精品解析：天津市北辰区太行高级中学2027届高三第一次月考数学试卷

太行中学2027届高三第一次月考数学试卷 （总分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共9个小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设a＝30.5，b＝log32，c＝cos，则a，b，c的大小关系是（ ） A. b＞a＞c B. a＞c＞b C. b＞c＞a D. a＞b＞c 4. 的图像是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n均大于0，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 10 7. 已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 8. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数（，）的部分图象如图，则（    ） A. B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在有3个极值点 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知角的终边经过点，则________． 11. 已知，则______． 12. 若，则______． 13. 在中，，，，则__________． 14. 已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 15. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是______． ① ②的图象关于点中心对称 ③在区间上单调递增 ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 三、解答题本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）求的对称中心和对称轴． 17. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 18. 已知函数． （1）求函数在区间上的最值； （2）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，求的长． 19. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知 （1）求b的值; （2）求 sin C的值; （3）求 的值. 20. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太行中学2027届高三第一次月考数学试卷 （总分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、单选题：本题共9个小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出全集U，再求出，最后求出其与B的并集． 【详解】因为，，则， 又因为，则. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 设a＝30.5，b＝log32，c＝cos，则a，b，c的大小关系是（ ） A. b＞a＞c B. a＞c＞b C. b＞c＞a D. a＞b＞c 【答案】D 【解析】 【分析】容易得出，，，从而可得出的大小关系. 【详解】，，， . 故选：D. 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，余弦值在各象限的符号，以及增函数的定义，属于基础题． 4. 的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为由题可知函数的定义域x不为零，同时由于y=cosx是偶函数，y=lnx2是偶函数，那么可知是偶函数，满足f(-x)=f(x)，故排除选项C，D．对于选项A,B的选择，只要取靠近原点的一个x的值，看其函数值的正负便可以确定出答案,当x趋近与0,从右侧无穷趋近于零时，则可知对数值为负数，而函数f(x)的值为正数，因此排除B，选A. 考点：本题主要考查函数图像的表示和运用． 点评：解决该试题的关键是理解函数的定义域和值域以及函数的奇偶性和单调性的确定，同时要注意到特殊点的坐标对于图像的影响． 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，又，则， 所以. 6. 已知m，n均大于0，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：∵，∴，当且仅当，即，时，等号成立．故最小值为. 故选：C． 7. 已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线的斜率以及方程，将点的坐标代入直线的方程，即可求出的值. 【详解】因为，设切点坐标为， ， 直线的斜率为，解得：， 所以直线的方程为， 将点代入直线的方程得，解得. 8. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，由正弦定理可得. 所以， 因为，， 所以. 因为，所以，所以. 所以. 9. 已知函数（，）的部分图象如图，则（    ） A. B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数在上单调递减 D. 函数在有3个极值点 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象解出函数的解析式，利用正弦型函数性质求解. 【详解】A:由图可知的周期为：，又，所以； 由，即，且，所以； 由，所以，所以，故A错误； B：由A的分析知， 因为为偶函数，故B正确； C：由，得，故在上单调递增，故C错误； D：因为，，，， 所以函数在有4个极值点，故D错误. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 已知角的终边经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义，由终边上一点的坐标求该点到原点的距离，再求正弦值． 【详解】因为角的终边经过点，所以． 因此． 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求出正切值，然后利用同角关系求出正切和余弦值. 【详解】因为， 所以，所以； 由，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】已知，则有，， 由换底公式可知，， 所以. 13. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 14. 已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过导数判断函数在区间上的单调性，再结合零点存在定理列不等式求解的取值范围. 【详解】对求导得：. 当时，且，故，因此在上单调递减. 因为在内有零点，结合单调函数的零点存在性质，可得：  ， 计算端点函数值： ，， 代入不等式得： ，解得，即. 15. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是______． ① ②的图象关于点中心对称 ③在区间上单调递增 ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】①③④ 【解析】 【详解】由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以. 又图象经过点，代入解析式得：，即，解得. 因为，所以.故选项①正确. 由图象可知，函数在处取得零点，且此时图象处于下降阶段. 对于正弦曲线，当时，函数值为0且处于下降趋势. 所以，整理得：，解得：， 因为，且，所以.即函数解析式为. 选项②：将代入解析式：. 因为，所以点不是函数图象的对称中心，故选项②错误. 选项③：令，当时，， 正弦函数在区间上是单调递增的. 因为，所以函数在区间上单调递增，故选项③正确. 选项④：将的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为： ，代入，得： ，这与函数的解析式完全一致.故选项④正确. 三、解答题本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数在一个周期内的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）求的对称中心和对称轴． 【答案】（1） （2） （3）对称中心，0；对称轴+ 【解析】 【分析】（1）由图象求出、，由图象过点求出可得答案； （2）利用正弦函数的单调性可得答案； （3）利用正弦函数的对称性可得答案. 【小问1详解】 由图象知，，所以， ， 由图象过点，代入解析式得，， 所以，因为，则， 所以； 【小问2详解】 令， 解得， 故函数的单调递增区间为； 【小问3详解】 由得， 所以的对称中心为， 由得， 所以的对称轴方程为，. 17. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 若，，所以， 则，， 则. 18. 已知函数． （1）求函数在区间上的最值； （2）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，求的长． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得，再利用整体法即可求得最值； （2）根据（1）的结果得到，再利用三角形面积公式和余弦定理即可得到答案. 【小问1详解】 ， 即． 当时，， 当时，即时取得最小值，． 当时，即时取得最大值，. 【小问2详解】 ，， ，即， ，解得：， 又，故， 由 ， ， ， 由余弦定理得： ， 故． 19. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知 （1）求b的值; （2）求 sin C的值; （3）求 的值. 【答案】（1） （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出得到，再利用余弦定理即可求解. （2）利用正弦定理即可计算求解. （3）先由倍角公式求出、，即可由两角差的余弦公式求. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理，得到； 所以. 【小问2详解】 因为，所以； 由正弦定理，得到. 【小问3详解】 因为， ； 所以； 20. 设函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若且函数有两个不同的零点，，且， ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）①. ②不妨令，因为， 由①知，，即，而， 要证 只需证明， 即证， 令，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 即， 因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出，分、讨论可得答案； （2）①转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，利用导数判断出函数在上的单调性可得答案； ②不妨令，由①要证，即证，令，令，利用导数判断出函数在上单调性可得答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ①当时，， 函数有两个不同的零点， 等价于方程有两个不同的根， 等价于函数的图象与直线有两个不同的交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 所以的取值范围为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $