精品解析：上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高一上学期素养评估数学试卷

复旦附中2028届新高一数学素养评估试卷 2025.07.02 考生注意： 1．本试卷共4页，19道题，满分120分，考试时间90分钟； 2．本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分； 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位； 4．测试中不得使用计算器． 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 计算：___________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】原式. 2. 正十二边形的外角和为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】任意凸多边形的外角和均为，故正十二边形的外角和为. 3. 平面内三条直线至多将平面分成_________部分． 【答案】7 【解析】 【详解】如图，平面内任意三条直线a、b、c， 当任意两条直线相交，且三条不共点时， 将平面分成至多7部分. 4. 方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，方程组为，解得（舍去）； 当时，方程组为，解得； 当时，方程组为（舍去）； 当时，方程组为，解得（舍去）. 综上所述，方程组的解为. 5. 如图，在四边形中，，，四个三角形的面积分别为，，，，若，，则等于__________ ． 【答案】10 【解析】 【分析】由， ，即可求得与，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设平行线间的距离为， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又， ， . 6. 求值：____________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，先求，，再利用完全平方公式求，进而求. 【详解】设，， 则，. 所以， . 即. 7. 若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据整数解的和为12确定所有可能的整数解集合，进而推导的取值范围. 【详解】由，得； 当时，所有的整数解为，所以； 当时，所有的整数解为，所以； 综上，的取值范围是或. 8. 重心为，，，，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长，与交于点，则为的中点，且由重心的性质知，.利用余弦定理求得，从而得到是直角三角形，并求出的面积，进而得到的面积. 【详解】如图，延长，与交于点，则为的中点. 由重心的性质知，. 因为，所以， 所以， 所以， 所以，. 所以，所以， 所以. 所以的面积为. 所以的面积. 9. 1、已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求二次函数图象与轴的交点坐标、顶点坐标，结合等边三角形高与边长的关系列出方程，结合条件即可求解的值. 【详解】设，令，则， 所以等边三角形的边长； 又，所以，所以等边三角形的高为； 由等边三角形性质，得，即，解得，或，又，所以. 10. 小明为了描点作出函数的图像，取的个值：，且，并分别算出对应的值，列出下表： 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个值，则算错的值其正确的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得为常数，其中，再结合表中数据，即可求解. 【详解】令， 则 ，其中， 所以为常数，其中 由图表知， 则， ， 由此可知错误，由，得到. 11. 如图是一个矩形足球球场，为球门，于点，米．某球员沿带球向球门进攻，在处准备射门，已知米，对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米；此时守门员站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，则中点与直线距离__________米时，刚好能成功防守．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】要想刚好成功防守，须使恰好与分别交于点.利用直角三角形的性质，分别求得点到的距离，及点到的距离，从而得到中点与直线距离. 【详解】由题意知，， . 因为， . 所以. ，所以， ，. 所以点到的距离为， 点到的距离为. 所以中点与直线距离为. 12. 给定两组数，组为：1，2，…，100；组为：，，，．对于组中的数，若有组中的数，使也是组中的数，则称为“关联数”．那么组中这样的关联数有__________个． 【答案】73 【解析】 【分析】设， ， ，则，利用与奇偶性相同，且，分类讨论即可. 【详解】设， ， ， 则， ∵与奇偶性相同，且，以下分情况讨论： （1）若，则为奇数， 可取， ， ， 共49个； （2）若，则为偶数， 可取， ， ， 共24个； 其它情况下所得的值，可归为以上情形， ∴共有： 个. 二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑． 13. 二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 14. 已知实数、、满足，且，则直线一定经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、二、三象限 D. 第二、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】整理得到，即可得到，，进而判断即可. 【详解】由 ， 因为，所以，，，， 则，即， 所以直线一定经过第一、三、四象限. 15. 甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法正确的有（ ）个． ①第二名、第三名的总分之和为29分或31分； ②第二名的总分可能超过18分； ③第三名的总分共有3种情形； ④第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】分析出甲以及第二名和第三名的得分情况，一一判断，得到答案. 【详解】甲获得其中两项的第一名及总分第一名， 故甲的得分情况有两种，或， 显然3人的总得分为分， 甲得分为时，第二名和第三名的总分为分， 甲得分为时，第二名和第三名的总分为分，①正确； 甲得分为时，第二名得分有3种情况，分别为；；， 总分分别为分，分，分， 第三名得分有3种情况，分别为；；，总分分别为分，分，分， 甲得分为时，第二名得分有3种情况，分别为；；， 总分分别为分，分，分， 第三名得分有3种情况，分别为；；，总分分别为分，分，分， 第二名的总分可能超过18分，②正确； 第三名的总分共有4种情形，分别为分，分，分和分，③错误； 第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名，④正确， 正确的个数为3个. 16. 有4个互不相同的正实数，，，，有以下12个算式：，，，，，，，，，，，．其取值等于1的算式最多有（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】先分别讨论和式与积式等于1的最多可能情况，然后说明和式与积式不可能同时为1，再举例说明两个积式为1的时候，和式能否为1，即可得出结论. 【详解】因为是4个互不相同的正实数，故可设. ①因为，，且最小，最大. 所以和式等于1的最多有2个：，. ②因为，，且最小，最大， 所以积式等于1的最多有2个：，. 因为若，则，所以，即与不可能同时成立； 同理，与也不可能同时成立. 所以不可能出现4个取值等于1的情况. 假设，，当，，，时，满足条件，且，此时12个式子中出现3个式子的值为1. 故这12个式子中取值为1的式子最多可出现3个. 三解答题（本大题共3题，满分48分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知实数，，，，满足，． （1）判断的正负，并证明； （2）若，，均为奇数，，是否可能都为整数？说明你的理由． 【答案】（1）依题意得，. 方法一（最优解）：韦达定理应用， 变形结构，显然， 由韦达定理，可知，和是一元二次方程的两个根． 其中， 所以为非负数； 方法二：由已知，可用表达，， ， 所以为非负数. （2）不可以． 【解析】 【分析】（1）方法一，利用韦达定理可得和是一元二次方程的两个根，利用根的判别式得到； 方法二：由已知，可用表达，并得到； （2）若都为整数，其可能的情况有都为奇数和其中至少有一个为偶数，就两种情况，分别推出矛盾，故、不能都为整数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若都为整数， 其可能的情况有：都为奇数和其中至少有一个为偶数． ①若、都为奇数，则为偶数，为奇数， 则为偶数，与已知矛盾． ②若、为整数，且其中至少有一个为偶数， 则必为偶数，为偶数，与已知矛盾． 因此，，不可能都为整数． 18. 在中，，，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，过点作的垂线交直线于点． （1）如图1，当时，证明：； （2）如图2，当，且点在线段上时，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；并通过类比、归纳、猜想，直接写出线段，，之间数量关系的一般结论； （3）如图3，连接，设的中点为．若，求点从点运动到点的过程中，点运动的路径长（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：连接，当时，，即， ，， ， 即， ，，， 在与中，， ≌，， ． （2）证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即， 是的中点，， ，， ，是等腰直角三角形，且∽，， 根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； 一般结论：当点在射线上时，； 当点在延长线上时，． （3） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形进行求解； （2）分情况讨论进行求解； （3）当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①； ②解：当点在射线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点， 同①，可得， ， 同①，可得， ， 即线段，，之间数量关系为； 当点在延长线上时， 如图,在上取一点，使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接， 同（1）中原理，可证明≌， 可得， ， 同①，可得， ， 即线段，，之间数量关系为， 综上所述，当点在射线上时，； 当点在延长线上时，． 【小问3详解】 解：如图， 当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度， 如图， 以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点， ， ， 是的中点，， ， ， ， 根据（2）中的结论， ， ， ， ， . 即点运动的路径长为. 19. 已知抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．且关于的方程有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式； （2）设为直线右上方抛物线上的一动点，求当面积最大时点的坐标； （3）点为单位圆上（以原点为圆心、1为半径的圆）位于第一象限内的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程有两等根，得，即可求解； （2）设，根据条件得，再由二次函数的性质，即可求解； （3）取，利用三角形相似可得，从而可得，即可求解. 【小问1详解】 因为关于的方程有两个相等的实数根， 则，整理得到， 所以，则抛物线的解析式为. 【小问2详解】 如图，令，得到，解得或，所以， 令，得到，所以，设， 则， 当时，的面积最大，此时. 【小问3详解】 取，因为，又， 所以，所以，所以， 则，又， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦附中2028届新高一数学素养评估试卷 2025.07.02 考生注意： 1．本试卷共4页，19道题，满分120分，考试时间90分钟； 2．本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分； 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位； 4．测试中不得使用计算器． 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 计算：___________． 2. 正十二边形的外角和为_____________． 3. 平面内三条直线至多将平面分成_________部分． 4. 方程组的解为_____________． 5. 如图，在四边形中，，，四个三角形的面积分别为，，，，若，，则等于__________ ． 6. 求值：____________． 7. 若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 8. 重心为，，，，则的面积为__________. 9. 1、已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 10. 小明为了描点作出函数的图像，取的个值：，且，并分别算出对应的值，列出下表： 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个值，则算错的值其正确的值是_____________． 11. 如图是一个矩形足球球场，为球门，于点，米．某球员沿带球向球门进攻，在处准备射门，已知米，对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米；此时守门员站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，则中点与直线距离__________米时，刚好能成功防守．（结果用含的代数式表示） 12. 给定两组数，组为：1，2，…，100；组为：，，，．对于组中的数，若有组中的数，使也是组中的数，则称为“关联数”．那么组中这样的关联数有__________个． 二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑． 13. 二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知实数、、满足，且，则直线一定经过（ ） A. 第一、三、四象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、二、三象限 D. 第二、三、四象限 15. 甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法正确的有（ ）个． ①第二名、第三名的总分之和为29分或31分； ②第二名的总分可能超过18分； ③第三名的总分共有3种情形； ④第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 有4个互不相同的正实数，，，，有以下12个算式：，，，，，，，，，，，．其取值等于1的算式最多有（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 三解答题（本大题共3题，满分48分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知实数，，，，满足，． （1）判断的正负，并证明； （2）若，，均为奇数，，是否可能都为整数？说明你的理由． 18. 在中，，，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，过点作的垂线交直线于点． （1）如图1，当时，证明：； （2）如图2，当，且点在线段上时，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；并通过类比、归纳、猜想，直接写出线段，，之间数量关系的一般结论； （3）如图3，连接，设的中点为．若，求点从点运动到点的过程中，点运动的路径长（用含的代数式表示）． 19. 已知抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．且关于的方程有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式； （2）设为直线右上方抛物线上的一动点，求当面积最大时点的坐标； （3）点为单位圆上（以原点为圆心、1为半径的圆）位于第一象限内的动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $