专题05 平面直角坐标系章末48道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题05 平面直角坐标系章末48道压轴题型专训（6大题型） 题型一 点坐标规律探索问题 题型二 平面直角坐标系中面积计算问题 题型三 平面直角坐标系中最值问题 题型四 平面直角坐标系中存在性问题 题型五 平面直角坐标系中动点问题 题型六 平面直角坐标系中旋转问题 【经典例题一 点坐标规律探索问题】 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（n是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 【答案】(1)，，， (2)，点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，，观察可知，每四次运动为一个循环，横坐标增加2，即可解答； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为1，横坐标为．据此可得答案；由可知从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，， ∴，，， 观察可知，每四次运动为一个循环，横坐标增加2， ∴在轴上， ∴， ∴； （2）解：观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现， ， 的纵坐标为1，横坐标为， ． ， ∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上． 2．（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】 如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，． 【规律发现】 （1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______． （2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）． 【规律应用】 （3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长． 【答案】（1）11；16（2）（3） 【分析】本题主要考查了关于图形的规律问题，点的坐标，代数式的表示，图形的周期性等，解题的关键是找到图形排列的规律． （1）先根据条件求出，再确定两个在轴上的大等腰直角三角形顶点间的长度，即可求解； （2）利用规律推出公式即可； （3）按照图形规律，求出两个正方形之间的长度，根据周期性即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意可知，正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为， ,,,, ∴点的横坐标为11，点的横坐标为16， 故答案为：11，16； （2）点的横坐标为； （3）按照图形规律，可得第1个正方形出现的围墙长度为3m，后面则每5m长的围墙为1组，不断循环，每组只有1个正方形图案， ∴ 故围墙的总长为1003m． 3．（24-25八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至处，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处……如此继续下去，设，（为正整数）． (1)依次写出、、的坐标； (2)计算和； (3)计算的值． 【答案】(1)，， (2)4 (3)1010 【分析】（1）根据题意求得，即可求解； （2）根据（1）中结论，即可求解； （3）通过求解，找到规律，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，，，，，，，， （2）解：由（1）得：， ，，，的值分别为1，，，3，3，3，，， ∴， ； （3）解：由（2）得：， ， … ， 所以． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中找规律，先写出前面几个点的坐标，发现规律是解题的关键． 4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析， 【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）分两种情况进行解答分析即可． 【详解】（1）解：第1次移动到点，即 第2次移动到点，， 第3次移动到点，即 第4次移动到点，即 第5次移动到点的坐标为，即； 则第12次移动到点的坐标为即，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示） 故答案为：；； （3）解：由（2）知， 当时，解得（不是自然数，舍去）， 当时，解得，符合题意，此时下标为， 所以该点及坐标可记作． 5．（24-25八年级上·安徽六安·月考）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，，． （2）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． （3）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 则点到轴的距离是4，到轴的距离是199． 故答案为：4，199． 6．（24-25八年级下·北京·期中）阅读理解： 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为________； (2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处……求，的坐标； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键． （1 ）根据对称中心的坐标公式代入计算即可； （2 ）利用中心对称的性质依次计算出，然后找到规律，利用规律即可解题； （3）利用（2）中规律即可解答． 【详解】（1）解：∵点，， ∴的坐标为，即； （2）解：由题意可知：，， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ∵点，关于点对称， ∴， ……； ∴六次一个循环， ∵， ∴； （3）解：由（2）知六次一个循环， ∵， ∴． 7．（2023八年级下·上海闵行·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形……已知，，，，，，，． (1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将三角形变换成三角形，则的坐标是________，的坐标是________ ； (2)若按第（1）题的规律将三角形进行了n次变换，得到三角形，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测：的坐标是_______，的坐标是_______． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）因为，，，…纵坐标均为3，同时横坐标都和2有关，为， 因为，，，…纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关为， 即可得出答案； （2）由上题第一问规律可知的纵坐标总为3，横坐标为，的纵坐标总为0，横坐标为 ，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为，，，…纵坐标不变为3， 同时横坐标都和2有关，为，那么； 因为，，，…纵坐标不变，为0， 同时横坐标都和2有关为，那么B的坐标为； 故答案为：，； （2）解：由上题第一问规律可知的纵坐标总为3，横坐标为，的纵坐标总为0，横坐标为， ∴的坐标是，Bn的坐标是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查点的坐标规律，正确理解题意得出规律是解题的关键． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点A出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发： ①若点、均沿长方形的边界顺时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； ②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标． 【答案】(1)， (2)时，、两点相遇，此时，两点的坐标为 (3)①时，、两点相遇，相遇时、所在位置的坐标为；②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，时，、两点相遇，相遇时、所在位置的坐标为 【分析】（1）根据非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，即可进行解答； （2）根据题意可得，相遇时，两点的路程和等于长方形的周长，列出方程求解即可； （3）根据题意可得，点A和点D距离为6，①相遇时，点Q比点P多运动6个单位长度，列出方程求解即可；②相遇时，点Q比点P多运动14个单位长度，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵． 又∵． ∴，． （2）∵ ， 即时，、两点相遇． 此时点P所走路程：， ∵， ∴在边相遇， ∵，，点A的坐标为 ∴点D的坐标为 ∴相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 此时，两点的坐标为． （3）①由题意：∵， ∴， ， 此时点P所走的路程∶， ∵， ∴在边相遇， ∵点A的坐标为，， ∴， 相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 、的坐标为． ②由题意：∵，， ∴， ∴， ， 此时点P所走的路程∶， ∵， ∴在边相遇， ∵， 相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 、的坐标为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，解题的关键是将其看作追击问题，根据题意列出方程求解． 【经典例题二 平面直角坐标系中面积计算问题】 9．（24-25八年级下·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． (1)填空： ， (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积 (3)在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的和为零的性质，三角形的面积等； （1）由非负数的和为零的性质得，，即可求解； （2）由三角形面积得，即可求解； （3）由三角形面积得，即可求解； 理解非负数的和为零的性质，会在平面直角坐标系中求三角形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：由（1）得 ，， ， ； （3）解：当时， ， ， ， 解得：， 点P的坐标为或． 10．（24-25八年级下·吉林四平·期末）如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)18 (2)，证明见解析 (3)点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了点的坐标和三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键思想． （1）由A、B、C三点的坐标求出线段和线段的长度，然后求的面积； （2）设点，然后求的面积，即可得到结论； （3）分情况讨论，点P在x轴上；点P在y轴上，设点P的坐标，然后求出对应的底和高列出与面积有关的方程求点P． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：猜想：．证明如下： ∵过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点， ∴设点， ∴， ∴； （3）解：如图1，当点P在x轴上时，设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 如图2，当点P在y轴上时，设， 则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或； 综上所述，使得的点P的坐标为或或或． 11．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出，并画出关于轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使得的周长最小； (4)设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析； (4)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称性质——最短路径问题，网格图与三角形的面积，利用数形结合的思想是解题的关键． （）确定出点的位置，然后找点关于轴对称点，再顺次连接即可； （）过点向轴、轴作垂线，垂足为，由即可求解； （）作关于轴对称点，连接，交轴于点，连接，所以即为所求； （）分两种情况讨论，当点在轴上时，；当点在轴上时，，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求； （2）解：过点向轴、轴作垂线，垂足为， ∴ ； （3）解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，连接，所以即为所求； 理由：∵关于轴对称点， ∴， ∴， ∴根据两点之间线段最短可知，此时的周长最小， ∴即为所求； （4）解：当点在轴上时， ∴， 即， ∴， ∴点的坐标为或； 当点在轴上时， ∴， 即， ∴， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 12．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)先将向上平移3个单位，再向左平移3个单位，得到，请你在坐标系中画出，并写出点、的坐标； (2)在（1）的条件下，若点是线段上任意一点，则在轴上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请你说明理由． 【答案】(1)图见解析，点，； (2)点Q的坐标为或 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）由平移得，AB∥A1B1，可得，设点Q的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点，； （2）解：存在． 由平移得，， ∴， 设点Q的坐标为， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得或8， ∴点Q的坐标为或． 13．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积； (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速变为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，当点M到达点B时，整个运动随之结束，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若P是x轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，20 (2)秒 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，一元一次方程的结几何应用，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解，再结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ∴，， ，； ∴ 连接记与轴的交点为点，如图所示： ∴， ∴四边形的面积为． （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 14．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，点，且，已知点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)直接写出，两点的坐标；，； (2)连接，当点在轴的负半轴上时， ①用含的代数式表示的面积； ②当为何值时，的面积等于的面积？ (3)当点在线段上运动时，在轴正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，②当为1时，的面积等于的面积 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题考查了绝对值与乘方的非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，一元一次方程，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）①由题意得，，由三角形面积公式即可求解； ②先求出的面积，再根据的面积等于的面积，列出一元一次方程，求出t的值即可； （3）分两种情况，，，利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图 ∵，， ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， 答：当为1时，的面积等于的面积． （3）解：存在，理由如下： ①当时，则， 如图，当点Q在y轴正半轴上时，； ②当时，则， 如图，当点Q在y轴正半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或． 15．（24-25八年级上·重庆开州·期中）如图，顶点的坐标分别为，，，已知与关于轴对称． (1)请在图中画出，并直接写出点，，的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找点，使的面积为面积的． 【答案】(1)图见解析，，， (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）利用轴对称的性质分别作出、、的对应点、、，再依次连接即可得到，最后根据图形写出点，，的坐标即可； （2）利用割补法求解即可； （3）先求出，由图可知的高为，进而求出其三角形的底，得到点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所求； ，，； （2）； （3），由图可知，的高为， 的底为， 或， 如图，点、即为所求： 16．（24-25八年级下·河北承德·期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别是，，．    (1)线段的中点的坐标_______，三角形的面积是_______； (2)若点、的位置不变，当点在轴上时，且三角形的面积等于三角形的面积的2倍，则的坐标是_______； (3)若点、的位置不变，当点在轴上时，且三角形的面积等于三角形的面积的2倍，求点的坐标； (4)若点是三角形的边上的一点，直接写出三角形向右平移3个单位，向下平移2个单位后，点的对应点的坐标（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，6 (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）根据点，的坐标求出的长，然后利用三角形的面积公式计算即可； （2）分点在轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解； （3）分点在的左边和右边两种情况讨论求解； （4）根据点的坐标的平移规律解答即可． 【详解】（1）解：如图：    ∵，，． ∴线段的中点的坐标为，即； ∴， 点到的距离为3， ∴三角形的面积为； 故答案为：，6． （2）解：∵， ∴以为底时，的高=， ∴点在轴正半轴时，； 点在轴负半轴时，； 故答案为：或． （3）解：∵， ∴以为底时，的高为3，底边， ∴点在的左边时，，即； 点在的右边时，，即． （4）解：点是三角形的边上的一点，三角形向右平移3个单位，向下平移2个单位后，则移动后点的对应点的坐标为， 即． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，中点坐标，平移的性质，解题的关键点在于要分情况讨论． 【经典例题三 平面直角坐标系中最值问题】 17．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移作图，中心对称作图，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平移和中心对称的性质． （1）分别将点向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，再顺次连接即可； （2）分别作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可； （3）取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时为最小值，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时为最小值， 由勾股定理得， ∴这个最小值为． 18．（25-26八年级下·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，对于点和线段（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”． (1)如图1，点，点，点，则点与线段的近距为______，点与线段的远距为______． (2)如图2，点，点，点． ①求点C与线段的近距为________，远距为________； ②过点作．若点在直线上，当点和线段的近距不大于5时，则点P和线段的近距的最小值为________，远距的最大值为________，最小值为________． 【答案】(1)1； (2)①3，；②3；； 【分析】（1）如图，连接，证明，，，求解，结合新定义可得答案． （2）①如图，连接，过作于，求解，，进一步可得答案．②如图，过点作．点在直线MN上，当或时，过作于，作于，，当在时，过作于，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点，点，点， ∴，，， ∴， ∴点与线段的近距为，点与线段的远距为． 故答案为：1；； （2）解：①如图，连接，过作于， ∵点，点，点． ∴，，，， ∴，， ∵， ∴点与线段的近距和远距分别为：，． 故答案为：， ②如图， 过点作．点在直线上， 当或时，过作于，作于， ∴， 当点和线段的近距不大于5时， ∴在直线上，且在与之间， ∴点和线段的远距的最大值为：， 当在时，过作于， ∴， 此时点和线段的远距的最小值为， 综上：点和线段的远距的最大值为，最小值为． 故答案为：3；； 【点睛】本题考查的是坐标与图形，新定义运算的含义，勾股定理的应用，化为最简二次根式，，垂线段最短，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 19．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——轴对称变换及最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点即可； （2）连接交y轴于P点，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件，从而得到P点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如图，根据轴对称的性质可知，，连接交y轴于P点，此时点P即为所求作，P点坐标为． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：_____； (3)在（2）中的直线上找一点，使得的值最大，则最大值为_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据题意可得直线l即为直线，再根据轴对称的性质可得点C和点到直线l的距离相等，且两点的纵坐标相同，据此求解即可； （3）根据，即可得当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长，利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线l即为直线， ∵， ∴点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为． 21．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 【答案】(1) (2)①②m有最小值，当时，，对应点；无最大值 【分析】本题考查平面直角坐标系点的特征，和值的定义，熟练掌握平面直角坐标系点的特征是解题的关键； （1）根据和值的定义求解即可； （2）①根据题意，求解， ，进而求解和值；②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值即可求解； 【详解】（1）解：根据图象，可得， 横坐标最大值：、、中最大为； 纵坐标最大值：、、中最大为； 【，，】； 故答案为： （2）①当时，则， ， 横坐标最大值： 、， 中最大为1； 纵坐标最大值：、、， 中最大为； 求和值：； 故答案为： ②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值： 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）； 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）。 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而减小）； 综上，m有最小值：当时，，对应点； 无最大值：随增大而无限增大； 22．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①、；② (2)的值是1或2 【分析】本题主要考查点的坐标，读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题是解答本题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②根据等距点的定义可得，求出的值，即可得出点B的坐标； （2）根据“等距点”的定义，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为5， ∴与A点是“等距点”的点是，； 故答案为：E，F； ②∵点到x、y轴的距离中最大值为3，且， ∵点的坐标为，且、两点为“等距点”， ∴， 解得或， ∴或， ∴点的坐标为或， ∵，、两点为“等距点”， ∴点的坐标为； （2）解：∵， ∴当，两点为“等距点”时，则有： ①，且， 解得或1，且， ∴； ②，且， 解得或，且或， ∴； 综上，的值为1或2． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值． （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）如图，作点B关于x轴对称的点，直线与x轴的交点即为所求的点P． ∵， ∴， ∴， 即为的最小值为； （3）∵把看成点到两点和的距离之和， ∴两点和的距离便是的最小值， ∴最小值为：， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）阅读理解：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点A关于x轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B__________的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点．与点A__________、点B__________的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和， （3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【详解】（1）∵原式化为的形式， ∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点A、点或的距离之和， 故答案为； （2）∵原式化为的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和， 故答案为：． （3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则， ∴的最小值，只需求的最小值，而点间的直线段距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵ ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． 【经典例题四 平面直角坐标系中存在性问题】 25．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上的一点，且， (1)求点的坐标． (2)在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用； （1）求解，再利用勾股定理求解，再进一步求解即可； （2）分情况讨论：①如图，当时，此时点（图中）与原点重合，所以点的坐标为，②如图，当时，此时点（图中）位于轴的正半轴，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得． ∵为轴正半轴上的一点，且， ∴． ∴点的坐标为． （2）解：存在． ①如图，当时，此时点（图中）与原点重合，所以点的坐标为． ②如图，当时，此时点（图中）位于轴的正半轴． 设点的坐标为， 在中．由勾股定理得，即． 在中，由勾股定理得，即． 所以， 解得． ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 26．（24-25九年级上·江西宜春·月考）已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为． (1)求点的坐标； (2)若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，请直接写出点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使的面积的面积的一半？画出图形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，轴上不存在，理由见解析，轴上或 【分析】本题考查直角坐标系，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离，点所在象限的特征，当轴时，点的坐标特点，三角形面积公式，坐标轴上两点间的距离． （1）根据点到坐标轴的距离可求出、的值，代入即可求出点坐标； （2）由（1）可知，利用轴，点到轴的距离与点到轴的距离相等，可得的横坐标为，纵坐标为，即可求出点坐标； （3）当点在轴上时，设，则，所以点不能在轴上，设，到的距离为，根据，可得，，进一步可求出坐标． 【详解】（1）解：点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为， ， 解得：， ，， ； （2）解：由（1）可知：， 轴，点到轴的距离与点到轴的距离相等， 的横坐标为，纵坐标为， ； （3）解：假设存在点，使得， ，，， ， ， ， 当点在轴上时，设，则， 点不能在轴上， 设，到的距离为，如图： 则， ， 当位于左侧时，，得； 当位于右侧时，，得； 综上所述：，． 27．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)请在图中作出关于x轴对称的； (2)线段的垂直平分线与x轴的交点坐标为 ； (3)请在x轴上找一点P，使得最小，则点P的坐标为 ； (4)在y轴上是否存在一点Q，使的值最大，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析， (4)存在， 【分析】本题考查作图——轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理、线段垂直平分线的判定，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）取格点D，利用勾股定理和线段垂直平分线的判定可得结论； （3）连接，交x轴于点P，则点P即为所求； （4）延长交y轴于点Q，则Q即为所求点． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，取格点D，连接，， 则， ∴点D为线段的垂直平分线与x轴的交点， ∵点D坐标为， ∴线段的垂直平分线与x轴的交点坐标为； （3）解：如图，连接，交x轴于点P，则点P即为所求； 由图知，点P的坐标为； （4）解：存在． 如图，延长交y轴于点Q，则Q即为所求点， 由图知，点Q的坐标为． 28．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在点，使得与全等，、和 【分析】本题主要考查了利用网格作轴对称图形，利用网格求出图形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用网格作轴对称图形即可； （2）利用网格求梯形的面积即可； （3）借助网格和全等三角形判定定理，求点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：存在，如图所示， 当，此时点； 当，此时点； 当，此时点； 则存在点，使得与全等，、和． 29．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图（1）：在平面直角坐标系中，点，点，点，且a与c满足条件； (1)求的值以及点的坐标． (2)如图（2）：在轴上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)线段，轴，直接写出D点坐标． 【答案】(1)，，； (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用非负性求出的值，进而写出点A，C的坐标即可； （2）先求出面积，设，再根据的面积等于面积的2倍结合三角形面积公式进行求解即可得出P的值．进而可得出点P的坐标． （3）根据垂线段最短得出轴时，线段的长最小，再根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，； ∴， ∴的面积； 设， 由题意，得：， 即：， ∴， ∴， ∴或． （3）解：∵点为x轴上的一个动点， ∴轴时，线段的长最小， ∵， ∴ ∵，， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 30．（2025八年级下·上海闵行·专题练习）在长方形中，以点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系，，且，满足．有一动点从点出发，按逆时针方向以每秒个单位长度的速度在长方形上运动一周． (1)点的坐标为_______；当运动时，点的坐标为_______． (2)在运动过程中，当点距离原点个单位长度时，求点的运动时间． (3)点在线段上运动的过程中，是否存在一点，使得的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ； (2) 或 (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的动点问题，（1）根据题干给出的条件可以得到，的值，即可求出点的坐标，根据的速度和运动时间可以求得的路程则可知此时的坐标；（2）判定点距离原点为时的点有几个，然后进行求解即可；（3）根据的面积为推导点的坐标，有解则存在，无解则不存在. 【详解】（1）解： ； 解得， 则点 点； 当运动时，点P走过的路程为：， ； 故答案为：；. （2）解：， 当点距离原点个单位长度时，存在以下两种情况： ①点在线段上，如图①． 由题意得：在中， ，． 由勾股定理得： ． ， 点运动了个单位长度， 运动时间为； ②点与点重合． 因为， 所以点运动了个单位长度， 运动时间为． 综上所述，点的运动时间为或； 故答案为：或． （3）解：存在． 如图②所示，当点在线段上时， 设点的运动时间为，则， ． ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 故答案为：存在，． 31．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． (1)画出，并写出点，，的坐标； (2)连接和，则线段与之间的位置关系和数量关系是 ； (3)在坐标轴上是否存在一点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，图见解析； (2)，； (3)存在，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了作图——平移变换，平移的性质，三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （）根据平移的方式作图，即可得出答案； （）连接，，根据平移的性质即可解答； （）分点在轴上和轴上，根据三角形面积公式结合已知建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∴，，； （2）解：连接，， 由平移性质可得：且 故答案为：且； （3）解：存在，理由： ∵， ∴， 当点在轴上时， ， 解得； ∴点的坐标为或； 当点在轴上时， ， 解得， ∴点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或或． 32．（24-25八年级下·北京海淀·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①     ②     ③    ④ (2)设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)从下列①，②两问中选择一个解答 ①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3)选择①，不存在．理由见解析；选择②，不存在．理由见解析 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标特征，理解“坐标相合”的点的定义是解题的关键； （1）根据“坐标相合”的点的定义逐个判断即可； （2）根据“坐标相合”的定义得到，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上，据此列不等式求解即可； （3）选择①，利用假设法证明不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的； 选择②，利用假设法证明不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的． 【详解】（1）解：①与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ②与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ③与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点； ④与，，作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，由于轴，则，必定在长方形一条边上，与，，，分别落在该长方形的四条边上矛盾，与，，不是“坐标相合”的点； 故答案为：①②③； （2）解：∵，两点的纵坐标相同，且，，，是“坐标相合”的， ∴，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， ∴点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上， ∴ 解得； （3）解：选择①，不存在．理由如下： 假设存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的， 所以，，，和，，，均是“坐标相合”的， 同（2）的分析可知，必须恰好落在某长方形的左右两条边上， 所以在，，，中需要落在长方形的上边界上，即在直线上方；在，，，中需要落在长方形的下边界上，即在直线下方，相互矛盾． 所以不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的． 选择②，不存在．理由如下： 假设存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的．设这五点为，根据“坐标相合”的定义可知：中的最小数和最大数不等，不妨设最小数为，最大数为，且． （i）考察．若中至少有一点在某长方形的水平边上，不妨设为，因为是“坐标相合”的，所以位于该长方形左侧竖直边的点的横坐标小于，与是最小数矛盾．类似的，若在某长方形的水平边上，则位于该长方形右侧竖直边的点的横坐标大于，与是最大数矛盾．所以分别在长方形的左、右侧竖直边上，在两条水平边上，不妨设在下水平边上，在上水平边上，如图所示，即； （ii）考察．同（i）可知： ； （iii）考察．同（i）可知： ，与矛盾． 综上所述，不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的． 【经典例题五 平面直角坐标系中动点问题】 33．（2025八年级下·上海闵行·专题练习）新考法  如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限的一点，且，的延长线交轴于点，当点运动时，点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 【答案】点E的坐标不变，点E的坐标为 【分析】本题主要考查坐标与图形及全等三角形的性质与判定，熟练掌握图形与坐标及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：点E的坐标不变．理由如下： ， ． ， ， ． 又， ， ， ， ． 又， ， ， ∴点E的坐标为． 34．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，B的坐标分别为，，D是的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着运动，设点P运动的时间为t秒． (1)点B坐标是 ，点D的坐标是 ； (2)当点P在上(包含端点)运动时，求点P的坐标是 ，t的取值范围为 ． (3)当的面积为9时，求出点P的坐标； 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形，一元一次方程的几何应用，解答的关键是分类讨论； （1）利用长方形的性质以及坐标与图形性质求出、两点坐标，再利用中点坐标公式即可求得点D坐标； （2）点在线段上，求出的长，进而即可求解； （3）分三种情形分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形，，， ∴，，，， ∴，，， 是的中点， ∴， ． 故答案为：；； （2）解：当在上运动时，, ∴，， 故答案为：，； （3）解：分三种情况： ①当时，点在上运动，坐标为，如图， 由题意得：， 解得：， 点的坐标为； ②当时，点在上运动，坐标为，如图， 由题意得：， ， 解得：， 点的坐标为； ③当时，点在上运动，坐标为，，如图， ， 解得：不合题意，舍去， ∵， ∴点P不可能在上， 综上所述，当或时，的面积为． 35．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、． (1)若、、；则点的坐标是_________； (2)已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)15或3． 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键． （1）根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等； （2）由点和点在轴上确定出，再根据的面积求出，然后写出点、的坐标即可； （3）根据，，，，得出，，分情况解答即可． 【详解】（1）解：设， 将线段平移至线段，、，， ，， ，， ； （2）解：如图①，，点在轴的正半轴上， ，， ，即， ， 解得：， 点的坐标为， 设，将线段平移至线段， ，， ，， 点的坐标为； （3）解：，，，， 点与的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为， 即，， 解得：，或，， 点的坐标为，的坐标为或点的坐标为，的坐标为， 当，，； 当，时，． 综上，以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积为15或3. 36．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点、的坐标； (2)若点、分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)若点是轴上一动点，当三角形的面积小于时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)秒 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 利用平移变换的性质求解； 设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； 分两种情况分析：当点H在y轴负半轴时，当点H在y轴正半轴时，根据三角形的面积公式列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意点，的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段， ，； （2）设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点，同时出发，秒后轴； （3）当点H在y轴负半轴时，如图， ，，， 三角形的面积， ； 当点H在y轴正半轴时，如图， 过点H作轴， ∴， 三角形的面积， 解得：，不符合题意； 综上所述，的取值范围为． 37．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． (1)则点B的坐标为______； (2)当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； (3)若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． (4)在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4)，，， 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点和的坐标可得结论； （2）先得，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵四边形是矩形， ， ． （2）解：∵ 四边形是矩形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况： ①当时，点在边上，四边形是梯形， ， ∴以点为顶点的四边形的面积， ， ， ； ②当时，点在的延长线上， ∴以 点为顶点的四边形的面积， ， ， 综上，点的坐标为或． （4）解：∵， ∴， 当时，如图，点， 则， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则点在线段的垂直平分线上， 则， ∴． 综上，点N的坐标为，，，． 【点睛】该题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合思想解答． 38．（24-25八年级下·江苏南通·期中）阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： (1)已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． (2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①点的坐标为或；②2；③ (2) 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形性质，正确理解“绝对距离”的定义是解题的关键． （1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标； ②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是2可得的最小值为2； ③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形周长为32计算即可； （2）由题意，分情况列出不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①设， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵，设， ∴， ∴的最小值为2； ③∵，点满足， ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上， ∴， ∴； （2）解：∵点，点， ∵有动点，使得， ∴分类讨论， ①当时，，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，，符合题意； ③当时，由题意得：， 解得：， ∴ 综上，的取值范围为． 39．（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点． (1)填空：的长是______，的长是______； (2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S． ①当时，求S的值； ②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可） 【答案】(1)10，6 (2)①；② (3)或8或 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题； （2）①如图中， 作轴于，连接，当时，点与重合，求的面积； ②如图中， 当时，点在线段上，，作于， 于，则，由， 推出 即，可得，由此即可解决问题； （3）分三种情形①当点在边长上，点在上时；②如图中，当、在线段上相遇之前，作于， 则，列出方程即可解决问题；③同法当、在线段上相遇之后，列出方程即可； 【详解】（1）解：在中， ， ， ∴， 故答案为： ， ； （2）①解：如图， 作轴于，连接， ， ， 在中，， 当时，点与重合，， ，即， ②如图中，设点的纵坐标为，当点在线段上，，作于， 于，则， ， ， ∵， ， ， ∵点在线段上， ， ； （3）解：①当点在边上， 点在上时， ， 解得(负根已经舍弃)； ②如图3中，当、在线段上，相遇之前， 作于E， 则， 由题意得， 解得 同法当、在线段上，相遇之后， 由题意得， 解得 ， 综上所述，若，此时的值或或 【点睛】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题. 40．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB平移至线段CD，点A在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴上，连接AC、BD． （1）若A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），C（0，2），求点D的坐标； （2）已知A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），点C（0，m）在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACO=5，求点C、D的坐标； （3）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点M（2，0），两个动点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3），请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM．若存在，求以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）D（1，0）；（2）C（0，），D（1，）；（3）存在，S▱OMEF=8 【分析】（1）根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等； （2）由点A和点C在y轴上确定出OA=3，再根据△ACD的面积求出m=，然后写出点C、D的坐标即可； （3）根据EF∥OM，EF=OM，O（0，0），M（2，0），得出2a+1=-2b+3，|a-b|=2，解答即可． 【详解】解：（1）设D（x，y）， ∵将线段AB平移至线段CD，A（-3，0）、B（-2，-2），C（0，2）， ∴x﹣0=-2-（-3），y-2=-2-0， ∴x=1，y=0， ∴D（1，0）； （2）如图，∵A（-3，0），点C（0，m）在y轴的正半轴上， ∴OA=3，OC=m， ∵S△ACO=5，即OA•OC=5， ∴×3m=5， 解得：m=， ∴点C的坐标为（0，）， 设D（x，y）， ∵将线段AB平移至线段CD， ∴x-0=-2-（-3），y﹣=-2-0， ∴x=1，y=， ∴点D的坐标为（1，）； （3）∵EF∥OM，EF=OM，O（0，0），M（2，0）， ∴点E与F的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2， 即2a+1=﹣2b+3，|a﹣b|=2， 解得：a=-，b=或a=，b=-， ∴点E的坐标为（-，0），F的坐标为（，0）或点E的坐标为（，4），F的坐标为（-，4）， 当E（-，0），F（，0）时，O、M、E、F四点均在x轴上，不能构成平行四边形，舍去； ∴E（，4），F（-，4）； ∴S▱OMEF=2×4=8． ． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键． 【经典例题六 平面直角坐标系中旋转问题】 41．（25-26八年级下·河北邯郸·阶段练习）填一填，画一画． (1)用数对表示，学校的位置是，则超市的位置是______． (2)公园的位置是，请在图上用“•”标出，并写上“公园”二字． (3)学校在超市的______方向上． (4)把图中的三角形向右平移5格，画出平移后的图形． (5)把图中的三角形绕A点顺时针方向旋转，画出旋转后的图形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)南偏西 (4)见解析 (5)见解析 【分析】本题考查有序数对，方向角，基本作图，熟练掌握平移性质及旋转性质作图是解决问题的关键． （1）根据学校的位置是，结合图形即可解答； （2）根据图形即可解答； （3）根据图形结合方向角即可解答； （4）利用平移的性质即可作图； （5）利用旋转的性质即可作图． 【详解】（1）解：学校的位置是，则超市的位置是， 故答案为：； （2）解：如图所示为所求； （3）解：根据图形，学校在超市的南偏西方向上， 故答案为：南偏西； （4）解：如图所示为所求； （5）解：如图所示为所求． 42．（25-26八年级下·广东湛江·阶段练习）看图，按要求完成下列各题． (1)把三角形绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后图形． (2)点旋转后位置用数对表示为____． (3)画出三角形按放大后的图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查图形的旋转和缩放，用数对表示位置． （1）点不动，点、点绕点按顺时针方向旋转即可； （2）点旋转后对应点，在第列，第行，表示为数对的形式即可； （3）三边长度分别扩大到原来的倍即可． 【详解】（1）解：如图，点不动标记为，点绕点按顺时针方向旋转至点，点绕点按顺时针方向旋转至点，顺次连接，即为旋转后的图形． （2）解：点旋转后对应点，在第列，第行，用数对表示为． 故答案为：． （3）解：如图，放大后为个单位长度，，放大后为个单位长度的正方形的对角线长度，即为三角形按放大后的图形． 43．（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的； (3)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了作图——轴对称和旋转变换，旋转性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形旋转的性质画出图形即可； （）根据图形旋转的性质画出图形即可； （）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点， ∴， ∴根据两点之间线段最短可得：， 根据网格可知：点的坐标为， ∴点即为所求，点的坐标为． 44．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、，直线． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)画出关于直线对称的，并写出的坐标； (3)能否由绕某一点旋转得到，若能，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度．若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析，、、 (2)见解析，、、 (3)旋转中心的坐标为，旋转角度为 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，找旋转中心与旋转角，熟练掌握轴对称的性质以及旋转的性质，是解题的关键； （1）根据轴对称的性质找到、、，顺次连接，即可求解； （2）根据轴对称的性质找到、、，顺次连接，即可求解． （3）作和的垂直平分线即可得到旋转中心，即旋转中心为点，根据旋转的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，、、 （2）解：如图所示，即为所求，、、 （3）解：能由绕点逆时针旋转得到，如图 ∴旋转中心的坐标为，旋转角度为 45．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将以原点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的（、、分别与、、对应）； (2)若与关于原点成中心对称，请写出点、的对应点、的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)， 【分析】本题考查了轴对称——旋转变换，中心对称，熟练掌握轴对称性质和旋转对称性质是解题的关键． （1）点、、绕点逆时针旋转，对应点为、、，然后连接，，即可； （2）根据点关于原点成中心对称，结合中心对称的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图，点、、绕点逆时针旋转，对应点为、、， 然后连接，，， ∴即为所求； （2）解：∵与关于原点成中心对称，， ∴．． 46．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，点的坐标是． (1)①将绕点按逆时针方向旋转，在图（）画出旋转后的图形； ②我们发现点、关于某点中心对称，对称中心的坐标是______； (2)①将向上平移个单位长度，在图（）中画出平移后的图形； ②将绕点旋转，在图（）中画出旋转后的图形； ③我们发现点、关于某点中心对称，对称中心的坐标是______． 【答案】(1)①见解析；②； (2)①见解析；②见解析；③． 【分析】（1）①将点，分别绕点按逆时针方向旋转，找到对应点即可；②根据坐标系写出点，的坐标，求出两点横坐标、纵坐标的平均值即可． （）①将的三个顶点分别向上平移个单位长度，找到对应点即可；②将点，分别绕点按逆时针方向旋转，找到对应点即可；③根据坐标系写出点，的坐标，求出两点横坐标、纵坐标的平均值即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求． ②由图可知点，， 因此对称中心的坐标是，即， 故答案为：； （2）解：①如图，即为所求． ②如图，即为所求． 由图可知点，， 因此对称中心的坐标是，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的平移、旋转，中心对称等知识点，解题的关键是根据平移、旋转方式找出对应点的位置． 47．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点旋转后的图形； (2)是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了图形的平移，中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质可得到、、关于原点中心对称点、、的坐标，然后依次连接即可； （2）利用点与的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点、、的对应点、、的坐标，然后依次连接即可； （3）同（2）得到点、、的坐标，再由中心对称的性质，知道点点为和的中点，即可得到的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可知和关于原点中心对称， 则可得到，， 关于原点中心对称的对应点分别为、、，描点依次连接， 如图所示，即为所求： （2）解：根据题意可知，点向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点，则向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ， 分别将，，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点、、，描点依次连接， 如图所示，即为所求： （3）解：根据题意可知，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，则向右平移个单位，向上平移个单位得到 ， 分别将，，向右平移个单位，向上平移个单位得到对应点、、， 平移后的和关于点成中心对称，且、、， 设对称中心，由题意可知，点为和的中点 那么， ， ． 故答案为：． 48．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为，，，绕原点顺时针旋转，得到，再将向左平移5个单位得到．    (1)画出，并写出点的对应点的坐标； (2)画出，并写出点的对应点的坐标； (3)是的边上一点，经旋转、平移后点的对应点分别为，，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析，点的对应点的坐标为 (2)见解析，点的对应点的坐标 (3) 【分析】（1）将绕原点顺时针旋转得到，即为坐标成原点对称，横纵坐标都变为相反数，即可得到的各个点的坐标； （2）将（1）画出的图形，向左平移5个单位长度即可得到； （3）根据整个过程坐标的变化规律：首先是横纵坐标都变为相反数，再是横坐标减去5个单位长度，纵坐标不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：作出图如图所示：   ， 点的对应点的坐标为； （2）解：作出图如图所示：   ， 点的对应点的坐标； （3）解：由图形变换的过程可得：首先是横纵坐标都变为相反数，再是横坐标减去5个单位长度，纵坐标不变， 的坐标为． 【点睛】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换作图，解题时注意：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离，决定旋转后图形位置的因素为：旋转角度、旋转方向、旋转中心． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面直角坐标系章末48道压轴题型专训（6大题型） 题型一 点坐标规律探索问题 题型二 平面直角坐标系中面积计算问题 题型三 平面直角坐标系中最值问题 题型四 平面直角坐标系中存在性问题 题型五 平面直角坐标系中动点问题 题型六 平面直角坐标系中旋转问题 【经典例题一 点坐标规律探索问题】 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（n是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 2．（2025·安徽宿州·一模）【观察思考】 如图，学校的围墙由三种图案围成，一种是正方形，另外两种是大小不等的等腰直角三角形．将围墙的图案放在平面直角坐标系中，已知正方形图案的边长与小等腰直角三角形图案的直角边长都为，设大等腰直角三角形图案在轴上的直角顶点分别为，，，…，． 【规律发现】 （1）填空：点的横坐标为______，点的横坐标为______． （2）直接写出点的横坐标（用含的式子表示）． 【规律应用】 （3）已知学校的围墙总共有201个正方形图案（最右边以正方形结束），结合图案中的排列方式及上述规律（不考虑其他因素），求围墙的总长． 3．（24-25八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至处，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处……如此继续下去，设，（为正整数）． (1)依次写出、、的坐标； (2)计算和； (3)计算的值． 4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 5．（24-25八年级上·安徽六安·月考）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 6．（24-25八年级下·北京·期中）阅读理解： 我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为________； (2)另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处……求，的坐标； (3)求点的坐标． 7．（2023八年级下·上海闵行·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形……已知，，，，，，，． (1)仔细观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将三角形变换成三角形，则的坐标是________，的坐标是________ ； (2)若按第（1）题的规律将三角形进行了n次变换，得到三角形，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测：的坐标是_______，的坐标是_______． 8．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点A出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发： ①若点、均沿长方形的边界顺时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； ②若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标． 【经典例题二 平面直角坐标系中面积计算问题】 9．（24-25八年级下·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． (1)填空： ， (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积 (3)在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 10．（24-25八年级下·吉林四平·期末）如图，，，三点的坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)过点作直线平行于轴，点为直线上任意一点，试猜想三角形的面积与三角形的面积的关系，并证明你的猜想； (3)试在坐标轴上找一点，使，请直接写出满足条件的点的坐标． 11．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出，并画出关于轴的对称图形； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使得的周长最小； (4)设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 12．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)先将向上平移3个单位，再向左平移3个单位，得到，请你在坐标系中画出，并写出点、的坐标； (2)在（1）的条件下，若点是线段上任意一点，则在轴上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请你说明理由． 13．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积； (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速变为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，当点M到达点B时，整个运动随之结束，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若P是x轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点P的坐标． 14．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，点，且，已知点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)直接写出，两点的坐标；，； (2)连接，当点在轴的负半轴上时， ①用含的代数式表示的面积； ②当为何值时，的面积等于的面积？ (3)当点在线段上运动时，在轴正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级上·重庆开州·期中）如图，顶点的坐标分别为，，，已知与关于轴对称． (1)请在图中画出，并直接写出点，，的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找点，使的面积为面积的． 16．（24-25八年级下·河北承德·期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别是，，．    (1)线段的中点的坐标_______，三角形的面积是_______； (2)若点、的位置不变，当点在轴上时，且三角形的面积等于三角形的面积的2倍，则的坐标是_______； (3)若点、的位置不变，当点在轴上时，且三角形的面积等于三角形的面积的2倍，求点的坐标； (4)若点是三角形的边上的一点，直接写出三角形向右平移3个单位，向下平移2个单位后，点的对应点的坐标（用含的代数式表示）． 【经典例题三 平面直角坐标系中最值问题】 17．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 18．（25-26八年级下·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，对于点和线段（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”． (1)如图1，点，点，点，则点与线段的近距为______，点与线段的远距为______． (2)如图2，点，点，点． ①求点C与线段的近距为________，远距为________； ②过点作．若点在直线上，当点和线段的近距不大于5时，则点P和线段的近距的最小值为________，远距的最大值为________，最小值为________． 19．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 20．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：_____； (3)在（2）中的直线上找一点，使得的值最大，则最大值为_____． 21．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 22．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ． 24．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）阅读理解：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点A关于x轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B__________的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点．与点A__________、点B__________的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式的最小值． 【经典例题四 平面直角坐标系中存在性问题】 25．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上的一点，且， (1)求点的坐标． (2)在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（24-25九年级上·江西宜春·月考）已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为． (1)求点的坐标； (2)若轴，且点到轴的距离与点到轴的距离相等，请直接写出点的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点，使的面积的面积的一半？画出图形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)请在图中作出关于x轴对称的； (2)线段的垂直平分线与x轴的交点坐标为 ； (3)请在x轴上找一点P，使得最小，则点P的坐标为 ； (4)在y轴上是否存在一点Q，使的值最大，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称的； (2)求四边形的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在另一点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 29．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图（1）：在平面直角坐标系中，点，点，点，且a与c满足条件； (1)求的值以及点的坐标． (2)如图（2）：在轴上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)线段，轴，直接写出D点坐标． 30．（2025八年级下·上海闵行·专题练习）在长方形中，以点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系，，且，满足．有一动点从点出发，按逆时针方向以每秒个单位长度的速度在长方形上运动一周． (1)点的坐标为_______；当运动时，点的坐标为_______． (2)在运动过程中，当点距离原点个单位长度时，求点的运动时间． (3)点在线段上运动的过程中，是否存在一点，使得的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． (1)画出，并写出点，，的坐标； (2)连接和，则线段与之间的位置关系和数量关系是 ； (3)在坐标轴上是否存在一点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（24-25八年级下·北京海淀·期末）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，． 例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的． (1)下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是___________；（填出所有满足要求的点的序号） ①     ②     ③    ④ (2)设是坐标平面上的动点，且，，，，是“坐标相合”的，求的取值范围； (3)从下列①，②两问中选择一个解答 ①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． ②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由． 【经典例题五 平面直角坐标系中动点问题】 33．（2025八年级下·上海闵行·专题练习）新考法  如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限的一点，且，的延长线交轴于点，当点运动时，点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 34．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，B的坐标分别为，，D是的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着运动，设点P运动的时间为t秒． (1)点B坐标是 ，点D的坐标是 ； (2)当点P在上(包含端点)运动时，求点P的坐标是 ，t的取值范围为 ． (3)当的面积为9时，求出点P的坐标； 35．（24-25八年级下·福建福州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、． (1)若、、；则点的坐标是_________； (2)已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 36．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点、的坐标； (2)若点、分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)若点是轴上一动点，当三角形的面积小于时，求的取值范围． 37．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． (1)则点B的坐标为______； (2)当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； (3)若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． (4)在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（24-25八年级下·江苏南通·期中）阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： (1)已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． (2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 39．（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点． (1)填空：的长是______，的长是______； (2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S． ①当时，求S的值； ②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可） 40．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB平移至线段CD，点A在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴上，连接AC、BD． （1）若A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），C（0，2），求点D的坐标； （2）已知A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），点C（0，m）在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACO=5，求点C、D的坐标； （3）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点M（2，0），两个动点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3），请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM．若存在，求以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 平面直角坐标系中旋转问题】 41．（25-26八年级下·河北邯郸·阶段练习）填一填，画一画． (1)用数对表示，学校的位置是，则超市的位置是______． (2)公园的位置是，请在图上用“•”标出，并写上“公园”二字． (3)学校在超市的______方向上． (4)把图中的三角形向右平移5格，画出平移后的图形． (5)把图中的三角形绕A点顺时针方向旋转，画出旋转后的图形． 42．（25-26八年级下·广东湛江·阶段练习）看图，按要求完成下列各题． (1)把三角形绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后图形． (2)点旋转后位置用数对表示为____． (3)画出三角形按放大后的图形． 43．（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的； (3)在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标． 44．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、，直线． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)画出关于直线对称的，并写出的坐标； (3)能否由绕某一点旋转得到，若能，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度．若不能，请说明理由． 45．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将以原点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的（、、分别与、、对应）； (2)若与关于原点成中心对称，请写出点、的对应点、的坐标． 46．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，点的坐标是． (1)①将绕点按逆时针方向旋转，在图（）画出旋转后的图形； ②我们发现点、关于某点中心对称，对称中心的坐标是______； (2)①将向上平移个单位长度，在图（）中画出平移后的图形； ②将绕点旋转，在图（）中画出旋转后的图形； ③我们发现点、关于某点中心对称，对称中心的坐标是______． 47．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点旋转后的图形； (2)是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示） 48．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标为，，，绕原点顺时针旋转，得到，再将向左平移5个单位得到．    (1)画出，并写出点的对应点的坐标； (2)画出，并写出点的对应点的坐标； (3)是的边上一点，经旋转、平移后点的对应点分别为，，请直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $