专题03 实数56道计算题专项训练（7大题型） -2026-2027学年沪教版（五四版）八年级数学上册

**基本信息** 聚焦实数运算7大核心题型，56道题覆盖平方根/立方根运算、混合运算、规律探索等，形成从基础到综合的递进训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根及方程运算|8道|含开方、解方程、分母有理化|从概念到方程应用，夯实基础| |立方根及方程运算|8道|开立方、解方程、化简求值|与平方根运算平行，强化对比| |实数混合运算|8道|含加减乘除、近似计算|综合运用实数运算法则，提升运算能力| |实数规律计算|7道|通过计算归纳数字规律|培养观察与推理意识，体现数学思维| |实数新定义运算|9道|自定义符号运算，迁移应用|抽象能力与模型意识的综合考查| |无理数估算|8道|大小比较、整数/小数部分确定|发展数感，深化对无理数的理解| |平方根立方根规律探索|8道|通过表格、等式归纳开方规律|从特殊到一般，培养数学眼光|

第03讲 实数56道计算题专项训练（7大题型） 题型一 平方根、平方根方程运算 题型二 立方根、立方根方程运算 题型三 实数的混合运算 题型四 实数的规律计算题 题型五 实数的新定义运算 题型六 无理数的估算 题型七 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 平方根、平方根方程运算】 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)324． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）计算：． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）求满足条件的x的值： 4．（25-26七年级下·江西新余·期末）化去根号里的分母： (1)； (2)． 5．（25-26七年级下·四川德阳·期中）解下列方程或方程组： (1) (2) 6．（25-26七年级下·广东惠州·期末）若一个正数的平方根是与，求的值和这个正数的值． 7．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）解方程： (1)； (2)． 8．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）完成下列两个小题： (1)已知的平方根是，求3x的平方根； (2)解二元一次方程组． 【经典计算题二 立方根、立方根方程运算】 9．（25-26七年级下·四川自贡·阶段检测）求未知数的值： 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)125； (2)； (3)0.729． 11．（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)． 12．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）求下列各式中的的值： (1)； (2)． 13．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）计算： 14．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）计算与解方程 (1)； (2)． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）用立方根表示下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（2026七年级·湖南长沙·模拟预测）已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根． 【经典计算题三 实数的混合运算】 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：．（精确到0.01） 18．（24-25七年级下·湖南永州·期中）不用计算器，比较与的大小 19．（25-26七年级下·北京密云·期末）计算：． 20．（25-26七年级下·河南许昌·期末）计算：． 21．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）计算： 22．（25-26七年级下·陕西延安·期末）计算：． 23．（25-26七年级下·天津津南·期末）计算： (1)； (2)． 24．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）（1）根据所示的程序，求输出的化简结果； （2）已知的立方根是它本身，选取一个合适的的值代入，求的值． 【经典计算题四 实数的规律计算题】 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）借助计算器计算下列各题． （1）________； （2）________． （3）________； （4）________； （5）从上面的计算结果，你发现了什么规律？利用你发现的规律求的值． 26．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 27．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．请你运用上述规律解决下面的问题： (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，按此规定的值为_______； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 28．（25-26七年级下·浙江金华·期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________． (2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________． (3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值． 29．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 30．（25-26六年级上·山东烟台·期末）观察下列等式的规律，解答下列问题： ； ； (1)按以上规律，第个等式为______；第个等式为______（用含的代数式表示，为正整数）； (2)按此规律，计算：； (3)探究计算：． 31．（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表： 加数的个数 连续偶数的和 12 3 4 5 （1）若时，则的值为______； （2）根据表中的规律猜想：用的代数式表示的公式为：______； （3）根据上题的规律计算：的值．（要求写出过程） 【经典计算题五 实数的新定义运算】 32．（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 33．（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）定义一种运算符号“★”，，如：．计算： (1)； (2)． 34．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定：． (1)计算的值． (2)计算的值． 35．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）对于有理数，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值； (3)定义的新运算“”是否满足交换律？请写出你的探究过程． 36．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）定义一种新运算※，观察下列式子：；；；． (1)填一填： ． (2)请你依照上述运算方法，求的值． 37．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）符号“”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，，…… (1)利用以上运算的规律写出_____；（n为正整数） (2)计算； (3)计算． 38．（25-26七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 39．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）【新考向】在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求3*的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“*”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 40．（2026八年级上·湖南郴州·模拟预测）阅读下面材料： 定义：如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位，把形如（a、b为实）的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个数的虚部，它的加减乘法运算类似． 例如：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； ； (2)计算：； (3)计算： 【经典计算题六 无理数的估算】 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 42．（2.4估算（课前练））下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 43．（25-26七年级下·全国·暑假作业）设面积为的圆的半径为． (1)是有理数吗？说明理由． (2)请估计的整数部分是几． (3)将保留到十分位是多少？ 44．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示小数部分．请解答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 45．（25-26七年级下·安徽淮北·期末）无理数是无限不循环小数，由整数部分和小数部分构成，例如的整数部分是1，小数部分是．若规定无理数的整数部分记为，小数部分记为， 例如：，．请根据上面规定解答以下两题． (1)___________；___________． (2)已知，求的值． 46．（25-26七年级下·江西南昌·期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对进行如下操作： ，这样对只需进行3次操作后变为1． (1)仿照以上方法计算：_____________． (2)若，写出满足题意的x的整数值______________． (3)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______________． 47．（2025八年级上·江苏·专题练习）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道，，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是的整数部分是b，求的值； (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 48．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【经典计算题七 平方根、立方根的规律探索题】 49．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）你能找出规律吗？ (1)计算：_________，_________．_________，_________． (2)由(1)的结果猜想： _________． (3)按照找到规律计算： ①； ② 50．（25-26七年级下·广东惠州·期中）（1）计算：____________________，____________________． ____________________，____________________． 结论：____________________， ____________________．（填“>”，“=”“<”）． （2）请按找到的规律计算：． （3）已知：，，计算．（用含，的式子表示）． 51．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）探索规律： (1)计算： ①_________，_________； ②________，________． (2)归纳：由（1）的计算可得________． (3)利用（2）探索出的规律，解答下题． 若与互为相反数，求x的值． 52．（25-26八年级上·广东惠州·期中）解决下列题目： (1)用计算器计算： _____，_____，_____，_____． (2)观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ (3)试运用发现的规律猜想：_____，并通过计算器验证你的猜想． 53．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 54．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 55．（25-26七年级下·江西南昌·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： a … 0.04 4 400 4000 … … x 2 y 200 … (1)表格中的两个值分别为：x= ；y= ； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ； ② ； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 ． 56．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 实数56道计算题专项训练（7大题型） 题型一 平方根、平方根方程运算 题型二 立方根、立方根方程运算 题型三 实数的混合运算 题型四 实数的规律计算题 题型五 实数的新定义运算 题型六 无理数的估算 题型七 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 平方根、平方根方程运算】 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)324． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，求解即可； （2）根据如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，求解即可； （3）根据如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方根为． （2）解：， 的平方根为． （3）解：， 的平方根为． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根的意义进行化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）求满足条件的x的值： 【答案】或 【详解】解： 或 解得或． 4．（25-26七年级下·江西新余·期末）化去根号里的分母： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 5．（25-26七年级下·四川德阳·期中）解下列方程或方程组： (1) (2) 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）原方程变形为，然后根据平方根的定义求解即可； （2）根据加减消元法求解即可. 【详解】（1）解：， ， ， 或， ∴或； （2）解：，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为. 6．（25-26七年级下·广东惠州·期末）若一个正数的平方根是与，求的值和这个正数的值． 【答案】 ， 【分析】根据平方根的概念列出方程，然后解方程求出的值，然后把的值代入即可求解． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴. 7．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：，． 8．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）完成下列两个小题： (1)已知的平方根是，求3x的平方根； (2)解二元一次方程组． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据平方根的定义求得，再代入求解即可； （2）整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∴， ∴3x的平方根为； （2）解：将原方程组整理得， 得， 解得， 把代入②得， 解得． 原方程组的解为． 【经典计算题二 立方根、立方根方程运算】 9．（25-26七年级下·四川自贡·阶段检测）求未知数的值： 【答案】 【详解】解： ∴， 则， 解得 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)125； (2)； (3)0.729． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：125的立方根是； （2）解：的立方根是； （3）解：0.729的立方根是． 11．（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)30 (2) (3) 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴； （3）解：∵ ∴． 12．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）求下列各式中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得， 因此； （2）解：， 开立方得， 解得． 13．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）计算： 【答案】 【详解】解： 14．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）计算与解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据算术平方根，立方根，绝对值求解即可； （2）根据平方根，求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 或． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）用立方根表示下列各式中的x： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是掌握求立方根的法则． （1）利用求一个数的立方根法则进行求解即可； （2）利用求一个数的立方根法则进行求解即可； （3）利用求一个数的立方根法则进行求解即可； （4）利用求一个数的立方根法则进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴开立方得，； （2）解：∵， ∴开立方得，； （3）解：∵， ∴， ∴开立方得，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴开立方得，． 16．（2026七年级·湖南长沙·模拟预测）已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根． 【答案】 【分析】根据立方根定义和相反数性质列方程组，求解得到，，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵是的立方根， ∴，， ∵是的相反数， ∴， ∴，两边同时立方可得：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴． 【经典计算题三 实数的混合运算】 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：．（精确到0.01） 【答案】 【详解】解： ． 18．（24-25七年级下·湖南永州·期中）不用计算器，比较与的大小 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，不等式的性质，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键，利用无理数的估算得，再利用不等式的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26七年级下·北京密云·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 20．（25-26七年级下·河南许昌·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 21．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解： ． 22．（25-26七年级下·陕西延安·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：． 23．（25-26七年级下·天津津南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号后合并同类二次根式即可得到结果； （2）先计算平方，化简绝对值，再去括号合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）（1）根据所示的程序，求输出的化简结果； （2）已知的立方根是它本身，选取一个合适的的值代入，求的值． 【答案】（1）；（2）时， 【分析】（1）根据分式的运算法则代入依次计算即可； （2）由分式有意义的条件及立方根的性质确定相应的x的值，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， 输出的化简结果为； （2）∵的立方根是它本身， ∴或或， 由（1）得， ∴取， 则， ∴时，． 【点睛】题目主要考查分式的四则运算及化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 【经典计算题四 实数的规律计算题】 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）借助计算器计算下列各题． （1）________； （2）________． （3）________； （4）________； （5）从上面的计算结果，你发现了什么规律？利用你发现的规律求的值． 【答案】（1）1；（2）3；（3）6；（4）10；（5）规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的；结果为 【分析】（1）直接计算可得； （2）直接进行计算发现：； （3）直接进行计算发现：； （4）直接进行计算发现：； （5）总结（1）-（4）总结规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的，根据规律即可得出答案． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的； ∴． 【点睛】题目主要考查了算术平方根的一般规律性问题，解题的关键是认真观察给出的算式总结规律． 26．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 【答案】(1)6，， (2)（a≥0，b≥0）， 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算． 【详解】（1），，； 故答案为：6，，； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）． 故答案为： （a≥0，b≥0）， 【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 27．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．请你运用上述规律解决下面的问题： (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，按此规定的值为_______； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴． 28．（25-26七年级下·浙江金华·期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________． (2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________． (3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值． 【答案】(1)a2013－1 (2)22014－1 (3) 【分析】（1）根据题意，由已知算式发现其规律：（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1即可得出答案； （2）由发现的规律，将a换为2，计算即可得到答案； （3）将a换为5，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1， 故答案为：a2013－1； （2）解：∵（2－1）（22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1）＝22014－1 ∴22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是22014－1； 故答案为：22014－1； （3）解：∵（5－1）（52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1） ＝， ∴52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值为 【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题关键是根据题中给出的算式发现其中的规律． 29．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)的整数部分为，小数部分为； (2) ，理由如下， ∵， ∴． 【分析】（1）先估算的大小，根据题意利用作差法，即可求解； （2）根据作差法比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）略 【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较，（2）中采用作差法进行比较大小是解题的关键． 30．（25-26六年级上·山东烟台·期末）观察下列等式的规律，解答下列问题： ； ； (1)按以上规律，第个等式为______；第个等式为______（用含的代数式表示，为正整数）； (2)按此规律，计算：； (3)探究计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据所给式子的规律即可得出答案； （2）将原式变形为，再进行计算即可； （3）将原式变形为，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，第个等式为， 第个等式为； （2）解：原式；； （3）解：原式. 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律进行计算是解题的关键． 31．（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表： 加数的个数 连续偶数的和 12 3 4 5 （1）若时，则的值为______； （2）根据表中的规律猜想：用的代数式表示的公式为：______； （3）根据上题的规律计算：的值．（要求写出过程） 【答案】（1）90；（2）；（3）251868 【分析】（1）根据表格中从2开始，连续的偶数相加的规律，直接求解，即可； （2）根据表格中从2开始，连续的偶数相加的规律，即可得到答案； （3）把化为“从2开始，连续504个偶数相加的和”减去“从2开始，连续51个偶数相加的和”，即可求解． 【详解】（1）当时，=； 故答案是：90； （2）由题意得：， 故答案是：； （3）=()-() =504×505-51×52 =251868． 【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，找出有理数求和的规律，得到n个有理数求和的代数式是解题的关键． 【经典计算题五 实数的新定义运算】 32．（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确应用分数的性质将原式变形是解题关键． 根据题意将原式变形，进而根据分式的性质化简得出答案． 【详解】解： ． 33．（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）定义一种运算符号“★”，，如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查定义新运算，将新定义的运算转化为四则混合运算； （1）根据定义的运算规则直接代入数值进行计算； （2）需要先计算括号内的运算，再计算括号外的运算. 【详解】（1）解：∵， ∴. （2）解：先计算， 再计算， ∴. 34．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定：． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算知识点，解题用到代入求值的方法，解题关键是严格按照新定义的运算规则进行计算，易错点是多层运算时容易忽略运算顺序，忘记先算内层再算外层． （1）直接将，代入新运算公式，按照有理数的运算规则计算即可． （2）属于多层新运算，需先计算内层的，得到结果后再将其作为新的x，3作为y，再次代入新运算公式计算，过程中要注意每一步的运算顺序和符号问题． 【详解】（1）将，代入可得： ． （2）将，代入，可得： ． 将，代入，可得： ． 35．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）对于有理数，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值； (3)定义的新运算“”是否满足交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2) (3) 解：∵， ∴“”满足交换律； 【分析】本题考查了新定义运算，读懂运算规则是解题关键． （1），即可求解； （2）先算，再计算，即可求解； （3）验证与是否相等即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）略 36．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）定义一种新运算※，观察下列式子：；；；． (1)填一填： ． (2)请你依照上述运算方法，求的值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，定义新运算， 对于（1），根据“两个数进行新运算等于这两个数的乘积加上第二个数”解答即可； 对于（2），根据新运算要求解答即可. 【详解】（1）解：原式； 故答案为：12； （2）解：原式. 37．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）符号“”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，，…… (1)利用以上运算的规律写出_____；（n为正整数） (2)计算； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查找规律与分式乘法运算，运用归纳推理思想，通过观察运算规律得出表达式，利用分式约分技巧简化连乘运算，解题关键是归纳的通式并发现交叉约分规律，易错点是忽略规律或约分不彻底．解题思路：先归纳\的表达式，再将各展开后通过交叉约分计算连乘结果． 【详解】（1）解：观察已知的运算可归纳出规律： 故答案为； （2）解：∵；；；；； ∴ 故答案为：； （3）解：由，可得： 故答案为：． 38．（25-26七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． （1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）解：， 又， 故； （2）解：∵， 故； （3）解：∵， 故， ． 39．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）【新考向】在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求3*的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“*”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1)3 (2) (3)不具有 ∵，， ∵， ∴， ∴， 所以这种新运算“*”不具有交换律. 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解题意是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）先计算，再计算即可求解； （3）验证是否成立即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： （3）略 40．（2026八年级上·湖南郴州·模拟预测）阅读下面材料： 定义：如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位，把形如（a、b为实）的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个数的虚部，它的加减乘法运算类似． 例如：； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； ； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)，1 (2) (3)0 【分析】（1）把代入求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把代入求解即可； （3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解． 本题考查实数的运算，理解新定义掌握有理数的四则混合运算法则是关键． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，1； （2）解： ； （3）解： ． 【经典计算题六 无理数的估算】 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）整理，，则，故，即可作答． （2）整理，，则，，结合，故，即可作答． 【详解】（1）解：，， 即， ∴； （2）解：依题意，，， ∴，， ∵， ∴． 42．（2.4估算（课前练））下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流． ≈0.066；≈96；≈60.4 【答案】 解：①第一个错．因为0.0662＝0.004 356，所以估算错误． ②第二个错．因为10的立方是1 000，900比1 000小，所以900的立方根应比1 000的立方根小，即小于10，所以估算错误 ③第三个错．因为60的平方是3 600，而2 536小于3 600，所以应比60小，所以估算错误 【详解】略 43．（25-26七年级下·全国·暑假作业）设面积为的圆的半径为． (1)是有理数吗？说明理由． (2)请估计的整数部分是几． (3)将保留到十分位是多少？ 【答案】(1) x不是有理数，理由如下： 由圆的面积公式可得， 所以， 因为没有一个整数或分数的平方等于10，所以x不是有理数； (2)3 (3)3.2 【分析】本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答； （2）根据无理数的大小估算计算即可得解； （3）根据无理数的大小估算计算即可得解． 【详解】（1）解：略； （2）由（1）知， 因为，， 所以， 所以x的整数部分是3； （3）因为，， 所以． 又因为，， 所以， 所以将x精确到十分位为3.2． 44．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示小数部分．请解答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提． （1）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （2）估算无理数的大小，根据题意确定x、y的值，代入计算后再求其相反数即可． 【详解】（1）∵， ∴的小数部分 又∵， ∴的整数部分， ∴； （2）∵ ∴ 又∵，其中x是整数，且， ∴， ∴ ∴的相反数是． 45．（25-26七年级下·安徽淮北·期末）无理数是无限不循环小数，由整数部分和小数部分构成，例如的整数部分是1，小数部分是．若规定无理数的整数部分记为，小数部分记为， 例如：，．请根据上面规定解答以下两题． (1)___________；___________． (2)已知，求的值． 【答案】(1)3； (2)或 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，以及不等式的性质． （1）根据，可得出答． （2）根据无理数得估算可得出，根据不等式的性质可得出，，再根据无理数的估算可得出，，代数式子计算即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：3；； （2）∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴或． 46．（25-26七年级下·江西南昌·期中）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对进行如下操作： ，这样对只需进行3次操作后变为1． (1)仿照以上方法计算：_____________． (2)若，写出满足题意的x的整数值______________． (3)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______________． 【答案】(1)6 (2)1 (3)255 【分析】（1）估算在哪两个整数之间，即可求解； （2）根据题意即可找到满足条件的x的整数值； （3）根据题目示例即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：6 （2）解：∵ ∴ 故答案为：1（不唯一） （3）解：∵ ∴需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 故答案为： 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了无理数的估算．掌握相关结论即可． 47．（2025八年级上·江苏·专题练习）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道，，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是的整数部分是b，求的值； (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)4 (2)28 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得的值的大小是解题的关键． （1）估算出和的范围，然后可求得、的值，然后再求代数式的值即可； （2）先求得的值，然后再表示出的值，最后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ． （2）解：， ． 是一个整数，， ， ， ∴原式． 48．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2)； (3)的值是． 【分析】本题考查了无理数的估算与运算． （1）先根据无理数的估算即可求解； （2）先根据无理数的估算求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算，再根据整数性和求出x、y的值，再代入计算有理数的减法，然后根据相反数的定义即可得． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4，； （2）解：，， ，， 即，， 的小数部分为，即， 的整数部分为3，即， 则； （3）解：， ，即， ， ， 是整数，且 则的值是． 【经典计算题七 平方根、立方根的规律探索题】 49．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）你能找出规律吗？ (1)计算：_________，_________．_________，_________． (2)由(1)的结果猜想： _________． (3)按照找到规律计算： ①； ② 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据算术平方根进行计算即可求解． （2）根据（1）的结论，即可求解． （3）根据（2）的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：，；； 故答案为：，，，． （2）解：由（1）可得， 故答案为：． （3）解：①； ②． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 50．（25-26七年级下·广东惠州·期中）（1）计算：____________________，____________________． ____________________，____________________． 结论：____________________， ____________________．（填“>”，“=”“<”）． （2）请按找到的规律计算：． （3）已知：，，计算．（用含，的式子表示）． 【答案】（1）6，6，20，20，=，=；（2）；（3）． 【分析】（1）首先求出每个算式的值是多少，然后总结出规律：，据此判断即可． （2）根据，可得，据此解答即可． （3）根据，，可得，据此解答即可． 【详解】解：（1）∵，； ，． ∴；； 故答案为：6，6，20，20，=，=； （2）； （3）∵，， ∴． 【点睛】本题考查算术平方根，掌握求一个数算术平方根的方法为解题关键． 51．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）探索规律： (1)计算： ①_________，_________； ②________，________． (2)归纳：由（1）的计算可得________． (3)利用（2）探索出的规律，解答下题． 若与互为相反数，求x的值． 【答案】(1)① -5，5；②-2，2 (2) (3) 【分析】（1）根据立方根的定义解答即可； （2）根据（1）总结规律即可解答； （3）根据（2）所得规律以及（3）的已知条件可得（x-1）+（2x-3）=0，然后求解即可． 【详解】（1）解：①-5，5； ②-2，2． 故答案为① -5，5；②-2，2． （2）解：由（1）的计算可归纳： 故答案为． （3）解：∵与互为相反数 ∴+=0 ∴（x-1）+（2x-3）=0，解得：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根、数字规律以及相反数的意义等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 52．（25-26八年级上·广东惠州·期中）解决下列题目： (1)用计算器计算： _____，_____，_____，_____． (2)观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ (3)试运用发现的规律猜想：_____，并通过计算器验证你的猜想． 【答案】(1)，，， (2)根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字 (3) 【分析】（1）用计算器逐个式子计算即可； （2）根据（1）的计算结果可总结规律根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字； （3）由（2）总结的规律即可直接得出答案，再利用计算器验算即可． 【详解】（1），，，． 故答案为：，，，； （2）根据（1）的计算结果可以得出：根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字； （3）由（2）所得规律可直接得出：， 通过计算器验证：． 故答案为：33333． 【点睛】本题考查数的开方，解题的关键是用计算器计算出结果再总结出规律． 53．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 【答案】(1)，21 (2) 【分析】本题考查算术平方根，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）将原式化为题目规律中的形式，利用简便方法求出结果即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：，21； （2）解： ． 54．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3) 【分析】本题考查数字变化的规律，解题的关键是： （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知， 从1开始连续个奇数的和等于的平方， 又， 所以． 故答案为：． （3）原式 ． 55．（25-26七年级下·江西南昌·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： a … 0.04 4 400 4000 … … x 2 y 200 … (1)表格中的两个值分别为：x= ；y= ； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ； ② ； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 ． 【答案】(1)0.2，20 (2)①0.1435；②14.35 (3)12.60 【分析】（1）依据算术平方根的意义解答即可； （2）依据从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （3）根据（2）中的规律进行类比解答即可； 【详解】（1）由题意，， ，故； ， ，故． 综上，，； （2）由题意得，被开方数扩大或缩小倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则算术平方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ，； （3）类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数找出规律来解题． 56．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $