第9讲 基本不等式 暑假预习分层梯度课时练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习以基本不等式为核心，通过基础应用、概念辨析到综合解答的三层递进设计，覆盖从单一公式套用至多条件变形的知识巩固路径，适配新授课分层教学，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式直接求最值|单选1-6、填空12-13直接套用公式，强化运算能力| |提升层|概念辨析与条件限制应用|单选7判断均值不等式使用条件，多选9-11辨析结论正误，发展推理意识| |综合层|多条件综合最值求解|解答题15-19结合参数条件变形，如“1”的代换，培养数学思维的逻辑性|

新课标高中数学暑假分层梯度练习 第9讲 基本不等式 暑假预习 分层梯度课时练习（答案详解) （一）单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 2.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3.已知，，则最大值为（ ） A. B. C. D. 4.已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 5.正数满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 6.函数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．6 7.下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为 C．若，则 D．若，则 8.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9.下列说法正确的有（ ） A. ， B. ， C. 若，则 D. 若，则 10.已知，且，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11.下列最值求解正确的有（ ） A. ，最小值为 B. ，最小值为 C. ，最大值为 D. ，为最大值 三、填空题 12.若，则代数式的最小值为________。 13.已知，则的最小值为________。 14.已知，则的最小值为 . 四、解答题 15.利用基本不等式求解下列最值： （1），求的最小值； （2），求的最大值. 16.已知，求的最小值。 17.已知，且，求的最小值。 18.（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 19.已知，且，求的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学暑假分层梯度练习 第9讲 基本不等式 暑假预习 分层梯度课时练习（答案详解) （一）单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【分析】利用均值定理即可求得的最小值. 【解析】时，, （当且仅当时等号成立） 则的最小值为7. 故选：C 2.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，由基本不等式 又 所以，时，等号成立。 即的最大值为9. 故选：A 3.已知，，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，由基本不等式 。 最大值为. 故选：A 4.已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【解析】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 故选：C. 5.正数满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，， 变形得，代换求得最小值为。 故选：D 6.函数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【解析】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 故选：C. 7.下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质依次判断即可. 【解析】对于A，，， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，异号时，， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，当，则由， 当且仅当，即或，不满足的条件，故B错误； 对于C，若，则， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，若，则， 当且仅当或时等号成立，故D正确． 故选：D. 8.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【解析】当时，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9.下列说法正确的有（ ） A. ， B. ， C. 若，则 D. 若，则 解析：选项A：正确 当 時，与均为正数，滿足基本不等式使用条件。 由基本不等式： 代入得：,当且仅当即时取等号，命題成立。 选项B：错误 对式子变形： 可得，仅当时取等号。 原命題，对任意实数不成立，故B错误。 选项C：正确 该式为基本不等式（均值不等式）标准形式。 条件，满足一正、二定、三相等前提， 算术平均数大于等于几何平均数：，当且仅当时取等号，命題成立。 选项D：正确 由可知同号，因此，滿足基本不等式条件。 当且仅当，即时取等号，命題成立。 故选：ACD 10.已知，且，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 解析：选项A：正确 由基本不等式： 代入得： 当且仅当時，取最大值4，故A正確。 选项B：正确 对式子通分化簡： 已知，且由A选项得，又， 因此，即， 当且仅当时取等号，故B正确。 选项C：错误 由平方和公式推导： 由可得： 因此 即最小值为8，无最大值，原选项错误。 选项D:正确 当且仅当时取等号,故D正确。 故选：ABD 11.下列最值求解正确的有（ ） A. ，最小值为 B. ，最小值为 C. ，最大值为 D. ，为最大值 【答案】ABC 解析：选项A：正确 ，则，满足基本不等式条件。 当且仅当，即（滿足）时取等号，最小值为8，A正确。 选项B：正确 由得，对式子配湊变形： 由基本不等式： 原式 当且仅当即（滿足）时取等号，最小值为3，B正确。 选项C：正确 ，則，无法直接使用基本不等式，需整理变号。 ，由基本不等式： 因此 当且仅当即时取等号，最大值为，C正确。 选项D：错误 ，則，由基本不等式： 当且仅当即（在定义域內）时，取最大值1，因此式子有最大值，D错误。 故选：ABC 三、填空题 12.若，则代数式的最小值为________。 【答案】. 【解析】因为. 时，等号成立, 即的最小值为4. 13.已知，则的最小值为________。 【答案】 【解析】因为， 所以>0 配凑得. 即的最小值为5. 14.已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由于，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15.利用基本不等式求解下列最值： （1），求的最小值； （2），求的最大值. 【答案】（1） 最小值为 （2）即的最大值为9. 【解析】（1），， 当且仅当,即时，最小值为. 即的最小值为12. （2）因为，所以>0, 所以， 当且仅当时，最大值为. 即的最大值为9. 16.已知，求的最小值。 【答案】 最小值为 【解析】由得，配凑： 故，所以 最小值为. 17.已知，且，求的最小值。 【答案】的最小值为. 【解析】常数代换：因为，且， ，代入得原式。 等号成立，的最小值为。 18.（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以， 则，当且仅当，即时，取到等号， 所以的最大值为； （2）因为，所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取到等号， 所以的最小值为. 19.已知，且，求的最小值。 【答案】的最小值为 【解析】因为，且， 常数代换： ，故. 即的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $