第03讲 二次根式及其性质（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

第03讲 二次根式及其性质（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．二次根式的定义 2．二次根式有意义的条件 3．二次根式的性质与化简 题型巩固 一、二次根式的识别 二、求二次根式的值 三、求二次根式中的参数 四、二次根式有意义的条件 五、利用二次根式的性质化简 六、复合二次根式的化简 七、最简二次根式的判断 八、化为最简二次根式 九、已知最简二次根式求参数 分层强化 一、单选题（5） 二、填空题（12） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 题型巩固 题型一、二次根式的识别 1．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二、求二次根式的值 3．在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．化简： ． 5．当时，求二次根式的值． 题型三、求二次根式中的参数 6．下列各式:， (b2) ,  , , ,其中是二次根式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个. D．5个 7．若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 8．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 题型四、二次根式有意义的条件 9．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ． 11．（22-23八年级·上海·假期作业）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 题型五、利用二次根式的性质化简 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）化简： ． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求代数式的值，其中，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1)__________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 题型六、复合二次根式的化简 15．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 题型七、最简二次根式的判断 18．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 题型八、化为最简二次根式 20．下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知，化简： ． 22．把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 题型九、已知最简二次根式求参数 23．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 24．已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 25．已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 分层强化 一、单选题 1．若是二次根式，则x的取值为（　　） A． B．1 C．2 D．3 2．已知，化简二次根式的值是（    ）． A． B． C． D． 3．方程的根的情况是（     ） A．无实数根； B．只有x=2一个根； C．有无数多个实数根； D．只有两个实数根． 4．的值等于(         ) A．±(－50) B．±50 C．－50 D．50－ 5．已知，且，化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．当a＝3时，二次根式的值是 ． 7．使是整数的最小正整数 ． 8．________． 9．若最简二次根式和是同类根式,则使有意义的的取值范围为 . 10．据研究，高空地物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．从高空地物到落地的时间为 s．（结果保留根号） 11．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 12．已知，化简 ． 13．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 14．当a＜0时，化简的结果是 ． 15．若有意义，且ab≠0，则点P(a，b)在第 象限． 16．已知实数，则a的倒数为 ． 17．使函数有意义的自变量x的取值范围为 三、解答题 18．求下列二次根式中字母a的取值范围． (1)． (2)． (3)． 19．无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子． 20．已知，求的值．（提示：利用与之间的关系．） 21．设，，为的三边，化简：． 22．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，使得 ，，那么便有： 例如：化简； 解：首先把化为，这里，，由于4+3=7， 即， ∴== (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 23．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式及其性质（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．二次根式的定义 2．二次根式有意义的条件 3．二次根式的性质与化简 题型巩固 一、二次根式的识别 二、求二次根式的值 三、求二次根式中的参数 四、二次根式有意义的条件 五、利用二次根式的性质化简 六、复合二次根式的化简 七、最简二次根式的判断 八、化为最简二次根式 九、已知最简二次根式求参数 分层强化 一、单选题（5） 二、填空题（12） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 题型巩固 题型一、二次根式的识别 1．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二次根式，据此依次判断即可. 【详解】解：选项A：，被开方数，不符合题意； 选项B：，无论取何值，，故， 不符合题意； 选项C：，被开方数为（，故），符合题意； 选项D：，被开方数， 不符合题意. 故选：C. 2．给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 题型二、求二次根式的值 3．在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中． 【详解】解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中， 二次根式有：（x＞0），，，共3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中． 4．化简： ． 【答案】 【知识点】求二次根式的值 【分析】利用解答即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，属于基础题，熟练掌握是解题关键． 5．当时，求二次根式的值． 【答案】3 【知识点】求二次根式的值 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 题型三、求二次根式中的参数 6．下列各式:， (b2) ,  , , ,其中是二次根式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个. D．5个 【答案】B 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据形如（a≥0）的式子是二次根式，可得答案． 【详解】， (b2)，，符合二次根式的形式，故是二次根式； 的被开方数小于等于0，当小于0时无意义，不是二次根式； 被开方数不确定，不是二次根式； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数，根指数是2． 7．若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 【答案】1，4，9，36 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 8．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 题型四、二次根式有意义的条件 9．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 10．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， 则， 总小于0， ， ， 故答案为：． 11．（22-23八年级·上海·假期作业）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【答案】、、、、（）是二次根式，、、、不是二次根式． 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定. 【详解】解：根据二次根式的概念，可知、、、、（）是二次根式，其中、的根指数分别为3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式． 【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开方数为非负数. 题型五、利用二次根式的性质化简 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本题的关键． 先利用的取值范围判断的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：． ． ． 故选：B． 13．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质、是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可，注意这里字母a只能取非正数． 【详解】解：由题意知，， ； 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求代数式的值，其中，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1)__________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2)2030 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简求值即可得解； （2）根据二次根式的性质化简求值即可得解． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴小亮的计算错误，小芳的计算正确； （2）解： ， 当时，， ∴原式． 题型六、复合二次根式的化简 15．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 16．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型七、最简二次根式的判断 18．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D． 是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 19．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【答案】 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】 解：，因此是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 题型八、化为最简二次根式 20．下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断是解此题的关键． 【详解】解：A. ，化简不正确； B. ，化简不正确； C. ，化简不正确； D. ，化简正确； 故选D． 21．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知，化简： ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．先根据二次根式的被开方数为非负数确定m，n的取值范围，然后化简二次根式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22．把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据最简二次根式的定义进行求解各个小题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键． 题型九、已知最简二次根式求参数 23．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 24．已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 25．已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 分层强化 一、单选题 1．若是二次根式，则x的取值为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数； 根据二次根式有意义的条件，和绝对值的意义即可解答． 【详解】解：是二次根式， 且， 解得或，且， x的取值为3． 故选：D． 2．已知，化简二次根式的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件求出，求出、的范围，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件求出， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 3．方程的根的情况是（     ） A．无实数根； B．只有x=2一个根； C．有无数多个实数根； D．只有两个实数根． 【答案】C 【分析】根据二次根式双重非负性判断即可． 【详解】∵=， ∴=x-2, ∴x≥2的实数都是它的根,故选C. 【点睛】本题考查了无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解， 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 4．的值等于(         ) A．±(－50) B．±50 C．－50 D．50－ 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可. 【详解】∵502=2500， ∴， ∴=， 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解本题的关键. 5．已知，且，化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简与性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键， 根据二次根式被开方数是非负数，以及，可得，再化简即可， 【详解】解：有意义，且， ， 故选：A 二、填空题 6．当a＝3时，二次根式的值是 ． 【答案】1 【分析】把a=3代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当a=3时， = =1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次根式求值，准确计算是解题的关键． 7．使是整数的最小正整数 ． 【答案】3 【详解】解：∵是整数， ∴12n是一个完全平方数， 又∵12n=4×3n=22×3n， ∴n的最小正整数为3， 此时，==6. 故答案为3 【点睛】此题是将被开方数化成a2的形式，再运用求解. 8．________． 【答案】2024 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2024． 9．若最简二次根式和是同类根式,则使有意义的的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先根据两个最简二次根式是同类根式，可以求得，使得二次根式有意义的条件是，将代入即可解题. 【详解】解：由已知条件，得 解得 ，即为 解得 故答案为. 【点睛】此题主要考查利用二次根式的性质进行求解. 10．据研究，高空地物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．从高空地物到落地的时间为 s．（结果保留根号） 【答案】 【分析】此题考查了二次根式化简的应用能力，关键是能准确地将二次根式化简为最简二次根式． 将，代入公式进行求解． 【详解】解：当时， 故答案为：． 11．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 【答案】2 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：当时，，不是最简二次根式， 当时，，是最简二次根式， ∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 12．已知，化简 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可 【详解】， 原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键． 13．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 14．当a＜0时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】由a0，被开方数为非负数得 b0，再根据二次根式的性质进行化简. 【详解】∵a0，b0， ∴=·=·（-a）=. 【点睛】此题主要考查二次根式的化简. 15．若有意义，且ab≠0，则点P(a，b)在第 象限． 【答案】一或三 【详解】解：∵有意义，且ab≠0， ∴ab>0， ∴a，b同号， ∴则点P(a,b)在第一或三象限. 故答案为一或三. 16．已知实数，则a的倒数为 ． 【答案】 【分析】直接利用倒数的定义结合二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵实数， ∴a的倒数为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 17．使函数有意义的自变量x的取值范围为 【答案】 【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成. 【详解】根据题意， 解得： ①当时， 解得： 即： ①当时， 解得： 即： 故自变量x的取值范围为 【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 三、解答题 18．求下列二次根式中字母a的取值范围． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，即可求解 【详解】（1）解：根据二次根式有意义得：； （2）解：根据二次根式有意义，分式的意义得：且 ， 解得； （3）解：根据二次根式有意义得：， 解得 ． 【点睛】本题考查的知识点是分式有意义和二次根式有意义的条件，解题的关键是要熟记二次根式的被开方数是非负数，分式有意义则分母不能为0． 19．无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子． 【答案】 【分析】根据代数式都有意义，得出，继而根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， 且无论取何实数，代数式都有意义， ∴， ∴. 当时，. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 20．已知，求的值．（提示：利用与之间的关系．） 【答案】． 【分析】由完全平方公式及其变式公式解题：=． 【详解】解：由题意得， ． 【点睛】本题考查完全平方公式及其变式公式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 21．设，，为的三边，化简：． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系判定出的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：根据，，为的三边， 得到，，，， 则原式 ． 【点睛】 此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，根据三角形三边的关系确定出各式的符号是解本题的关键． 22．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，使得 ，，那么便有： 例如：化简； 解：首先把化为，这里，，由于4+3=7， 即， ∴== (1)化简：； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据阅读材料进行解答即可； （2）直接根据阅读材料进行解答即可； （3）直接根据阅读材料进行解答即可； 【详解】（1）解：根据，可得：，， ，， 即，， ； （2）解：根据，可得：，，   ，， 即，， ； （3）解：根据，可得：，，   ，， 即，，   ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键． 23．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 学科网（北京）股份有限公司 $$