4.5.1函数的零点与方程的解 同步练习2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学《4.5.1函数的零点与方程的解》同步练，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过梯度化题型培养数学抽象、几何直观与推理能力，构建从概念理解到综合解题的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|求零点个数、判断零点区间|单选题1-2、填空题12-13，直接应用零点定义与存在性定理，夯实概念理解| |提升层|零点个数求参数、比较零点大小|单选题3-8、多选题10-11、填空题14-16，结合函数单调性与数形结合，提升推理能力| |综合层|分段函数零点、方程与函数综合|解答题18-21，融合分类讨论与模型思想，培养综合应用与创新意识|

4.5.1 函数的零点与方程的解 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 7．已知函数的零点分别为，则大小顺序是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、多选题 10．已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（      ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知为函数的一个零点，则_________． 13．已知函数的零点为，则大于的最小整数是_____． 14．函数的零点在区间内，则_________． 15．已知函数，零点在区间为中，则自然数______． 16．已知是定义在上的奇函数，若在内有2个零点，则的零点个数为______． 17．已知函数若方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是______. 四、解答题 18．（1）求函数，的所有零点构成的集合； （2）解不等式． 19．已知二次函数． (1)若，求的解集； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 20．（1）画出函数的图象，并利用图象回答：当k为何值时，方程有一解？ （2）已知函数，求出函数的单调区间和值域． 21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)在下图平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)写出函数的解析式； (3)若关于的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.5.1 函数的零点与方程的解 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B C A D B A ACD 题号 11 答案 BC 1．B 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】令函数等于0，解出对应方程的根即可. 【详解】令函数，即， 当时，满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 综上所述：方程有3个实数解，即函数有3个零点， 故选：B. 2．B 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【详解】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 3．B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】转化为函数的图象与直线有两个交点，由数形结合可得结论. 【详解】由得， 作出函数的图象和直线，如图， 由题意函数的图象与直线有两个交点， 由图象知， 故选：B. 4．B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以仅有1个零点. 5．C 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 6．A 【知识点】分段函数的性质及应用、求零点的和 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得. 所以的零点之和为. 故选：A 7．D 【知识点】函数与方程的综合应用、比较零点的大小关系 【分析】由条件结合零点定义可得函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，画函数图象，结合图象判断结论. 【详解】由， 得， 所以函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 画函数与函数图象， 如图所示： 结合图象，得， 故选：D 8．B 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，即，令，即， 令，即， 则三个函数的零点即为对应两函数交点的横坐标， 分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：. 故选：B 9．A 【知识点】分段函数的性质及应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】根据函数的周期性作出函数的图象，再作出的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当时，， 此时关于对称， 且当时，关于对称， 又因为，所以， 作出函数在区间上的图象： 所以的函数图象在上关于点对称， 又，所以的周期， 因此的图象关于点对称，又的图象关于点对称， 所以在上的所有零点两两关于点对称， 作出与的函数图象如图所示： 由图象可知与在区间上有8个交点， 每2个交点关于点对称，那么这2个交点的和为2， 所以. 故选：A. 10．ACD 【知识点】求函数的零点、比较零点的大小关系、判断零点所在的区间 【分析】把零点问题转化为函数图象交点问题和方程的解的问题，即可作出判断. 【详解】由，， ，的零点a，b，分别为、图象交点的横坐标， 通过上面函数图象可得：， 而，即， 所以，，正确，错误； 故选：ACD 11．BC 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】利用零点存在性定理直接判断即可. 【详解】因函数的图象是一条连续不断的曲线， 且由表格数据可知，即函数在区间内存在零点； 同理,,因此函数在区间内均存在零点. 故选：BC 12． 【知识点】对数的运算、求函数的零点 【分析】利用零点的定义即可. 【详解】由已知可得，所以. 13．2 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】结合函数单调性及零点存在定理，可得存在唯一零点，，进而确定答案即可． 【详解】在单调递增，为增函数， 在单调递增， 又， 函数有唯一的零点，， 则大于的最小整数是． 故答案为：． 14．4 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 15． 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】利用单调性和零点存在性定理判断零点所在区间即可得. 【详解】因为在上单调递减，所以在上单调递减， 又， 即，所以存在唯一零点，所以. 故答案为： 16． 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】由是定义在上的奇函数，则，结合奇函数对称性即可求解． 【详解】已知是定义在上的奇函数， ， 又在内有2个零点， 所以在内有2个零点， 综上，在上有个零点． 故答案为：． 17． 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】画出函数的图象，利用转化法、数形结合思想进行求解即可. 【详解】， 问题转化为直线与函数的图象有三个交点， 在同一直角坐标系中，直线与函数的图象如下图所示： 显然当时，， 利用数形结合可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 即方程有三个不等实根. 故答案为： 18．（1）（2） 【知识点】求函数的零点、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用对数式与指数式互化公式进行求解即可； （2）利用对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）， 因为，所以由， 所以，或， 由； 由，或， 所以所有零点构成的集合为； （2），或， 所以原不等式的解集为. 19．(1) (2) 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）将已知条件代入，解一元二次不等式 （2）利用换元法和二次函数的性质求参数范围 【详解】（1）当时，，解得或， 故解集为 （2）解法一：令， 为增函数，因为，所以， 由于，即在上有解， 因此，解得，或（舍去）， 所以，即. 解法二：令，为增函数，因为，所以， 由于，即在上有解， 即在上有解，且.               所以 即. 20．（1）图象见解析，或（2）答案见解析 【知识点】画出具体函数图象、求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据函数画图的步骤画出函数的图象，结合数形结合思想进行求解即可； （2）根据对数型函数的单调性和最值性质进行求解即可. 【详解】（1）列表： 3 描点，连线，如下图所示： 由函数图象可知当或时，方程有一解； （2）由函数的解析式可知：，或， 二次函数的对称轴为， 当时，该二次函数单调递减，所以单调递增； 当时，该二次函数单调递增，所以单调递减； 因为， 所以函数的值域为， 因此函数的单调递增区间为，递减区间为，值域为. 21．(1)答案见解析； (2) (3) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质作图即可； （2）根据奇函数的定义求出时的解析式即可解出； （3）利用图象，数形结合即可解出. 【详解】（1）利用奇函数的性质作图如下： （2）因为是定义在上的奇函数，所以， 当，则，且， 所以， 综上，； （3）由的单调性可知，在上单调递增，则， 所以时，， 结合图象可知，关于的方程有2个不相等的实数根，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $