专题03一次函数易错必刷题型专项训练(24大题型共计72道题)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题03一次函数易错必刷题型专项训练 题型01.求自变量的取值范围 题型02.函数图象识别 题型03.从函数图象获取信息 题型04.正比例函数的定义 题型05.正比例函数的图象 题型06.正比例函数的性质 题型07.根据一次函数定义求参数 题型08.求一次函数解析式 题型09.由函数解析式判断其经过的象限 题型10.已知函数经过的象限求参数范围 题型11.一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型12.一次函数图象平移问题 题型13.由一次函数增减性求参数 题型14.比较一次函数值大小 题型15.由直线与坐标轴交点求不等式解集 题型16.由两条直线的交点求不等式的解集 题型17.图象法解二元一次方程组 题型18.一次函数的规律探究问题 题型19.求直线围成的图形面积 题型20.一次函数与几何综合 题型21.一次函数的行程问题 题型22.一次函数的梯度计价问题 题型23.一次函数的最大利润问题 题型24.一次函数的分配方案问题 题型01.求自变量的取值范围 易错点：容易漏分母不为0、二次根式非负，忽略实际取值限制，漏条件丢分 1．将一个温度计从一杯热水中取出之后，立即放入一杯凉水中，下面是用表格表示的温度计的读数与时间之间的关系． 时间/s 5 10 15 20 25 30 读数 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0 (1)上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？ (2)根据表格中的数据，大致估计时温度计的读数． 2．渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 3．已知某函数图象如图所示，请回答下列问题： (1)自变量的取值范围是 (2)函数值的取值范围是 (3)当为 时，函数值最大；当为 时，函数值最小 (4)当随的增大而增大时，的取值范围是 题型02.函数图象识别 易错点：混淆函数图象判定规则，看错横纵坐标，判断对错容易失误 4．如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 5．某地一天内的气温与时刻之间的关系如图所示．令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．则与之间的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 6．如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 题型03.从函数图象获取信息 易错点：看错图象拐点、交点、起止点坐标，读错数据，理解错图象变化趋势 7．甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是________． 8．均匀地向一个玻璃容器内注水，直至注满容器在注水的过程中，观察到水面高度随时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 9．周六小峰去博物馆参观学习，他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图所示是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系，根据图象完成下列各题： (1)小峰家到早餐店的距离是___________米； (2)小峰吃早餐用了____________分钟，小峰在博物馆参观了____________分钟； (3)小峰家到博物馆的距离是_______米； (4)求小峰从博物馆返回家的平均速度是多少？ 题型04.正比例函数的定义 易错点：经常忽略 k≠0 隐藏条件，判断正比例函数容易出错 10．当_____时，函数是正比例函数． 11．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 12．已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 题型05.正比例函数的图象 易错点：记混k正负对应的图象走向、经过象限，容易看反 13．若正比例函数的图象经过点，则的值为______． 14．下列各点在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型06.正比例函数的性质 易错点：k＞0、k＜0增减性规律记混，做题经常搞反 16．如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 17．如图，在平面直角坐标系中，点在x轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，…，分别以，，…为边作等边，，…使得，，，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若，，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 18．跨学科综合：正比例函数图像上任意不同的两点，记： (1)当，时，__________ (2)求证： (3)我们知道物体质量与它的体积之间，有关系式其中为该物体密度，当该物体体积增加时，该物体的质量增加，求该物体的密度． 题型07.根据一次函数定义求参数 易错点：只看次数，漏掉一次项系数≠0，参数范围少条件、算错 19．若是一次函数，则的值是__________． 20．若直线：与直线：平行，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 21．已知关于的一次函数． (1)如果函数图象经过原点，求的值； (2)如果直线与轴交于负半轴，求的取值范围． 题型08.求一次函数解析式 易错点：待定系数法代入坐标易代错、计算粗心，数字容易算错 22．已知直线经过点，并且与直线平行，那么________． 23．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果当时，；当时，，那么称点为点的“倍联点”．例如：点的“倍联点”为，点的“倍联点”为．如果点是一次函数图象上点的“倍联点”，则的值为（    ） A．5 B． C．5或 D．或 24．如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 题型09.由函数解析式判断其经过的象限 易错点：k、b正负搭配对应的象限记混，符号判断极易出错 25．已知直线: ，则直线一定经过点______． 26．如图，在平面直角坐标系中，有，，，四个点，一次函数的图象经过点和另外三个点中的一个点，那么，下列哪一个点一定不在一次函数的图象上（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 27．已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，它的图象经过原点？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 题型10.已知函数经过的象限求参数范围 易错点：不等式列反、符号搞错，漏写隐藏限制条件 28．写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、第四象限和点，则这个一次函数的解析式可以是__________． 29．一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 30．已知函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)若这个函数是一次函数，且图象不经过第二象限，求的取值范围． .题型11.一次函数图象与坐标轴的交点问题 易错点：x轴y轴交点坐标弄反，求交点计算步骤容易算错 31．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 32．关于一次函数（）， 下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象是双曲线 33．如图，直线l是一次函数的图像经过和，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 题型12.一次函数图象平移问题 易错点：左加右减、上加下减口诀记反，平移方向和规律搞混 34．将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 35．在平面直角坐标系中，过点和的直线向下平移5个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 36．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求函数表达式； (2)判断点是否在函数图象上； (3)已知，在函数的图象上，，比较b与d的大小，并说明理由． (4)将一次函数的图象向下平移m个单位后恰好经过，则m的值为________． 题型13.由一次函数增减性求参数 易错点：增减性和k正负对应关系搞反，忘记k≠0 37．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是______． 38．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点，若，则k，b的值有可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 39．已知一次函数． (1)若点在的图象上，求k的值； (2)当时，若函数的最大值为3，求的函数表达式． 题型14.比较一次函数值大小 易错点：不先判断增减性直接代值计算，容易做错 40．若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”） 41．已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 42．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，且，比较与的大小． 题型15.由直线与坐标轴交点求不等式解集 易错点：分不清图象上下位置，大于小于解集方向直接写反 43．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 44．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 45．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 题型16.由两条直线的交点求不等式的解集 易错点：看错两条直线上下位置，解集范围写错、漏分界点 46．如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 47．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 48．如图，直线与直线相交于点． (1)求，的值； (2)过点作的垂线，与，分别交于，两点． ①若，求的面积； ②若点位于点的上方，直接写出的取值范围． 题型17.图象法解二元一次方程组 易错点：读错图象交点坐标，直接导致方程组解写错 49．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 50．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 51．利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 题型18.一次函数的规律探究问题 易错点：找错循环周期，推导规律式子容易出错、看漏条件 52．正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是___． 53．正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 54．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 题型19.求直线围成的图形面积 易错点：坐标转线段长度忘加绝对值，底高找错，计算粗心丢分 55．若直线与两坐标轴围成的三角形面积为8，则___________ 56．一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点B的坐标是 B．的面积是8 C．y随x的增大而增大 D．点在函数图象上 57．如图，直线与轴、轴分别交于点，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)直接写出点的坐标； (3)直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型20.一次函数与几何综合 易错点：坐标和线段长度转换出错，漏多种分类讨论情况 58．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 59．如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． (1)求直线的表达式： (2)如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 题型21.一次函数的行程问题 易错点：看不懂行程图象，看错关键点，列式等量关系出错 61．汽车离开市的距离与行驶时间之间的关系式是，图象如图所示，则系数实际意义是___________． 62．在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 63．春风和煦，鸟语花香，小李和小王从学校出发前往与学校相距3000米的开心农场．小李骑自行车匀速向农场驶去，小李出发7分钟后，小王沿着相同的路线匀速步行至农场．当小李到达农场休息了2分钟后，发现相机掉落在学校，就从原路以另一速度匀速返回学校拿相机，返回学校所用的时间是去农场所用时间的，拿到相机后（拿相机的时间忽略不计）立马以变速后的速度再次匀速向农场驶去，结果和小王同时到达农场．若两人与学校的距离y（单位：米）与小李出发的时间x（单位：分钟）的关系如图所示．请根据图中信息解决下列问题： (1)小王步行的速度为___________米/分； (2)求小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离． 题型22.一次函数的梯度计价问题 易错点：分段区间划分不清，分段节点搞混，分段解析式列错 64．某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 65．以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． 66．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 题型23.一次函数的最大利润问题 易错点：增减性搞反求反最值，忘记自变量实际取值范围 67．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 68．超市有甲，乙两种玻璃罐，其容量和价格如下表，当日促销活动规则：购买甲罐5个或以上，可享立减元的优惠．现需用这两种玻璃罐分装千克蜂蜜，要求玻璃罐均装满且无剩余．设购买甲罐个，购买玻璃罐的总费用为元，则下列结论不一定成立的是（   ） 型号 甲 乙 单个容量(千克) 2 单价(元) 5 8 A．购买乙罐的数量为个，且为正整数 B．可购买4个甲罐，5个乙罐 C．与之间的表达式为 D．购买玻璃罐的最少费用为元 69．为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． (1)求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 题型24.一次函数的分配方案问题 易错点：漏整数取值、漏写完整方案，分类讨论不全面 70．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 71．某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 72．为响应深圳市在创建国家级文明卫生城市中，提升绿化档次的政策．宝安区某校计划购进，两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买种树木2棵，种树木5棵，共需460元；购买种树木3棵，种树木1棵，共需300元． (1)求种，种树木每棵各多少元； (2)因布局需要，购买种树木的数量不少于种树木数量的4倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款种树木按市场价八折优惠，种树木按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一次函数易错必刷题型专项训练 题型01.求自变量的取值范围 题型02.函数图象识别 题型03.从函数图象获取信息 题型04.正比例函数的定义 题型05.正比例函数的图象 题型06.正比例函数的性质 题型07.根据一次函数定义求参数 题型08.求一次函数解析式 题型09.由函数解析式判断其经过的象限 题型10.已知函数经过的象限求参数范围 题型11.一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型12.一次函数图象平移问题 题型13.由一次函数增减性求参数 题型14.比较一次函数值大小 题型15.由直线与坐标轴交点求不等式解集 题型16.由两条直线的交点求不等式的解集 题型17.图象法解二元一次方程组 题型18.一次函数的规律探究问题 题型19.求直线围成的图形面积 题型20.一次函数与几何综合 题型21.一次函数的行程问题 题型22.一次函数的梯度计价问题 题型23.一次函数的最大利润问题 题型24.一次函数的分配方案问题 题型01.求自变量的取值范围 易错点：容易漏分母不为0、二次根式非负，忽略实际取值限制，漏条件丢分 1．将一个温度计从一杯热水中取出之后，立即放入一杯凉水中，下面是用表格表示的温度计的读数与时间之间的关系． 时间/s 5 10 15 20 25 30 读数 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0 (1)上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？ (2)根据表格中的数据，大致估计时温度计的读数． 【答案】(1)温度计的读数和时间在发生变化．自变量和因变量分别是时间、温度计的读数 (2)可取 【详解】1．解：（1）温度计的读数和时间在发生变化．自变量和因变量分别是时间、温度计的读数． （2）由表格可看出：随着时间的增加，温度计的读数越来越小，因此时温度计的读数应小于；每隔，温度差分别为，即温度差越来越小，因此时的温度应大于，所以时温度计的读数应大于且小于，时的温度可取这个范围内的任意值，比如可取等． 2．渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅与传输时间之间的关系如图所示． (1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？ (2)结合图象回答： ①当时，h的值是多少？ 在内，当h随t的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】(1)是 (2)①4；② 【分析】本题主要考查了函数的图象、函数的概念及函数值，熟知函数的定义及正确识别所给函数图象是解题的关键． （1）根据所给函数图象，结合函数的定义进行判断即可； （2）①观察图象时多对应的h值即可解答；②利用所给函数图象即可解决问题． 【详解】（1）解：由图象可知，对于每一个变化的t，h都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h是关于t的函数． （2）解：①由图象可知：当时，， ②由图象可知：时，h随t的增大而增大． 3．已知某函数图象如图所示，请回答下列问题： (1)自变量的取值范围是 (2)函数值的取值范围是 (3)当为 时，函数值最大；当为 时，函数值最小 (4)当随的增大而增大时，的取值范围是 【答案】(1)-4≤x≤3 (2)-2≤y≤4 (3)1；-2 (4)-2≤x≤1 【分析】根据自变量的定义，函数值的定义以及函数的最值和增减性，观察函数图象分别写出即可． 【详解】（1）根据图像观察可得：自变量x的取值范围是-4≤x≤3； （2）根据图像观察可得：函数y的取值范围是-2≤y≤4； （3）根据图像观察可得：当x为1时，函数值最大；当x为-2时，函数值最小； （4）根据图像观察可得：当y随x的增大而增大时，x的取值范围是-2≤x≤1． 【点睛】本题考查了函数的性质、函数图象，熟练掌握函数自变量的定义，函数值的定义以及函数的增减性并准确识图是解题的关键． 题型02.函数图象识别 易错点：混淆函数图象判定规则，看错横纵坐标，判断对错容易失误 4．如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 【答案】（2） 【分析】本题考查函数图象的识别，根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度， ∴随的增大而匀速地减小，图象（2）适合表示与的对应关系． 故答案为：（2）． 5．某地一天内的气温与时刻之间的关系如图所示．令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．则与之间的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的图像，分段分析时间段内的最高温度和最低温度，从而确定温差的变化情况，结合选项即可得出答案． 【详解】解：由图像可知：当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从上升到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从上升到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且； 当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，为定值； 当时，从下降到，此时最高温度为，最低温度为， ，随的增大而增大，且 综上所述，的图像在上为水平线段，其余时间段递增，且． 故选：B． 6．如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 【答案】(1)B； C (2)A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快 【分析】根据函数图象给出的信息解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，情境中小明中途有停留，且再出发时速度加快，故所对应的图象是B； 情境中小芳有返回家中停留后再出发，故所对应的图象是C； （2）解：A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快． 题型03.从函数图象获取信息 易错点：看错图象拐点、交点、起止点坐标，读错数据，理解错图象变化趋势 7．甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是________． 【答案】甲 【详解】解：根据题意，时，甲走了，丙走了， ∴甲走得快， 时，乙走了，丁走了， ∴乙走得快， 时，甲走了，乙走了， ∴甲走得快， 综上，走得最快的是甲 ． 8．均匀地向一个玻璃容器内注水，直至注满容器在注水的过程中，观察到水面高度随时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可知，水面高度增加的速度越来越快，说明容器的横截面积从下到上逐渐减小，据此判断即可求解． 【详解】解：由图象可知，水面高度随时间的变化图象是一条斜率逐渐增大的曲线， ∴水面上升的速度越来越快， ∵注水是均匀的， ∴容器的横截面积从下到上应逐渐减小， ∴选项容器不符合，选项容器符合． 9．周六小峰去博物馆参观学习，他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图所示是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系，根据图象完成下列各题： (1)小峰家到早餐店的距离是___________米； (2)小峰吃早餐用了____________分钟，小峰在博物馆参观了____________分钟； (3)小峰家到博物馆的距离是_______米； (4)求小峰从博物馆返回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)400 (2)15；50 (3)3000 (4)250米/分钟 【分析】（1）根据图象的信息即可求解； （2）根据图象的信息即可求解； （3）根据图象的信息即可求解； （4）根据图象的信息求出小峰从博物馆返回家所用时间，再根据速度路程时间即可求解． 【详解】（1）解：由图象得，小峰家到早餐店的距离是400米； （2）解：小峰吃早餐所用时间为（分钟）； 小峰在博物馆参观所用时间为（分钟）； （3）解：由图象得，小峰家到博物馆的距离是3000米； （4）解：小峰从博物馆返回家所用时间为（分钟）， 小峰从博物馆返回家的平均速度是（米/分钟） 答：小峰从博物馆返回家的平均速度是250米/分钟． 题型04.正比例函数的定义 易错点：经常忽略 k≠0 隐藏条件，判断正比例函数容易出错 10．当_____时，函数是正比例函数． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，先合并同类项化简函数解析式，再根据正比例函数的定义列不等式求解即可. 【详解】解：合并同类项得，由正比例函数定义得， . 11．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 12．已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据正比例函数的定义，得到的次数为，系数不为，求解的值后代入即可得到函数关系式； （2）先确定的长度，利用三角形面积公式求出点纵坐标的绝对值，再代入函数解析式求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：是关于的正比例函数， ， 由得， 解得 又，即， 代入得； （2）由题意得，为坐标原点，， ， 设点的坐标为， ， ，代入得， 解得，即或， 当时，代入得， 解得，此时； 当时，代入得， 解得，此时． 综上，点的坐标为或． 题型05.正比例函数的图象 易错点：记混k正负对应的图象走向、经过象限，容易看反 13．若正比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ， 解得． 14．下列各点在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键， 分别将各选项中点的横坐标代入解析式，求出y的值与各点纵坐标比较即可 【详解】解：A.当时，，故点在正比例函数的图象上，符合题意； B.当时，，故点不在正比例函数的图象上，不符合题意； C.当时，，故点不在正比例函数的图象上，不符合题意； D.当时，，故点不在正比例函数的图象上，不符合题意； 故选A 15．如图，已知正比例函数的图象经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为，且的面积为． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上能否找到一点，使的面积为若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形、求正比例函数的解析式． （1）根据点的横坐标为3，的面积为3，求出，由点在第四象限，得出点坐标为，把代入求解，即可得出正比例函数的解析式； （2）设，根据的面积为，建立方程，解方程得出，即可得出点的坐标即可． 【详解】（1）解： 点A在第四象限，点A的横坐标为3，且的面积为3， 点A的纵坐标为， 点A的坐标为． 正比例函数的图象经过点A， ，解得， 正比例函数的解析式为． （2）解：存在． 设， ，， ，解得． 点P的坐标为或． 题型06.正比例函数的性质 易错点：k＞0、k＜0增减性规律记混，做题经常搞反 16．如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 【答案】 【分析】先设出正比例函数的一般形式，代入已知点的坐标求出比例系数，再根据的符号判断函数的增减性，最后根据比较与的大小． 【详解】解：设正比例函数的解析式为 将 代入解析式得， 解得 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小 ∴． 17．如图，在平面直角坐标系中，点在x轴的正半轴上，在第一象限，且是等边三角形．在射线上取点，…，分别以，，…为边作等边，，…使得，，，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若，，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得直线的解析式，利用等边三角形的性质分别求出，，的坐标，然后找到变化规律，即可求出的纵坐标． 【详解】解：是等边三角形，， 的横坐标为，，， 设，则， 解得：或， 点在第一象限， ， 的解析式为， ，，， ， ， ， ， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， 同理，，， ， ∴点的横坐标是． 18．跨学科综合：正比例函数图像上任意不同的两点，记： (1)当，时，__________ (2)求证： (3)我们知道物体质量与它的体积之间，有关系式其中为该物体密度，当该物体体积增加时，该物体的质量增加，求该物体的密度． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）把代入求解即可，根据代入坐标求解即可； （2）根据点的坐标与解析式的关系，结合定义求解即可； （3）仿照（2）的解答求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； 根据得； （2）证明：因为正比例函数图像上任意不同的两点， 所以， 所以， 所以， 由， 故； （3）解：根据题意，得，结合（2）的结论得， 由时， 故该物体的密度为． 题型07.根据一次函数定义求参数 易错点：只看次数，漏掉一次项系数≠0，参数范围少条件、算错 19．若是一次函数，则的值是__________． 【答案】3 【详解】解：函数 是关于的一次函数， 且， 由得， 解得或， 由得， ， 20．若直线：与直线：平行，则k的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象中两直线平行的性质，形如的一次函数，两直线平行时一次项系数相等且常数项不相等．解题的关键是掌握“若两条直线互相平行，则它们的一次项系数（斜率）相等”这一性质．直线与直线平行，根据两直线平行斜率相等的性质，直接可得． 【详解】解：∵ 一次函数图象中，两条直线平行的条件是一次项系数相等，且常数项不相等 ∵ 直线：与直线：平行 ∴ ，且（满足常数项不相等的条件） ∴ 的值为 故选A． 21．已知关于的一次函数． (1)如果函数图象经过原点，求的值； (2)如果直线与轴交于负半轴，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，且 【分析】（1）根据一次函数经过原点可得，且，求出答案即可； （2）根据直线经过y轴交于负半轴，可得，且，求出解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过原点， ∴，且， 解得； （2）解：∵该图象与y轴交于负半轴， ∴，且， 解得，且． 题型08.求一次函数解析式 易错点：待定系数法代入坐标易代错、计算粗心，数字容易算错 22．已知直线经过点，并且与直线平行，那么________． 【答案】5 【分析】先根据两直线平行，斜率相等求出的值，再将已知点的坐标代入直线解析式，求出的值． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴直线解析式为． ∵直线经过点， ∴将，代入解析式，得： ， 解得． 23．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果当时，；当时，，那么称点为点的“倍联点”．例如：点的“倍联点”为，点的“倍联点”为．如果点是一次函数图象上点的“倍联点”，则的值为（    ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】C 【分析】根据“倍联点”的定义，分点M横坐标 和 两种情况，结合点M在一次函数图象上列方程求解，验证结果是否满足范围条件即可． 【详解】∵点是点的倍联点， ∴点的横坐标为，设点的纵坐标为． 分两种情况讨论： 1． 当 ，即时，由倍联点定义得 ，即． ∵点在上，代入得 ， 化简得 ，解得，满足，符合条件； 2． 当 ，即时，由倍联点定义得 ，即． ∵点在上，代入得 ， 化简得 ，解得，满足，符合条件． 综上，的值为或． 24．如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的长，由折叠的性质可得，则可证明，据此可证明结论； （3）分三种情况：点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点为正比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴正比例函数的表达式； （2）证明：∵， ∴； ∵点的坐标为， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：①如图，当点为直角顶点时，   ，， 过作轴于点，过作轴于点， ， ， ∵， ， 在和中 ， ， ，， 四边形是菱形， ，即轴， ∴点C的横坐标为4， ∵， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， ， ， ， ； ②如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴，， ， ； ③如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴， 设，则，， 又∵， ∴， ∴， ； 综上所述：点坐标为或或． 题型09.由函数解析式判断其经过的象限 易错点：k、b正负搭配对应的象限记混，符号判断极易出错 25．已知直线: ，则直线一定经过点______． 【答案】 【分析】将直线方程变形整理为含参数的式子，根据等式恒成立的条件，令参数的系数为，即可求出直线恒过的定点坐标． 【详解】解： ∵该式对任意实数都成立， ∴需满足的系数为，即， 解得， 将代入 ，得， ∴直线一定经过点． 26．如图，在平面直角坐标系中，有，，，四个点，一次函数的图象经过点和另外三个点中的一个点，那么，下列哪一个点一定不在一次函数的图象上（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：∵一次函数经过点，可得， ∴只能经过点或点，不经过点． 27．已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，它的图象经过原点？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了一次函数的定义与性质，是基础知识，需熟练掌握． （1）由一次函数经过原点可得，由此求出满足条件的k值； （2）根据一次函数图象的性质可知，据此求出k满足的条件； （3）由该函数的图象经过第一、二、四象限，可得且，解不等式组即可确定k的取值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过原点， ∴， 解得； （2）解：∵一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴， 解得； （3）解：∵该函数的图象经过第一、二、四象限， ∴且， 解得 题型10.已知函数经过的象限求参数范围 易错点：不等式列反、符号搞错，漏写隐藏限制条件 28．写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、第四象限和点，则这个一次函数的解析式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设一次函数解析式为，根据一次函数的图象性质得到的取值范围，再利用待定系数法结合已知点坐标得到的值，取满足条件的值即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：设该一次函数的解析式为． 一次函数图象经过第一、二、四象限， ． 函数图象经过点， 将代入得，． 取，满足， 可得一次函数解析式为． 29．一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象得出，，，，根据两条直线交点的横坐标为4，得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：根据函数图象可得：，，，， ∴，，故A、B错误； ∵两条直线交点的横坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即，故D错误． 30．已知函数． (1)当为何值时，函数图象经过原点； (2)若这个函数是一次函数，且图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数图象经过原点，说明原点满足该函数解析式，将点代入解析式求解即可； （2）根据一次函数的性质，图象不经过第二象限时，一次项系数大于0，常数项小于等于0，列出不等式组求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：将原点代入函数得： ， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得， 的取值范围为． .题型11.一次函数图象与坐标轴的交点问题 易错点：x轴y轴交点坐标弄反，求交点计算步骤容易算错 31．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的平移规律，得到平移后新直线的解析式，令求解的值，即可得到新直线与轴的交点坐标． 【详解】解：将直线沿轴向下平移个单位， ∴新直线的解析式为 轴上的点纵坐标为，令，得 解得 因此该新直线与轴的交点坐标是． 32．关于一次函数（）， 下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象是双曲线 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的基本性质与图象特征，利用一次函数（）的性质，结合已知判断选项即可． 【详解】∵一次函数 （）的增减性由决定，已知， ∴随的增大而减小， 因此A错误，B正确； ∵只有时一次函数图象才经过原点，题干未给出的条件， ∴C错误； ∵一次函数的图象是直线，不是双曲线， ∴D错误． 故选：B． 33．如图，直线l是一次函数的图像经过和，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】 【分析】先根据待定系数法求出直线解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直线l是一次函数的图像经过和， ∴， 解得：， ∴， 当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点分别为，， ∴函数与两坐标轴围成的三角形的面积． 题型12.一次函数图象平移问题 易错点：左加右减、上加下减口诀记反，平移方向和规律搞混 34．将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律求解即可． 【详解】解：将直线 向下平移2个单位长度，根据平移规律可得平移后直线的解析式为 ． 35．在平面直角坐标系中，过点和的直线向下平移5个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出原直线的解析式，再根据一次函数平移“上加下减”的规律得到平移后直线的解析式，最后将各选项坐标代入验证即可． 【详解】解∶设原直线的解析式为， ∵原直线过点和， ∴， 解得， ∴原直线解析式为， ∵直线向下平移5个单位长度，根据一次函数平移“上加下减”的规律， ∴平移后直线的解析式为， 代入选项A：当时，，满足解析式； 代入选项B：当时，，不满足； 代入选项C：当时，，不满足； 代入选项D：当时，，不满足， 因此选项A符合题意． 36．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求函数表达式； (2)判断点是否在函数图象上； (3)已知，在函数的图象上，，比较b与d的大小，并说明理由． (4)将一次函数的图象向下平移m个单位后恰好经过，则m的值为________． 【答案】(1) (2)不在 (3) (4)11 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出时的值即可判断求解； （3）利用一次函数的性质解答即可； （4）将点代入平移后的解析式，即可求出m的值． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为 （），将、 代入： 解得：． ∴函数表达式为． （2）解：将代入，得． 故点C不在函数图象上． （3）解：∵函数表达式中， ∴一次函数y随x的增大而减小． ∵，在函数的图象上，， ∴． （4）解：∵函数图象向下平移m个单位后， ∴表达式为． 将代入得： ，即， 解得． 题型13.由一次函数增减性求参数 易错点：增减性和k正负对应关系搞反，忘记k≠0 37．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】理解一次函数，当时，随的增大而增大，根据该性质列不等式求解即可。 【详解】解：一次函数中随的增大而增大， ， 解得． 38．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点，若，则k，b的值有可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】本题考查一次函数的性质，关键在于根据判断的符号． 根据一次函数的增减性，结合点坐标的大小关系确定k的符号，进而筛选符合条件的选项． 【详解】∵函数的图象经过点和点， ∴，． ∵： ∴， 化简得，即． A．，代入函数得，，，满足，故本选项符合题意； B．，此时，不满足，故本选项不符合题意； C．，代入得，，，不满足，故本选项不符合题意； D．，代入得，，，满足，故本选项符合题意； 故选：AD． 39．已知一次函数． (1)若点在的图象上，求k的值； (2)当时，若函数的最大值为3，求的函数表达式． 【答案】(1) (2)当时，；当即时， 【分析】（1）将点代入函数解析式求解即可； （2）分类讨论，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得； （2）解：当，即时，函数y随x的增大而增大， ∴时，函数有最大值为3， ∴ 解得， ∴； 当，即时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最大值为3， 由 解得， ∴ 题型14.比较一次函数值大小 易错点：不先判断增减性直接代值计算，容易做错 40．若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性． 再比较两点横坐标的大小． 即可得到纵坐标与的大小关系． 【详解】解∶在一次函数中，， 随的增大而增大， 点和，且． ∴． 41．已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】将三个点的横坐标代入直线解析式，得到三个关于参数的表达式，再结合给定条件分析乘积的符号，即可判断选项． 【详解】∵ 点，，在直线上 将分别代入解析式得 分情况讨论： ①. 若，即 解得 ∵ ， ∴ ，故A正确，B错误 ②. 若，即 解得 或 当或时，与同号， 当时，与异号， 因此的符号不确定，故C，D错误 综上，答案选A． 42．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，且，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数的解析式，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得 ∴该一次函数的解析式为； （2）解：∵，且， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 题型15.由直线与坐标轴交点求不等式解集 易错点：分不清图象上下位置，大于小于解集方向直接写反 43．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据图像确定直线与轴的交点坐标，结合图像在轴下方的部分对应的的取值范围进行求解． 【详解】解：由图像可知，直线与轴的交点为． 当时，．观察图像可知，函数随的增大而增大， 当时，，即． 不等式的解集为． 44．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 45．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据直线过点，得出的值，再将点代入即可得出的值； （2）先求出两函数与轴的交点坐标，然后根据图象即可求得． 【详解】（1） 解：函数的图象过点， ， 解得， 将点代入得：， 解得， （2）解：由（1）知，，； 对于，当时，； 对于，当时，； 如图所示，当时，的函数图象位于上方且位于的下方时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，，． 题型16.由两条直线的交点求不等式的解集 易错点：看错两条直线上下位置，解集范围写错、漏分界点 46．如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 47．如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由一次函数图象及其性质可知的符号情况，从而可判断①②的正确与否，由两函数图象的交点情况可判断③④正确与否，由与轴交点情况可判断⑤正确与否，作出选择即可． 【详解】解：由一次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，所以①错误， ∴，故②正确， 观察图象交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图像位于图象上方，即当时，，故当时，，故③错误； 因为交点横坐标为1，代入两解析式可得，故④正确； 由当时一次函数图象上的对应点在第三象限，即时，代入得：，即，故⑤正确； 正确的结论有3个． 48．如图，直线与直线相交于点． (1)求，的值； (2)过点作的垂线，与，分别交于，两点． ①若，求的面积； ②若点位于点的上方，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①45；② 【分析】（1）利用待定系数法求，即可； （2）①分别求出的纵坐标，进而得到，再利用面积公式求解；②利用函数图像得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 将代入得，， 解得：； （2）①将分别代入，得， ，， ， ； ②由图可知，点位于点的上方，则． 题型17.图象法解二元一次方程组 易错点：读错图象交点坐标，直接导致方程组解写错 49．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 50．如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（   ）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 51．利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【详解】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 题型18.一次函数的规律探究问题 易错点：找错循环周期，推导规律式子容易出错、看漏条件 52．正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是___． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可． 【详解】解：∵点，， ，， 将，代入得，解得：， ∴一次函数解析式为， ， ， 同理， 则， ∴， 故答案为：． 53．正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 54．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 题型19.求直线围成的图形面积 易错点：坐标转线段长度忘加绝对值，底高找错，计算粗心丢分 55．若直线与两坐标轴围成的三角形面积为8，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题．先求直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：当时，； 当时，，则； 故直线与坐标轴的交点为和 由题意可得： 化简得： 解得： 故答案为：． 56．一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点B的坐标是 B．的面积是8 C．y随x的增大而增大 D．点在函数图象上 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的性质，直线与坐标轴围成的三角形面积等知识点．令，则，即可判断A，求出点A的坐标，再计算的面积即可判断B，根据一次函数的性质即可判断C，把代入一次函数求出对应的y值即可判断D． 【详解】解：令，则， ∴点B坐标为，故A错误； 令，则， 解得， ∴点A坐标为， ∴，， ∴，故B错误； ∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大，故C正确； 当时，， ∴点不在函数图象上，故D错误． 故选：C． 57．如图，直线与轴、轴分别交于点，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)直接写出点的坐标； (3)直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）先求得，再待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，代入，即可求解； （3）过点作轴交于点，得出，设，进而分类讨论，根据三角形的面积公式，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入 ∴ ∴ 设直线的函数表达式为 将、代入 ∴ 解得： ∴直线的函数表达式为 （2）解：当时， ∴ （3）解：如图，过点作轴交于点， 当时，，则，则 设 当在的上方时， ∴ 解得：， ∴ 当在的下方时，如图 ∴ 解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为或 题型20.一次函数与几何综合 易错点：坐标和线段长度转换出错，漏多种分类讨论情况 58．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 【答案】或 【分析】设出点C的坐标，得到的长度，根据三角形面积计算即可． 【详解】解：点C在轴上，设点， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴，可得， 则有或， 解得或， ∴点或 ． 59．如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 60．如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． (1)求直线的表达式： (2)如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两直线平行问题，待定系数法求解析式，能够灵活使用待定系数法是解题的关键． （1）根据函数图像平行的性质可知，，再代入即可求解； （2）设直线的表达式，则，根据三角形面积公式即可列式求出，再利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：， ， 将代入得， ， 则； （2）解：设直线的表达式，则由题意可知，， 将代入得， ， 即， ， ， 解得或（舍） 则， 将，代入得， ，解得， 则直线的表达式． 题型21.一次函数的行程问题 易错点：看不懂行程图象，看错关键点，列式等量关系出错 61．汽车离开市的距离与行驶时间之间的关系式是，图象如图所示，则系数实际意义是___________． 【答案】汽车行驶的速度为 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，将代入函数的解析式，求得k的取值，从而得出k的意义是汽车行驶的速度． 【详解】解：根据函数图象可知：时，． 将，代入得：． 解得， ∴k的具体含义是汽车的行驶速度为， 故答案为：汽车的行驶速度为． 62．在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 63．春风和煦，鸟语花香，小李和小王从学校出发前往与学校相距3000米的开心农场．小李骑自行车匀速向农场驶去，小李出发7分钟后，小王沿着相同的路线匀速步行至农场．当小李到达农场休息了2分钟后，发现相机掉落在学校，就从原路以另一速度匀速返回学校拿相机，返回学校所用的时间是去农场所用时间的，拿到相机后（拿相机的时间忽略不计）立马以变速后的速度再次匀速向农场驶去，结果和小王同时到达农场．若两人与学校的距离y（单位：米）与小李出发的时间x（单位：分钟）的关系如图所示．请根据图中信息解决下列问题： (1)小王步行的速度为___________米/分； (2)求小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先求出小王步行的总时间，再根据速度=路程时间求解； （2）先求出小李往返、变速后的速度，再求出两人第一次相遇的时间，最后计算与农场的距离． 【详解】（1）解：小王步行的速度为（米/分）． （2）解：设小李第一次到达农场所用的时间为分钟． 由题意得，，解得． 小李开始的速度为（米/分）， 小李后来的速度为（米/分）， 设小李和小王第一次相遇时，小王走了分钟， 由题意得，， 解得， ， 故小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离是米． 题型22.一次函数的梯度计价问题 易错点：分段区间划分不清，分段节点搞混，分段解析式列错 64．某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【详解】解：大于千克，单价为元， 数量为千克， ． 65．以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量不确定， ∴需分段计算： 第一阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 第二阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 都是第一阶段函数是正比例函数，第二阶段函数是一次函数，且比正比例函数的图象更陡些． 故选：B． 66．为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 (1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； (3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】(1) (2)该户这一年的燃气费为1147元 (3)该户去年一年的用气量为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 题型23.一次函数的最大利润问题 易错点：增减性搞反求反最值，忘记自变量实际取值范围 67．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 【答案】780 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 【详解】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 68．超市有甲，乙两种玻璃罐，其容量和价格如下表，当日促销活动规则：购买甲罐5个或以上，可享立减元的优惠．现需用这两种玻璃罐分装千克蜂蜜，要求玻璃罐均装满且无剩余．设购买甲罐个，购买玻璃罐的总费用为元，则下列结论不一定成立的是（   ） 型号 甲 乙 单个容量(千克) 2 单价(元) 5 8 A．购买乙罐的数量为个，且为正整数 B．可购买4个甲罐，5个乙罐 C．与之间的表达式为 D．购买玻璃罐的最少费用为元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式和一次函数在实际问题中的应用，关键在于根据促销活动分情况讨论总费用的表达式，同时结合玻璃罐数量为正整数的条件确定变量的取值范围． 【详解】解：对于选项A：根据总容量为千克，得购买乙罐的数量为，且为正整数，A选项成立，不符合题意； 对于选项B：当时，，B选项成立，不符合题意； 对于选项C：分两种情况讨论总费用： ①当时，甲罐无优惠，总费用； ②当时，甲罐享受立减元优惠，总费用； 因此C选项错误，符合题意； 对于选项D：由且为正整数，为非负整数，可得的可能取值为0、4、8： 当时，元； 当时，元； 当时，元； 故购买玻璃罐的最少费用为元，D选项成立，不符合题意； 故选：C． 69．为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． (1)求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 【答案】(1)购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． (2)购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 【分析】 （1）设甲种路灯单价x元，乙种路灯单价元，根据题意列分式方程求解即可，注意检验． （2）设购买甲种路灯m盏，则乙种盏，得到，求出m的取值范围，设购买总费用为w元．根据题意得，根据w随m的增大而减小，求出w取最小值即可． 【详解】（1）解：设购买1盏甲种路灯是x元，则购买1盏乙种路灯是元． 根据题意得， 解得． 检验：当时，， 是此方程的解，且符合题意． ． 答：购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． （2）解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯盏． 根据题意得， 解得． 设购买总费用为w元． 根据题意得， ， ∴w随m的增大而减小， 时，． 答：购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 题型24.一次函数的分配方案问题 易错点：漏整数取值、漏写完整方案，分类讨论不全面 70．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 71．某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【答案】C 【分析】设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元，根据限制条件列不等式得到；再确定总费用与甲数量的函数关系，最后利用一次函数性质得到最省钱的方案即可解答． 【详解】解：设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元． ∵购进乙足球数量不少于甲足球数量的， ∴，解得：． 由题意可得：总费用， ∵， ∴随的增大而减小，因此取最大值时，总费用最小， 又∵为正整数， ∴最大取，此时，即最省钱方案为购进甲个，乙个． 72．为响应深圳市在创建国家级文明卫生城市中，提升绿化档次的政策．宝安区某校计划购进，两种树木共100棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买种树木2棵，种树木5棵，共需460元；购买种树木3棵，种树木1棵，共需300元． (1)求种，种树木每棵各多少元； (2)因布局需要，购买种树木的数量不少于种树木数量的4倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款种树木按市场价八折优惠，种树木按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】(1)种树每棵80元，种树每棵60元 (2)当购买种树木80棵，种树木20棵时所需费用最少，最少为6200元 【分析】（1）设种树每棵元，种树每棵元，列出二元一次方程即可求解； （2）设购买种树木为棵，则购买种树木为棵，列出一元一次不等式，一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设种树每棵元，种树每棵元， 依题意得：， 解得． 答：种树每棵80元，种树每棵60元． （2）解：设购买种树木为棵，则购买种树木为棵， 则， 解得， 设实际付款总金额是元， 则，即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的最小值为（元）， 此时，（棵）． 答：当购买种树木80棵，种树木20棵时所需费用最少，最少为6200元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $