PA·PB=x-16+-4y=2-4<0,片∈(0,2). 则PHPA,|=-PA,·PB=4y-2=-2(y-1)2+2, 当y=1时，P阿PA有最大值2 41. （2026山东日照三模)在平面直角坐标系0，中，已知双期线C:?- 京=1（6>0)的左，右焦点为F,F, 直线I交C于A,B两点，点M(,y)在C上.且当△MR为等腰三角形时，m∠F-子 (1)求C的方程： (2)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与 此三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答：当△ABC的三个内角均小于120°时，使 得∠40B=∠BQC=∠CQA=120°的点9即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费 马点. ①当M为C的右顶点时，若MA⊥MB,求I与x轴的交点的坐标； S+S2 ②当I过点(-2x,2,)时，记MB的费马点为P,△PMA'PMB'APMB的面积分别为S:S,'S,求S,的 最小值。 【详解】(1)由对称性，不妨设点M在双曲线右支上，则M≠M引， 若ME引=|FE引，则lMF=2e,MEl=2c+2，“∠ME,E>∠MEE=∠E,ME, 又因为0s∠R-分所以∠FM>骨 所以∠MFF+∠MFF+∠FM>π，矛盾，舍. 90 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 若M=F则wg=2x·Mr=c-2eas∠FMg-2- 2-2c-(2c-2)-4, 解得c=2”:=3所以双曲线C:x-?1 (②0油0班c:2-若1 当直线I斜率为零时，设A(:,),则B(-x,-y), MA⊥MB,.MA⊥MB, MAMB=(x-1,y)(-x-1,y)=1-+=0, 又因为-苦=1，解得5=0：不符合想忘 当直线的斜率不为零时，设：x=少+m,A(,乃)，B(x,少)， x2_y2 =1 由 30,可得6r-y+6mw+3m-4)=0'-1*0 x=ty+m △=36t2m2-4(32-1(m2-1)>0 6tm 则4+%=32- , 3(m2-1 y2=32-1 MA⊥MB,.MA⊥MB,MA·MB=0, ∴(：-1(52-1)+y=0(2+1y2+(m-10(y+52)+(m-1)=0, 91 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 +(m-1)=0, ∴m2+m-2=0.m=-2或1（舍），m=-2时，满足△>0， ∴1与x轴交点的坐标(-2,0) ②设1的方程为m(x-x)+n(y-)=1. 因为1过点(-2xo2%),所以-3mx,+%,=1. 由c:-号=1变形得3[-)产了-[0-⅓)+=3， 即3(x-x)-(0y-%)}+[6x(x-x)-2(y-%】=0, 所以3(x-}-(y-%2+[6x,(x-x)-2%(y-][m(x-)+(0y-%]=0, 整理得-(1+2)y-业+(6x,-2m,)-+3+6m,=0, x-X0 x-xo 所以kMa·kMB= 3+6-3+22=-1,即MALMB 1+2yo 1+2yo 当M4°MB中有一条直线斜率不存在时，假设M斜*不衣在，46，小过点(2X,2)可得：=之，由 92 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 对称性可知B(-,)也满足MA⊥MB 综上，恒有MA⊥MB,所以费马点P在△MAB内部，且∠APM=∠BPM=∠BPA=120°， 4+e01PM5a2 （PA+PB)PM_PMPM 2PAPasm20 PA PB PAPB· 又因为M4+MB=AB,由余弦定理得： PA+IPM+PA-PM+PB+PM+PBPMI=PA+PB+PA PBI, 所以2lPM+PAPM+PBPM=|PA PBI, IPML PMIPMPM=1 即2PAPB+PAP8 PM PM=天，PBy,则2y+x+y=1:所以+S2=x+y 令PA S 因为2w+y=1《++)所以+y之5-1： 2 V3-1 当且仅当x=y= 2一时等号成立， S+S2 所以S, 的最小值为5-1 42.(2026湖南长沙二模)已知双曲线r:-长=1.6>0：左右顶点分别为4.4，过点M-20的直线，交双 曲线「于P,Q两点. (I)若离心率e=2时，求b的值： 93 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (2)若6=2v6 ,△MA,P为等腰三角形时，且点p在第一象限，求点p的坐标； (3)设直线00与双曲线Γ另一个交点为R,若4R·A,P=1,求b的取值范围. 【球解山白您意得e一台片2，则。=2” b=V22-1=3 (2)当6=26 时，双曲线Γ：x2_3 =1, 8 其中M(-2,0),A,(1,0), 因为△M4,P为等腰三角形，则 ①当以MM,为底时，显然点p在直线x=~2上， 这与点P在第一象限矛盾，故舍去： ②当以A,P为底时，MP=MA,=3, x= 23 [x=-2 11 姿 1 联立解得 8v17或 8W7或x=1, P(x,y) 11 y 11 y=0 因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去： (或者由双曲线性质知MP>MA,,矛盾，舍去)： ③当以MP为底时，4，PMA=3, 设P(x),其中x>0,%>0, 94 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 x0=2 解得 %=2V2,即P(2,22) 综上所述：P(2,2V②) (3)由题知4(-1,0)，4(1,0). 当直线1的斜率为0时，此时AR·4,P=0,不合题意，则k,≠0， 则设直线：x=my-2, 设点P(,片)，(x,),而直线OQ与双曲线T另外一个交点R, 根据双曲线对称性知R(-x2,一2)， x=my-2 立2y2,→(b2n2-1y2-4by+3b2=0 O VA A 显然二次项系数bm2-1≠0， 其中△=(-4mb2)2-462m2-1)3b2=46m2+122>0, 4b'm 3b2 y+%=6m㎡-0，=6m-②， 95 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 则4R=(x+1,-2),P=(G-1,), 则4R·4P=(-x+1(3-1)-y2=1, 因为P(x,乃)，(x,)在直线1上， 则x=my-2,x2=my2-2, 即-(m%2-3(m%-3)-y2=1,即(m2+1)-(y+2)3m+10=0, 将02代入+小家为加 4b2m+10=0, 即3b2(m2+1）-3m:462m+10(b'm2-1）=0 化简得b2m2+3b2-10=0, 所以-93，代入到6m-10 得10-3b2≠1，所以b2≠3， 且-是-320，解行s 3 又因为6>0：则0<6 3 综上知，e0(9], 所e同-6 43.(2026湖北武汉三模)已知抛物线C:x=2py(p>0),0为坐标原点，过点P(1,1)作斜率k(k<0)的直线1交 96 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 抛物线C于A,B两点，其中A在第一象限，直线OP交抛物线C于另一点D,其中OD=3OP,直线OA与直线BD交 于点M. (1)求抛物线C的方程； (2)记△MAD与△MOB的面积分别为S,S2. (i)当O,A,D,B四点共圆时，求直线的方程； S (i)求S,的取值范围. 【详解】(1)因为点P(1,1),则OP=(L,1), 又0D=30p, 则0D=(3,3), 所以D(3,3). 代入抛物线C:x2=2py, 得到)=6p·解得P= 所以抛物线C的方程为x2=3y. (2)(1)因为直线1方程为y=k(x-1)+1(k<0), 97 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 设A(x,),B(,)。 y=k(x-1)+1 联立 x2=3y 消y得到x2-3+3k-3=0, 则+x3=3k,xx2=3k-3 当O,A,D,B四点共圆时， 则有∠OBA=∠ODA,∠BOD=∠BAD, PO PA 故POB-APAD'则PBPD 所以PA-PB=POPD, 又P4=6-+-=-m+=i-. 同理可得PB=1+k2x2-1, 由两点间的距离公式可得P0=P+P=V2,PDl=√3-12+3-1)=2V2, 所以PAPB=(1+k2)压x5-x-3+1=4, 即1+k2)3k-3-3k+1=4, 整理得到k2=1, 又k<0,所以k=-1, 故直线的方程为y=-x+2」 98 宋老师数学图文制作室 ⊙初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 (i)由o(0,0),3 得到直线O4y=亭x, 及3 x2+3 直线B0:y=5(k-3)+3, 3 y=*x 3 联立方程 -3 3x2 解得xw= x2+3-x 由+x2=3k,xx2=3k-3, _3-X 得=1-x, 3x3-x 所以xw= 3x2 ×1-x一= 3 5+33+3- 2-x 1-x1 M4 MDsin∠AMB 2 又S2 2 sin∠AMB 99 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味一 MA MD MO MB xw-xxw-3 xwlxw-l 3 -3 2-x 2-x 3 33-x 2-x2-x1-x =(x-12, 当y=1时，由x2=3y,得x=±5， 又直线I的斜率k<0, 则1<x<3, 所以0<&<4-25. S, 故3，的取值范围为0,4-2W5) 44.(2026广东江门二模)已知圆C的圆心在第一象限且圆C与两坐标轴均相切，抛物线「：y=2x(p>0)经过圆心 C. (1)求圆C的标准方程. .3p (②)设r与圆c交于A'B两点，证明：4'B两点到x轴的距离均不小于4. (3)O为坐标原点，过圆心C的直线I交T于另一点P,『的焦点为F,求OCP+OP-|CFP-PFP的最小值. 【详解】(1)设圆C的半径为(r>0), 100