专题02 实数重难点题型专训（5个知识点+17大题型+自我检测）-2026-2027学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理了实数单元的5个核心知识点，涵盖无理数的三种形式、实数的分类、近似数的精确度、科学记数法及实数大小比较方法，清晰呈现各知识点的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层设计19类题型，从基础的无理数识别到提高的规律探究，如用平方差公式估算算术平方根，培养运算能力与推理意识。自我检测结合航天、纳米等现实情境，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题02 实数重难点题型专训（5个知识点+17大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、无理数 1 题型二、无理数的大小估算 2 题型三、无理数整数部分的有关计算 3 题型四、计算器——平方根和立方根 4 题型五、求一个数的近似数 5 题型六、求近似数的精确度 6 题型七、近似数推断取值范围 7 题型八、实数概念理解 8 题型九、实数的分类 9 题型十、实数的性质 10 题型十一、实数与数轴 11 题型十二、实数的大小比较 12 题型十三、程序设计与实数运算 13 题型十四、实数运算的实际应用 14 题型十五、用科学记数法表示绝对值大于1的数 15 题型十六、用科学记数法表示绝对值小于1的数 16 题型十七、还原用科学记数法表示的小数 17 第二部分·练提高题型 题型一、无理数估算综合问题 1 题型二、实数的规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·北京·期末）若，则整数n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵已知，且为整数， ∴． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）写出一个你喜欢的无理数________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，任选一个满足定义的数即可． 【详解】解：是无限不循环小数，符合无理数的定义， 知识点02 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，均为有理数， ∴选项A、C、D不符合题意； ∵是无理数， ∴选项B符合题意． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在实数∶，，，，，π，中无理数有________个． 【答案】4 【分析】本题考查了立方根，实数的分类； 先根据立方根的定义化简，再根据无理数的概念判断即可． 【详解】解：，，，是有理数， ，，π，是无理数，无理数有4个， 故答案为：4． 知识点03 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）用四舍五入法将0.06029精确到十分位，得到的是（     ） A．0.1 B．0.060 C．0.06 D．0.0603 【答案】A 【详解】解：将0.06029精确到十分位，观察百分位数字为6，向十分位进1，得0.1． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）三千九百零六万零四十写作______，省略万后面的尾数约是______． 【答案】 39060040 3906万 【分析】按照整数的写法规则写出目标数，再利用四舍五入法省略万位后面的尾数得到结果 【详解】解：三千九百零六万零四十写作：， 千位上的数为，，舍去万位后的尾数，再加上计数单位“万”，因此：万 知识点04 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，需要满足，为整数．题中数据的小数点向左移动位，可以得到，此时，即可求解． 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知该器件执行一次擦写任务需要400皮秒，则该器件1秒可以擦写__________次（注：1皮秒等于秒；计算结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】先根据单位换算得到单次擦写的时间，再用总时间除以单次擦写时间计算次数，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：由题意可得，1次擦写需要的时间为 秒， 则1秒可以擦写的次数为 ． 知识点05 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（2026·山东威海·模拟预测）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 2．（2026·陕西·模拟预测）比较大小：_____(填，， 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【基础题型一 无理数】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）下列各数中：，，，，，，，中，无理数有几个？（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先化简可化简的数，再分类判断． 【详解】解：是分数，是整数，、是有限小数，是整数，以上均为有理数． 开方开不尽，含无理数，是无限不循环小数，以上均为无理数． 无理数共3个． 【例2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】无限不循环小数即为无理数，据此即可作答． 【详解】解：∵m是无理数，且， ∴一个符合条件的m为（答案不唯一）． 1．（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的数据： ①“嫦娥五号”轨道修正次数与总飞行距离的比值约为 ②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为万千米 ③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为个标准大气压 ④火箭发动机某部件体积恰好为立方米． 老师要求找出上述数据中属于无理数的个数，正确答案是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数，逐个分析． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； ，是无限不循环小数，因此是无理数； 开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数共个． 2．（25-26八年级上·全国·阶段检测）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入x的值为64时，输出y的值为_______ （2）分析发现，当非负实数x取_______时，该程序无法输出y的值． 【答案】 0或1 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把代入按程序计算即可求出值； （2）0的算术平方根和立方根都是0，1也是一样，不会是无理数，不能输出y值． 【详解】解：（1）当时，，， 当时，； 故答案为：； （2）当时，，，一直计算，0的算术平方根和立方根都是0，不会是无理数，不能输出y值， 当时，，，一直计算，1的算术平方根和立方根都是1，不会是无理数，不能输出y值， ∴当非负实数x取0或1，该程序无法输出y值， 故答案为：0或1． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 【答案】(1)在数轴上位于整数和之间 (2)，（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】（1）由，可得出在哪两个整数之间； （2）先借助计算器，将估算到小数点后第位； 再结合，不难找出有理数和的值． 【详解】（1）解：，，且， ， 即在数轴上位于整数和之间； （2）借助计算器，得， 取， ， （答案不唯一，符合条件即可）． 【基础题型二 无理数的大小估算】 【例1】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，数轴上有五点，则实数表示的点会落在（     ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 【答案】B 【分析】先估算的大小，再估算的大小，然后结合数轴即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数表示的点会落在点和之间． 【例2】（25-26八年级下·重庆秀山·期末）若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）估计的值应在（） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】C 【分析】先化简给定的二次根式，再用夹逼法估算无理数的大小，即可确定原式的取值范围 【详解】解：， ， 又， 不等式三边同乘2得， 三边同时减1得， 即， 因此原式的值在1和2之间 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知，，均为正整数． （1）若，则___________； （2）若，，则满足条件的的个数比的个数少________． 【答案】 【分析】（1）由即可得到答案； （2）由，，可得，，进一步分析即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵a，b均为正整数． ∴满足条件的有个，满足条件的有个， ∴满足条件的a的个数比b的个数少（个）． 3．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1) 方式一得出的近似值精确度更高 (2) 选择方式一：，选择方式二： 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； （2）解：∵， ∴， 方式一：∵， ∴，即， ∴； 方式二：∵， ∴，即， ∴； ∴选择方式一：，选择方式二：． 【基础题型三 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（25-26八年级上·四川巴中·期中）实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】通过平方数的范围确定无理数的取值区间，从而确定该实数的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分是． 【例2】（25-26七年级下·河北邢台·期末）我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则的值是_______． 【答案】 【分析】先估算的大小，再得到的取值范围，最后根据整数部分的定义求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ 根据的定义，不超过的最大整数为 ． 1．（24-25八年级上·山东青岛·自主招生）实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用和是与相邻的平方数，得出在4和5之间，再得到的范围；结合、是连续整数且满足，确定、的值；最后计算的结果即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 又∵，是连续整数，且， ∴，， ∴． 2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，以及代数式求值．先估算的范围，确定整数部分和小数部分，然后代入 计算． 【详解】解：∵， ∴，则 ． ∵ 、 分别是 的整数部分和小数部分， ∴ ，， 则 ． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·河南信阳·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 【基础题型四 计算器——平方根和立方根】 【例1】（25-26七年级下·广东珠海·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【详解】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（2026·山东潍坊·模拟预测）对于初中数学的学习，《新课程标准》要求在设计开方运算时需要使用计算器．如图是某型号学生用及计算器，依次按下得到的结果为：___________． 【答案】0 【分析】本题考查的是计算器的使用，先根据题意列出算式，得出计算结果即可． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．    若一开始输入的数据为10，那么第2019步之后，显示的结果是（　　） A． B．100 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的规律问题，理解开方，平方及倒数的含义是解题的关键．分别求出第1，2，3，4，5，6步的结果，进而得出规律，根据规律确定答案即可． 【详解】解：第1步的结果是； 第2步的结果是； 第3步的结果是； 第4步的结果是； 第5步的结果是； 第6步的结果是， ； 可知6步一循环，， ∴第2019步之后显示的结果是即． 故选：D． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【详解】解：由题意知第1步结果为x2， 第2步结果为， 第3步结果为=， 第4步结果为， 第5步结果为x2， 第6步计算结果为x， 第7步计算结果为x2， …… ∴运算的结果以x2，，，，x2，x六个数为周期循环， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4， ∴输入的数x是±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2，，，，x2，x六个数循环，这是解题的关键． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了计算器的使用，解题关键是准确掌握对计算器的使用方法． （1）借助计算器分别计算需要的数据，并保留到要求精确的位数即可； （2）借助计算器分别计算需要的数据，并保留到要求精确的位数即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【基础题型五 求一个数的近似数】 【例1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确位数判断各选项正误． 【详解】解：A.近似数精确到十分位，精确到百分位，二者意义不同，A错误； B.万精确到千位，B错误； C.300精确到个位，C错误； D. 将精确到百分位是，D正确； 【点睛】掌握近似数的精确度及四舍五入规则． 【例2】（26-27八年级上·四川达州·期中）一个三位小数保留两位小数的近似值是，这个小数在“四舍五入”前最大是______，最小是______． 【答案】 【分析】分“四舍”和“五入”两种情况讨论近似数，“四舍”得到的近似数比原数小，对应原数的最大值；“五入”得到的近似数比原数大，对应原数的最小值． 【详解】解：若原数是通过“四舍”得到近似值，则原三位小数的十分位是，百分位是，千分位需小于，千分位最大取，因此最大原数为； 若原数是通过“五入”得到近似值，则进位后得到，原三位小数的十分位是，百分位是，千分位需大于等于，千分位最小取，因此最小原数为． 1．（2025·山东·模拟预测）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论： ， ， 若，则实数的取值范围是， 当，为非负整数时，有， ． 其中，正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】对于可直接判断，、可用举反例法判断，、我们可以根据题意所述利用不等式判断． 本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解． 【详解】解：，正确； ，例如当时，，，故错误； 若，则，解得：，故正确； 为整数，不影响“四舍五入”，故，故正确； ，例如，时，，，故错误； 综上可得正确． 故选：B． 2．（25-26七年级下·北京密云·期末）2025年是“十四五”规划收官之年，我国经济稳步前行，体现了高质量发展的成效．下表记录了年我国全员劳动生产率的数据． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 全员劳动生产率（万元/人） 用趋势图描述我国年全员劳动生产率的发展趋势，如图所示： 预测2026年我国全员劳动生产率约为___________万元/人（结果精确到）． 【答案】 【分析】先计算这5年我国全员劳动生产率的平均增长值，再预测即可． 【详解】解：根据题意，得年增量为：； 年增量为：；年增量为：； 年增量为：； 平均增量为：， 故预测2026年我国全员劳动生产率约为：万元/人； 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以某市股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的计算； ②过户费：按成交金额的计算； ③佣金：按不高于成交金额的计算，不足5元按5元计算． 问题： (1)小王以每股元的价格买入某股票100股，以每股元的价格全部卖出，则他盈利___________元． (2)小张以每股元（）的价格买入1000股上述股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是___________元（用的代数式表示）．由此可得卖出价格与买入价格相比，至少要上涨___________才不亏（结果保留到）． (3)小张再以每股元的价格买入上述股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？（结果精确到） 【答案】(1) (2)； (3)卖出的价格是每股元 【分析】（1）先计算佣金低于5元，按5元计算，再用总收入减去每次交易的印花税，过户费，佣金即可求解； （2）设卖出的价格为每股元，根据不亏不盈时卖出，列方程解答，再求增长率即可； （3）设卖出的价格每股是元，根据盈利1000元时卖出，列方程解答． 【详解】（1）解：，, 佣金都按5元计算， （元） 即小王盈利元； （2）解：， ， 可以直接用公式计算佣金． 设卖出的价格为每股元， 由题意得： 即他卖出的价格为每股元， 增长的百分率为 ； （3）解：， 可以直接用公式计算佣金， 设卖出的价格每股是元， 依题意得： 答：卖出的价格是每股元． 【基础题型六 求近似数的精确度】 【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确近似数的最后一位数字所在的数位，以及带单位的数的精确位数判断方法． 逐一分析每个选项中近似数的精确位数，结合定义判断其说法是否正确． 【详解】解：A、近似数精确到千分位，此选项不符合题意； B、万，数字4在千位，故精确到千位，此选项符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，意义不同，此选项不符合题意； D、精确到十分位，此选项不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·四川眉山·期中）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 _______；改写成用“万”作单位的数是 _______；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 _______． 【答案】 106053900 万 1亿 【分析】本题主要考查了整数的读写及改写，近似数等知识点，在亿位上写1，百万位上写6，万位上写5，千位上写3，百位上写9，其它数位没有数用0占位，改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，熟练掌握其改写方法是解决此题的关键． 【详解】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是106053900；改写成用“万”作单位的数是万；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约1亿， 故答案为：106053900，万，1亿． 1．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到十分位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数叫近似数；掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、精确到千分位，故选项不符合题意； B、万精确到千位，故选项不符合题意； C、精确到十位，故选项不符合题意； D、精确到千位，说法正确，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为________． 填空题（每小题2分）姓名：嘉琪 1．的相反数为 2．的绝对值为 3． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0 【答案】6分 【分析】本题考查相反数，绝对值，平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握几个定义的性质及熟知平方根与立方根相等的是．根据相反数，绝对值，平方根和立方根的定义直接逐个判断即可得到答案． 【详解】解：1．的相反数为，说法正确； 2．的绝对值为，说法正确； 3．，原说法错误； 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.030，原说法错误； 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0，说法正确； ∴嘉琪的得分为分， 故答案为：分． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）小明和小刚测量同一根铜管的长，用四舍五入法记录测得的结果，小明测量结果的记录是，小刚测量结果的记录是．这两个测量结果是否相同？为什么？ 【答案】解：不相同．理由如下： 小明测得，是精确到百分位；小刚测得，是精确到十分位， 因为两人测量结果的精确度不同，所以两人测得的结果不相同． 【分析】根据测量的精确度解答即可． 【详解】略 【基础题型七 近似数推断取值范围】 【例1】（25-26八年级上·浙江丽水·期中）数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查四舍五入取近似值的方法，关键注意精确到的位数及进位规则． 近似值2.0表示精确到十分位，根据四舍五入规则，百分位数字决定是否进位． 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）近似数的准确值a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查近似数的概念，解题的关键是掌握近似数中四舍五入的方法． 根据近似数中四舍五入的方法解题即可． 【详解】解：由题可知时，近似数是． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）有下列说法： ①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应； ③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④不是分数； ⑤小明的身高表示他的实际身高的范围是：． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的概念，近似数的概念，数轴的概念，分数的概念． 根据无理数的概念，近似数的概念，数轴的概念，分数的概念逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】无理数是无限不循环小数，①正确； 实数与数轴上的点一一对应，但有理数不能覆盖所有点，②错误； 1和3之间的无理数有无数个（如、等），③错误； 是无理数，而分数是有理数，④正确； 精确到百分位，表示实际身高h满足，⑤正确； 正确说法是①④⑤， 故选：D． 2．（25-26六年级上·山东烟台·期中）一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是_______． 【答案】8.3049 【分析】本题考查了近似数，设原数为x，根据近似数的精确度得到，然后写出有四位小数的最大数即可． 【详解】解∶ 设原数为x， 根据题意得， 所以这个数原来最大是8.3049， 故答案为∶8.3049． 3．（25-26八年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 【基础题型八 实数概念理解】 【例1】（25-26八年级上·安徽·期中）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了实数的相关概念，无理数的概念，倒数的概念，绝对值的定义，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据相关概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，故①错误； ②无限不循环小数叫作无理数，故②正确； ③，既不是正数也不是负数，故③错误； ④倒数等于它本身的数是，故④正确； ⑤开方开不尽的数是无理数，故⑤错误． 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④． 1．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法其中错误的个数（    ） ①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据实数与数轴的关系，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义去判断即可． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确； ②无理数不一定是开方开不尽的数，原说法错误； ③16的平方根是，用式子表示应该是，原说法错误； ④因为负数有立方根，原说法错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．原说法正确． ∴错误的说法有3个， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴与实数的关系，无理数，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义，熟记关系和各自的定义是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______（填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了实数的四则运算，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键． 根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【详解】解：“四则操作”的结果为3，故①正确； ∵， ∴对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是，故②正确； ∵，， ∴对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的不是，故③错误； 综上所述，说法正确的是①②． 故答案为：①②． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期末）已知代数式（，且为整数）． (1)当时，是 （有理数/无理数）； (2)当时，通过画图在数轴上找出表示的点； (3)当时，可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)有理数 (2)数轴表示如下： (3)当时，不是偶数， 理由如下：若是偶数，则是偶数，即是偶数①， ∵是偶数，是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数； 当时，不是奇数， 理由如下：假设是奇数，不妨设(的整数)， ∴，整理得，， ∵为偶数，为奇数， ∴为奇数， ∵为偶数， ∴不成立， ∴不是奇数． 【分析】（）把代入计算得出结果即可判断求解； （）把代入计算得出结果，再利用勾股定理把所得数在数轴上表示出来即可； （）利用反证法证明即可； 本题考查了无理数的定义，在数轴上表示无理数，反证法，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，是有理数， 故答案为：有理数； （2）解：当时，， （3）略 【基础题型九 实数的分类】 【例1】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先明确负无理数的定义：负无理数是小于0的无理数，再逐个判断题干中各数，统计符合条件的个数即可. 【详解】解：是正有理数，不符合要求； 开方开不尽，是无理数，且小于，因此是负无理数； 是正无理数，不符合要求； 是负分数，属于有理数，不符合要求； 是无理数，且小于，因此是负无理数； ，是负整数，属于有理数，不符合要求； （相邻两个之间的个数逐次加）是正无理数，不符合要求； 故 符合条件的负无理数共个. 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 1．（25-26七年级下·河北邢台·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将下列各数进行分类（填序号即可） ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0“． 正整数：　　； 分数：　　； 无理数：　　． 【答案】①⑤；④⑥；②⑦ 【分析】根据实数的分类即可解答． 【详解】解：， 为正整数． 正整数为：①⑤； 分数为：④⑥； 无理数为：②⑦． 故答案为：①⑤；④⑥；②⑦． 【点睛】本题考查了实数的分类，化简绝对值和求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解决本题的关键． 3．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 【基础题型十 实数的性质】 【例1】（24-25七年级下·广西梧州·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的性质，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．根据算术平方根与立方根、实数的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·甘肃武威·期中）的相反数是___________． 【答案】 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】的相反数是． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，实数的性质，代数式求值，根据被开方数要大于等于0得到，据此化简绝对值推出，进而得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期中）的平方根是___，_____，_____，______． 【答案】 / 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根、绝对值的定义依次计算即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根为； ∵，表示的算术平方根，结果为非负数， ∴； ∵， ∴； ∵，可得，负数的绝对值等于它的相反数， ∴． 3．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据实数的性质移项可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意，移项得， ，都是有理数， 也是有理数， 是无理数， ， ， ， 的平方根是． 【基础题型十一 实数与数轴】 【例1】（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形面积公式求出边长，由得出长度，结合点坐标及点位置求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，且由图可知点在点左侧， ∴点表示的数为． 【例2】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 1．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据数轴有：，则有：． 2．（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 【详解】解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 3．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 【基础题型十二 实数的大小比较】 【例1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，先估算无理数的范围，再比较所有数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵，即， 计算各负数的绝对值：，，， 可得绝对值大小关系：， ∴原数大小关系为：， 因此最小的数是． 【例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知，，它们在数轴上的位置对应点A，B（如图），下列说法错误的是（    ） A．A，B之间的整数有三个 B． C． D．A，B之间最小的无理数是 【答案】D 【分析】本题考查了实数的绝对值性质、平方比较法的应用、数轴上整数的识别及无理数的基本特征，解题的关键是通过平方运算比较无理数绝对值的大小，结合整数范围和无理数的无限性逐一验证选项． 先明确、，利用“若正数，则”推导、的取值范围；选项A通过确定和所在的整数区间，找出两点间的整数；选项B计算和，直接比较大小；选项C根据（正数）、（负数），结合正数大于负数判断；选项D依据无理数的无限性，说明A、B之间不存在最小无理数． 【详解】解：已知，． A、因，且，故； 又，，故． 因此A、B之间的整数为，共三个，此选项符合题意； B、因，，故，此选项符合题意； C、（正数），（负数），正数大于负数，故，此选项符合题意； D、A、B之间的无理数有无数个（如，满足），不存在最小的无理数，此选项不符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级下·广东东莞·期中）比较下列各组数大小： （1）_______12；（2）_______；（3）_______；（4）_______． 【答案】 【分析】本题考查比较实数大小，根据缩放法估算无理数的值，逐项判断即可． 【详解】解：（1）， ，即； （2）， ， ，即； （3）， ； （4）， 故答案为：，，，． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 【答案】(1) (2)解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长为， ， ∴王芳的想法不可行． (3)解：∵一共有5个边长为1的小正方形，组成的大正方形的面积为5， ∴该大正方形的边长为，示意图如下： 【分析】（1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得的值，根据，即可得出结论； （3）一共有个小正方形，那么组成的大正方形的面积为，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为a，则：， 因为边长为正数，所以． （2）略 （3）略 【基础题型十三 程序设计与实数运算】 【例1】（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 【例2】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于________． 【答案】 【分析】根据数值转换器的流程图，输入 后计算其算术平方根，若结果是有理数则将该结果作为新的输入继续计算算术平方根，直到计算结果是无理数时输出该结果． 【详解】解：当时，则，16是有理数， 当时，则，4是有理数， 当时，则，2是有理数， 当时，得，是无理数，输出， 即． 1．（24-25八年级上·山西长治·期中）有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 【答案】 【分析】根据程序流程图，先取729的立方根为9，再取9的算术平方根为3，然后取3的立方根即可． 【详解】解：若开始输入的的值是729，取立方根为，是有理数， 取算术平方根为，是有理数， 取立方根为，是无理数，则输出． 3．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或 （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 【基础题型十四 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求一个数算术平方根和乘方运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不成立； B.，故该选项不成立； C.，故该选项成立； D.，故该选项不成立； 故选：C． 【点睛】本题考查了一个数算术平方根和乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 【基础题型十五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 【例2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 【答案】 【分析】先确定原数的千万位位置，根据四舍五入法则对原数取近似值，再将结果用科学记数法表示即可 【详解】解：原数为， 确定千万位上的数字为，其下一位百万位上的数字为， ， 向千万位进，千万位，需继续向亿位进， 近似值为， 用科学记数法表示为 1．（2026·河南周口·一模）据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：亿， ∴． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为____________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键． 应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积． 【详解】解：计算：根据积的乘方法则得：， 计算：同理，， 计算乘积：， 写成科学计数法：， 故答案为： ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）光年是一种距离单位，光在真空中一年内走过的路程为1光年，一般被用于计算恒星间的距离． (1)已知光的速度约为，如果按1年为365天、每天为计算，1光年约等于多少千米？（可以借助计算器计算） (2)太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为．比邻星与地球的距离约合多少光年？（可以借助计算器计算） 【答案】(1) 千米 (2)光年 【分析】本题考查了科学记数法的定义，有理数的运算． （1）利用路程等于速度乘以时间的公式，计算光在一年内走过的距离； （2）将比邻星与地球的距离除以1光年的距离，得到对应的光年数． 【详解】（1）解：光速为千米/秒，一年时间为秒， ， 所以一年时间为秒， 1光年等于千米， 约等于千米； （2）解：比邻星与地球的距离为千米，1光年约千米， （光年）． 答：比邻星与地球的距离约合光年 【基础题型十六 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例1】（2026·天津河西·模拟预测）下列用科学记数法表示的算式：①；②；③；④，其中不正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中 ， 为整数，根据规则确定每个式子的和即可判断正误． 【详解】解：，，，， ∴不正确的有②③④，共3个． 【例2】（2026·江苏宿迁·二模）随着技术的发展，在芯片的硅晶片上雕刻的电路间距已经可以小到几纳米．纳米（记为）是长度单位，等于的十亿分之一．用科学记数法表示：__________mm． 【答案】 【分析】把米化为毫米，即，可求得，从而可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为，则破损处“”的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：本题答案为， ， 根据题意可得， ， ∴， 则破损处“0”的个数为． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）1纳米米，那么1纳米=__________千米．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为整数，由此即可得出答案． 表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据单位换算，先将纳米转换为米，再将米转换为千米，最后用科学记数法表示结果． 【详解】解：∵1纳米米， ∴1纳米千米千米， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）综合与实践 【项目主题】探秘纳米尺度 【阅读与理解】 随着科技不断发展，新型材料走进了我们的生活，纳米材料就是其中极具代表性的一种．纳米是国际上通用的微观长度单位，英文符号记作，主要用来描述肉眼无法直接观察的微小物体． 科学上统一规定：．我们日常使用的长度单位还有毫米（），它们之间的换算关系为．生活中，一根普通头发丝看起来十分纤细，经精密仪器测量，它的直径大约为．而纳米材料的尺寸通常仅有几纳米到数百纳米，和头发丝相比尺度差距巨大．纳米材料还拥有强度高、吸附性强等许多特殊性能，因而被广泛应用于服饰、医疗、电子设备、航空航天等众多领域． 【主题探究】 请将材料中横线上所缺内容补充完整（都需用科学记数法表示）． (1)单位换算：①______；②______． (2)头发丝的直径③______． (3)某工厂利用纳米技术生产纳米净水滤网，滤网的过滤孔径决定净水效果．经检测，普通无纺布滤网孔径约为，新款纳米滤网单个孔径为．同时，工厂生产的纳米防护布料，单根纳米纤维长度可达，则④______，⑤______，普通无纺布滤网孔径是新款纳米滤网孔径的⑥______倍． 【答案】(1)； (2) (3)；； 【分析】（1）根据题意及单位换算进行求解即可； （2）根据题意得出，然后计算即可； （3）根据题意进行单位换算，最后利用除法求倍数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：； ； ． 【基础题型十七 还原用科学记数法表示的小数】 【例1】（2026·山东枣庄·模拟预测）将用小数表示为（     ） A．0.0628 B．0.00628 C．0.000628 D．0.0000628 【答案】D 【详解】解： 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）某种原子直径为1.2×10﹣3纳米，把这个数化为小数是___________ 纳米． 【答案】0.0012 【分析】本题考查了科学记数法的知识，利用科学记数法表示比较小的数将用科学记数法表示的数还原即可． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（2026·河南平顶山·模拟预测）如下所示的是一道部分被污损的训练题，何楠查阅后发现本题的答案为11，则污损处“0”的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示方法求解出a和n的值，进而解答即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， ∵， ∴污损处“0”的个数为3． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）跨生物学学科  巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来的，直径可达．将数据写成小数的形式为，这个小数小数点后0的个数为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了科学记数法与小数的互化，掌握科学记数法转化为小数时，小数点向左移动位是解题的关键 将科学记数法 转换为小数形式，小数点向左移动5位，得到， 【详解】解：根据科学记数法法则，， 因此 小数中，小数点后有个， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0.0036 (2) (3)0.000092 (4)0.00000003 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数，据此求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【提高题型一 无理数估算综合问题】 【例1】（25-26七年级下·重庆彭水·期末）如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为，估算的值是（     ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间 【答案】A 【详解】解：， ， 即， ， 即 该比值在4和5之间． 【例2】（25-26七年级下·山东日照·期中）在学习无理数的估算时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡写的是，小颖抽到的卡写的是1，那么赢家是________．（填“小丽”或“小颖”） 【答案】小颖 【分析】用作差法比较大小即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ， 赢家是小颖． 1．（25-26八年级下·江西赣州·期中）估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即．于是的整数部分是1，小数部分是，现记的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 【答案】21 【分析】先估算出的值，从而求出a，b的值，然后代入式子中，利用平方差公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 2．（24-25八年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)克 (2)千克 (3)元 【分析】本题主要考查了用有理数的混合运算，科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． （1）用500粒大米的总重量除以500 ，即可求解； （2）根据题意，列出算式求解即可； （3）根据题意，列出算式求解即可． 【详解】（1）解：（克）， 答：粒大米重约克； （2）解：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：卖得人民币元． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）【阅读理解】 科技社团在设计精密零件时，需要估算某些尺寸的大小．我们可以利用完全平方公式：来近似计算算术平方根． 例如求的近似值： ∵， ∴， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 【尝试探究1】 小航用①的形式求的近似值的过程如下： ∵， ∴， 即． ∵比较小，忽略不计， ∴， 即， 得， 故． 【尝试探究2】 （1）请用②的形式求的近似值(结果保留2位小数)． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值更精确，请说明理由． 【答案】（1）； （2）解：用①的形式得出的的近似值更精确，理由如下： ∵，，而，，且， ∴方法①比较准确． 【分析】本题考查利用完全平方公式近似估算算术平方根，核心是利用完全平方公式展开后，因未知数的绝对值很小，其平方项可忽略，从而将无理数估算转化为有理数计算． （1）设()，对等式两边平方并展开，忽略后建立关于的近似方程，求解后代入原式计算近似值，最后按要求保留两位小数； （2）分别计算两种方法所得近似值的平方，其结果与55的差的绝对值越小，则该方法越精确． 【详解】（1）解：∵()， ∴，展开得， ∵比较小，可忽略不计， ∴， ∴，解得， ∴； （2）略 【提高题型二 实数的规律探究问题】 【例1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知：、，根据以上规律，那么（    ） A．44.72 B．14.414 C．28.828 D．以上均不正确 【答案】A 【分析】根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∵， 故选A． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_____数． 【答案】 【分析】本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解． 【详解】解：新建一列数：，共有2025个数， ， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第个数， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）已知，，，，…… (1)填空： ， ； (2)按你发现的规律解决下列问题： ①已知，则 ； ②已知，，用含的代数式表示，则 ； (3)根据规律写出与的大小情况． 【答案】(1)，1000 (2)①；② (3)当时，；当或时，；当时， 【分析】本题考查了估算无理数的大小、数字类规律探索、算术平方根，正确发现规律是解题关键． （1）根据被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可求解； （2）①根据被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律即可求解； ②根据被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律得出的关系，据此求解即可得； （3）分三种情况：①；②或，③分别求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：，1000． （2）解：①∵， ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴， 故答案为：． （3）解：①当时， ∵， ∴； ②当或时， ∵， ∴； ③当时， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 (1)213.16的平方根是 ； (2) ， ， ； (3)的整数部分是m，求的值的平方根． 【答案】(1) (2)；；143 (3) 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，无理数的整数部分的含义，理解表格信息是解本题的关键； （1）根据表格信息可得，从而可得答案； （2）根据表格信息可得，再结合算术平方根的规律变化可得答案； （3）根据表格信息可得，结合算术平方根的含义可得的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵由表可知：， ∴ ∴的平方根是． （2）∵， ∴， ， ； （3）∵， ∴， ∵的整数部分是m， ∴， ∴， ∴的值的平方根为． 3．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)的整数部分为，小数部分为； (2) ，理由如下， ∵， ∴． 【分析】（1）先估算的大小，根据题意利用作差法，即可求解； （2）根据作差法比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）略 【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较，（2）中采用作差法进行比较大小是解题的关键． 1．（25-26七年级下·河南许昌·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．无限小数都是无理数 B．能用数轴上的点表示出来的数都是有理数 C．带根号的数不一定都是无理数 D．无理数可以写成分数的形式 【答案】C 【详解】解： A．∵无限循环小数是有理数， ∴无限小数不都是无理数，故A错误． B．∵无理数也可以用数轴上的点表示， ∴能用数轴上的点表示的数不都是有理数，故B错误． C．例如，是有理数，因此带根号的数不一定都是无理数，故C正确． D．分数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，无法写成分数形式，故D错误． 2．（25-26八年级上·全国·期末）数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 3．（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 4．（24-25八年级上·重庆万州·阶段检测）下表记录了一些数的平方： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在之间．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，无理数的整数部分的含义，结合表格信息，根据平方根与算术平方根，整数部分的含义逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为6，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴30976的平方根是，故③正确； ∵，， ∴，，，的算术平方根在之间．故④正确； 综上：正确的有①③④． 故选：C 5．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，然后根据数轴与实数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为，且， ∴， ∵点表示的数为，点在点的右侧， ∴点所表示的数为． 6．（25-26八年级上·全国·课堂例题）用四舍五入法按要求对下面的数取近似值，并将结果用科学记数法表示： （精确到万分位）_____________． 【答案】 【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．精确到万分位就是对它后边的十万分位进行四舍五入． 【详解】 解：． 故答案为： 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 7．（25-26七年级下·上海·期末）某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 【答案】 千万 【分析】先判断亿最后一位数字对应的数位得到精确度，再转换单位为元，按要求保留有效数字用科学记数法表示． 【详解】解：亿的单位为亿，最后一位数字对应数位是千万位， 亿元精确到千万位； 亿元元． 8．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 9．（2026·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【答案】 【分析】将整理为的形式，根据要求确定和的值，代入给定近似公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴中，，． ∴． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实数比较大小的方法求解即可； （2）根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 12．（25-26六年级上·全国·课后作业）对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题： （1）＜π＞＝ （π为圆周率）； （2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ． 【答案】（1）3；（2）5.5≤x＜6.5 【详解】【分析】（1）利用近似数的精确度和新定义求解； （2）利用近似数的精确度按5＜x＜6，但x的小数部分大于等于0.5；6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5两种情况分析求解． （1）π＝3.1415..． ∵0.1415...＜0.5， ∴＜π＞＝3， 故答案为：3； （2）若＜x＞＝6， ①当5＜x＜6，但x的小数部分大于等于0.5时，即x≥5.5， ②当6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5时，即x＜6.5， ∴x的取值范围是5.5≤x＜6.5， 故答案为：5.5≤x＜6.5． 13．（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：请把实数，，，，表示在数轴上．粗心的小华做题时只将其中两个无理数对应的点表示在了数轴上，得到一个不完整的数轴，请帮他解决下列问题．    (1)题目的五个实数中，是无理数的有__________； (2)在数轴上把题目中的五个实数对应的位置表示出来，并比较它们的大小（用“”连接起来）． 【答案】(1)， (2) 实数在数轴上表示如下：    【分析】（）根据无理数的定义判断即可； （）估算出无理数的大小，进而找到原点位置，即可把各数在数轴上表示出来，最后根据数轴比较出各数的大小即可； 本题考查了无理数的定义及估算，利用数轴比较实数的大小，掌握无理数的定义及估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴实数，，，，中，是无理数的有，， 故答案为：，； （2）解：∵，， 由数轴可得，． 14．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 15．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数重难点题型专训（5个知识点+17大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、无理数 1 题型二、无理数的大小估算 2 题型三、无理数整数部分的有关计算 3 题型四、计算器——平方根和立方根 4 题型五、求一个数的近似数 5 题型六、求近似数的精确度 6 题型七、近似数推断取值范围 7 题型八、实数概念理解 8 题型九、实数的分类 9 题型十、实数的性质 10 题型十一、实数与数轴 11 题型十二、实数的大小比较 12 题型十三、程序设计与实数运算 13 题型十四、实数运算的实际应用 14 题型十五、用科学记数法表示绝对值大于1的数 15 题型十六、用科学记数法表示绝对值小于1的数 16 题型十七、还原用科学记数法表示的小数 17 第二部分·练提高题型 题型一、无理数估算综合问题 1 题型二、实数的规律探究问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·北京·期末）若，则整数n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）写出一个你喜欢的无理数________． 知识点02 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在实数∶，，，，，π，中无理数有________个． 知识点03 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）用四舍五入法将0.06029精确到十分位，得到的是（     ） A．0.1 B．0.060 C．0.06 D．0.0603 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）三千九百零六万零四十写作______，省略万后面的尾数约是______． 知识点04 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知该器件执行一次擦写任务需要400皮秒，则该器件1秒可以擦写__________次（注：1皮秒等于秒；计算结果用科学记数法表示）． 知识点05 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【即时训练】 1．（2026·山东威海·模拟预测）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 2．（2026·陕西·模拟预测）比较大小：_____(填，， 【基础题型一 无理数】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）下列各数中：，，，，，，，中，无理数有几个？（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 1．（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的数据： ①“嫦娥五号”轨道修正次数与总飞行距离的比值约为 ②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为万千米 ③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为个标准大气压 ④火箭发动机某部件体积恰好为立方米． 老师要求找出上述数据中属于无理数的个数，正确答案是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·全国·阶段检测）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入x的值为64时，输出y的值为_______ （2）分析发现，当非负实数x取_______时，该程序无法输出y的值． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）对于无理数，试解答下列问题： (1)在数轴上位于哪两个相邻的整数之间？ (2)借助计算器找出有理数和，使，且． 【基础题型二 无理数的大小估算】 【例1】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，数轴上有五点，则实数表示的点会落在（     ） A．点和之间 B．点和之间 C．点和之间 D．点和之间 【例2】（25-26八年级下·重庆秀山·期末）若为正整数，且满足，则的值为______． 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）估计的值应在（） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知，，均为正整数． （1）若，则___________； （2）若，，则满足条件的的个数比的个数少________． 3．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【基础题型三 无理数整数部分的有关计算】 【例1】（25-26八年级上·四川巴中·期中）实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【例2】（25-26七年级下·河北邢台·期末）我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则的值是_______． 1．（24-25八年级上·山东青岛·自主招生）实数，是连续整数，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则_____． 3．（25-26七年级下·河南信阳·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【基础题型四 计算器——平方根和立方根】 【例1】（25-26七年级下·广东珠海·期末）有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山东潍坊·模拟预测）对于初中数学的学习，《新课程标准》要求在设计开方运算时需要使用计算器．如图是某型号学生用及计算器，依次按下得到的结果为：___________． 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．    若一开始输入的数据为10，那么第2019步之后，显示的结果是（　　） A． B．100 C． D． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 【基础题型五 求一个数的近似数】 【例1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【例2】（26-27八年级上·四川达州·期中）一个三位小数保留两位小数的近似值是，这个小数在“四舍五入”前最大是______，最小是______． 1．（2025·山东·模拟预测）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论： ， ， 若，则实数的取值范围是， 当，为非负整数时，有， ． 其中，正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级下·北京密云·期末）2025年是“十四五”规划收官之年，我国经济稳步前行，体现了高质量发展的成效．下表记录了年我国全员劳动生产率的数据． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 全员劳动生产率（万元/人） 用趋势图描述我国年全员劳动生产率的发展趋势，如图所示： 预测2026年我国全员劳动生产率约为___________万元/人（结果精确到）． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）材料：股票市场，买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费，以某市股的股票交易为例，除成本外还要交纳： ①印花税：按成交金额的计算； ②过户费：按成交金额的计算； ③佣金：按不高于成交金额的计算，不足5元按5元计算． 问题： (1)小王以每股元的价格买入某股票100股，以每股元的价格全部卖出，则他盈利___________元． (2)小张以每股元（）的价格买入1000股上述股票，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是___________元（用的代数式表示）．由此可得卖出价格与买入价格相比，至少要上涨___________才不亏（结果保留到）． (3)小张再以每股元的价格买入上述股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？（结果精确到） 【基础题型六 求近似数的精确度】 【例1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【例2】（24-25八年级上·四川眉山·期中）一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 _______；改写成用“万”作单位的数是 _______；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 _______． 1．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．精确到百分位 B．万精确到十分位 C．精确到千分位 D．精确到千位 2．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图是嘉淇的答卷，嘉淇的得分为________． 填空题（每小题2分）姓名：嘉琪 1．的相反数为 2．的绝对值为 3． 4．将0.03047精确到0.001的结果是0.03 5．若一个数的平方根与立方根相等，则这个数是0 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）小明和小刚测量同一根铜管的长，用四舍五入法记录测得的结果，小明测量结果的记录是，小刚测量结果的记录是．这两个测量结果是否相同？为什么？ 【基础题型七 近似数推断取值范围】 【例1】（25-26八年级上·浙江丽水·期中）数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）近似数的准确值a的取值范围是______． 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）有下列说法： ①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应； ③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④不是分数； ⑤小明的身高表示他的实际身高的范围是：． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④⑤ D．①④⑤ 2．（25-26六年级上·山东烟台·期中）一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是_______． 3．（25-26八年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【基础题型八 实数概念理解】 【例1】（25-26八年级上·安徽·期中）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法：①实数分为整数和分数；②无限不循环小数叫作无理数；③一个有理数的绝对值一定是正数；④倒数等于它本身的数是；⑤带根号的数都是无理数．其中正确的是________（填序号）． 1．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法其中错误的个数（    ） ①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）对于从左到右依次排列的三个实数a，b，c，在与之间，与之间各添加一个四则运算符号组成算式（不添加可能改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a，b，c进行“四则操作”．例如：对实数1，2，3进行“四则操作”可以是，也可以是．则下列说法正确的是_______（填序号）． ①“四则操作”的结果为3；②对实数2，3，4进行“四则操作”的结果可能是；③对实数1，，5进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期末）已知代数式（，且为整数）． (1)当时，是 （有理数/无理数）； (2)当时，通过画图在数轴上找出表示的点； (3)当时，可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【基础题型九 实数的分类】 【例1】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 1．（25-26七年级下·河北邢台·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将下列各数进行分类（填序号即可） ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0“． 正整数：　　； 分数：　　； 无理数：　　． 3．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【基础题型十 实数的性质】 【例1】（24-25七年级下·广西梧州·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·甘肃武威·期中）的相反数是___________． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知实数满足，那么的值为（   ） A．1 B．2023 C．2024 D．2025 2．（24-25七年级下·福建厦门·期中）的平方根是___，_____，_____，______． 3．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 【基础题型十一 实数与数轴】 【例1】（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 1．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 3．（25-26七年级下·广东肇庆·期末）探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【基础题型十二 实数的大小比较】 【例1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C． D．0 【例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知，，它们在数轴上的位置对应点A，B（如图），下列说法错误的是（    ） A．