1.3.1矩形的性质与判定（1） 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册§1.3.1矩形的性质与判定同步练习，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层，覆盖性质辨析、计算推理到综合证明，适配新授课知识内化与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|矩形性质（对角线、直角三角形斜边中线）|概念辨析（选择1矩形与菱形性质对比）、基本计算（填空4对角线长度、填空5斜边中线），夯实抽象能力与运算能力| |能力提升|矩形折叠、作图应用|折叠变换（填空7-9）、尺规作图（选择3），发展空间观念与几何直观| |综合应用|性质与判定综合、跨知识点结合|证明题（解答10平行四边形与矩形性质综合）、菱形与矩形结合（解答13），培养推理能力与模型意识|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §1.3.1矩形的性质与判定（1） 一、选择题 1.矩形具有而菱形不具有的性质是(　　) A.对角线相等 B.两组对边分别平行 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB 3.如图，在矩形中，连接，分别以点B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交、于点E、F，连接、，若，，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. (1)若AB＝6，AD＝8，则BD＝　 　； (2)若AO＝1，则AC＝　 　，BD＝　 　； (3)若∠ACB＝30°，则∠AOB＝　 　°，△AOB的形状是　　 三角形. 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点. (1)若BD＝5，则AC＝　 　； (2)若AB＝4，BC＝3，则BD＝　 　； (3)若∠C＝50°，则∠ABD的度数为　 　. 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.若AB＝4cm，BC＝6cm，则图中阴影部分的面积之和为　　cm2. 7.如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于________________． 8.如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么长为_______． 9.如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在处，折痕为，若，则______． 三、解答题 10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E. (1)求证：AC＝AE； (2)若∠AOB＝120°，AE＝8，求BC的长. 11.如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； (2)求证：EF 垂直平分 AD. 12.如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE. 13.如图、菱形 的对角线 、 相交于点 、 是的中点，点， 在上，、 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1.　A　2. C 3. D 4. (1)　10　；(2)　2　，　2　； (3)　60　，　等边　. 5.(1)　10　； (2)　2.5　； (3) 40°　. 6.12　. 7. 1.5 8. 9. 10.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AD∥BC.又∵AE∥BD， ∴四边形AEBD是平行四边形. ∴BD＝AE.∴AC＝AE. (2)解：∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝60°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝AC，OB＝BD，AC＝BD. ∴OB＝OC.∴△OBC是等边三角形. ∴BC＝OC＝AC.由(1)可知AC＝AE＝8， ∴BC＝×8＝4. 11.解：（1）∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝×8＝4. ∴四边形AEDF的周长为 AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18. （2）证明：∵ DE＝AE，DF＝AF， ∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD. 12.解：连接 EG，DG.由题意知∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴ EG＝ BC，DG＝ BC. ∴ EG＝DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE. 13. (1)证明：∵四边形是菱形， ∴，∴ 是 的中点， ∴，∴， ∴，∴，∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形 是菱形， ∴，∴， ∵ 是 的中点，∴； 由（1）知，四边形是矩形， ∴，∵，∴， ∴． $