A，B之间的整数有三个 B． C． D．A，B之间最小的无理数是 2．（25-26七年级下·广东东莞·期中）比较下列各组数大小： （1）_______12；（2）_______；（3）_______；（4）_______． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 【基础题型十三 程序设计与实数运算】 【例1】（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于________． 1．（24-25八年级上·山西长治·期中）有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 3．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【基础题型十四 实数运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【基础题型十五 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【例2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 1．（2026·河南周口·一模）据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为____________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）光年是一种距离单位，光在真空中一年内走过的路程为1光年，一般被用于计算恒星间的距离． (1)已知光的速度约为，如果按1年为365天、每天为计算，1光年约等于多少千米？（可以借助计算器计算） (2)太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为．比邻星与地球的距离约合多少光年？（可以借助计算器计算） 【基础题型十六 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例1】（2026·天津河西·模拟预测）下列用科学记数法表示的算式：①；②；③；④，其中不正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【例2】（2026·江苏宿迁·二模）随着技术的发展，在芯片的硅晶片上雕刻的电路间距已经可以小到几纳米．纳米（记为）是长度单位，等于的十亿分之一．用科学记数法表示：__________mm． 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）方框中所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为，则破损处“”的个数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）1纳米米，那么1纳米=__________千米．（用科学记数法表示） 3．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期末）综合与实践 【项目主题】探秘纳米尺度 【阅读与理解】 随着科技不断发展，新型材料走进了我们的生活，纳米材料就是其中极具代表性的一种．纳米是国际上通用的微观长度单位，英文符号记作，主要用来描述肉眼无法直接观察的微小物体． 科学上统一规定：．我们日常使用的长度单位还有毫米（），它们之间的换算关系为．生活中，一根普通头发丝看起来十分纤细，经精密仪器测量，它的直径大约为．而纳米材料的尺寸通常仅有几纳米到数百纳米，和头发丝相比尺度差距巨大．纳米材料还拥有强度高、吸附性强等许多特殊性能，因而被广泛应用于服饰、医疗、电子设备、航空航天等众多领域． 【主题探究】 请将材料中横线上所缺内容补充完整（都需用科学记数法表示）． (1)单位换算：①______；②______． (2)头发丝的直径③______． (3)某工厂利用纳米技术生产纳米净水滤网，滤网的过滤孔径决定净水效果．经检测，普通无纺布滤网孔径约为，新款纳米滤网单个孔径为．同时，工厂生产的纳米防护布料，单根纳米纤维长度可达，则④______，⑤______，普通无纺布滤网孔径是新款纳米滤网孔径的⑥______倍． 【基础题型十七 还原用科学记数法表示的小数】 【例1】（2026·山东枣庄·模拟预测）将用小数表示为（     ） A．0.0628 B．0.00628 C．0.000628 D．0.0000628 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）某种原子直径为1.2×10﹣3纳米，把这个数化为小数是___________ 纳米． 1．（2026·河南平顶山·模拟预测）如下所示的是一道部分被污损的训练题，何楠查阅后发现本题的答案为11，则污损处“0”的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）跨生物学学科  巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来的，直径可达．将数据写成小数的形式为，这个小数小数点后0的个数为__________． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【提高题型一 无理数估算综合问题】 【例1】（25-26七年级下·重庆彭水·期末）如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为，估算的值是（     ） A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间 【例2】（25-26七年级下·山东日照·期中）在学习无理数的估算时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡写的是，小颖抽到的卡写的是1，那么赢家是________．（填“小丽”或“小颖”） 1．（25-26八年级下·江西赣州·期中）估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即．于是的整数部分是1，小数部分是，现记的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 2．（24-25八年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）【阅读理解】 科技社团在设计精密零件时，需要估算某些尺寸的大小．我们可以利用完全平方公式：来近似计算算术平方根． 例如求的近似值： ∵， ∴， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 【尝试探究1】 小航用①的形式求的近似值的过程如下： ∵， ∴， 即． ∵比较小，忽略不计， ∴， 即， 得， 故． 【尝试探究2】 （1）请用②的形式求的近似值(结果保留2位小数)． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值更精确，请说明理由． 【提高题型二 实数的规律探究问题】 【例1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知：、，根据以上规律，那么（    ） A．44.72 B．14.414 C．28.828 D．以上均不正确 【例2】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_____数． 1．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）已知，，，，…… (1)填空： ， ； (2)按你发现的规律解决下列问题： ①已知，则 ； ②已知，，用含的代数式表示，则 ； (3)根据规律写出与的大小情况． 2．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 (1)213.16的平方根是 ； (2) ， ， ； (3)的整数部分是m，求的值的平方根． 3．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 1．（25-26七年级下·河南许昌·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．无限小数都是无理数 B．能用数轴上的点表示出来的数都是有理数 C．带根号的数不一定都是无理数 D．无理数可以写成分数的形式 2．（25-26八年级上·全国·期末）数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 4．（24-25八年级上·重庆万州·阶段检测）下表记录了一些数的平方： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在之间．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·课堂例题）用四舍五入法按要求对下面的数取近似值，并将结果用科学记数法表示： （精确到万分位）_____________． 7．（25-26七年级下·上海·期末）某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 8．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 9．（2026·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 10．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 12．（25-26六年级上·全国·课后作业）对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题： （1）＜π＞＝ （π为圆周率）； （2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：请把实数，，，，表示在数轴上．粗心的小华做题时只将其中两个无理数对应的点表示在了数轴上，得到一个不完整的数轴，请帮他解决下列问题．    (1)题目的五个实数中，是无理数的有__________； (2)在数轴上把题目中的五个实数对应的位置表示出来，并比较它们的大小（用“”连接起来）． 14．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 15．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 学科网（北京）股份有限公司 $